5维中心的9维二步幂零李代数的分类
第２８卷第２期
２０１１年６月 苏州科技学院学报（自然科学版）
ｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏｌ＿２８ Ｎｏ．２
Ｊｕｎ．２０１１
５维中心的９维二步幂零李代数的分类
王 蕾．任 斌
（苏州科技学院数理学院，江苏苏州２１５００９）
摘要：通过选择适当的基，给出了中心是５维的９维二步幂零李代数的一个完整分类。在一定程度上完善了幂零
李代数的分类。
关键词：极小生成元系；基；极大环面
中图分类号：０１５２ ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：１７Ｂ３０
文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—０６８７（２０１１）０２－－０００５—０４
分类问题是特征为零的闭域上有限维李代数研究的一个主要问题。Ｌｅｖｉ定理使这一问题分为两种情
形：半单李代数和可解李代数。又由于Ｍａｌｃｅｖ的工作，可解情形又可归结为幂零情形。复数域上有限维半单
李代数的分类已得到了完美的结果，相比之下，幂零李代数的分类相去甚远。虽然人们运用了多种方法进行
研究，但由于该问题的极端复杂性，研究工作进展缓慢。１９９３年，Ｃ．Ｓｅｅｌｙ给出了７维幂零李代数的分类【１］。８
维及以上幂零李代数目前还没有完整的分类，只得到部分结果。如Ｅｃｈａｒｔｅ和Ｇｏｍｅｚ给出了９维ｆｉｌｉｆｏｒｍ李
代数的分类［２１，Ｂｏｚａ．Ｅｃｈａｒｔｅ和Ｎｕｎｅｚ给出了１０维ｆｉｌｉｆｏｒｍ李代数的分类【引。二步幂零李代数是一类重要的幂
零李代数．它在李群及微分几何等领域有很多应用。复数域上的二步幂零李代数的性质已有学者研究ｌ４】，笔
者给出了复数域上中心为５维的９维二步幂零李代数的分类。文中所讨论的都是复数域上幂零李代数。
１基础知识
引理ｌ嘲如果Ⅳ是一个幂零李代数．则下述命题等价：
（１） 。， ，…，Ｘｎ｝是一个极小生成元系；
（２） ＋ ， ：＋Ｎ２，…， 】是向量空间Ⅳ／，ｖ２的一个基。这里Ｎ２＝［Ⅳ，，ｖ］。 由幂零李代数Ⅳ上的半单导子构成的ＤｅｒＮ的极大交换子代数，称为Ⅳ上的一个极大环面。Ⅳ关于极大
环面能够分解成根空间的直和：Ⅳ＝ 。称ｍｕｌｔ（ｏｒ）：＝ｄｉｍＮ，￣为根 的重数。如果 ∈Ⅳｎ，记ｄｉｍ［ｘ］＝ｄｉｍＮ￣。 ｄＥⅣ‘ 定义ｌ【５Ｊ设日是Ⅳ上的一个极大环面，称由 的根向量构成的极小生成元系为Ⅳ的一个Ｈ－ｍｓｇ。
定义２【６】设 ， ，…，Ｘｎ｝是幂零李代数Ⅳ的一个极小生成元系。麓的关联集定义为Ｃ（ｘ ）＝｛ ｌ ，矧≠０），
ｐｉ＝ｌＧ（ｘ ）Ｉ称为 的关联数，整数列（ｐ ，Ｐ：，…，ｐ ）称为｛ ， ，…， Ｊ的关联序列。称Ⅳ的由关于其上环面 的
根向量构成的极小生成元系为一个Ｈ—ｍｓｇ。
定义３阁Ⅳ的一个极小生成元系称为一个（ｐ ，Ｐ２，…，ｐ ）一ｍｓｇ，若它的关联序列为 ，Ｐ ，…，ｐ ）。称它为
一个 ，ｐ２，…，ｐ ）一日一脚ｇ，若它还是一个Ｈ－ｍｓｇ。
定义４ｌ６ｌ若Ⅳ有一个子空间 ．使得Ｎ＝Ｕ＋Ｃ Ｃ２ …＋ ，则称Ⅳ为拟循环的。
定义５ｔ￣设 ， ２，…，Ｘｎ】是Ⅳ的一个（Ｐ。，ＪＰ：，…，ｐ ）一 ｇ，定义【 ＝＜ｋ， 】，…，［Ｘｉ ．】＞是由（ ， ‘】，…，
ｋ， 。］）生成的子空间，其中 ，…， ．｝＝Ｇ（麓）。
引理２【６】设Ｎ是拟循环的， ， ，…， ）是Ⅳ的一个Ｈ 一ｍｓｇ，｛ｙ ，ｙ２，…， Ｊ是Ｎ的一个Ｈ 一臃ｇ。那么存
【收稿日期】２０１０－０６－２２
【作者简介】王 ￣（１９８５一），女，山东青岛人，硕士研究生，研究方向：李代数及其表示理论。
６ 苏州科技学院学报（自然科学版） ２０１ １年
在０∈ＡｕｔＮ，使得（ｙ ，ｙ２，…， ）Ｔ－Ａ（Ｏ（ｘ ），Ｏ（ｘ ），…，Ｏ（ｘ ）） 。其中（Ｙ ，ｙ２，…， ） 是矩阵（Ｙ－，ｙ２，…，Ｙ ）的转置，Ａ
是一个ｎｘｎ可逆矩阵。特别地，若ｄｉｍ［ｘｉ］＝１，Ｖ ，则Ａ是一个ｍｏｎｉｍｉａｌ矩阵（即每行每列恰有一个非零元素）。
引理３旧若Ⅳ是一个二步幂零李代数（即 ≠Ｏ，Ｎ３＝Ｏ），那么Ｃ（Ｎ）＝Ｎ２当且仅当对任意（Ｐ ，Ｐ ，…，Ｐ ）一
ｍｓｇ，Ｐｉ＞０。 引理４ｍ设Ⅳ是一个二步幂零李代数， ， ：，…， ｝是Ⅳ的一个极小生成元系，若Ⅳ的一个线性变换ｈ
满足： ， ＝ （筏），瑚十ｋ， （ ）］，０≤ √≤ 。那么ｈ∈ＤｅｒⅣ。 引理５ｔｓｊ设Ⅳ是一个二步幂零李代数， ， ，…， 】是Ⅳ的一个极小生成元系，若ｊ ｈｏ∈ＤｅｒⅣ满足
。（耘）＝ ｉ，且ａ／＃ａ；， ≠ ，那么存在『ｖ上的一个极大环面 ，使得 ， ，…， ｝是一个Ｈ－ｍｓｇ，且ｄｉｍ［ｘ￣］＝ｌ。
２ 主要结果
定理１下列中心为５维的９维二步幂零李代数是不同构的：
ＮＩ９，５：Ｎ有一个（２，３，２，３）一ｍｓｇ：｛ １， ２， ３， ４），使得 １， ２］， ｌ， ４］， ２， ３】， ２， ４］， ３，ｘ４］是线性无关的。
一：Ⅳ有一个（３，３，３，３）一ｍｓｇ： ｌ， ２， ３， ４Ｊ，使得 ｌ，ｘ２］， １， ３】， １，ｘ４］， ２，ｘ３］， ３， ４］是线性无关的，且
Ｉｘｌ， ３】＝ ２，ｘ４］。 证明 对于Ⅳ１ ，由引理４存在ｈ１∈ＤｅｒＮ，使得ｈ１关于基 １， ２， ３， ４， １， ２］， ２， ３］， ２， ４］， ３， ４］， １， ４］】
的矩阵是ｄｉａｇ（１，一１，３，一３，０，２，一４，０，－２）。由引理５，存在Ⅳ ， 上的一个极大环面目 ，使得 ，Ｘ２ ３， ）是一
个Ｈ广ｍｓｇ，且ｄｉｍ［ｘ １＝１，１≤ ≤４。
对于Ⅳ２９ ，由引理４存在ｈ２∈ＤｅｒＮ，使得ｈ２关于基 １， ２， ３， ４， １，ｘ２］， ２， ３】， ３， ４］， ｌ，ｘ４］， ｌ， ３］｝的矩阵
是ｄｉａｇ（１，３，一ｌ，一３，４，２，一４，一２，０）。由引理５，存在 ， 上的一个极大环面Ｈ ，使得 ，Ｘ２ ３， ）是一个日ｚ—
ｍｓｇ，且ｄｉｍ［ｘｉ］＝１。１≤ｉ≤４。
由引理２可知，这两个李代数不同构。
引理６若ｄｉｍＮ２＝５， １，Ｘ２ ３， ）是Ⅳ的一个（Ｐ１，ｐ２，ｐ３，Ｐ ）一ｍｓｇ，若存在一个瓤，使得ｄｉｍ［［ｘｉ］］≤２，则Ｎ
有一个（２，２，３，３）一ｍｓｇ，那么Ⅳ与定理１中的Ⅳｌ９ 同构。
证明 由于ｄｉｍＮ２＝５，故Ｐ ＞１，１≤ ≤４。不妨设ｄｉｍ［￣１］］≤２。
若ｐ ＝２，易知Ⅳ有一个（２，２，３，３）一ｍｓｇ，故Ⅳ与定理１中的Ⅳ１ 同构。
若Ｐ１：３，由于ｄｉｍ［￣１］］≤２，有０ １，ｘ２］＋ｂ［ｘ１， ３】＋ｃ １，￣１７４］＝０，从而 １，ａｘ２＋ｂｘ３＋ＣＸ４］＝０。易知Ⅳ与定理１中的
Ⅳ１ ９＇ 同构。
定理２若Ⅳ是一个二步幂零李代数，且ｄｉｍＮ＝９，ｄｉｍＮ２＝５，则Ⅳ与定理１中的一个李代数同构。
证明 设｛ 。， ２， ３， ）是Ⅳ的一个（Ｐ。，ｐ２，ｐ３，Ｐ４）一ｍｓｇ。若存在麓，使得ｄｉｍ［Ｉｘ ］］≤２，由引理６，Ｎ有一个
（２，３，２，３）一 ｇ。故与定理１中Ⅳ１ ， 的同构。讨论如下情况：ｄｉｍ［ Ｊ】＝３，１≤ ≤４。此时 ，Ｘ２，Ｘｓ， ）是一个
（３，３，３，３）一ｍｓｇ。由于ｄｉｍＮ２＝５，存在不全为零的ａ ，ｂ ，ｃ ，ｄ ，ｅ 使得
０ Ｉｘ１， ２］＋６ ｌ，Ｘ３］＋Ｃ ｌ， ４］＋ｄ ２，ｘ３］＋ｅ ３，ｘ４］ ２，Ｘ４］＝０ 情形１ ａ ，ｂ ，Ｃ ，ｄ ，ｅ 厂中至少有一个等于零。
由于可以做下标置换，不妨设ｅ ：０。
情形１．１ ｆ≠Ｏ
不妨设 ２， ４】＝（ ｌ， ２］＋６ ｌ， ３］＋ｃ １， ４］＋ｄ ２， ３】。
情形１．１．１ ｂ＝０
此时有 ２，ｘ４］：Ⅱ １， ２］＋ｃ １，ｘ４］＋ｄ［ｘ２， ３】，于是有 ２， ４一 ３＋ａｘ１］＝【ｃ １，ｘ４－ｄｘ３＋ｏａｆ１］＋［ｃ １，ｄｘ３］，从而
２一ＣＸｌ，Ｘ，４一（ ３＋（ｚ ｌ】＝【ｃ １，ｄｘ３】
当ｃｄ≠Ｏ时，令ｙｌ：ｃ １，ｙ２ ２－－ＣＸ１，Ｙ３＝ｄｒ，３，ｙ４＝ｘ４一 ３＋ａｘ１。由于ｄｉｍ［Ｍ］＝３，１≤ ≤４，（Ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４）是一个
（３，３，３，３）一 ｇ，且［ｙ ，ｙ３］＝ｙ２，ｙ４］，故Ⅳ与Ⅳ２９ 同构。
当ｃｄ＝Ｏ时，令 １，ｙ２＝Ｘ２一ｃｘ１，ｙ３＝Ｘ３，ｙ４＝ｘ４一 ３＋ａｘ１。易知（），ｌ，ｙ２，ｙ３， ）是一个（３，２，３，２）一ｒｍｇ，故Ⅳ与Ⅳｌ ’
第２期 王 蕾等：５维中心的９维二步幂零李代数的分类
同构。
情形１．１．２ ｂ≠０
若ｂ＋ｃｄ＃Ｏ，则 ２， ４＿＿ ３＋ １］： １，ｂｘ３＋ｃｘ４］。令 ７
则 ｔ，ｙ２，ｙ３，ｙ４｝是一个极小生成元系。若 ， ＝０，由于 ，ｙｓ】＝［ｙ２，ｙ４］，这与ｄｉｍＮ２＝５矛盾。于是（）， ，ｙ２，Ｙ。，ｙ４ｊ是一
个（３，３，３，３）一ｍｓｇ，故Ⅳ与Ⅳ２９’ 同构。
若ｂ＋ｃｄ＝０，有 ２，蜘＝出ｌ， ＋ １，— ３ ４］ ２， ３］，从而 ２一删Ｊ，一ｄｘ３协４］＝口 Ｊ，Ｘ２－６＇Ｘｉ］。即 ２一ｃ Ｉ，— ３忆４＋
似 】＝Ｏ。令
（Ｙ１，ｙ２，Ｙ３， ）＝（ １， ２， ３， ４）
于是有 ｚ，ｙ４］＝０。则｛ｙ ，ｙ２，Ｙ３，ｙ４ｌ是一个（３，２，２，３）一ｍｓｇ，故Ⅳ与Ⅳ ’ 同构。
情形１．２ ｆ＝ｏ
此时Ｏ，ｔ １， ２】＋６ Ｉｘｌ，．９Ｃ３］－Ｉ－Ｃ １，ｘ４］＋ｄ ２， ３】＝０。因为ｄｉｍ［［ｘ１】】＝３，故ｄ ≠０。
不妨设 ２， ３］＝（ ｌ， ２］＋６ １，ｘ￣ｌ＋ｃ［ｘ１， ４１。
若ｃ＝０，于是有［ｘ２－ｂｘｌ，ｘ３＋ａｘ１］＝０。令ｙｌ ｌ，），２ ２－ｂｘ１，，，３ ３＋ａｘ１， ＝礼。易知 １，ｙ２，），３，州是一个（３，２，２，３）－
ｍｓｇ，故Ⅳ与，、，１ ， 同构。
若Ｃ≠０，于是有 ２， ３＋僦１］＝ ｌ＇ｂｘｚ＋ｃｘ４］。令 １， ２，ｙ３＝ｂｘ３￣＂ｔ－ＣＸ４，ｙ４＝ｘ３＋僦】。此时ｆＹ】，ｙ２，ｙ３， ）是一个
（３，３，３，３）一ｍｓｇ，且［ｙ ， 】＝ ，ｙ４］，故Ⅳ与Ⅳ２９ 同构。
情形２ ０ ，ｂ ，Ｃ ，ｄ ，ｅ 均不为零。
不妨设 ２， ４］＝出１，ｘ２］＋ｂ［ｘ１，ｘ￣ｌ＋ｃ［ｘ１，ｘ４ｌ＋ｄ［ｘ２，ｘ３］＋ｅ［ｘ３，ｘ４］，其中ａｂｃｄｅ≠Ｏ。
情形２．１ ｂ≠一ａｅ—ｃｄ
有 ２， ４］＝ ｌ，ａａｃｚ＋ｂｘ３＋ｃｘ４］＋［ｘ３，ｅｘ４－ｄｘ２］。
两边同时乘以ｅ得
２，ｅ ４－ｄｘ２］＝［ｅｘｌ， ２＋ｂｘ３＋ｃｘ４］＋［ｅｘ３，ｅｘ４－ｄｘ２］
从而 ２一ｅｘ３，ｅ ４－ｄｘ２］＝［ｅｘｌ，ａ，Ｔｆ，２＋ｂｘ３ｑ－ＣＸ４］。令
易知｛），。，ｙ２，ｙ３，ｙ４｝是一个（３，３，３，３）一ｍｓｇ，且满足 ，），３】＝ ，ｙ４］，故Ⅳ与 ’ 同构。
情形２．２ ６＝一 一ｃｄ
：于二是有 ２， ４］＝（牡１，Ｘ２卜（ ｌ，ｘ３］－ｃｄ［ｘ１， ３］＋ｃ １， ４］＋ｄ ２， ３］＋ｅ ３，ｘ４］。
于是有 ２， ４＋ａｘ１一 ３］＝【ｃ ｌ， ４一 ３］＋［ｅ ３， ４＋似１］。
从而有 ２一ｅ ３一ｃ １， ４＋蕊１－ｄｘ３］＝Ｏ。令 ０ ０ ● Ｏ Ｏ ６ Ｃ ０ １ ０ ０ １ Ｏ Ｏ ０
路李代数及其性质
第３３卷 第４期 ２００７年１０月 曲 阜师 范 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｕｆｕ 大学学报 Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．３３ ＮＯ．４ ｏｃｔ．２ＯＯ７
路李代数及其性质
高凤霞①， 韩红梅②
（①曲阜师范大学数学科学学院，②曲阜师范大学《中学数学杂志》编辑部，２７３１６５，山东省曲阜市）
摘要：对路李代数及其性质做了研究．给出了有限维路李代数均可解的结论和所有的卡当子代数；并给 出了其相对于一个特定的卡当子代数的根子空间的分解；最后，对一类无限维路李代数可解的条件作了探讨． 关键词：路李代数；可解李代数；幂零李代数；卡当子代数 中图分类号：Ｏ１５３．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—５３３７（２ＯＯ７）Ｏ４—００２９—０４
１ 预备知识
文中忌代表复数域．将不断的用到下列的定义 和引理．
定义１．１ 箭图：一个箭图Ｑ一（Ｑｏ，Ｑ ，Ｓ，ｔ：Ｑ
一Ｑｏ）的实质是一个有向图，其中Ｑ０是顶点的集 合，在这里将一直是自然数集Ｎ或者它的子集，Ｑ
是箭向的集合．Ｓ，ｔ是关联于Ｑ 和Ｑ０之间的映射， 也就是说任何箭向ＩＤ在ｓ（ＩＤ）开始在ｓ（ＩＤ）结束．我们
可将这一关系描述为
ｓ（ＩＤ） ｆ（ＩＤ）． 对任意ｉ∈Ｑｏ若不存在以ｉ为起点的路，就称ｉ
为Ｑ的槽点；若不存在以ｉ为终点的路，就称ｉ为Ｑ 的源点． 如果Ｑ的基图（也就是不考虑方向的无向图）
是连通的，就说Ｑ是连通的．在Ｑ中，如果Ｑ０和Ｑ
都是有限集合，就说Ｑ是有限的． 定义１．２路：Ｑ中的一条非平凡的路是指箭
向的序列 —ＩＤ ，ＪＤ２，…，ｐ州（ ≥１），并且对１≤ ≤ 满足ｔ（ ＋ ）＝ｓ（ｐ ）．可以形象地描述为
． ． … ． 我们说上述的路 的起点为ｓ（ ），终点为
ｔ（ｐ ）．对于每个顶点ｉ，通过ｅ 来表示起点和终点都 在ｉ的平凡的路．通常用符号 （ ）和ｔ（ ）来表示路
的起点和终点．
对于非平凡的路如果ｓ（ ）一ｔ（ ），就称 为一
李群与李代数表示理论研讨班卓有成效
李群与李代数表示理论研讨班卓有成效
佚 名
【期刊名称】《国际学术动态》
【年(卷),期】2006(000)003
【摘 要】由浙江大学数学研究中心举办的2005年李群与李代数表示理论国际研讨会（International Workshops on Arithmetic，Geometry and Topology of
Shimura Varieties）于2005年7月3～15日在浙江大学玉泉校区举行。研讨会以暑期研讨班的形式举办，吸引了来自中国、美国、德国、印度等国家30余位学员和数学家参加。各位专家分别就有关的专题作了系统的演讲，传授了代数、几何和拓扑领域的最新发展，探讨了一些重要的前沿问题，以及学科的发展方向、方式和方法。
【总页数】2页(P20-21)
【正文语种】中 文
【中图分类】TP183
【相关文献】
1.厚积而薄发格物以致知--戴建生教授新著《机构学与机器人学的几何基础与旋量代数》与《旋量理论与李群、李代数》评述2.李代数S1（z,c）表示理论的一个应用3.若干组合恒等式——李代数S1(2,C)表示理论的一个应用4.李代数sl(2,■)的仿射李代数的顶点算子表示和顶点代数模5.p^r-李代数和幂零李代数的表示
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有限生成算子李代数的几个结果
第２１卷第３期 ２００７．９ 沈阳化工学院学报 Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＨＥＮＹＡＮＧ ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ ＯＦ ＣＨＥＭＩＣＡＬ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖ０１．２１ Ｎｏ．３ Ｓｅｐ．２００７
文章编号：１００４—４６３９（２００７）０３—０２３８—０３
有限生成算子李代数的几个结果
吴会咏 ，高文军 ，王一女 （１．沈阳化工学院数理系，辽宁沈阳１１０１４２；２．沈阳航空工业学院理学系，辽宁沈阳１１００３４）
摘要：主要研究有限生成算子李代数的几个重要结果．通过设Ａ为结合代数，Ｔ１…， ∈Ａ， ￡（Ｔ）为Ｔ生成的李代数，这里记Ｔ＝（Ｔ 一， ）∈Ａ ，讨论Ａ为Ｂａｎａｃｈ空间ｘ上有界线性算 子组成的代数Ｂ（ｘ），得到算子理论的一些结果：若拟幂零算子Ｔ１，Ｔ２生成的李代数是有限维幂 零的，则Ｔ】＋Ｔ２，Ｔ】Ｔ２均为拟幂零的；若非零紧算子Ｔ】与非标量算子Ｔ２生成的李代数是有限 维的，则Ｔ，有非平凡超不变子空间．从而在形式上推广了有关不变子空间的Ｌｏｍｏｎｏｓｏｖ定理． 关键词：不变子空间；幂零李代数；拟幂零算子 中图分类号：Ｏ１５２．５ 文献标识码：Ａ
１引言及引理
设ｘ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｂ（ｘ）为ｘ上的全体
有界线性算子组成的Ｂａｎａｃｈ代数．对任意的
丁１，丁２∈（Ｂ（ｘ），其换位子丁１丁２一丁２丁１∈
Ｂ（ｘ），若定义丁１，丁２的李积为［丁１，丁２］＝
丁１丁２一丁２ Ｔ１，则Ｂ（ｘ）按［，］为一李代数．于
是，李代数中的一些经典结果可以用到算子理论
中，比如Ｌｅｖｉ分解定理：对复数域上任意有限维
李代数Ｌ，若有可解根Ｒ，则存在一半单李代数
Ｓ，使得Ｌ＝Ｒ０Ｓ．
引理１．１：（见文献［１］中的推论２）设Ｔ＝
（丁 一， ）∈Ｂ（ｘ） 生成一幂零李代数，如果
ｌ 尼 ，ｌ ｉ１ ２ … ，且７ｒ： 一
为如下定义射影７ｒ：（２ 一， ）一（ ，…， ．），
习 么 （Ｔｉ．，…， ）＝７ｒ（ （Ｔ））．
李代数的型心
李代数的型心
顾颐臣
【摘 要】研究了李代数的型心是否小的问题.主要结果:(1) 利用基和型心的关系得到了一类幂零李代数的型心不是小的.(2) 利用型心的定义得到了最简filform李代数型心以及Ln,Qn,Rn,Wn这4类filiform李代数的型心是小的.
【期刊名称】《常熟理工学院学报》
【年(卷),期】2007(021)010
【总页数】4页(P7-10)
【关键词】李代数;型心;小型心.
【作 者】顾颐臣
【作者单位】苏州大学,数学科学学院,江苏,苏州,215006
【正文语种】中 文
【中图分类】O152.1
结构研究对于表示理论研究及其应用具有基本重要性，而李代数的型心是结构理论中一个重要的概念.型心的结构在某种程度上刻画了李代数的结构.但研究进展缓慢.我们知道单李代数的型心是个域，不可约李代数的型心是一个局部环，但是结构比较复杂的李代数其型心结构结论很少.近年来，G.Benkart等人在扩张Affine李代数的型心研究上取得了进展，使型心的研究显示了生命力.从90年代开始，绝大多数数学家研究型心何时小的问题，并取得了一些进展.
定义1.1 设g为一个李代数，定义g的型心Τ(g), Γ=Γ(g)={φ∈End(g)|φ[x,y]=[φ(x),y]=[x,φ(y)],∀x,y∈g}.
在本文中，为了讨论的方便，我们总是假定基域K是特征为0的代数闭域.
一个李代数称为是不可约的，若它除了本身外并没有非零的直和(直积)因子.这也就是说，若g=g1×g2,则g不可约说明g1=0或者g2=0.这样就立刻得到了一个重要的结果.
引理1.2[1] 若李代数g可解，不交换且不可约，那么g的中心C(g)就含在g的导代数里.一个不可约的交换李代数是一维的.
由上述型心的定义可知，纯量变换总是在型心中的，设φ∈Endg，若φ(g)⊆C(g),且φ(g2)=0,则称φ为g的中心导子.中心导子总是包含在型心中，因为在定义中等式两边都恒等于0.
李代数I课程简介
李代数I课程简介
课程名称 李代数I 课程代码 ∕
课程英文名称 Lie Algebras I
任课教师 任课教师职称
课程类别 第二层次课程 学时 4 *19= 76
学分 4 授课方式 讲授
主要内容简介
本课程旨在介绍李代数的基本概念、基本结果；复半单李代数的结构理论（包括：Killing型，根系，Weyl群等），分类定理，同构定理与分类定理，存在定理（包括PBW定理），以及表示理论。内容共分七章，共74课时。
第一章 基本概念
本章内容主要有李代数的一些基本概念：导子、理想、同态、同构，可解李代数、幂零李代数，以及Engel定理。
第二章 半单李代数
本章内容主要有李定理与Cartan定理，Killing型，Weyl定理（表示的完全可约性定理），根空间分解等。
第三章 根系
本章内容有根系的公理化刻画，素根与Weyl群，根系的分类，根系的构造与自同构，以及权的一般理论。
第四章 同构定理与共轭定理
本章主要介绍同构定理、Cartan子代数，以及共轭定理。
第五章 存在定理
本章的内容包括：普遍包络代数与PBW定理，生成元与关系式以及单李代数的构造。
第六章 表示理论
本章主要介绍半单李代数的表示，内容有：权与极大向量，有限维模，Casimir元素，Freudententhal重数公式，特征标，Harish-Chandra定理，Weyl公式，Kostant公式。
第七章 Chevalley群与Chevalley代数简介
本章简单介绍复半单李代数的Chevalleu基，Chevalley群的构造，以及Kostant定理
考核方式 课后作业（20%）、课堂表现（10%）、期末考试（闭卷笔试，70%）
教材 J.E. Humphreys, 《Introduction to Lie Algebras and Representation
Theory》，Spinger-Verlag，1972.
两类6维幂零李代数的上同调群
第３３卷第１期 ２０１２年３月 上海海事 大学 学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＶｏＩ．３３ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０１２
文章编号：１６７２—９４９８（２０１２）０１—００９１－０４
两类６维幂零李代数的上同调群
杨恒云，叶鑫
（上海海事大学文理学院，上海２０１３０６）
摘要：由于低维幂零李代数的分类问题尚未解决，在ｄｅ ＧＲＡＡＦ研究的基础上，对复数域上两类
６维幂零李代数的低阶上同调群进行研究，确定其导子代数、自同构群及二上循环，其结果对进一
步研究一般幂零李代数的结构和表示具有参考价值．
关键词：李代数；导子代数；自同构群；二上循环
中图分类号：Ｏ１５２．５ 文献标志码：Ａ
Ｃｏｈｏｍｏｌｏｇｙ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｔｗｏ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ６－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ
ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａｓ
ＹＡＮＧ Ｈｅｎｇｙｕｎ，ＹＥ Ｘｉｎ
（Ｌｉｂｅｒａｌ Ａｒｔｓ＆Ｓｃｉｅｎｃｅｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖ．，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０１３０６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｏｗ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａｓ ｒｅｍａｉｎｓ ｕｎｒｅｓｏｌｖｅｄ，ｔｈｅ ｌｏｗ—ｄｉ—
ｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｏｈｏｍｏｌｏｇｙ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｔｗｏ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ６－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａｓ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ，
ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ａｌｇｅｂｒａｓ，ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ ２－ｃｏｃｙｃｌｅｓ ａｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ
ｏｆ ｄｅ ＧＲＡＡＦ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｐｒｏｖｉｄｅ ｒｅｆｅｒｅｎｅｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｙ ０ｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ
一类三步幂零李代数的导子代数
第２４卷第１期 ２００７年３月 苏州科技学院学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｓｕｚｈｏｕ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０ｏ７
一类三步幂零李代数的导子代数
杜宛娟 ，任斌
（１．西华师范大学数学系，四川南充６３７００２；２．苏州科技学院应用数学系，江苏苏州２１５００９）
摘要：具体确定了一类中心为二维的三步幂零李代数的导子代数，得到了导子代数的一些性质，并证明了这类幂 零李代数是可完备化幂零李代数。
关键词：幂零李代数；可完备化幂零李代数；导子
中图分类号：Ｏ１５２ ＭｌＲ（２伽Ｉｏ）Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：１７Ｂ３０
文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－０６８７（２ｏｏ７）０１－００３３－０４
确定幂零李代数的导子代数是幂零李代数研究的一个重要方面，但同时又是一项困难的工作，目前只 在一些特殊情况下得到了完整的结果，如Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ代数和ｆｉｌｉｆｏｒｍ代数 。这两类代数都是中心为一维的
幂零李代数，于是自然想到如下问题：中心为二维的某些幂零李代数的导子代数是否可以完全确定？目前这 方面的讨论还不多。笔者具体确定了一类中心为二维的三步幂零李代数的导子代数，并讨论了导子代数的
一些性质，同时证明了这类幂零李代数是可完备化幂零李代数。 文中讨论的李代数均是复数域Ｃ上有限维李代数。
１预备知识
引理１．１【 １若Ａｒ是幂零李代数，则下面的叙述等价
（１）｛ ， ，…， ｝是一个极小生成元系；
（２）｛ ＋，ｖ２，ｘ２Ｎ２，…， ＋，ｖ２｝是向量空间Ⅳ／，ｖ２一个基，这里肥【Ａｒ，ＩＶ］。
Ａｒ关于其上环面Ｈ（由ＤｅｒＡｒ的半单导子构成的交换子代数）有根空间分解：Ⅳ＿ Ⅳａ，这里 是 的对 ａＥ旷 偶空间，Ｎｏ：｛ｘ∈Ｎ ｌ ， 】＝ （＾ ，Ｖ ｈ∈ ｝。在 ＋Ａｒ中定义运算：【＾ｔ ｔ，＾ ２】＝＾ｔ 一＾ （ｙＩ）＋ ｔ，），２】，其中＾ｔ， ｈ ∈Ｈ，Ｙ ，Ｙ ∈Ｎ，则 ＋Ａｒ为可解李代数。
低维3-李代数的分类
低维３一李代数的分类 数学物理学报
ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ
白瑞蒲 王晓玲 （ 河北大学数学与计算机学院 河北保定０７１００２； 石家庄学院元氏分院 河北元氏０５１１３０）
摘要：该文研究了ｍ ５时特征为２的完备域上ｍ一维３一李代数的分类，并给出了各不同 构类的具体乘法表． 关键词：礼一李代数；分类；维数． ＭＲ（２０００）主题分类：１７Ｂ０５；１７Ｄ９９ 中图分类号：Ｏ１５２．５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３—３９９８（２０１０）０１—８６—１１
１ 引言
近几年来，礼一Ｌｉｅ代数的研究受到了多学科的关注，比如，几何学，力学及玄论等等． 在７Ｏ年代，Ｎａｍｂｕ为了用古典力学的方法描述三粒子夸克模型推广了Ｐｏｉｓｓｏｎ括号＿１』．得 到了３一元线性乘积｛，，｝， ｄｘ一｛ＨＩ，／－Ｉ２，ｚ｝，这里日１， 是Ｈａｍｉｌｔｏｎ量．Ｔａｋｈｔａｊａｎ［２］引 出了广义的Ｊａｃｏｂｉ等式，发展了Ｎａｍｂｕ的几何思想．揭示了Ｎａｍｂｕ力学系统与Ｆｉｌｉｐｐｏｖ 提出的ｎ—Ｌｉｅ代数的关系－３】．Ｂａｇｇｅｒ和Ｌａｍｂｅｒｔ【 ］利用度量ｎ—Ｌｉｅ代数建立了Ｍ２一ｂｒａｎｅｓ模 型．关于ｎ—Ｌｉｅ代数的更多应用可参见文献ｆ５—１２１＿ 在１９８５年，Ｆｉｌｉｐｐｏｖ［３＿提出了ｎ—Ｌｉｅ代数的概念且给出了（ｎ＋１） 维ｎ—Ｌｉｅ代数的分 类． Ｋａｓｙｍｏｖ［ ］在礼一Ｌｉｅ代数中提出了类似于Ｌｉｅ代数中的概念并对相关性质进行了研 究．因为其多元运算，在结构上ｎ—Ｌｉｅ代数与李代数有很大不同．例如在同构意义下特征为 零的代数闭域上仅有一类单的有限维ｎ—Ｌｉｅ代数（ｎ＞２）（见文献『１４］）．到目前为止，单的无 限维ｎ—Ｌｉｅ代数仅有Ｊａｃｏｂｉａｎ代数及其商代数构成的单代数［１５－－１６］．文献ｆ１７１证明了在特征 为２的完备域上有［号］＋１类单的（佗＋１）一维ｎ—Ｌｉｅ代数，但不存在单的（ｎ＋２）一维ｎ Ｌｉｅ 代数． 本文主要研究特征为２的完备域上ｍ一维３－Ｌｉｅ代数的分类（ｍ ５）．在第二部分介绍 本文要用到的基本概念．第三部分研究ｍ一维３一Ｌｉｅ代数的分类．
半单李代数的分类
半单李代数的分类
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
半单李代数是数学中的重要概念，它是李代数的一种特殊形式，具有一些特定的性质和结构。在数学领域中，半单李代数的分类是一个重要问题，它对理解和研究李代数及其应用具有重要意义。
我们来了解一下半单李代数的定义。半单李代数是指没有非平凡可约理想的李代数，即不存在一个真李子代数使得其同时是零理想和非平凡李子代数。简单来说，半单李代数是一种没有多余结构和性质的李代数，具有简单和基础的特征。
对于半单李代数的分类问题，数学家们进行了大量的研究和讨论。其中最著名的结果之一是Cartan-Killing分解定理，它指出任意半单李代数可以分解为一个半单理想和一个交换理想的直和。这个定理为半单李代数的分类提供了一个重要的框架和理论基础。
根据Cartan-Killing分解定理，我们可以将半单李代数分为两类：简单李代数和半单非交换李代数。简单李代数是指不能再分解为更小的非平凡理想的半单李代数，它具有最简单的结构和性质。而半单非交换李代数则是指可以分解为一个半单理想和一个非交换理想的半单李代数，它的结构和性质相对复杂一些。 在对半单李代数进行分类时，数学家们主要关注两个方面：一是结构的分类，即根据李代数的性质和关系将其分类为不同的类型；二是表示的分类，即根据李代数的表示理论将其分类为不同的类型。这两个方面相互联系，共同构成了对半单李代数分类的完整框架。
在结构的分类中，简单李代数是最基本的类型。简单李代数可以进一步分为有限维简单李代数和无限维简单李代数两种。有限维简单李代数是指其维度是有限的，例如有限维的李代数，并且满足某些附加条件。无限维简单李代数则是指其维度是无限的，例如无限维的李代数，并且也满足某些附加条件。
表示的分类是通过研究李代数的表示理论来对其进行分类。表示论是数学中的一个重要分支，它研究李代数的线性表示，从而揭示出李代数的一些基本性质和结构。通过表示论，我们可以将不同的半单李代数归类为同一个表示类，从而揭示出它们之间的联系和关系。
由结合代数构造q-李代数及低维q-李代数的分类
由结合代数构造q-李代数及低维q-李代数的分类
顾兴民;张娟娟;王宪栋
【期刊名称】《青岛大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(022)001
【摘 要】利用类似由结合代数构造李代数的方法来构造q-李代数,给出了要做成q-李代数须满足的条件.并且具体分析了1维,2维的q-李代数,使q-李代数进一步完善.
【总页数】3页(P15-17)
【作 者】顾兴民;张娟娟;王宪栋
【作者单位】青岛大学,数学科学学院,青岛,266071;青岛大学,数学科学学院,青岛,266071;青岛大学,数学科学学院,青岛,266071
【正文语种】中 文
【中图分类】O152.5
【相关文献】
1.关于一般q-李代数的普遍包络代数U(Lq)的研究 [J], 刘孝磊;李沫;刘晓燕;马翠玲
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3.关于可裂李代数的Nil-根和幂零根及低维分类 [J], 高永存
4.构造相应于有限维非退化李代数的顶点算子代数 [J], 刘子杰;张晶;王书琴
5.构造相应于有限维非退化可解李代数的顶点代数 [J], 王书琴 因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买