7维二步幂零李代数的分类

dim[xi] = 1 ，1 ≤ i ≤ n . 引理 5[2] 设 N 是拟循环的，{x1,x2,⋯,xn} 是 N 的一个 H1 - msg ，{y1,y2,⋯,yn} 是 N 的一个 H2 - msg ，则
∃θ∈ Aut N ,使得 (y1,y2,⋯,yn) =(θ(x1),θ(x2),⋯,θ(xn))A ,其中 A 是一个 n × n 可逆矩阵. 特别地，若 dim[xi] = 1 ， 1 ≤ i ≤ n ，则 A 是一个 monomial 矩阵（即每行每列恰有一个非零元素）.
xi 的关联数，( p1, p2,...,pn) 为 {x1,x2,⋯,xn} 的关联序列. 定义 3[2] 称关联序列是 ( p1, p2,...,pn) 的极小生成元系为一个 ( p1,p2,⋯,pn) -msg . 若它还是一个 H - msg ，
则称其为一个 ( p1,p2,⋯,pn) - H - msg . 定 义 4[3] 幂 零 李 代 数 N 称 为 拟 循 环 的 ，若 N 有 一 个 子 空 间 U 满 足 ：N = U⊕ U2⊕ ⋅ ⋅ ⋅⊕ Uk ，其 中
定义 6[4] 设 {x1,x2,⋯,xn} 是 N 的一个 ( p1,p2,⋯,pn) - msg ，若存在 pk = 1 ，则称它为一个 [1] - msg ，若存在 pk = pt = 1(k ≠ t) ，则称它为一个 [1,1] - msg .
引 理 6[4] 设 {x1,x2,⋯,xn} 是 N 的 一 个 ( p1,p2,⋯,pn) - msg ，若 存 在 xk 使 得 dim[[xk]] = 1 ，则 N 有 一 个
记 dim[x] = dim Nα . 定义 1[1] 设 H 是 N 上的一个极大环面，称 N 的关于 H 的根向量组成的极小生成元系为一个 H - msg .
| 定义 2[2] 设 {x1,x2,⋯,xn} 是 N 的一个极小生成元系，称 G(xi) ={xj [xi,xj]≠ 0} 为 xi 的关联集，pi = |G(xi)| 为
以下我们讨论的幂零李代数 N 都是二步幂零李代数.
{ } 定义 5[4] 若 {x1,x2,⋯,xn} 是 N 的一个 ( p1,p2,⋯,pn) - msg ，则定义 [[xi]] 为由 [xi,xi1],⋯,[xi,xipi] 张成的向量
空间，其中 {x ,i1 xi2, ⋯, x }ipi = G(xi) .
摘 要：用具体构造的方法，选取合适的极小生成元系，给出了不可分解的 7 维二步幂零李代数的 分类. 关键词：极小生成元系；基；极大环面 中图分类号：O152 文献标识码：A 文章编号：1008-2794（2012）02-0012-06
分类问题是特征为零的闭域上有限维李代数研究的主要问题之一. 它在一定意义下又可归结为半单李 代数和幂零李代数这两种情形的分类. 复数域上半单李代数的分类已经圆满解决，而由于幂零李代数结构 的极端复杂，它的分类工作一直进展缓慢，目前只给出了维数低于 8 维的分类. 二步幂零李代数是一类重要 的幂零李代数，其结构相对简单，但它的分类问题也只解决到 7 维. 现有的分类方法大都需要较为复杂的计 算，因而当维数较高时难以使用. 复数域上 7 维二步幂零李代数的分类虽已解决，但本文所用方法不同于现 有分类方法，本文采用直接构造的方法，通过选取合适的极小生成元系给出分类. 该方法不仅运用的知识工 具较少，且避免了过于复杂的计算. 此外也可给解决 8 维二步幂零李代数的分类提供有益的启发.
引理 3[2] 设 {x1,x2,⋯,xn} 是二步幂零李代数 N 的一个极小生成元系，若 N 的一个线性变换 h 满足： h[xi,xj] =[h(xi),xj] +[xi,h(xj)] ，1 ≤ i,j ≤ n ，则 h ∈ Der N .
引 理 4[2] 设 {x1,x2,⋯,xn} 是 二 步 幂 零 李 代 数 N 的 一 个 极 小 生 成 元 系 ， 若 存 在 h0∈ Der N 使 得 h0(xi) = ai xi ，且 ai≠ aj (i ≠ j) ，则 存 在 N 上 的 一 个 极 大 环 面 H ，使 得 {x1,x2,⋯,xn} 是 一 个 H - msg ，且
[1] - msg .
定义 7[4] 设 {x1,x2,⋯,xn} 是 N 的一个 ( p1,p2,⋯,pn) - msg ，若 G(x1) = {x2,x3} ，dim[[x1]] = 2 ，且 [x2,x3] = 0 ，
则称 {x1,x2,⋯,xn} 为一个 [2] - msg .
收稿日期：2011-11-30 作者简介：朱爱静（1986—），女，江苏扬州人，苏州科技学院基础数学专业李代数方向 2009 级研究生.
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第2期
朱爱静பைடு நூலகம்任斌：7 维二步幂零李代数的分类
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Ui =[U, Ui - 1] .
引理 2[2] 若 N 是一个二步幂零李代数，则 N 的中心 C(N) = N2 当且仅当对任意的 ( p1,p2,⋯,pn) - msg ， pi > 0 .
本文中所讨论的李代数 N 都是复数域上有限维幂零李代数.
1 基本概念和基本结论
引理 1[1] 若 N 是一个幂零李代数，则下面两个命题等价： （1）{x1,x2,⋯,xn} 是 N 的一个极小生成元系； （2）{x1 + N2,x2 + N2,⋯,xn + N2} 是向量空间 N N2 的一个基.
∑ 若 H 是 N 上的一个极大环面，则 N 能够分解成关于 H 的根空间的直和：N = α ∈ N H∗ α . 若 x ∈ Nα ，
第 26 卷第 2 2012 年 2 月
常熟理工学院学报（自然科学） Journal of Changshu Institute Technology（Natural Sciences）
Vol.26No.2 Feb. , 2012
7 维二步幂零李代数的分类
朱爱静，任 斌
（苏州科技学院 数理学院，江苏 苏州 215009）