《运筹学》-期末考试-试卷A-答案

《运筹学》试题样卷（一） 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X） 1. 无孤立点的图一定是连通图。 2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0j对应的变量都可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 10. 任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨

二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：

大豆 玉米 麦子 秋冬季需人日数 春夏季需人日数 年净收入（元/公顷） 20 50 3000 35 75 4100 10 40 4600

试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54,xx为松弛变量，问题的约束为  形式（共8分）

1x 2x 3x 4x 5x

3x 5/2 0 1/2 1 1/2 ０

1x 5/2 1 －1/2 0 －1/6 1/3

jjzc 0 －４ 0 －４ －２

(1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分） (3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）

3212maxxxxZ

s. t. 3 x1 + x2 + x3  60 x 1- x 2 +2 x 3  10 x 1+ x 2- x 3  20 x 1, x 2 , x 3 0

五、求解下面运输问题。 （18分） 某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小?

销 地 产 地 1B 2B 3B 4B 产 量

1A 2A

3A

10 8 9 5 2 3 6 7 4 7 6 8 25

25 50

销 量 15 20 30 35 100 六、灵敏度分析（共8分） 线性规划max z = 10x1 + 6x2 + 4x3 s.t. x1 + x2 + x3  100 10x1 +4 x2 + 5 x3  600 2x1 +2 x2 + 6 x3  300 x1 , x2 , x3  0 的最优单纯形表如下： 6 x2 200/3 0 5/6 1 5/3 – 1/6 0 10 x1 100/3 1 1/6 0 -2/3 1/6 0 0 x6 100 0 4 0 -2 0 1 j 0 –8/3 0 -10/3 – 2/3 0

(1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分) (2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)

七、试建立一个动态规划模型。（共8分） 某工厂购进100台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品 p2 ，每台机器 每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？

八、求解对策问题。（共10分） 某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。 要求： （1）建立损益矩阵；（3分） （2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分） （3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）

九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（8分）

工序 代号 工序 时间 最早开 工时间 最早完 工时间 最晚开 工时间 最晚完 工时间 机动 时间

1-2 8 1-3 7

6

8 1 2 3 4 5 7 5 6 3 7 9 3

4

2 7 8 3 十、用标号法求V1 到 V6 的最短路。（6分） 运筹学样卷（一）答案 一、 判断题。共计10分，每小题1分 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 10 X √ X √ √ √ X √ X √

二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）

1-4 6 2-4 3 2-5 5 3-4 2 3-6 3 4-5 3 4-6 7 4-7 4 5-7 9 6-7 8

3 V4 V5 V3 V1 V2 V6 4 6 5 6 6 4

3 8 4 解：用321,,xxx分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；54,xx分别表示奶牛和鸡的饲养数；76,xx分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有 7654321252020900460041003000maxxxxxxxxZ







)7,,2,1(0)(1500)(200)(40003.0504017550)(35006.0100103520)(150003400)(1005.154754321654321544321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj鸡舍限制牛栏限制劳动力限制劳动力限制资金限制土地限制

三、对偶问题。共计8分 解：（１）原线性规划问题：3211026maxxxxz







0,103522132122xxxxxxx

；……4分 （２）原问题的对偶规划问题为：

21105minyyw







0,1022632121212yyyyyyy

； ……3分 （３）对偶规划问题的最优解为：)2,4(YT 。……1分

四、单纯形表求解线性规划。共计16分 解：引入松弛变量x4、 x5、 x6，标准化得， 3212maxxxxZ

s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 = 60 x 1- x 2 +2 x 3 + x5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x6 = 0 x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6，≥0……………3分 建初始单纯形表，进行迭代运算： ……………………… …9分

Xb b’ 2 -1 1 0 0 0 θ CB x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x4 60 3 1 1 1 0 0 20 0 x5 10 [1] -1 2 0 1 0 10* 0 x6 20 1 1 -1 0 0 1 20 1 0 2* -1 1 0 0 0 0 x4 30 0 4 -5 1 -3 0 7.5 2 x1 10 1 -1 2 0 1 0 --- 0 x6 10 0 [2] -3 0 -1 1 5* 2 20 0 1* -3 0 -2 0 0 x4 10 0 0 1 1 -1 -2 2 x1 15 1 0 0.5 0 0.5 0.5 -1 x2 5 0 1 -1.5 0 -0.5 0.5 3 25 0 0 -1.5 0 -1.5 -0.5 由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T …2分 最优值为： z*=25。………2分

五、求解运输问题。共计18分 解： （1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分） 设xij为由Ai运往Bj的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）, 列表如下：

销 地 产 地 1B 2B 3B 4B

产 量

1 2 3 15 20 30 25 5 5 25 25 50 销 量 15 20 30 35 100 ……………3分

所以，基本的初始可行解为：x14 =25； x22=20 ； x24 =5 ；

X31 =15； x33 =30； x34=5

其余的xij=0。 …………3分 （2）求最优调运方案： 1会求检验数，检验解的最优性：11=2；12=2；13=3； 21=1；23=5；32= - 1…………3分 2会求调整量进行调整：=5 …………2分