(完整版)物理中求极值的常用方法

物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,则当x=-a b 2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,则当x=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用Δ＝b 2-4ac ≥0。

(式中含y) 若y ≥A ，则y min ＝A 。

若y ≤A ，则y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x ＝A 时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。

（2）当x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值 均值定理可表述为≥+2ba ab ，式中a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

当a ＝b 时， (a+b)min ＝2ab 。

当a ＝b 时， (a+b) max ＝2)(2b a +。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为“y=Asin ααcos ”的形式，则y=21Asin2α，在α=45º时，y 有极值2A 。

对于复杂的三角函数，例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin θ和cos θ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。

这个工作叫做“化一”。

首先应作辅助角如所示。

考虑asin θ+bcos θ＝ (θθcos sin 2222ba b ba a +++)＝22b a + (cos фsin θ+sin фcos θ)＝22b a +sin(θ+ф) 其最大值为22b a +。

6、用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。

7、用分析法求极值分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。

下面针对上述7种方法做举例说明。

例1：如图2所示的电路中。

电源的电动势ε＝12伏，内阻r ＝0.5欧，外电阻R 1＝2欧，R 2＝3欧，滑动变阻器R 3＝5欧。

求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?分析：设aP 间电阻为x ，外电路总电阻为R. 则：R 1R 3ap bVr 、εR 2图2φa b 图110)8)(2(532)53)(2())((321321X X X X R R R X R R X R R -+=++-++=++-++=先求出外电阻的最大值R max 再求出伏特计示数的最大值U max 。

本题的关键是求R max ，下面用四种方法求解R max 。

[方法一] 用顶点坐标法求解抛物线方程可表示为y ＝ax 2+bx+c 。

考虑R ＝10)8)(2(x x -+=101662++-x x ，设y ＝-x 2+6x+16，当x ＝ab2-＝ —)1(26-＝3时，R max (3)＝101636)3(2+⨯+- ＝2.5Ω。

[方法二] 用配方法求解考虑R ＝10)8)(2(x x -+ ＝101662++-x x =1025)3(2+--x 。

即x ＝3Ω时，R max ＝5.21025=Ω。

[方法三] 用判别式法求解考虑R ＝101662++-x x ，则有-x 2+6x+16-10R ＝0，Δ＝b 2-4ac ＝36-4(-1)(16-10R)＞0，即：100-40R ≥0， R ≤2.5Ω，即R max ＝2.5Ω。

[方法四] 用均值定理法求解 考虑R ＝10)8)(2(x x -+，设a ＝2+x ；b ＝8-x 。

当a ＝b 时，即2+x ＝8-x ， 即x ＝3Ω时，R max (3)＝10)38)(32(-+ ＝2.5Ω。

也可以用上面公式(a+b)max ＝2)]8)(2[(2x x -+＝25，R max ＝10)(max b a +＝1025＝2.5Ω。

以上用四种方法求出R max ＝2.5Ω，下边求伏特计的最大读数。

I min ＝rR +m ax ε＝5.05.212+＝4(A)。

U max ＝ε- I min r ＝12-4⨯0.5＝10(V)。

即变阻器的滑动头P 滑到R 3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。

例2：如图3所示。

光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R ，在水平轨道上停着一个质量为M ＝0.99kg 的木块，一颗质量为m ＝0.01Kg 的子弹，以V 0=400m/s 的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R 多大时，平抛的水平位移是最大?且最大值为多少?[解析]子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V 1，则： mV 0＝(m+M)V 1， 所以：V 1=0V M m m +＝s m s m /4/40099.001.001.0=⨯+设在轨道最高点平抛时物块的速度为V 2，由于轨道光滑，故机械能守恒：2221)(21)(2)(21V M m gR M m V m M +++=+ 所以：V 2=)/(])(4)[(21M m gR m M V M m ++-+=R R Rg V 401610444221-=⨯-=-则平抛后的位移可以表示为：s =V 2t =V 2104)4016(4RR g R ⨯-=⨯图3＝4R R 4.02+-。

因为a=-1<0,所以水平位移S 应该存在最大值。

当R=)1(24.02-⨯-=-a b =0.2m 时， S max ＝0.8m例3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s 的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s 的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m ／s 2，试分析两车不相撞的条件。

[解析]要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足 V 0t-S Vt at +<221 （式中S 为汽车刹车时与自行车间距） 代入数据整理得：3t 2-18t+S>0， 显然，当满足∆＝b 2-4ac ≥0，即∆＝182-4⨯3S ≥0得：S ≤27m ，S min =27m 。

当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。

例4：如图4所示。

一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?[解析]：设圆弧半径为R ，当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时，速度为V ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：图4RVmmg N mgR mV 22cos cos 21=-=θθ 解得小球对小车的压力为：N=3mgcos θ，其水平分量为：N x =3mgsin θcos θ=θ2sin 23mg 根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= N x =θ2sin 23mg 可以看出：当sin2θ=1,即θ=45º时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：f max =mg 23。

例5：如图5所示。

质量为m 的物体由力F 牵引而在地面上匀速直线运动。

物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F 最小时的牵引角θ。

(F 的方向是随θ变化的。

)[解析]：因物体匀速直线运动，所以有： Fcos θ-f ＝0 ①f ＝μN ＝μ(mg-Fsin θ) ② ②代人①得：Fcos θ-μmg+μFsin θ＝0 即：F ＝θμθμsin cos +mg。

分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要“化一”。

由前面的“化一”结论得：a sin θ+b cos θ＝22b a +sin(θ+ф) 考虑本题分母：μs in θ+cos θ与a sin θ+b cos θ用比较法，得：a ＝μ；b ＝1。

于是tg ф＝μ1=a b ，则ф＝arc tg μ1。

所以，μsin θ+cos θ＝12+μsin(θ+arc tg μ1)。

要使F 最小，则分母μs in θ+cos θ需最大，因此，θ+arc tgμ1＝2π。

所以有：θ＝2π-arc tg μ1＝2π-arc ctg μ=arc tg μ。

即：θ=arc tg μ时，F 最小。

作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。

F ＝θμθμsin cos +mg 。

考虑0=θd dF，则有μcos θ-sin θ＝0则θ＝arc tg μ，即当F 最小时，牵引角θ＝arc tg μ。

例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4米／秒2，4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2米／秒2，10秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。

分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法。

由题意可知，4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V 甲=a 甲t 甲＝4⨯4＝16(m ／s)。

乙10秒后做匀速运动的速度为：V 乙＝a 乙t 乙＝2⨯10＝20(m ／s)。

可画出v —t 如上图6所示。

图线在A(8，16)点相交，这表明在t ＝8秒时，两物体的速度相等，因此．在t ＝8秒时，两者间的距离最大。

此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。

即S max ＝21⨯4⨯16 + 4⨯16 —21⨯8⨯16＝32(m)。

用分析法求极值在物理计算中较常见。

经过对物理状态或过程分析后求极值，不一定要用繁难的数学，关键是确定临界状态和过程的最值。

例7：如图7所示。

AB 、CD 是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L ，导轨平面与平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B 。

在导轨的AC 端连接一个阻值为R 的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab ，质量为m ，从静止开始沿导轨下滑。

已知ab 与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计。

求ab 棒的最大速度。

[解析]：采用分析法要注意抓三个环节，即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解。