§2 交换律、单位元、零因子、整环 - 惠州学院
近世代数高代选讲大纲
沈阳师范大学教学日历数学与应用数学专业课程名称：近世代数《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、总则1.本课程的目的和要求：近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。
其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。
2.本课程的主要内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。
要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。
能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。
3.教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点：商群、商环。
4.本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。
二、课程说明1．课程基本情况（中文）近世代数（英文）Abstract Algebra专业必修课2．适用专业：数学与应用数学适用对象：本科3．首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。
二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。
4.考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
三、教学安排《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。
学时分配四、教学环节该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
近世代数学习教材PPT课件
§8.2 代数系统常见的一些性质
（3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b） c＝a （b c） 2）交换律：a b＝b a 3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（a c） 4）单位元：a 1＝a 5）逆元：a a－1＝1 6）零元：a 0＝0
7）生成元
逆元
域
特殊子环 （两个二元运算：,
单位元，无零因子 整环 理想 商环
)
特殊环
两个运算的结合律、交换律、吸收律
格 两个运算的分配律 分配格 布尔代数 两个运算的单位元、逆元 两个运算有单位元 有界格 两个运算有逆元 有补格
第九章 群论
§9.1 一些群的定义
（7）半群——代数系统满足交换律
§9.2 一些群的理论与半群性质：
半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 （19）关于群的基本理论 群方程可解性：a x = b（或x a = b）对x存在唯一解； 群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c； 任一群必与变换群同构； 与一个群同构或满同态的代数系统必为群； 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；
第三篇 近世代数
代数系统是建立在集合论基础上以代 数运算为研究对象的学科。本篇共三章， 第五章代数系统基础介绍代数系统的一般 原理与性质， 第六章群论，主要介绍具有 代表性的代数系统－群，最后第七章其它 代数系统，介绍除群外常见的一些代数系 统，如环、域、格与布尔代数等，这三章 相互配合构成了代数系统的完整的整体。
§8.3 同构与同态
（4）同构：（X， ）与（Y，）存在一一对应函
数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x 2）＝g（x1）
《近世代数(I)》教学大纲
安徽师范大学近世代数精品课程内容简介教学大纲教学队伍讲义教案电子课件习题试题教学录像历史资料网文精选分支学科教学资源返回首页《近世代数（I）》教学大纲课程性质：专业基础课先修课程：高等代数总学时：51 学时学分： 3理论学时：51 学时实验或讨论学时：无开课学院：数学计算机科学学院适用专业：数学与应用数学大纲执笔人：吴俊大纲编写时间：2006年8月教研室主任审核：教学院长审定：一、说明1. 课程的性质、地位和任务近世代数（又名抽象代数）是现代数学的重要基础，也是高等代数的一门后续课程。
近世代数不仅在数学中占有极其重要的地位，而且具有丰富的实际应用背景，在相关学科中有着广泛的应用，对其他学科产生了越来越大的影响，如计算机科学、信息科学、近代论物理与近代化学等。
理解和掌握近世代数的基本内容、方法和理论，对于学生加深理解数学的基本思想和方法，提高抽象思维能力，培养数学修养都有重要意义。
近世代数的基本概念、理论和方法，是基础数学和应用数学的重要基础，是每一个数学工作者所必须的基本数学素养之一。
2. 课程教学的基本要求近世代数的基本内容包括群、环、域等代数系统的基本结构，要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。
能够计算群的元素的阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。
通过本课程的学习，可以为其它近代数学知识提供必须的代数学基础，进一步提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、运用代数方法解决实际问题的能力。
3. 本课程的重点与难点重点是群、环、域的概念与性质。
由于本课程是理论性较强的学科，且教学时数所限，学生接受与掌握群、环、域的概念较为困难。
二、课堂教学时数及课后作业题型分配（含数量）章目教学内容教学时数教学方式或手段课后作业思考题练习题第一章基本概念 6 讲授√第二章群论18 讲授√√第三章环与域15 讲授√√第四章整环里的因子分解12 讲授√√合计51三、正文•基本概念【教学目的】•使学生掌握集合的基本概念；•使学生掌握代数运算的概念；•使学生掌握映射、单射、满射、一一映射以及变换的概念；•使学生掌握同态、同构、自同构的概念；•使学生掌握等价关系与分类的概念与思想。
3.2整环,除环,域
a bi q ae bi cj dk c di c di a bi
由于q的行列式
q a b c d 0,
2 2 2 2
故q有逆
q
1
1 q
显然q-1 ∈ H*,故H*对乘法构成群，即H为除环。最后 指出H不是域。事实上，只要指出H中至少有两个元 素不可换即可。通过计算不难发现
0 i 0 i ij , ji i 0 i 0
关于一般的有限环还有以下定理
Th3.一个非零的有限的无零因子环是除环。 证明：设环R≠{0}， |R|=n <∞,则R*≠ （R*, · ）是有限半群，由于R 中无零因子，故在R 中消去律成立，（R*, ·）中消去律亦成立（因 而在R*中有单位元e=1, ae=a e=1; 且逆元xa=e x=a-1）,
a-1(ab)= (a-1a)b = e b= b，
从而b=0.同样，若ba=0，则可推得b=0，从而a不是零 因子。 ② 因为除环中每一个a≠0可逆，由①知除环没有 零因子。
③ 因为域是除环，故域没有零因子；又域是有 单位元e≠0的可换环，故域是整环。
例3．剩余类环（Z/（n），+，），当n不是素数时， n n1 n2 , n1 1, n2 1, Z/（n）中有零因子，因为 则有 n1 n2 0, 且n1 0, n2 0, n2 是零因子。但是当n是素数时，Z/（n） 所以 n1， 是域。设n=p是素数,则 Z /( p) {0}, k Z * p,
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
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两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
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2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2024/7/18
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2024/7/18
例7
Z 的可逆元仅有1, -1;
2Z 由于没有单位元,所以它没有可逆元.
例 8 A Mn( K ) 可逆当且仅当 | A | 0. 例 9 试求高斯整环 Z[i] 的可逆元. 解 可逆元只有 1, 1, i, i
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定义9
设 R 是有单位元的环,且 1R 0 .如果 R 中每个非零元都可逆,则称 R 为除环.
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
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三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
同样,有理数集,实数集,复数集关 于数的加法与乘法构成有单位元 的交换环
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定理1
设 R 是一个环,如果 R 有单位元,则
单位元是唯一的.
R 的单位元常记作 1R .
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二、环的性质 性质1. 规定减法:
a b a (b),a, b R
，则有移项法则:
有理整数环
第二学期第十四次课第八章 有理整数环§1 有理整数环的基本概念8.1.1 有理整数环的基本概念全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：1） 加法满足结合律；2） 加法满足加换律；3） 有一个数0，是对任意整数a ，0a a +=；4） 对任意整数a ，存在整数b ，使0b a +=；5） 乘法满足结合律；6） 有一个数1，是对任意整数a ，1a a ∙=7） 加法与乘法满足分配律：()a b c ab ac +=+；8） 乘法满足加换律；9） 无零因子：如果0,0a b ≠≠，则0ab ≠。
我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用Z 代表它。
“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。
现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。
设R 是一个非空集合。
如果在R 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对R 中任意两元素,a b ，都按某法则f 对应于R 内的一个唯一确定的元素，记作a b +，且满足如下运算法则：（i ） 结合律：()()a b c a b c ++=++；（ii ） R 中有一元素0，是对一切0a R a a ∈+=有；（iii ） 对R 中任一元素a ，有0b R a b ∈+=使；（iv ） 交换律：a b b a +=+。
又设R 内另有一种运算称作乘法，即对R 中任意两个元素,a b ，都按某个法则g 对应于R 内一个唯一确定的元素，记作ab ，且满足如下运算法则：（v ） 结合律：()()a bc ab c =；（vi ） 加法与乘法有两方面的分配律：(),(),a b c ab ac b c a ba ca +=++=+ 则R 成为一个环。
如果一个环R 的乘法也满足交换律，则R 称为交换环；如果环R 内存在一个元素e ，使()ae a ea a R ==∀∈，则e 称为R 的单位元素，R 称为有幺元的环；如果环R 内存在两个非零元,a b ，使0ab =，则a （b ）称为左（右）零因子，这时R 称为有零因子环；如果环R 至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称R 为一个整环； 如果R 是一个整环，且对R 内任一非零元素都有逆元，则R 称为一个域。
近世代数
名词解释代数系统：带有运算的集合代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算等价关系：若关系满足RST，则称为等价关系同态满射：保运算的满射就叫做同态满射凯莱定理：1.任何一个群都同一个变换群同构2.任何一个有限群都有一个置换群同构除环：若环具有三要素：1.至少有一个非零元2.有单位元3.非零元都有逆元循环群：群中所有的元都是某一个固定元的乘方形式交换环：环的乘法满足交换律单位元：有逆元的元整环：无零因子的有1交换环相伴元：若b=εa，其中ε为单位，则b就叫做a的相伴元素元：整环中既非零元也非单位，而且只有平凡因子的元最大理想：一个环R的一个不等于R的理想u叫做一个最大理想，除了R与u自己以外，没有包含u的理想主理想：a为环R的元由所有形如（x1ay1+…+x m ay m）+sa+at+na (x i,y i,s,t∈R,n是整数)陪集：一个不变子群N 的一个左陪集叫做N的一个陪集特征：一个无零因子环R的非零元的相同的（对加法来说的）阶，叫做环R的特征证明：有限整环必定是域设A是一个有限整环，a，b，c∈A，且c≠0.若a≠b则a•c≠b•c，A•c=A对于乘法单位元1，由A•c=A，必有d∈A使d•c=1故d是c的乘法逆元因此，有限整环A是一个域。
证明两个理想的交集还是一个理想证：设A、B是环R的理想∵A、B为加群∴0∈A ,0∈B ,0∈A∩B ∴A∩B≠∅∀r∈R，a、b∈A，a、b∈B∵A、B是理想∴a-b∈A，a-b∈Bar，ra∈A，ar，ra∈B∴a-b∈A∩B，ar，ra∈A∩B所以A∩B仍是该环的理想。
近世代数基础第三章环与域
近世代数基础第三章环与域第三章环与域本章主要讨论两种代数系统，在⾼代中看到了，全体整数作⼀个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作⼀个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。
§3.1 加群、环的意义●课时安排约1课时●教学内容本书P80-84定义：⼀个交换群叫做⼀个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且⽤符号+来表⽰。
在群中有零元、负元定义：⼀个集R叫做⼀个环，假如：1、R是⼀个加群；‘2、R对乘法运算封闭3、适合结合律4、两个分配律成⽴●教学重点加群和环的定义●教学难点环的运算性质的证明●教学要求了解加群和环的关系●布置作业P84 2●精选习题P84 1§3.2 交换律、单位元、零因⼦、整环●课时安排约1课时●教学内容本书P84-P89定义：⼀个环R叫做⼀个交环环，假如ab=ba不管a1b是R的哪两个元定义：⼀个环R的⼀个元e叫做⼀个单位元。
假如对R的任意元a来说，都有：ea = ae = a例1：书上P85定义：⼀个有单位元环的⼀个元b叫做a的⼀个逆元。
假如：ba=ab=1例2：P86定义：若是在⼀个环⾥a≠0，b≠0，但ab=0则a是环的⼀个左零因⼦，b是⼀个右零因⼦。
例3：P88定理：在⼀个没有零因⼦的环⾥两个消去律都成⽴。
a≠0,ab=ac=>b=c a≠0,ba=ca=>b=c反之也成⽴推论：在⼀个环⾥如果有⼀个消去律成⽴，那么另⼀个消去律也成⽴。
定义：⼀个环R叫做⼀个整环，假如：1、乘法适合交换律：ab=ba；2、R有单位元1：|a=a|=a3、R没有零因⼦：ab=0=>a=0或b=0●教学重点交换环、整环、单位元、零因⼦●教学难点剩余类环和定理的证明●教学要求掌握以上内容●布置作业P89 1，2，5●精选习题P89 3，4§3.3 除环、域●课时安排约1课时●教学内容P89-93例1：P90例2：P90定义：⼀个环R叫做⼀个除环，假如：1、R⾄少包含⼀个不等于零的元；2、R有⼀个单位元；3、R的每⼀个不等于零的元有⼀个逆元。
近世代数主要知识点
除环、域
除环 1， R至少包含一个而不等于零的元 2，R有单位 元 3，R的每一个不等于零的元有一个逆元 域 一个交换除环叫做一个域 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说 的阶都一样的 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
变换群
定理1 假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒等 变换ε ，若是对乘法（ζ ：a→aζ，λ：a→a٨ 那么a→（a)ד٨）来说 做成一个群，那么G只包含A的一一变换。 变换群 一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个 群叫做A的一个变换群 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c · · · · · · · 我们在G里任意取出一个 元x来，那么גx：g→gx=g٨x是集合的一个变换。因为给了G的任意 元g，我们能够得到一个唯一的G的元g٨x。这样由G的每个元x，可 以得到G的一个变换גx。我们把所有这样的来的G的变换放在一起， 做成一个集合G’={ a’，b‘，c’ · · · · · · · }那么x→x’是G到G’的满射，但消 去律x≠y=>gx≠gy告诉我们若x≠y，那么x’ ≠y’，所以x→x’是一一 映射。在进一步看，是同构映射 所以任何群和一个变换群同构
同态、不变子群
一个群G同他的每一个商群G/N同态 同态映射的核 ：假定 &是一个群G到另一个群G’的一个同 态映射。G’的单位元e’在&之下的所有逆象所做成的G的 子集就叫做同态映射的核 。 定理 假定 G 与G’是两个群，并且G与G’同态，那么这个 同态映射的核N是G的一个不变子群，且G/N≌G’