复合材料的基本理论

2.2.1 加和特性(mean properties)
主要由原材料的组合形状和体积分数决定复合材料 的性能。相当于力学性能中的弹性模量、线膨胀率等结 构不敏感特性。复合法则为
Pc ( Pi ) Vi
n i 1
N
式中Pc为复合材料的特性，Pi为构成复合材料的原材料的 特性，Vi为构成复合材料的原材料的体积分数，n由实验 确定，其范围为 -1n1。热传导、电导、透磁率等都属 于此类，称为移动现象。其稳态过程可以按静电场、静 磁场的方法处理。
β为图中lc/2线段上的面积与σf,max乘以lc/2积之比值。
l lc
当基体为理想塑性材料时，纤维上的拉应力从末端为零线形增大，则β=1/2，因此
l0 f ,max 1 2l

短纤维增强
若基体屈服强度为τmy，则纤维临界尺寸比为
当基体为弹性材料时

f ,max lc df 2 my
图为切变模型基础的示意图。（a）无应力体系；（b） 平行于纤维加拉伸载荷时的轴向位移u；（c）基体的切应力 和切应变随径向位置的变化。
nz i E I 3c 1 cosh sec hns r 0
nz n 3c i E I sinh sec hns r 2 0
2
3 1
横向（方向2）刚度 ：
fm 1 fm 1 E2c Em EI
这里只能给出粗糙近似值，这种等应力的方法常称作 “Reuss模型”。
泊松收缩(泊松比、泊桑比）： 层板模型也可以预测某些泊松收缩。泊松比ν 在i方向加力时，j方向上产生的收缩 。
ij ：
2
3 1
23c
E2c f I 1 f m E 3c E 2c 3K c


颗粒的尺寸较大(>1 μm) 基体承担主要的载荷 颗粒也承担载荷 颗粒约束基体的变形 σy 为复合材料的屈服强度
Gp为颗粒的切变模量 C为常数
颗粒的尺寸越小，体积分数越大，强化效果越好。一般在颗粒增强复合材料中， 颗粒直径为 1 ~ 50 μm，颗粒间距为1 ~ 25 μm，颗粒的体积分数为0.05 ~ 0.5。
虚线代表实验值
FEM优点：灵活有效，可研究复合材料的局部或整体变形特征。
2.2 物理性能的复合法则
对于复合材料，最引人注目的是其高比强度、 高比弹性模量等力学性能。但是其物理性能(nonstructural properties)也应该通过复合化得到提高。 按照Alberts和Halo的分类，物理性能分为: 加和（平均）特性 乘积（传递）特性 结构敏感特性






* F
lc * fF 1 V f m 1 V f 2l

式中σfF为纤维的平均拉伸应力，σm*为与纤维的屈服 应变同时发生的基体应力。
l/lc越大，拉伸强度越大; lc/2l <<1时，上式变为连 续纤维的强度公式; 当l=lc时，短纤维增强的 效果仅有连续纤维的 50%; l=10lc时，短纤维增强的 效果可达到连续纤维的 95%; 所以为了提高复合材料 的强度，应尽量使用长 纤维。
对于与时间有关的问题，时间也要离散化，从而可求得经一 系列时间步幅之后的一系列顺序解。
一般来讲，FEM比FDM更适合于（稳态）应力分析问题和 复杂的几何形状的情况。
数学基础
关于应力分析，基本方程的形式为
F=Ka 式中F为“力”矢量，K为“刚度”矩阵，a 为未知矢量（通常是位移）。
采用有限元法，应力分析 的基本步骤如下：
谢谢！
2) 连续同轴柱体模型
应力等 距纤维中心的距离
能用于预测内应力
假设所涉及的材料都是横向各向 同性的，那么，当体系受均匀的外加 载荷（轴向或径向）或温度变化时， 该体系内的弹性应力状态的解析解是 存在的。这些解是通过对应力和应变 加协调的边界条件，得到可用标准方 法求解的线性联立方程式组求解得出。
基体与纤维发生同样的应变ε c=ε m=ε f =ε
r
• A r/ A c ----（2）
（2 ）式两边同除以ε ， σ / ε = E
E c
= E m • f m+ E r • f r
连续纤维增强（串联模型，等应力模型）
f m f r Em f r Er 1 f r 1 Ec Em Er Em Er
为达到强化目的，必须满足下列条件： 1)增强纤维的强度、弹性模量应远远高于基体;
2)纤维和基体之间应有一定的结合强度;
3)纤维的排列方向要和构件的受力方向一致; 4)纤维和基体之间不能发生使结合强度降低的化学反应; 5)纤维和基体的热膨胀系数应匹配; 6)纤维所占的体积分数，纤维长度L和直径d及长径比L/d 等必修满足一定要求。
2EM n E I 1 M ln1 / f
n 是无量纲常数
1 2
4)有限差分与有限元模型
材料科学中的大多数问题都是要寻求一个普遍的二维二阶 方程的特定解：
a 2 b 2 c d e f g h 0 xy x y t x y
短纤维增强
σ σ
f lc为纤维中点的最大拉应力恰等于纤维的断裂强度时纤维的长度（临界长度） f max
l<lc

l=lc
lc:
1 l lc f dl f ,max 1 1 l 0 l
2 2 2
自变量：x、y（空间）；t（时间） 函数：φ （温度、浓度、电势、动量等） 事实上，拉普拉斯方程、泊松方程、高斯方程、 菲克方程、傅立叶方程、胡克方程、柯西-雷 曼方程、纳维-斯脱克斯方程等 都是这种形式。

要获得这种解的方法可分成有限差分法（FDM）和有限元 法（FEM）。这两种方法都需要把空间离散化，即将有关的结构 组分分成一定数目的小畴或体积元。
Ef
并联模型
Em
串联模型
体积分数fr
4)短纤维增强
短纤维（不连续纤维）增强复合材料受力时， 力学特性与长纤维不同。该类材料受力基体变形 时，短纤维上应力的分布载荷是基体通过界面传 递给纤维的。在一定的界面强度下，纤维端部的 切应力最大，中部最小。而作用在纤维上的拉应 力是切应力由端部向中部积累的结果。所以拉应 力端部最小，中部最大。
1
21c 1 23c
式中
f 1 f Kc KI Km E 2c K 31 2
预测的泊桑比与SiC纤维在钛中的体积分数间的函数关系
概括地说，基于层板模型可用于预测长纤 维复合材料的弹性常数，但一般不能用于预测 内应力。这一点加上它不能用于非连续增强复 合材料，决定了它在MMC方面的应用是非常 有限的。
3)切变延滞模型
最广泛地应用于描述加载对顺向排列短纤维复合材料影 响的模型。 这一模型最早由Cox提出来，后来由其他许多人进一步 发展了这个模型。
这一模型的中心点在于认为拉伸应力由基体到纤维是通 过界面切应力来传递的。
应力是通过界面由基 体传递给纤维 适用于定向排列短纤 维 外加载荷平行于纤维 轴向 通过考虑基体内和界 面上切应力的径向变 化而建立的。
复 合 材 料
江民红
桂林电子工业学院信息材料科学与工程系
2 复合材料的基本理论
2.1力学性能的复合法则（第二讲，3学时）

增强原理: 弥散增强、颗粒增强、 长纤维增强、短 纤维增强
层板模型、 切变延滞模型、 连续同轴柱体模型、
有限差分与有限元模型

几种主要的力学模型：
2.2物理性能的复合法则（第三讲，1学时）
1 sin 1 t anh Al / d f f ,max Al / d f



A
1 3G f / Gm 2G f / Gm V f2 / 3 1 V f1 1
短纤维增强复合材料的拉伸强度为
24G f / E f 1 V f / Vm E f / Em
y
Gm b 2d 2 1 Vp 3V p
1 2


弥散质点的尺寸越小，体积分数越大，强化效果越好。一般Vp=0.01 ~ 0.15， dp=0.001μm ~ 0.1 μm 基体发生位错运动时，复合材料产生塑性变形，此时剪切应力τy即 为复合材料的屈服强度
（2）颗粒增强

加和特性


传递特性
结构敏感特性
2.复合材料的基本理论
材料的微观组织 形状、分散程度 体积分数 几何学特征 原材料的性能 力学性能 物理性能 界面的状态
复合材料的 基本理论
复合材料的 整体性能
复合材料理论与组织、性能之间的关系
2.1 力学性能的复合法则
2.1.1 增强原理
复合材料的载荷=基体载荷+纤维载荷 Pc=Pm+Pr
因P=σ • A，所以σ c • A c= σ m • A m+ σ r • A r ----（1） A c= A m+ A r A m / A c= f m A r / A c= f r (面积分数=体积分数)
（1）式两边同除以A c ， σ c • A c/ A c= σ m • A m/ A c+ σ 即σ c = σ m • f m + σ r • f r
为了提高力学性能而研制的复合材料，有三种类型： （1）弥散增强型； （2）颗粒增强型； （3）纤维增强型（连续纤维、短纤维增强）。
其中（1）、（2）两种类型的增强原理几乎是相同的，而（3） 型属于另外一种。
颗粒增强型 50x
50μm
弥散增强型 50x