圆锥曲线的范围、最值问题

圆锥曲线的最值、范围问题与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意．一、利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知(40),(2)A B ，，2是椭圆221259x y +=内的两个点,M 是椭圆上的动点,求MA MB +的最大值和最小值．【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A M B 、、三点是否共线,总有MA MB AB +>,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化． 【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标为（）A ．8179-B ．89C ．817D ．17【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P 到点Q 的距离与点P 到准线距离之和的最小值就是点P 到点Q 的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值.【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ,抛物线的焦点为F ,圆心为C ,则()()min min 171PQ d PQ PF CF r +=+=-=-,故选A.二、单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设P 为椭圆上一点,若过点)0,2(M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ,且满足OP t OT OS =+(O 为坐标原点),求实数t 的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为222)(a y c x =+-,圆心到直线01=++y x 的距离=d a c =+21；根据椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,c b a 22==代入*式得1b c ==,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在,设直线L 方程为)2(-=x k y ,设()00,y x p ,将直线方程代入椭圆方程得：()028*******=-+-+k x k x k ,根据()()081628214642224>+-=-+-=∆k kkk 得到212<k ；设()11,y x S ,()22,y x T 应用韦达定理222122212128,218kk x x k k x x +-=+=+.讨论当k=0,0≠t 的情况,确定t 的不等式. 【解析】（1）由题意：以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-,∴圆心到直线01=++y x 的距离=d a c =+21*∵椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,c b a 22==代入*式得1b c ==∴22==b a故所求椭圆方程为.1222=+y x （Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在,设直线L 方程为)2(-=x k y ,设()00,y x p将直线方程代入椭圆方程得：()0288212222=-+-+k x k xk∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kk k∴212<k设()11,y x S ,()22,y x T 则222122212128,218kk x x k k x x +-=+=+………………8分 当k=0时,直线l 的方程为y=0,此时t=0,OP t OT OS =+成立,故,t=0符合题意. 当0≠t时得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+-=-+=+=22210221210218214)4(k k x x tx k k x x k y y ty∴,2181220k k t x +∙=202141kkt y +-∙= 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224=+++k t k k t k 整理得：2222116k k t +=由212<k知402<<t 所以22t ∈-（，）【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于a b c 、、的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P 在椭圆上和向量式得()tf k =,进而求函数值域．【小试牛刀】【2017河南西平县高级中学12月考】已知中心在原点O ,焦点在x 轴上,离心率为32的椭圆过点2(2,)2． （1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ,Q 两点,满足直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,求OPQ ∆面积的取值范围．【答案】（1）2214x y +=；（2）(0,1)． 【解析】（1）由题意可设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>,则223,2211,2c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以方程为2214x y +=． （2）由题意可知,直线l 的斜率存在且不为0,故可设直线l 的方程为y kx m =+（0m ≠）,11(,)P x y ,22(,)Q x y ,由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=,则222226416(14)(1)k b k b b ∆=-+-2216(41)k m =-+0>,且122814kmx x k -+=+,21224(1)14m x x k -=+,故1212()()y y kx m kx m =++221212()k x x km x x m =+++．因直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以221212121212()y y k x x km x x m x x x x +++⋅=2k =, 即22228014k m m k -+=+,又0m ≠,所以214k =,即12k =±． 由于直线OP ,OQ 的斜率存在,且0∆>,得202m <<且21m ≠． 设d 为点O 到直线l 的距离,则22121||||||(2)22OPQ S d PQ x x m m m ∆1=⋅⋅=-⋅=-, 所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)．三、二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．【例2】若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任一点,则OP PF ⋅的最大值为 【分析】设点P x y （，）,利用平面向量数量积坐标表示,将OP PF ⋅用变量x y ，表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理．【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．【小试牛刀】抛物线x y 82=的焦点为F ,点),(y x 为该抛物线上的动点,又已知点)0,2(-A ,则||||PF PA 的取值范围是. 【答案】]2,1[【解析】由抛物线的定义可得2||+=x PF ,又x x y x PA 8)2()2(||222++=++=,448128)2(||||22+++=+++=∴x x xx x x PF PA , 当0=x 时,1||||=PF PA ；当0≠x 时,44814481||||2+++=+++=∴xx x x x PF PA ,4424=⋅≥+xx x x ,当且仅当x x 4=即2=x 时取等号,于是844≥++x x ,∴1448≤++x x ,∴]2,1(4481∈+++xx , 综上所述||||PF PA 的取值范围是]2,1[. 四、双参数最值问题该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．【例3】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221(1)x y a b a b+=＞≥的离心率32e =,且椭圆C 上一点N 到点Q 03（，）的距离最大值为4,过点3,0M （）的直线交椭圆C 于点.A B 、 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点,且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点）,当3AB ＜时,求实数t 的取值范围. 【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到a 与b 的关系,又因为椭圆上的N 点到点Q 的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为N 在椭圆上,所以22244x b y =-,代入表达式,利用配方法求最大值,从而求出21b =,所以24a =,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设,,A P B 点坐标,由题意设出直线AB 方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示OA OB tOP +=得出,x y ,由于点P 在椭圆上,得到一个表达式,再由||3AB <,得到一个表达式,2个表达式联立,得到t 的取值范围.【解析】（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -===∴224,a b = 则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b += 设(,),N x y 则 当1y =-时,NQ 有最大值为24124,b +=解得21,b =∴24a =,椭圆方程是2214x y += （Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整得2222(14)243640k x k x k +-+-=.由24222416(91)(14)0k k k k ∆=--+＞,得215k ＜.∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=则2122124()(14)k x x x t t k =+=+, 由点P 在椭圆上,得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++化简得22236(14)k t k =+① 又由21213,AB k x x =+-＜即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +,12x x 代入得2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜化简,得22(81)(1613)0,k k -+＞ 则221810,8k k -＞＞,∴21185k ＜＜②由①,得22223699,1414k t k k==-++ 联立②,解得234,t ＜＜∴23t --＜＜或3 2.t ＜＜【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点P 在椭圆上,和已知向量等式得变量,k t 的等量关系,和变量,k t 的不等关系联立求参数t 的取值范围．【小试牛刀】已知圆())0(2:222>=+-r r y x M ,若椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右顶点为圆M 的圆心,离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）若存在直线kx y l =:,使得直线l 与椭圆C 分别交于B A ,两点,与圆M 分别交于H G ,两点,点G 在线段AB 上,且BH AG =,求圆M 的半径r 的取值范围.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ,因为1,1,22,2==∴==b c a c a 所以椭圆的方程为12:22=+y x C . 显然,若点H 也在线段AB 上,则由对称性可知,直线kx y =就是y 轴,与已知矛盾,所以要使BH AG =,只要GH AB =,所以当0=k时,2=r .当0≠k时,=+<+++=)211(2)23111(2242kk r 3,又显然2)23111(2242>+++=k k r,所以32<<r .综上,圆M 的半径r 的取值范围是)3,2[.圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．【迁移运用】1．【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点()1,0A-和()1,0B ,动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动,椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ,则椭圆C 的离心率的最大值为（）A ．55B ．105C.255D ．2105 【答案】A 【解析】()1,0A-关于直线:3l y x =+的对称点为()3,2A '-,连接A B '交直线l 于点P ,则椭圆C 的长轴长的最小值为25A B '=,所以椭圆C 的离心率的最大值为1555c a ==,故选A. 2．【2016-2017学年河北定州市高二上学期期中】过双曲线22115y x -=的右支上一点P ,分别向圆1C ：22(+4)+4x y =和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线,切点分别为M ,N ,则22||||PM PN -的最小值为（）A ．10B ．13C ．16D ．19 【答案】B【解析】由题可知,)1|(|)4|(|||||222122---=-PC PC PN PM ,因此=--=-3||||||||222122PC PC PN PM 121212(||||)2(||||)32||3PC PC PC PC C C -=+-≥-13=.故选B ．3．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为1F ,2F .这两条曲线在第一象限的交点为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若1||10PF =,记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ,则12e e 的取值范围是（）A.1(,)9+∞B.1(,)5+∞C.1(,)3+∞ D.(0,)+∞【答案】C4．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知抛物线28y x =,点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点,记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ,则PQ d +的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】如图所示,由题意知,抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ,连接PF ,则d PF =．将圆C 化为22(1)(4)4x y ++-=,圆心为(1,4)C -,半径为2r =,则PQ d PQ PF +=+,于是由PQ PF FQ+≥（当且仅当F ,P,Q 三点共线时取得等号）．而FQ为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离,显然当F ,Q,C 三点共线时取得最小值,且为22(12)(40)23CF r ---+--=,故应选C ．5．【2016届重庆市巴蜀中学高三10月月考】已知12F F ,为椭圆C ：22198x y +=的左、右焦点,点E 是椭圆C 上的动点,12EF EF ⋅的最大值、最小值分别为（） A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,8 【答案】B6．【2016届重庆市南开中学高三12月月考】设点()()1122,,,A x y B x y 是椭圆2214x y +=上两点,若过点,A B 且斜率分别为1212,44x x y y 的两直线交于点P ,且直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-,()6,0E ,则PE 的最小值为．【答案】226-【解析】由椭圆2214x y +=,设22A cos sin B cos sin ααββ（，），（，）,对2214x y +=两边对x 取导数,可得202xyy +'=即有切线的斜率为4xy -, 由题意可得AP,BP 均为椭圆的切线,A,B 为切点,则直线AP 的方程为111142xx xcos yy ysin αα+=∴+=，，同理可得直线BP 的方程为12xcos ysin ββ+=,求得交点P 的坐标为()()()2sin sin cos cos x y sin sin βαβαβααβ--==--，，()()()2222222()()42cos sin sin cos cos si x y n sin βαβαβαβααβ-∴+==--+---, 22222,1482x x y y ∴+=∴+=,设222P cos sin θθ（，）,1cos θ∴=时,226min PE =-．7．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知BD AC ，为圆O ：822=+y x 的两条相互垂直的弦,垂足为)2,1(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为. 【答案】13【解析】设圆心O 到,AC BD 的距离分别为12,d d ,则222123d d OM +==,则2128AC d =-,2228BD d =-,所以四边形的面积()()()22221212128816132S AC BD d d dd ==--≤-+=,故填8．【2017学年河北冀州中学上学期月考四】已知双曲线C ：2213y x -=的右焦点为F ,P 是双曲线C 的左支上一点,(0,2)M ,则△PFM 周长最小值为． 【答案】242+ 【解析】()()PFM FMM F∆=∴,22,2,0,0,2 周长最小,即PF PM +最小,设左焦点为1F ,由双曲线的定义可得12PF PM PF PM ++=+,而1PF PM +的最小值为221=MF ,12PF PM ++∴的最小值为242+,故填242+.9．【2017届江西吉安一中高三周考】已知双曲线22:x 13y C -=的右焦点为,F P 是双曲线C 的左支上一点,()0,2M,则PFM ∆周长最小值为____________．【答案】242+ 【解析】1,3,2a b c ===,右焦点为()2,0F ,设左焦点为()12,0F -,三角形的周长为12PF PM MP a PF PM MP ++=+++当1,,P F M 三点共线时,周长取得最小值为242+．10．【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知椭圆2222:1x y C a b +=,()0a b >>的离心率63,且过点61,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅰ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ,B 两点,求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）最大值为32,此时直线方程313y x =±±.【解析】（1）由题意可得：22121363ab c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）①当k 不存在时,33,22x y =±∴=±, ②当k 不存在时,设直线为y kx m =+,()11,A x y ,()22,B x y ,2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,()222136330k x km m +++-= 当且仅当2219kk =,即33k =±时等号成立 113322222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯⨯=, OAB ∴∆面积的最大值为32,此时直线方程313y x =±±.11．【2017届湖南长沙一中高三月考五】如图,椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点,|AF|的最大值是M ,|BF |的最小值是m ,且满足234M m a =. （1）求椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ,线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于D ,E 两点,O 是坐标原点,记GFD ∆的面积为1S ,OED ∆的面积为2S ,求1222122S S S S +的取值范围. 【答案】（1）12；（2）9(0,)41． 【解析】(1)令(c,0)(c 0)F ->,则M a c =+,m a c =-.由234Mm a =,得23(a c)(a c)4a +-=,即22234a c a -=,即224a c =,214e ∴=,即12e =, 所以椭圆的离心率为12.（2）由线段AB 的垂直平分线分别与轴x 、y 轴交与点D 、E ,知AB 的斜率存在且不为0.令AB 的方程为x ty c =-.联立2222143x ty c x y c c=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得222(3t 4)y 690cty c +--=. 123634ct y y t ∴+=+,121228(y y )2c 34c x x t t -+=+-=+,2243(,)3434c ctG t t -∴++. 由DG AB ⊥,得2231341434D ct t c t x t -+=-++,解之得234D c x t -=+. 由Rt DGF ∆∆∽Rt DOE ,得22222221222243()()343434990()34c c ct S GD t t t t c S OD t -+++++===+>-+. 令12S p S =,则9p >,于是122212221S S S S p p =++. 而1p p +上(9+)∞，递增,1182999p p ∴+>+=.于是12221222982419S S S S <<+.又12221220S S S S >+,12221229(0,)41S S S S ∴∈+,1222122S S S S ∴+的取值范围是9(0,)41. 12．【2017届贵州遵义南白中学高三上学期联考四】如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点为(0,2)A ,且离心率等于32,过点(0,2)M 的直线l 与椭圆相交于不同两点P ,Q ,点N 在线段PQ 上． （1）求椭圆的标准方程；（2）设||||||||PM MQ PN NQ λ==,若直线l 与y 轴不重合,试求λ的取值范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）2λ>． 【解析】（1）设椭圆的标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>,由于椭圆的一个顶点是(0,2)A ,故22b =,根据离心率是32得22232c a b a a -==, 解得28a =,所以椭圆的标准方程为22182x y +=． 13．【2017届福建连城县二中高三上学期期中】设直线l ：(1)y k x =+与椭圆2223(0)x y a a +=>相交于A ,B两个不同的点,与x 轴相交于点C ,记O 为坐标原点．（1）证明：222313k a k >+；（2）若2AC CB =,OAB ∆的面积取得最大值时椭圆方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）2235xy +=.【解析】（1）依题意,直线l 显然不平行于坐标轴,故(1)y k x =+可化为11x y k=-, 将11x y k =-代入2223x y a +=,整理得22212(3)10y y a k k+-+-=,① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,得22221()4(3)(1)0a k k∆=--+->,化简整理即得222313k a k>+．（*）将33k =,233y =-及33k =-,233y =这两组值分别代入①, 均可解出25a=,经验证,25a =,33k=±满足（*）式． 所以,OAB ∆的面积取得最大值时椭圆方程为2235xy +=．14．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -,左右顶点分别为A ,B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ,D 两点． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ,求12||S S -的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3．【解析】（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y +=（Ⅱ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---,,ABD ABC ∆∆面积相等,12||0S S -= 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠, 设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>,方程有根,且221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++因为0k ≠,上式1212123332124||24||||||k k k k =≤==+,（32k =±时等号成立）所以12||S S -的最大值为3另解：（Ⅱ）设直线l 的方程为：1-=my x ()R m ∈,则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x my x 得,()0964322=--+my y m ． 设()11y ,x C,()22y ,x D ,则436221+=+m m y y ,0439221<+-=⋅m y y ． 所以,2121y AB S ⋅=,1221y AB S ⋅=,当0=m 时,=-21S S 343212431222=⨯≤+=mmm m ()R m ∈． 由432=m ,得332±=m ． 当0=m 时,3021<=-S S从而,当332±=m 时,21S S -取得最大值3． 15.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ,其离心率为22,设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知直线l 与圆3222=+y x 相切,求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）； （Ⅲ）以线段OA OB ，为邻边作平行四边形OAPB ,若点Q 在椭圆C 上,且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点）,求实数λ的取值范围．【解析】（Ⅰ）22222c e a b c a ===+离心率，,222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为,将点2(1)2M ，代入,得21b =,22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）因为直线l 与圆2223x y +=相切,所以2||631m k=+,即222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+,所以1212OA OB x x y y ⋅=+=222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0,故OA OB ⊥, 点Q 在椭圆上,∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++, 化简,得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠,∴有2224(12)m k λ=+．①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-,∴由0∆>,得2212k m +>．②将①、②两式,得2224m m λ>0m ≠,24λ∴<,则22λ-<<且0λ≠．综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况,得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．。