5维中心的9维二步幂零李代数的分类

【 者 简 介】 作 王 ￣ （９ ５ ） 女 ， 东 青 岛人 ， 士 研 究 生 ， 究 方 向 ： １８一 ， 山 硕 研 李代 数 及 其 表 示 理 论 。
６
苏州科技 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ０ １年
在 ０ ｕＮ， 得 （ ２… ， ） Ａ（ （ ，（ ， ， （ ） 其 中（ ｙ， ， ）是 矩阵 （ － ２… ， 的转置 ， ∈Ａ ｔ 使 ｙ， ， Ｔ Ｏ ｘ） Ｏｘ） … Ｏｘ） ｙ － 。 Ｙ ，２… Ｙ， ， Ｙ） ｙ Ａ 是一 个 ｎ ｎ可 逆矩 阵 。 别地 ， ｄｍ［］ １ Ｖ ， Ａ是 一个 ｍ ｎｍ ａ 矩 阵 （ ｘ 特 若 ｉ ｘ＝ ， 则 ｉ ｏ ｉ ｉｌ 即每行 每列恰 有一 个非零 元素 ） 。 引理 ３ 若 Ⅳ是 一个 二步 幂零李 代数 （ 旧 即 ≠Ｏ Ｎ ＝ ） 那么 Ｃ Ｎ） Ｎ 当且 仅 当对任 意 （ Ｐ ， ， 一 ， ３Ｏ ， （ ＝２ Ｐ ， … Ｐ ）
环 面能够分 解成根 空 间的直 和 ： ＝ Ⅳ
ｄ ＥⅣ ‘
。称 ｍｕｔｏ ：ｄｍ ， ｌ ｒ ＝ ｉ Ｎ￣ （） 为根 的重 数 。如果 ∈ ｎ记 ｄｍ ｘ＝ ｉ Ｎ 。 Ⅳ ， ｉ ［］ｄｍ ￣
定义 ｌＪ 设 日 是 Ⅳ上 的一个极 大环 面 ， 由 的根 向量 构成 的极小 生成元 Байду номын сангаас 为 Ⅳ的一 个 Ｈ－ ｓ 。 【 ５ 称 ｍ ｇ
根 向量构 成 的极 小生 成元 系 为一个 Ｈ— ｓ 。 ｍ ｇ
定 义 ３ Ⅳ 的一个 极小 生成 元系称 为一个 （ Ｐ ， ， 一 ｓ ， 阁 ｐ ，２… ｐ ）ｍ ｇ 若它 的关 联序列 为 ， ， ， 。 它为 Ｐ … ｐ） 称
一
个 ，２… ， ） 日一 ｇ 若 它还是一 个 Ｈ－ ｓ 。 ｐ， ｐ 一 脚 ， ｍ ｇ
（ 苏州 科 技 学 院 数 理 学 院 ， 苏 苏 州 ２ ５ ０ ） 江 １ ０９
摘
要 ： 过 选 择适 当 的 基 ， 出 了 中心 是 ５维 的 ９维 二 步 幂 零李 代 数 的一 个 完 整 分类 。在 一 定 程度 上 完 善 了幂 零 通 给
李代 数 的分类 。
关键 词 ：极 小生 成 元 系 ； ； 大 环 面 基 极
定 义 ２】 设 ， ， ，ｎ 幂零李 代数 Ⅳ的一个 极小 生成 元 系。 【 ６ … Ｘ｝ 是 麓的关联 集定义 为 Ｃ（ ｛ｌ ， ≠０ ， ｘ） 矧 ＝ ）
ｐ＝Ｇ（ 称 为 的关联 数 ， ｉｌ ｘ） Ｉ 整数列 （ Ｐ ， ， ） 为｛ ， ， 的关联 序列 。称 Ⅳ 的 由关 于其 上环 面 的 ｐ ，：… ｐ 称 ， … Ｊ
分类 问题 是特 征 为零 的闭域 上有 限维 李代 数研 究 的 一个 主 要 问题 。Ｌ ｖ 定 理使 这 一 问题 分 为 两种 情 ｅｉ
形： 半单 李代 数和可 解李 代数 。又 由于 Ｍａ ｅ ｌ ｖ的工作 ， ｃ 可解 情形 又 可归结 为幂零 情形 。复 数域 上有 限维 半单
李 代数 的分类 已得 到 了完 美 的结果 ， 比之下 ， 零李代 数 的分类 相去 甚远 。虽然 人们运 用 了多种 方法进 行 相 幂 研 究 ， 由于该 问题 的极 端复 杂性 ， 究工作 进展 缓慢 。１９ 但 研 ９ ３年 ， ． ｅｌ Ｃ Ｓ ｅｙ给出 了 ７维 幂零李代 数 的分类 【 １ ］ 。８
ｋ， 。生 成 的子空 间 ， 中 ， ， ｝Ｇ（ ） ］ ） 其 … ＝ 麓。
．
引理 ２ 】 设 Ｎ是 拟循 环 的 ， ， ， ， 是 Ⅳ 的一个 Ｈ ｍ ｇ ｛ ，２… ， 是 Ｎ 的一个 Ｈ 一 ｇ 【 ６ … ） 一 ｓ ， ｙ， Ｊ ｙ 臃 。那 么存
【 稿 日期】 ０ ０ ０ － ２ 收 ２ １－ ６ ２
中图分 类 号 ： １２ ０ ５
文 献标 识 码 ：Ａ
ＭＲ（０ ０ Ｓ ｂｅｔ ａｓ ｃｔ ｎ ７ ３ ２ ０ ） ｕ ｊｃ Ｃｌ ｉ ａｉ ：１Ｂ ０ ｓｆ ｏ ｉ
文 章 编 号 ：１ ７ — ６ ７（ ０ １ ０ － ０ ５ ０ ６ ２ ０ ８ ２ １ ） ２－ ０ — ４ ０
维 及 以上幂零 李代数 目前 还没 有完 整 的分类 ， 只得 到部 分 结果 。如 Ｅ ｈ ｒ ｃ ａｔ ｅ和 Ｇ ｍ ｚ给 出了 ９维 ｆｉ ｒ ｏｅ ｉ ｆ ｍ李 ｌｏ
代 数 的分类［ Ｂ ｚ ． ｃ ａｔ Ｎ ｎ ｚ 出了 １ ２ ｏａ Ｅ ｈ ｒ １ ， ｅ和 ｕ ｅ 给 ０维 ｆｉ ｒ 李代 数 的分类【 ｉｆｍ ｌｏ 引 。二 步幂零 李代 数是 一类重 要 的幂 零 李代 数 ． 在李 群及 微 分几何 等 领域 有很 多应用 。复 数域 上 的二 步幂 零李 代数 的性 质 已有学 者 研究 ｌ 笔 它 ４ 】 ， 者 给 出了复数域 上 中心为 ５维 的 ９维 二步幂 零李代 数 的分类 。文 中所讨 论 的都是 复数域 上幂 零李代 数 。
定义 ４ ｌ 若 Ⅳ有 一个 子 空间 ． ｌ ６ 使得 Ｎ Ｕ Ｃ Ｃ …＋ ， 称 Ⅳ为 拟循 环 的。 ＝ ＋ ２ 则
定义 ５ 设 ， ， ，ｎ Ⅳ 的一个 （。 ：… ， ） ｇ 定 义【 ＝ ｋ ， 】… ， ｉ ． 是 由（ ，‘， ， ｔ ￣ … Ｘ】 ２ 是 Ｐ， ， ｐ 一 ， Ｊ Ｐ ＜ ， ［ 】 Ｘ ＞ 】…
第２ ８卷 第 ２期
２１ ０ １年 ６月
苏 州 科 技 学 院 学 报 （ 然 科 学 版） 自
ｏ ｙ（ ａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ ｇ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ）
Ｖｏ ＿８ ｌ２ Ｎｏ２ ．
Ｊｎ ２ １ ｕ ． ０１
５ 维中心的 ９ 维二步幂零李代数 的分类
王 蕾 ．任 斌
１ 基 础 知 识
引理 ｌ 如果 Ⅳ是 一个 幂零 李代 数 ． 嘲 则下 述命题 等 价 ：
（ ） ， ， ，ｎ １ 。 … Ｘ｝ 是一 个极小 生成 元系 ；
（ ） ＋ ，：Ｎ ， ， ２ ＋ ２… 】 向量 空 间 Ⅳ ， 的一个 基 。这 里 Ｎ ＝Ⅳ， ］ 是 ／２ ｖ ２［ ， 。 ｖ 由幂零 李代数 Ⅳ上 的半单 导子 构成 的 Ｄ ｒ ｅＮ的极 大交换 子代 数 ， 称为 Ⅳ上 的一 个极 大环 面 。 Ⅳ关 于极 大