全国Ⅰ卷理科数学2011-2019年高考分析及2020年高考预测

2011-2019年新课标全国Ⅰ卷理科数学高考分析及2020年高考预测话说天下大势，合久必分，分久必合，中国高考也是如此．2000年，教育部决定实施分省命题．十多年后，由分到合．2019年，除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行全科自主命题外，大陆其他省区全部使用全国卷．研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近9年全国高考理科数学Ⅰ卷(乙卷)和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近9年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共17类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．本文档是第五次修订，这次修订在第四次修订的基础上为了适应不同基础的考生使用，特别新增了选择题和填空题的解法，解法大都体现“小题小做”．已经删去算法、框图、线性规划、极坐标、不等式选修。

为了帮助同学们研究解答题的压轴题，在文档末，附有函数导数和解析几何这两个重要模块的经典题的解题研究．12一、集合与简易逻辑1.集合：9年7考，都是交并补子运算为主，多与解不等式（一般是解一元二次不等式）等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大． N = {|N x =已知集合A =1x x -<<033x x <⇒解析：{|B x =B =R {|B x x =B =∅3B =）3(,3)2 ，则A B = A｝，则2.简易逻辑：9年 1考，只有2015年考了一个全称与特称命题的转化．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．二、复数：9年9考，每年1题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．45221220,0.(,z z a bi a bz z z z R i i z a i a b -==+-∈=-=-∈以上1i y =+，其中,x y 是实数，则）2 （C三、平面向量：9年9考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大．我认为这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明．67a 与b 的夹角为)a b b -⊥，2)cos a b b a b b θ-⋅=-=0，∴1cos =2θ，∴在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD A.3144AB AC - B. 1344AB AC - 14AB AC + D.34AB AC + 131(),444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-解析：选A ）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= _______2|+2|=+2=12=23a b a b 解析：（） 设向量a =(m ，1)，b =(1，2)__=0a b 解析：应当立即由已知看出所在平面内一点，3BC CD =，则1433AD AB AC =-+ B ）1433AD AB AC =- 4133AD AB AC =+ （4133AD AB AC =-解析：最好的解法不要作图，直接利用向量减法法则8 33(C 3=+4BC CD AC AB AD A AD AB AC =⇒-=-⇒-）4 2014年 15. 已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .最好的解法：记忆结论：O 是BC 的中点，即BC 是圆O 的直径，直径所对的圆周角为90°．0903 2013年 13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.(1)1022t b c ta b t b b t t =+-=+-=⇒=解析： 22 2012年 14、已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =210||a b b -=解析：把两边平方后解关于的一元二次方程32 1 2011年 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,PP （C ）23,P P （D ）24,P P 2=2=22cos ,cos [0,]a b a b y θθθπ±±±=∈解析：2结合余弦函数，单调性A四、三角函数：9年15考，每年至少1题，当考3个小题时，当年就不再考三角大题了．近年主要考解答题，所以小题一般一年一个了。

题目难度一般属于中等难度，近几年难度有加大的趋势,如2016年和2018年都是作为压轴题出现,且开始与导数相联系.主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”.2013年15题对化简要求较高，2018年的难度回归到2013年,难度较大,都可以使用导数求解．2016年的图象考法也是比较难的，所以当了压轴题．2019的考法显然是回归到了多年前的老考法。

9101112 2016年(12)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5()1836ππ，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）54422=111111332==222444112=999112==2224449T T ππππωπππωππ==解析：检验法：因为-到是，若，则由，作出个周期的图象，验知不合题意；若，则由，作出个周期的图象，验知合题意。

B11 2015年（2）sin 20cos10cos160sin10-=（A ）32-（B ）32 （C ）12- （D ）121=sin 20cos10+cos 20sin10sin 30=2=解析：原式D102015年 （8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ） 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈D12（D ）13(2,2),44k k k Z-+∈2D最好的解法：只需看周期是，所以选92015年 （14）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 .EAB A=B=75BFC=75AB BF BE BF BE∆解析：先作，使∠∠，再作∠，则的长应该大于，小于，再用正弦定理求，(62-，62)+82014年 6. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为3=424=0x x ππππ解析：中值法，只需验证，，，，这两个端点就不需要验证了，因为都一样B72014年8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=B13cos 1cos cos cos sin sin()sin()2,),(0,)2222=2=22ββααβαβπαβαππππαβαππααβ=+=+⇒--=--∈-∈-⇒-（-（化为同一个单调区间）,S=此时直接记忆结论：当三角形为等边三角形时面积最大，再记忆结论1415,ACsin )27sin(c C A ++-五、立体几何:9年16考，但这里只留下7个了，因为其它为三视图已经删去了。

主要计算球的体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型？有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．但是异面直线所成的角是否可以考（对2016年预测）。

球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点．（果然2016年11题考了线线角，虽然没有提到异面直线，但是在发展空间想象能力和解题思路上与异面直线完全相同）,2018年的第7题的考法体现了立体化为平面的思想方法,2018年12题的考法很好地考查了空间想象能力,也是作为压轴题出现.可以看出,全国卷不拘泥于在哪个知识点设计小题的压轴题,近年三角、立体几何、数列都曾作为压轴题出现.16解析：设PA x =，则2222222-42cos =22PA PC AC x x x PAC PA PC x x x++--∠==⋅⋅⋅， ∴2222cos CE PE PC PE PC PAC =+-⋅⋅∠22222222424x x x x x x x -=+-⋅⋅⋅=+， ∵90CEF ∠=︒，1,322xEF PB CF ===， ∴222CE EF CF +=,即222344x x ++=，解得2x =，∴2PA PB PC ===，又2AB BC AC ===，易知,,PA PB PC 两两相互垂直，故三棱锥P ABC -的外接球的半径为62， ∴三棱锥P ABC -的外接球的体积为346632ππ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D. 6 2018年12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.433 B. 332 C.423 D. 23A172OA OB OC ABC ABC 23233S=(62424∆⨯⨯=解析：先考虑选三条从同一个顶点出发的棱，，，不难发现平面满足与所有棱成等角，但ABC 不是面积最大的，进一步考虑平移平面，得到符合条件的截面是一个正六边形，其边长为，面积为),选A5 2017年(16)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______． 解析：如图，易知AEC ABF BCD ∆∆∆≌≌ 连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥设OG a =，则5GD a =-，易知ABC ∆的高为3a ，边长为23a ，故21323332ABC S a a a ∆=⨯⨯=设折叠后,,D E F 交于点P 则，PO 即为三棱锥的高，()222252510PO GD OG a a a =-=--=-∴三棱锥的体积22153325101552032V a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-=-<< ⎪⎝⎭设()5205t a t =-<<，则252t a -=()()225351515102544t V t t t t -∴=⨯=-+ ()()'22515154V t t =-- 41518111111*********ABCD CB D ABCD A B C D B D ABA B DCC D D C 3CB D sin 60=A.2.n ααα∆解析:在平面中，用平面代替，平面用平面代替，则m 可以用代替，同理，用代替，则可用代替，显然为等边三角形，，所以答案为本题用了平行（线面夹角）的不变性，无须作出易知当1t =时体积有最大值，3max 415V cm =4 2016年(11)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A)32 (B )22 (C)33 (D)13A3 2015年（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛B22012年（11）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，ABC∆是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC=；则此棱锥的体积为（）()A26()B36()C23()D22解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O ABC-是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312O ABCV-=⨯⨯=，226S ABC O ABCV V--==．A12011年（13）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23AB BC==,则棱锥O ABCD-的体积为 .83六、推理证明：9年1考，实在是个冷点，而且这1考也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号，虽然这个信号在2015年并没有连续出现．2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市是最喜欢考类比推理的，上海市2000年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题．这类题目不会考察“理论概念”问题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不大．适当出一道“类比推理”的小题是值得期待的．2017年，在全国2卷数学理科出了推理题， 2019年，在全国2卷数学文科出了推理题，也列在下表中。