最新一元二次方程概念-、直接开方-配方练习题
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一．填空题：
1．关于x的方程mx2-3x= x2-mx+2是一元二次方程,则m___________．
2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是_____________________________,
二次项系数是______,一次项系数是________,常数项是______.
3．方程x2=1的解为______________.
4．方程3 x2=27的解为______________.
x2+6x+____=(x+____)2 , a2±____+41=(a±____ )2
5．关于x的一元二次方程(m+3) x2+4x+ m2- 9=0有一个解为0 , 则m=______.
二．选择题：
6．在下列各式中
①x2+3=x; ②2 x2- 3x=x(x- 1) – 1 ; ③3 x2- 4x – 5 ; ④x2=-x1+2
⑤x2+2x=x2-1 是一元二次方程的共有( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
7．一元二次方程的一般形式是( )
A x2+bx+c=0 B a x2+c=0 (a≠0 )
C a x2+bx+c=0 D a x2+bx+c=0 (a≠0)
8．方程3 x2+27=0的解是( )
A x=±3 B x= -3 C 无实数根 D 以上都不对
9．方程6 x2- 5=0的一次项系数是( )
A 6 B 5 C -5 D 0
10．将方程x2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )
A (x- 2)2=1 B (x- 4)2=1 C (x- 2)2=5 D (x- 1)2=4
12.关于x的一元二次方程22110axxa的一个根是0，则a值为
（ ）
A、1 B、1 C、1或1 D、12
三.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x(3x + 2)=6(3x + 2)
(3 – t)2+ t2=9
14.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c的关系是______.
自我测试
1．将233xx化为20axbxc，则a，b，c的值分别为（ ）
A. 0, -3, -3 B. 1. -3, 3 C. 1, 3, -3 D. 1, -3, -3
2．若方程235mx是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．12 B. 13 C. 12 D. 13
3．当m_______时，方程(2)310mmxmx是关于x的一元二次方程.
4.已知2x是关于x的一元二次方程2350axbx的一个根，则46ab__
5.关于x的一元二次方程2(9)90mxxm的一个根为0，则m的值=_____
6.求证：不论a为何实数，关于x的方程(a2+2a+2)x2+ax+b=0都是一元二次方程.
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7.小明在写作业时，一不小心，把方程23x■50x的x前的系数用墨水盖住
了，但查答案知道该方程的一个根是x=5,你能帮助小明求出被覆盖的系数吗？
8. 若2320mnmnxx是关于x的一元二次方程，求,mn的值。
直接开平方法
1．方程210x的实数根的个数是（ ）
A．1 B. 2 C. 0 D.以上答案都不对
2．方程2310x的根是（ ）
A．13x B. 3x C. 33x D. 3x
3．方程2()(0)xabb的根是（ ）
A. ab B. ()ab C. ab D. ,ab
4．方程2160x的根是__________.
5．若方程20xm有整数根，则m的值可以是______(只填一个)
6．当n=_____时，方程2()0xpn有根，其根为_______.
7.一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有
如下关系：2520hx，则石头经过多长时间落到地面？
配方法
1．已知一元二次方程240xxm，若用配方法解该方程时，则配方后的方程
为（ ）
A.22(2)4xm B.2(2)4xm C.2(2)4xm D.2(2)4xm
2．用配方法解方程235xx，应把方程的两边同时（ ）
A.加32 B.加94 C.减32 D.减94
3．229________(___1)x
4．若236yay是一个完全平方式，则a=_______;
5．用配方法解方程：
（1）
23610xx； （2）22540xx； （3）2
884xx
；
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6．
用配方法证明：
（1）21aa的值恒为正； （2）2982xx的值恒小于0．
一． 应用与拓展：阅读理解题．
阅读材料：为解方程222(1)5(1)40xx，我们可以将21x视为一个整体，
然后设21xy，则222(1)xy，原方程化为2540yy ①
解得11y，24y
当1y时，211x，22x，2x∴；
当4y时，214x，25x∴，5x∴；
∴
原方程的解为12x，22x，35x，45x
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的
目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程4260xx．
专题21.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•南平期末）关于x的一元二次方程x2＝1的根是（）A．x＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x＝﹣1D．x1＝x2＝1【分析】利用直接开平方法求解即可．【解析】：∵x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1，故选：B．2．（2021•南充一模）方程（9x﹣1）2＝1的解是（）A．x1＝x2=13B．x1＝x2=29C．x1＝0，x2=29D．x1＝0，x2=−29【分析】利用直接开平方法求解即可．【解析】：∵（9x﹣1）2＝1，∴9x﹣1＝1或9x﹣1＝﹣1，解得x1＝0，x2=2 9，故选：C．3．（2020秋•高邮市期末）若一元二次方程（x﹣2）2＝9可转化为两个一元一次方程，一个一元一次方程是x﹣2＝3，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣2＝3B．x﹣2＝﹣3C．x+2＝3D．x+2＝﹣3【分析】直接开平方即可得．【解析】：原方程两边开方可得：x﹣2＝±3，即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，故选：B．4．（2020秋•绿园区期末）若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6＝﹣8B．x﹣6＝8C．x+6＝8D．x+6＝﹣8【分析】利用直接开平方法求解即可．【解析】：∵（x+6）2＝64，∴x+6＝8或x+6＝﹣8，故选：D．5．（2020秋•南海区期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方后所得方程为（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2【分析】先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到（x﹣1）2＝2．【解析】：x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2．故选：D．6．（2020秋•兰陵县期末）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8【分析】根据配方法即可求出答案．【解析】：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．7．（2020秋•朝阳区期末）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2=13的形式，则m的值为（）A．9B．﹣9C．1D．﹣1【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出m的值．【解析】：方程3x2﹣6x+2＝0，变形得：x2﹣2x=−2 3，配方得：x2﹣2x+1=13，即（x﹣1）2=13，故选：C．8．（2019春•西湖区校级月考）若P=13m﹣2，Q＝2m2−23m+1，则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定【分析】利用求差法比较大小，计算Q﹣P＝2m2−23m+1﹣（13m﹣2），利用配方法得到Q﹣P＝2（m−12）2+52，然后利用非负数的性质可确定P与Q的大小．【解析】：Q﹣P＝2m2−23m+1﹣（13m﹣2）＝2m2﹣m+3＝2（m2−12m+14−14）+3＝2（m−12）2+52，∵2（m−12）2≥0，∴2（m−12）2+52＞0，∴Q﹣P＞0，即Q＞P．故选：B．9．（2020春•邗江区期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2B．有最大值2C．有最大值﹣6D．恒小于零【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解析】：∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．10．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2﹣15b2﹣c2+2ab+8bc＝0，则下列式子的值为0的是（）A．a+5b﹣c B．a﹣5b+c C．a﹣3b+c D．a﹣3b﹣c【分析】用因式分解把已知等式转化为（a+5b﹣c）（a﹣3b+c）＝0，再由三角形的三边关系得a+5b﹣c ＞0，进而得出结论．【解析】：∵a2﹣15b2﹣c2+2ab+8bc＝0，∴（a2+2ab+b2）﹣（16b2﹣8bc+c2）＝0，∴（a+b）2﹣（4b﹣c）2＝0，∴（a+5b﹣c）（a﹣3b+c）＝0，∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，则a+5b＞c，∴a+5b﹣c＞0，∴a﹣3b+c＝0，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•广东二模）方程x2﹣4＝0的解是±2．【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．【解析】：x2﹣4＝0，移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，故答案为：±2．12．（2020秋•岳阳县期末）方程25x2﹣9＝0的解是x1=35，x2=−35．【分析】先移项，再二次项的系数化成1，再开方，即可得出答案．【解析】：25x2﹣9＝0，移项得：25x2＝9，x2=9 25，开方得：x＝±√9 25，解得：x 1=35，x 2=−35，故答案为：x 1=35，x 2=−35．13．（2020秋•丘北县期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣a ＝0有一个根为x ＝2，则a 的值为 4 ．【分析】把x ＝2代入方程得出4﹣a ＝0，再求出方程的解即可．【解析】：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣a ＝0有一个根为x ＝2，∴22﹣a ＝0，解得：a ＝4，故答案为：4．14．（2020秋•龙湖区期末）若关于x 的方程（ax ﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a 的值为52或−32 ． 【分析】将x ＝2代入原方程即可求出a 的值．【解析】：将x ＝2代入（ax ﹣1）2﹣16＝0，∴（2a ﹣1）2﹣16＝0，∴2a ﹣1＝±4，∴a 1=52或a 2=−32，故答案为：52或−32． 15．（2019秋•渭滨区期末）如果方程x 2+4x +n ＝0可以配方成（x +m ）2＝3，那么（n ﹣m ）2020＝ 1 ．【分析】先根据配方法求出m 、n 的值，再代入计算可得．【解析】：∵x 2+4x ＝﹣n ，∴x 2+4x +4＝4﹣n ，即（x +2）2＝4﹣n ，又（x +m ）2＝3，∴m ＝2，n ＝1，则（n ﹣m ）2020＝（1﹣2）2020＝1，故答案为：1．16．（2020春•如皋市期末）已知方程x 2﹣6x ﹣2＝0，用配方法化为a （x +b ）2＝c 的形式为 （x ﹣3）2＝11 ． 【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．【解析】：方程x 2﹣6x ﹣2＝0，移项得：x 2﹣6x ＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．故答案为：（x﹣3）2＝11．17．（2020秋•大同区校级期中）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求xy＝﹣6．【分析】先利用配方法对含x的式子和含有y的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出x和y的值，二者相乘可得答案．【解析】：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，∴（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，∴（x﹣2）2＝0，（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，∴x＝2，y＝﹣3．∴xy＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案为：﹣6．18．（2020•日照二模）对于实数p、q．我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，−√3）＝−√3；若min{（x+1）2，x2}＝4，则x＝2或﹣3．【分析】根据新定义运算即可求出答案．【解析】：∵﹣π+2＞−√3，∴min{﹣π+2，−√3}=−√3，由于（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，当2x+1＞0时，即x＞−1 2，∴min{（x+1）2，x2}＝x2，∴x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），当2x+1＜0时，∴x＜−1 2，∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，∴x＝1（舍去）或x＝﹣3，当2x+1＝0时，此时x=−1 2，∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2＝x2，此时x2≠4，不符合题意，综上所述，x＝2或x＝﹣3．故答案为：−√3，2或﹣3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•兰州模拟）用配方法解方程：x2+27＝12x．【分析】利用配方法求解即可．【解析】：移项得x2﹣12x＝﹣27，配方得x2﹣12x+36＝﹣27+36，即（x﹣6）2＝9，开方得x﹣6＝±3，∴x1＝9，x2＝3．20．（2021春•包河区期中）选择合适的方法解方程：（1）2（x+3）2＝18；（2）3x2﹣6x﹣4＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【解析】：（1）∵2（x+3）2＝18，∴（x+3）2＝9，∴x+3＝±3，则x1＝0，x2＝﹣6；（2）∵3x2﹣6x﹣4＝0，∴3x2﹣6x＝4，∴x 2﹣2x =43，则x 2﹣2x +1=43+1，即（x ﹣1）2=73，∴x ﹣1＝±√213， ∴x 1＝1+√213，x 2＝1−√213．21．（2019秋•惠山区校级月考）解方程：（1）（x ﹣2）2﹣9＝0；（2）x 2﹣2x ﹣5＝0．【分析】（1）首先移项，把﹣9移到方程的右边，再两边直接开平方即可；（2）方程移项后，利用配方法求出解即可．【解析】：（1）移项得：（x ﹣2）2＝9，两边直接开平方得：x ﹣2＝±3，则x ﹣2＝3，x ﹣2＝﹣3，解得：x 1＝5，x 2＝﹣1；（2）（2）方程移项得：x 2﹣2x ＝5，配方得：x 2﹣2x +1＝6，即（x ﹣1）2＝6，开方得：x ﹣1＝±√6，解得：x 1＝1+√6，x 2＝1−√6．22．（2019春•正定县期末）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ﹣2 ）2+ 1 ；（2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值；（3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小．【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再代入得到x +y 的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【解析】：（1）x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，则x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．故答案为：﹣2，1．23．（2020春•成都期末）（1）已知：a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，求代数式ab的值．（2）已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求△ABC的周长．【分析】（1）首先将已知条件化简，进而得出a2﹣2ab+b2＝9①，a2+b2＝13②，把②代入①可得结论；（2）首先将已知等式配方后，根据非负性可得a和b的值，根据三角形三边关系和等腰三角形的定义可得结论．【解析】：（1）a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a2+a﹣a2﹣b＝3，a﹣b＝3，两边同时平方得：a2﹣2ab+b2＝9①，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，a2+ab+b2﹣ab＝13，a2+b2＝13②，把②代入①得：13﹣2ab＝9，13﹣9＝2ab，∴ab＝2；（2）a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，a2﹣6a+9+b2﹣14b+49＝0，（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，∴a＝3，b＝7，当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长＝7+7+3＝17．24．（2020秋•二道区期末）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法．（2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可．（3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案．（4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案．【解析】：（1）x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9．（2）x2﹣2x﹣35＝x2﹣2x+1﹣1﹣35＝（x﹣1）2﹣62＝（x﹣1+6）（x﹣﹣6）＝（x+5）（x﹣7）．（3）△ABC为等边三角形，理由如下：∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，∴a＝b，b＝1，c＝1，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．。
21.1 一元二次方程及其解法(一)-直接开平方法(基础巩固)-九年级数学上(人教版)
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程及其解法（一）——直接开平方法（基础巩固）【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【答案】（1）是；（2）不是. 【解析】(1)整理原方程，得 ， 所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得 ， 所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x -+=；⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=． 【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： (1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程 3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程 6x 2-20x+9=0． 各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）例3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．-3，2B ．3，-2C ．2，-3D ．2，3 【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ② 联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程例4.求下列x的值（1）x2﹣25=0（2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x2﹣25=0，∴x2=25，∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16，∴x+5=±4，∴x=﹣1或﹣9．【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a 2=1， a 2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m 2+36=0， -8m 2=-36， m 2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1) (2x+3)2-25=0；(2)（1﹣2x ）2=x 2﹣6x+9.【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25， ∴ 2x+3=5或2x+3=-5． ∴x 1=1，x 2=-4．(2) ∵（1﹣2x ）2=x 2﹣6x+9， ∴（1﹣2x ）2=（x ﹣3）2， ∴1﹣2x=±（x ﹣3），∴1﹣2x=x ﹣3或1﹣2x=﹣（x ﹣3），∴x 1=43，x 2=﹣2． 【巩固练习】一、选择题1. 若2230px x p p -+-=是关于x 的一元二次方程，则( ) A ．p ≠1 B ．p ≠0且p ≠1 C ．p ≠0 D ．p ≠0且p ≠12．如果x=﹣3是一元二次方程ax 2=c 的一个根，那么该方程的另一个根是（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．13．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2﹣x +m=0的一个根，则m 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．24．若1x ，2x 是方程24x =的两根，则12x x +的值是 ( )A ．8B ． 4C ．2D ．05．若a 为方程式2(17)100x -=的一根，b 为方程式2(4)17y -=的一根，且a 、b 都是正数，则a b -之值为何?( )A ．5B ．6C ．83D ．1017-6．已知方程20x bx a ++=有一个根是-a(a ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ) A ．ab B ．abC ．a+bD ．a-b二、填空题7. 方程(2x+1)(x-3)＝x 2+1化成一般形式为____ _ ___，二次项系数是____ ____，一次项系数是________，常数项是________． 8．（1）关于x 的方程是一元二次方程，则m ； （2）关于x 的方程是一元一次方程，则m .9．下列关于x 的方程中是一元二次方程的是____ ____(只填序号)． (1)x 2+1＝0； (2)21112x x +=+； (3)210x y ++=； (4)3210x x x --+=； (5)22(35)64x x x -=+ ； (6)(x-2)(x-3)＝5.10．下列哪些数是方程2680x x -+=的根?答案： . 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．11．方程2x ﹣4=0的解也是关于x 的方程x 2+mx +2=0的一个解，则m 的值为 ． 12．若方程（x ﹣4）2=a 有实数解，则a 的取值范围是___ _____．三、解答题13．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m+1与2m ﹣4，求ba的值．14. 用直接开平方法解下列方程．(1)2160x -=；(2)2(2)9x -=．15．教材或资料会出现这样的题目：把方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． (1)下列式子中，有哪几个是方程2122x x -=所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)______ __． ①21202x x --=； ②21202x x -++=； ③224x x -=；④2240x x -++=； 20--=.(2)方程2122x x -=化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?答案与解析一、选择题 1．【答案】C ；【解析】方程20ax bx c ++=是一元二次方程的条件是a ≠0，b 、c 可以是任意实数． 2.【答案】A ；【解析】ax 2=c ， 即x 2=， x=±，∵x=﹣3是一元二次方程ax 2=c 的一个根， ∴该方程的另一个根是x=3，故选A ． 3.【答案】A.【解析】把x=﹣1代入x 2﹣x +m=0得1+1+m=0，解得m=﹣2．故选A ． 4．【答案】D ；【解析】直接开方可得12x =，22x =-，∴ 120x x +=. 5.【答案】B ；【解析】由2(17)100x -=得1710x -=±，∴ 11710x =+，21710x =-，又a 是正数且a 是此方程的根， ∴ 1710a =+．同理417b =+， ∴ (1710)(417)6a b -=+-+=．6.【答案】D ；【解析】将x a =-代入方程得2()()0a b a a -+-+=．∴ 20a ab a -+=，又a ≠0．方程两边同除以a 得a-b+1＝0，∴ a-b ＝-1，即a-b 的值恒为常数．二、填空题7．【答案】x 2-5x-4＝0，1，-5，-4． 8．【答案】（1）2m ≠±；（2）m=-2. 【解析】（1）因为关于x 的方程是一元二次方程，所以240, 2.m m -≠≠±解得 （2）因为关于x 的方程是一元一次方程，所以2 2.402(2)0m m m m =±⎧-=⎧⎨⎨≠---≠⎩⎩ 解得 所以m=-2.9．【答案】(1)，(6).【解析】根据一元二次方程的定义，要判断一个方程是否是一元二次方程要看它是否符合定义的三个必备条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程．当然对有些方程必须先整理后再看．(1)是；(2)含有分式；(3)含有两个未知数；(4)未知数最高次数为3；(5)方程整理得-10x-4＝0，不是一元二次方程；(6)方程整理得x2-5x+1＝0是一元二次方程，所以(1)、(6)是一元二次方程．10．【答案】2，4．【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x 2-6x+8＝0，发现当x ＝2和x ＝4时，方程x 2-6x+8＝0左右两边相等，所以x ＝2，x ＝4是方程x 2-6x+8＝0的根．11.【答案】-3.【解析】2x ﹣4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x 2+mx +2=0得：4+2m +2=0，解得：m=﹣3．12．【答案】a ≥0；【解析】∵方程（x ﹣4）2=a 有实数解，∴x ﹣4=±，∴a ≥0；．三、解答题13.【答案与解析】解：∵x 2=（ab ＞0），∴x=±， ∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m ﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是2与﹣2，∴4a=b ∴=4．故答案为：4．14.【答案与解析】(1)移项，得216x =，根据平方根的定义，得4x =±．即14x =，24x =-．(2)根据平方根的定义，得23x -=±，即15x =，21x =-．15.【答案与解析】(1)观察可知方程①、②、③、④、⑤的各项系数分别是原方程各项系数乘以1，-1，2，-2，一般形式．(2)二次项系数、一次项系数与常数项之比为1(1)(2)2--::，即1(2)(4)--::，若设二次项系数为a ，则一次项系数为2a -，常数项为4a -．。
一元二次方程知识总结及习题
一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
(完整版)一元二次方程习题100道
一元二次方程百题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
（1）0142=-x （2）2)3(2=-x （3）()512=-x（4）()162812=-x （5）2225x =； （6）2(1)9x -=；（7）2(61)250x --=． （8）281(2)16x -=． （9）25(21)180y -=（10）21(31)644x += （11）26(2)1x +=； （12）25(21)180y -=（13）21(31)644x += （14）26(2)1x +=； （15）2()(00)ax c b b a -=≠，≥二、用配方法解下列一元二次方程。
（16）0662=--y y （17） x x 4232=- （18）9642=-x x（19）210x x +-= （20）23610x x +-= （21）21(1)2(1)02x x ---+=（22）22540x x --= （23）210x x --= （24）23920x x -+=．（25）2310y y ++=． （26）．210x x +-= （27）．23610x x +-=（28）．21(1)2(1)02x x ---+= （29）.23610x x --= （30） 22540x x --=（31）210x x --= （32）23920x x -+=． （33）0542=--x x（34）01322=-+x x （35）07232=-+x x （36）01842=+--x x（37）0222=-+n mx x （38）()00222>=--m m mx x三、用公式解法解下列方程。
（39）0822=--x x （40）22314y y -= （41）y y 32132=+(42)x 2+4x +2=0 ; (43)3x 2-6x +1=0; (44)4x 2-16x +17=0 ;(45)3x 2+4x +7=0. (1)2x 2-x -1=0; (46)4x 2-3x +2=0 ;47）01522=+-x x （48）1842-=--x x （49）02322=--x x四、用因式分解法解下列一元二次方程。
专题05 直接开平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程压轴题六种模型全攻略(解析版)
专题05直接开平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一解一元二次方程——直接开平方法】 (1)【考点二一元二次方程的解法——因式分解法】 (3)【考点三配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 (5)【考点四配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 (6)【考点五用配方法解一元二次方程错解复原】 (8)【考点六利用配方法求多项式的最值问题】 (10)【过关检测】 (13)【典型例题】【考点一解一元二次方程——直接开平方法】【变式训练】开方得，235x +=±，解得11x =，24x =-．（2）方程两边直接开方得：311x x -=+，或()311x x -=-+，∴22x =，或40x =，解得：11x =，20x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．【考点二一元二次方程的解法——因式分解法】【变式训练】【考点三配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【变式训练】【考点四配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【变式训练】【考点五用配方法解一元二次方程错解复原】【变式训练】1.（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=【考点六利用配方法求多项式的最值问题】【变式训练】1.（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式243x x -+的最小值为（）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【详解】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -≥，∴()2211x --≥-即代数式2|431x x -+≥-，【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程2410x x -=+时，原方程可变形为（）A ．2(2)1x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x -=D ．2(4)17x +=【答案】B【分析】根据2410x x -=+，配方得()225x +=，然后作答即可．【详解】解：2410x x -=+，配方得()225x +=，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程．2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）一元二次方程22023x x =的根为（）A ．2023x =-B ．2023x =C ．10x =，22023x =-D ．10x =，22023x =【答案】D故选：B．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．二、填空题(1)当边长为1的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1,1,3，+<，不满足三角形的三边关系定理，舍去；此时113(2)当边长为3的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1,3,3，+>，满足三角形的三边关系定理，此时133++=；则这个等腰三角形的周长为1337综上，这个等腰三角形的周长为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．三、解答题212320m m -+=，212364m m +-=，∴()264m -=，62m -=±，18m =，24m =，经检验18m =，24m =是原方程的解，∴m 的值为8或4．【点睛】本题主要考查了完全平方式的定义，熟记完全平方公式是解答本题的关键．20．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）【材料阅读】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0，可以用公式()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：()2224844424y y y y y ++=+++=++．()220y +≥ ()2244y ∴++≥∴代数式248y y ++的最小值为4．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)【类比探究】()222x -+的最小值为______；(2)【举一反三】代数式28x x -+有最______（填“大”或“小”）值为______；(3)【灵活运用】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形．已知栅栏的总长度为24m ，则可设较小矩形的宽为m x ，较大矩形的宽为2m x （如图）．当x 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)2(2)大，16(3)当4x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为【分析】(1)根据材料内容即可解答；(2)根据材料内容即可解答；(3)根据矩形的面积公式及配方法，即可列出代数式，再根据完全平方式的非负性，即可解答．。
一元二次方程练习题
一元二次方程及解法（一）直接开平方法引入1、求直线y=2x 与双曲线y=6/x 的交点。
2、设计一座2m 高的人体雕像，使上部（腰以上）与下部高度比 等于下部与全部高度比问下部设计有多高？1． 一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2（2次）的整式方程，叫做一元二次方程．例1：判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x -+=； ⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如 20(0)ax bx c a ++=≠，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 注意：一元二次方程0a ≠,b 、c 可以为0例2： 是关于x 的一元二次方程的条件是（ ） A. a, b, c 为任意实数 B. a, b 不同时为零C. a 不为零D. b, c 不同时为零例3：将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项 系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．20axbx c ++=3、一元二次方程的解例4：方程 x 2-2x-2=0的两个根为（ ）A. 121,2x x ==-B.121,2x x =-=C.1213,13x x =+=-练习：1.（1）关于x 的方程是一元二次方程， 则m ；关于x 的方程是一元一次方程， 则m ；（2）关于x 的方程是一元二次方程，则 m ；类似：()|m|210m xmx -+-=是一元二次方程，则m= ； （3）关于x 的方程的一次项系数是-1， 则a ；2.（1）x=1是的根，则a= . （2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是 0， 求m 的值.3. 解方程：（1）232700x -=；（2）240y =；（3）240x +=．2(4)2(27)128x -= （5）20x m -= （6）22(2)4(31)x x -=+形如2()(0)mx n p p +=≥的一元二次方程，采取整体直接开平方的方法求 根．一元二次方程的解法（二）配方法例1：面积为240的矩形中，长比宽多8，求矩形的两边。
6一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)及其练习 含答案
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016春•石景山区期末）用配方法解方程：2x 2﹣12x ﹣2=0．【思路点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【答案与解析】解：2x 2﹣12x ﹣2=0， 系数化为1得：x 2﹣6x ﹣1=0， 移项得：x 2﹣6x=1，配方得：x 2﹣6x +9=10，即（x ﹣3）2=10， 开方得：x ﹣3=±， 则x 1=3+，x 2=3﹣．【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 举一反三：【变式】 用配方法解方程 （1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,p p q p p qx x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【答案与解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明． 举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．3. （2015春•宜兴市校级月考）若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是 ． 【答案】；【解析】解：x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4 =（x+b ）2﹣b 2+4； ∴m=﹣b ，k=﹣b 2+4，则k ﹣m=﹣（b ﹣）2+．∵﹣（b ﹣）2≤0， ∴当b=时，k ﹣m 的最大值是． 故答案为：．【总结升华】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 举一反三： 【变式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.4. 分解因式：42221x x ax a +++-． 【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2016•新疆）一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x += D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．（2015•河北模拟）把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（ ）A ．8B ．6C ．3D ．2 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 8．（2015•忻州校级模拟）把代数式x 2﹣4x ﹣5化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数， 则4m+k= ．9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程. （1）（2016•安徽）解方程：x 2﹣2x=4． （2）（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．14．分解因式44x +．15．（2015春•龙泉驿区校级月考）当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ．【解析】x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5，x 2﹣6x +9=5+9，（x ﹣3）2=14，故选：A ． 2．【答案】C ； 【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=． 3．【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．4．【答案】D ； 【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -； （2）24p ；2p x +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5=（x ﹣2）2﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1． 故答案为﹣1．9．【答案】4；【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化为4x2-ax+1=4x2-4bx+b2,所以241a bb=-⎧⎨=⎩－解得41ab=⎧⎨=⎩或41ab=-⎧⎨=-⎩所以4ab=.10．【答案】（x-1）2=5；15±．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±. 11．【答案】；2或6.【解析】3x2-2x-3=0化成；即2(-)232aa=-，a=2或6.12.【答案】5；【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．（2015•大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．（2）解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x+=++-22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x=+-=++-+．15. 【答案与解析】解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．。
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法3种题型)-2023年新九年级数学精品课(苏科版)(解析版)
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法3种题型）1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.2.运用开平方法解形如x 2=p 或（x+n) 2=p (p≥0)的方程.3.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程.4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想.知识点1：直接开平方法形如x 2＝p 或（nx +m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得x ＝±；如果方程能化成（nx +m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么nx +m ＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．知识点2：配方法（1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点3：配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常题型1：用直接开平方法解一元二次方程例1．（2022秋•江都区校级期末）方程x 2＝4的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝﹣2C ．x 1＝2，x 2＝﹣2D ．x 1＝4，x 2＝﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可．【解答】解：直接开平方得：x ＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C ．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．例2．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x 2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x 2＝49，x 2＝， ∴，∴x 1＝，x 2＝﹣；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0，（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，∴x 1＝3，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 例3.解关于x 的方程：251250x −=．【答案】15x =，25x =−．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：x = 即方程两根为15x =，25x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例4.解关于x 的方程：290x =． 【答案】153x =，253x =−．【解析】整理方程，即得2259x ==，直接开平方法解方程，得：x =， 即方程两根为153x =，253x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例5.解关于x )225x −=【答案】14x =，21x =．【解析】整理方程，即得()2259x −==，直接开平方法解方程，得：253x −==±， 得253x −=或253x −=−，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b +=例6.解关于x 的方程：()()222332x x +=+．【答案】11x =，21x =−．【解析】直接开平方法解方程，即得()2332x x +=±+，得2332x x +=+或()2332x x +=−+， 即得方程两根为11x =，21x =−．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+．例7.解关于x 的方程： ()()22425931x x −=−． 【答案】1135x =，2713x =−． 【解析】整理方程，即为()()22225331x x −=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，直接开平方法解方程，即得()()225331x x +=±−，得()()225331x x +=−或()()225331x x +=−−，解得方程两根 分为1135x =，2713x =−． 【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+．例8.解关于x 的方程：()2222x a a ab b −=++．【答案】12x a b =+，2x b =−．【解析】整理方程，即为()()22x a a b −=+，直接开平方法解方程，即得()x a a b −=±+， 得：x a a b −=+或()x a a b −=−+，解得方程两根分为12x a b =+，2x b =−．【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得ax b c +=±． 题型2：用配方法解一元二次方程例9．（2022秋•秦淮区期末）解方程：x 2﹣6x +4＝0（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x 2﹣6x ＝﹣4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x 2﹣6x +9＝﹣4+9，即（x ﹣3）2＝5，∴x ＝±+3， ∴x 1＝+3，x 2＝﹣+3．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例10.用配方法解方程：22330x x −−=．【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴12x x ==． 【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成()()20x m n n +=≥的形式，然后用直接开平方法求解即可．例11.用配方法解方程：220130y −−=．【答案】145y =，245y =．【解析】由220130y −−=，得2122025y −+=，即2(2025y −=，所以45y −=±， 所以原方程的解为：145y =，245y =−． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例12.用配方法解方程：225200x x −−+=．【答案】154x =−+，254x =−． 【解析】由225200x x −−+=，得225200x x +−=，即251002x x +−=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =−±所以原方程的解为：154x =−+，254x =−． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 例13.用配方法解方程：210.30.2030x x −+=． 【答案】1213x x ==． 【解析】由210.30.2030x x −+=，得213203x x −+=，即221039x x −+=， 所以21()03x −=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 题型3：配方法的应用例14．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a 2﹣12a +22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a 2﹣6a ）+22＝2（a 2﹣6a +9）﹣18+22＝2（a ﹣3）2+4，∵无论a 取何值，2（a ﹣3）2≥0，∴代数式2（a ﹣3）2+4≥4，即当a ＝3时，代数式2a 2﹣12a +22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a 2+6a ﹣8的最值为（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣8C ．最大值﹣11D ．最小值﹣5【分析】根据题意把代数式﹣3a 2+6a ﹣8配成﹣3（a ﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值．【解答】解：由题意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵无论a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代数式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即当a＝1时，代数式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故选：A．【点评】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．例15．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出即可．【解答】解：已知等式变形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣1，b＝2，则a+b＝﹣1+2＝1．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．例16．（2023春•吴中区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．【分析】（1）根据x2+4xy+5y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y计算即可；（2）根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b 的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．【解答】解：（1）∵x 2+4xy +5y 2+6y +9＝0，∴（x 2+4xy +4y 2）+（y 2+6y +9）＝0，∴（x +2y ）2+（y +3）2＝0，∴x +2y ＝0，y +3＝0，∴x ＝6，y ＝﹣3，∴x ﹣y ＝6﹣（﹣3）＝9．（2）∵a 2﹣4a +2b 2﹣4b +6＝0，∴（a 2﹣4a +4）+（2b 2﹣4b +2）＝0，∴（a ﹣2）2+2（b ﹣1）2＝0，∴a ﹣2＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝2，b ＝1，∵2﹣1＜c ＜2+1，∴1＜c ＜3，∵c 为正整数，∴c ＝2．【点评】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．例17.已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程22320x kx k −+=的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【答案】2k =．【解析】由22320x kx k −+=，得(2)()0x k x k −−=，所以x k =或者2x k =．当2k =时，2x =和4x =，满足三角形三边关系，当4k =时，4x =和8x =，不满足三角形三边关系． 所以2k =时，△ABC 是等腰三角形【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．一、单选题【答案】D【分析】根据直接开方法求解即可．【详解】解：290x -=， 29x =直接开方得：13x =，23x =−，故选：D ．【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握此方法是解题关键．2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）一元二次方程2680x x −−=，经过配方可变形为（ ） A ．2(3)17x −=B ．2(3)1x −=C ．2(3)17x +=D ．2(6)44x −=【答案】A【详解】解：方程移项得：268x x −=， 配方得：26989x x −+=+，即2(3)17x −=．故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）已知实数a b ，满足21a b +=，则代数式22241a b a +−−的最小值等于（ ）A ．1B ．4−C ．8−D ．无法确定【答案】C【分析】由已知得21b a =−，代入代数式即得22241a b a +−−变形为()22141a a a +−−−，再配方，即可求解．【详解】解：∵21a b +=，∴21b a =−，代入代数式即得22241a b a +−−，得()22141a a a +−−−，261a a =−+， ()238a =−−，∵()230a −≥，∴()2388a −−≥−， ∴22241ab a +−−的最小值等于8−，故选：C【点睛】本题考查配方法的应用，通过变形将代数式化成()238a −−是解题的关键． 4．（2023·江苏苏州·一模）已知关于x 的一元二次方程()20m x h k −−=（m ，h ，k 均为常数且0m ≠）的解是12x =，25x =，则关于x 的一元二次方程()21m x h k −+=的解是（ ）A ．12x =−，25x =−B ．14x =−，21x =−C ．11x =，24x =D ．13x =−，26x =− 【答案】C【分析】把()21m x h k −+=看作关于(1)x +的一元二次方程，则12x +=或15x +=，然后解两个一次方程即可．【详解】解：方程2()0(m x h k m −−=、h ，k 均为常数且0)m ≠的解是12x =，25x =， ∴对于关于(1)x +的一元二次方程()21m x h k −+=的解，即12x +=或15x +=，即11x =，24x =，∴关于x 的一元二次方程2(3)m x h k −+=的解是11x =，24x =．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如2x p =或2()(0)nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【答案】A【分析】勾股定理可得：()2222OP x x =++ ，再利用配方法求解2OP 的最小值，再求解OP 的最小值，从而可得答案．【详解】由勾股定理可得： ()()222222244212OP x x x x x =++=++=++当1x =−时， 2OP 有最小值2∴OP 的最小值为 1>所以A 不符合题意，B ，C ，D 都有可能，符合题意故选A【点睛】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．【答案】D【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果【详解】解：方程整理得：285x x −=−，配方得：281611x x −+=，即2411x −=（）． 故选：D ．【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式．二、填空题7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）一元二次方程2430x x −+=配方为()22x k −=，则k 的值是______．【答案】１【分析】将原方程2430x x −+=变形成与()22x k −=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x −+=243101x x −++=+2441x x −+=()221x −=∴1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 8．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）用配方法解方程21070x x +−=，方程可变形为()2x m n +=，则m =_________，n =__________．【答案】 5 34【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：21070x x +−=，∴2107x x +=，∴2102534x x ++=，即()2534x +=，∴5m =，34n =．故答案为：5，34【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 9．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：2()0m x a b −+=与2()0n x a b −+=，称为“同类方程”．如22(1)30x −+=与26(1)30x −+=是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”．那么代数式22022ax bx ++能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”，∴22(6)(8)6(6)(1)1a x b x a x +−++=+−+，∴22(6)(8)6(6)(6)72a x b x a x a x a +−++=++−++， ∴()82667b a a ⎧+=+⎨=+⎩，解得：12a b =−⎧⎨=⎩，∴22022ax bx ++222022x x =−++()212023x =−−+∴当1x =时，22022ax bx ++取得最大值为2023．故答案为：2023．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）已知实数x 、y 、z 满足224422018x x y y xy z −++−+=，则实数z 的最大值为 __．【答案】2022【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定z 的最大值.【详解】解：224422018x x y y xy z −++−+=，222442018x xy y x y z ∴−+−++=，2()4()2018x y x y z ∴−−−+=，2()4()442018x y x y z −−−+−+=，2(2)42018x y z −−+−=，2(2)0x y −−…，∴当2(2)0x y −−=时，4z −的值最大，42018z ∴−=，2022z ∴=，∴实数z 的最大值为2022，故答案为：2022．【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性，能够识别多种情况下的配方条件，正确的配方是解题关键.三、解答题 11．（2023·江苏常州·统考一模）解方程：(1)2(1)40x +-=；(2)2260x x −−=．【答案】(1)121,3x x ==(2)1211x x ==【分析】（1）直接开方法解方程即可．（2）配方法即解方程即可．【详解】（1）2(1)40x +-= 2(1)4x +=12x +=±121,3x x ∴==（2）2260x x −−=22161x x −+=+()217x −=1x −=1211x x ∴==【点睛】此题考查一元二次方程的解法，有直接开方法，配方法，因式分解法，公式法等，解题关键是根据方程的特点挑选合适的解法．12．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）解方程：210110x x +-=．【答案】11x =，211x =−【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：210110x x +-=21011x x +=，210251125x x ++=+，()2536x +=，56x +=±，11x =，211x =−【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 13．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）解方程：(1)()21250x −−=；(2)2410x x −−=．【答案】(1)16x =，24x =−(2)12x =12x =【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解；(2)利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：由原方程得：()2125x −= 得15x −=±，解得16x =，24x =−，所以，原方程的解为16x =，24x =−；（2）解：由原方程得：241x x −=，得24414x x −+=+，()225x −=，得2x −=12x =12x =所以，原方程的解为12x =12x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．，AOB 、COD 的面积分别为【答案】（1）①0x ≠；②一、三；③当0x <时，x x +的最大值为2−；（2）最小值为11；（3）25【分析】（1）①根据分母不为0即可求解；②根据当0x >时，0y >；当0x <时，0y <即可判断；③模仿求解过程，利用配方法即可求解；（2）将2316x x y x ++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设BOC S x =△，已知4AOB S =△，9COD S =△，则由等高三角形可知：::BOC COD AOB AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出AOD S ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）①函数1y x x =+的自变量x 的取值范围为：0x ≠；②容易发现，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <．由此可见，图像在第一、三象限；③当0x >时，112x x x x +≥=； 当0x <时，11()x x x x +=−−−12x x −−≥=1()2x x ∴−−−≤−∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x +的最大值为2−．故答案为：①0x ≠；②一、三；③当0x <时，1x x +的最大值为2−；（2）由2316163x x y x x x ++==++， 0x >，∴163311y x x =++≥=， 当16x x =时，最小值为11．（3）设BOC S x =△，已知4AOB S =△，9COD S =△则由等高三角形可知：::BOC AOB AOD S S S S =△△△△ :94:AOD x S ∴=36:AOD S x ∴=∴四边形ABCD 面积36491325x x =+++≥+=当且仅当6x =时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．一、单选题 1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）把方程2430x x +−＝化为2x m n =+（）的形式后，m 的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵2430x x +−＝，∴243x x −＝-，则24434x x ++−＝-，即221x −（）＝， ∴2m =﹣，n ＝1，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程配方法，是解题的关键． 【分析】利用配方法将29x mx −+进行配方，即可得出答案.． 【详解】解：原式22924m m x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭， 当x-2m =0，即x=2m 时，原式取得最小值9-24m =8，整理得：24m =， 解得：m=±2，则m 的值可能为2，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键．3．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若226A x xy +＝﹣，2411B y x +＝﹣﹣，则A 、B 的大小关系为（ ）A ．A ＞BB ．A ＜BC ．A ≥BD ．A ＝B 【答案】A【分析】利用做差法求出A B −=()()22131x y −+−+，然后利用偶数次幂的非负性即可得出()()2213110x y −+−+≥＞，即可得出0A B −＞，从而得出正确选项． 【详解】解：()2226411A B x x y y x −+−−+−＝﹣ 2222264112611x x y y x x x y y =+−+−+=−+−+()()()()222221691131x x y y x y =−++−++=−+−+∵()210x −≥，()230y −≥，∴()()2213110x y −+−+≥＞， ∴0A B −＞，即A B ＞，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在．二、填空题【答案】2k ≤【分析】根据配方法可进行求解．【详解】解：∵A ＝x2﹣x+（32k −）＝x2﹣x 1144+−+（32k −）＝（x 12−）214−+（32k −）， 若x 取任何实数，A 的值都不是负数，∴14−+（32k −）≥0，解得：112k ≤； 故答案为：112k ≤． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．5．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==−，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【详解】解：由原方程，得13x +=±．解得122,4x x ==−．故答案是：122,4x x ==−．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：2(0)x a a =≥；2(ax b a =，b 同号且0)a ≠；2()(0)x a b b +=≥；2()(a x b c a +=，c 同号且0)a ≠．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）．【答案】<【分析】先求A-B 的差，再将差用配方法变形为A ﹣B ＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A ﹣B ＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x ﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A ﹣B<0，∴A<B ，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．7．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）若实数x ，y 满足条件2x 2﹣6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____．【答案】15【分析】先将2x2﹣6x+y2＝0，变形为y2＝﹣2x2+6x ，代入所求代数式并化简为x2+y2+2x ＝﹣（x ﹣4）2+16，利用非负数性质可得x2+y2+2x≤16，再因为y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x ，∴x2+y2+2x ＝x2﹣2x2+6x+2x ＝﹣x2+8x ＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x ﹣4）2+16，∵（x ﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，当x ＝3时，x2+y2+2x 取得最大值为15，故答案为：15．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键． 8．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如20x x +=是“差1方程”．若关于x 的方程210ax bx ++=(a ，b 是常数，0a >)是“差1方程”设210t a b =−，t 的最大值为__________．【答案】9【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a 与b 的关系式，再由210t a b =−，得t 与a 的关系，从而得出最后结果．【详解】解：由题可得：224140b a b a ∆=−⨯=−≥∴解方程得x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“差1方程”，∴1=，224b a a ∴=+，210t a b =−，226(3)9t a a a ∴=−=−−+，()30a −≥，3a ∴=时，t 的最大值为9．故答案为：9【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．9．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）已知实数a 、b ，满足1b a −=，则代数式2267a b a +−+的最小值等于______．【答案】5【分析】由题意得1b a =+，代入代数式2267a b a +−+可得2(2)5a −+，故此题的最小值是5． 【详解】1b a −=，1b a ∴=+，2267a b a ∴+−+22(1)67a a a =++−+22267a a a =++−+2445a a =−++2(2)5a =−+，∴代数式2267a b a +−+的最小值等于5，故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式的变形及配方法的应用，关键是掌握完全平方公式并正确变形、计算．三、解答题(2)求代数式226410a b a b −−−+−的最大值．【答案】(1)﹣3(2)当a ＝﹣3，b ＝2时，代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3【分析】（1）通过配方可求出完全平方形式，根据平方式的非负性可得结果；（2）把226410a b a b −−−+−配方成完全平方的形式可得结果．（1）解：2x ﹣4x+1＝2(44)3x x −+−＝2(2)3x −−， ∵2(2)0x −≥，∴2241(2)33x x x −+=−−≥−，∴当x ＝2时，这个代数式2x ﹣4x+1的最小值为﹣3．故答案为：﹣3；（2）226410a b a b −−−+− ＝﹣2a ﹣6a ﹣9﹣2b +4b ﹣4+3＝﹣2(3)a +﹣2(2)b −+3， ∵2(3)a +≥0，2(2)b −≥0， ∴﹣2(3)a +0≤，﹣2(2)b −0≤， ∴226410a b a b −−−+−＝﹣2(3)a +﹣2(2)b −+33≤， ∴当a ＝﹣3，b ＝2时，代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3．【点睛】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答． 11．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；2(2)x +≥【答案】(1)3(2)7(3)有最大值，最大值为8(4)2【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据27110x x y −+−=，用x 表示出y ，写出x y +，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．【详解】（1）解：2(1)3x −+的最小值为3．故答案为：3；（2）21032x x ++222105532x x =++−+2(5)7x =++，2(5)0x +≥，2(5)77x ∴++≥，∴当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值为7，21032x x ∴++的最小值为7；（3）22211125(69)8(3)8333x x x x x −++=−−++=−−+，21(3)03x −−≤，21(3)883x ∴−−+≤，∴代数式21253x x −++有最大值，最大值为8；（4）27110x x y −+−=，2711y x x ∴=−+，22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x ∴+=−++=−+=−+−+=−+，2(3)0x −≥，2(3)22x ∴−+≥，当2(3)0x −=时，2(3)2x −+的值最小，最小值为2，x y ∴+的最小值为2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)当x =___________时，代数式221x x −−有最小值，最小值为 ___________．(2)当x 取何值时，代数式22812x x ++有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)当x ，y 何值时，代数式2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为多少？(4)如图所示的第一个长方形边长分别是25a +、32a +，面积为1S ；如图所示的第二个长方形边长分别是5a 、5a +，面积为2S ，试比较1S 与2S 的大小，并说明理由．【答案】(1)1，2− ；(2)2x =−时，4；(3)3x =−，y =−6，16；(4)12S S >，见解析．【分析】（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；（3）将2254625x xy y x −+++配方成()()222316x y x −+++，即可解答； （4）求出()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+，利用()230a −≥，得到1210＞S S −≥，即12S S ＞． 【详解】（1）解： ()22221=2111=12x x x x x −−−+−−−− 因为()210x −≥，所以2221x x −−≥−，因此，当=1x 时，代数式221x x −−有最小值，最小值是2−．故答案为：1；2−（2）解：()()()22222812=246=24442=22x x x x x x x +++++++++， 因为()220x +≥，所以212428x x ++≥，因此，当=2x −时，代数式22812x x ++有最小值，最小值是4．（3）解：()()222222254625=446916=2316x xy y x x xy y x x y x x −+++−++++−++++因为()220x y −≥，()230x +≥，所以225462516x xy y x −+++≥，因此，当2=x y ，3x =−时，即3x =−，y =−6时，代数式2254625x xy y x −+++有最小值，最小值是16．（4）解：()()21253261910S a a a a =++=++，()2255525S a a a a =+=+， ∴()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+， ∵()230a −≥，∴1210＞S S −≥，即12S S ＞．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是理解题意，掌握配方法的原则．【答案】(1)见解析(2)()6y x −=(3)当3x =−，y =−6时，2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为16【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；（2）首先根据配方法把2246130x y x y ++−+=变形为()()22230x y ++−=，再根据偶次方的非负性，得出20x +=，30y −=，解出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入代数式()y x −，计算即可得出结果；（3）首先根据配方法把代数式2254625x xy y x −+++变形为()()222316x y x −+++，再根据偶次方的非负性，得出()()22231616x y x −+++≥，进而得出当20x y −=，30x +=时，2254625x xy y x −+++取得最小值，再进行计算即可得出结果．【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，249x x −+24449x x =−+−+()225x =−+；第二种形式：选取二次项和常数项配方，249x x −+26964x x x x =++−−()2310x x=+−；或249x x −+ 26964x x x x =−++−()232x x =−+；第三种形式：选取一次项和常数项配方，249x x −+222444999x x x x =−+−+2225339x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭；（2）解：2246130x y x y ++−+=，配方，得：22446949130x x y y +++−+−−+=， 即()()22230x y ++−=， ∵()220x +≥，()230y −≥，∴20x +=，30y −=，解得：2x =−，3y =，∴()()()326y x −=−⨯−=；（3）解：2254625x xy y x −+++222446916x xy y x x =−+++++()()222316x y x =−+++，∵()()22230x y x −++≥，∴()()22231616x y x −+++≥， 当20x y −=，30x +=时，2254625x xy y x −+++取得最小值，即当3x =−，y =−6时，2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为16． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．。
2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)
21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。
中考数学专题练习直接开平方法解一元二次方程(含解析)
2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1B.1C. -1D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。
3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。