数学归纳法前期报告

大学本科毕业设计（论文）前期报告

毕业设计（论文）题目：数学归纳法的原理及应用

专业：数学与应用数学

一﹑工作过程

本课题主要研究的是数学归纳法的原理及应用。毕业设计工作的过程大致分为：首先熟悉毕业设计任务，收集相关资料。研究数学归纳法的基本原理，及其各种表现形式和应用，为后期的工作做准备。然后系统地介绍数学归纳法的原理，讨论基本表现形式和性质，并利用大量例证来讨论数学归纳法在数学证明中应用。

采用的研究手段是查阅文献资料，结合查找的资料，进行系统的归纳，提炼，总结，论述数学归纳法的相关性质及与各方面的联系和应用等。

毕业设计（论文）工作进度：现已按时顺利完成任务书要求前期工作。

二、文献综述

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法。最简单和常见的数学归纳法是证明当n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

（1）证明当n=1时命题成立。

（2）证明如果在n = k 时命题成立，那么可以推导出在n = k+1时命题也成立。（k代表任意自然数）

1. 数学归纳法的发展历程

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，从普通不严密的“归纳法”到精确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”等，数学归纳法已经有两千多年的历史了。

数学归纳法最早可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹，如印度婆什迦罗的“循环方法”和欧几里德素数无限的证明中都可以找到这种踪迹。李文林翻译的美国数学史教授V•J•Katz在《数学史通论》（第二版）中表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师莱维•本•热尔森（Levi ben Gerson，1288~1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法的归纳推理。

但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494- 1575），但他也未对数学归纳法证明中的奠基和归纳推理这两个步骤进行明确的描述。真正明确数学归纳法证明两步的应该还是17世纪的数学家帕斯卡( B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。“数学归纳法”名称则是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用而推广。

然而严格意义上的数学归纳法的建立，是在数的理论充分发展及对无穷概念有较深刻的认识后才得以完成的。十七世纪后，在数学归纳法有了明晰的框架后，发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、反向归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、双重甚至多重归纳法等各种形式的数学归纳法。至1889年意大利数学家C•皮亚诺( C. Peano , 1858~ 1932 )发表《算术原理新方法》，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础。（参见[1][2]）

2. 数学归纳法与归纳法

逻辑上的归纳法是指从一系列有限的特殊事例推出一般性结论的推理方法，从肯定全体对象中的一系列有限的个别事物到肯定全体对象。但数学归纳法并不具备这些特征。逻辑中的演绎法是由一般性的前提推到个别性的结论的推理方法，演绎推进的前提必然蕴涵结论。从数学归纳法的理论根据来考察，还是从它的推理过程来考察，数学归纳法本质上都是一种演绎法。现代美国数学家、数学教育家波利亚(G. Polya, 1887- 1985)曾这样评论“数学归纳法”这一名称：“归纳法是通过对特例进行观察与综合以发现一般规律的过程. 它用于所有科学甚至数学。数学归纳法则仅在数学中用以证明某类定理。从名称上看，二者有联系, 但二者在逻辑方面的联系极少。不过两者之间还有某种实际联系；我们常把两种方法一起使用。”（参见[1][3]）

3. 数学归纳法的本质

数学归纳法的理论根据是数学归纳法原理，其来源于皮亚诺的自然数公理。

皮亚诺自然数公理内容如下：

①1是自然数；

②每一个自然数a，都有一个后继数a'，a' 也是自然数；

③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；

④1不是任何自然数的后继数；

⑤对于自然数的命题，如果它对自然数1是正确的，假设它对自然数n 为真时，可以证明它对后继数n'也真，则命题对所有自然数都为真。

（因后来把0也作为自然数，所以公理中的1要换成0。）

数学归纳法原理即为上述皮亚诺自然数公理的第⑤条：设有一个与自然数 n 有关的命题 P (n) ，如果满足

(1) 当 0n n = (0n N ∈, 01n ≥) 时 , P (n) 成立；

(2) 假设 n k = (k N ∈, 0k n ≥) 时 , P (n) 成立, 则 1n k =+时 P (n)也成立；

那么命题 P (n) 对于0n n ≥的所有自然数 n 都成立。

其证明如下：

设P(n)是依赖于自然数n 的一个命题, M 是使命题 P (n) 成立的那些自然数的集合。于是，

由数学归纳法条件(1)，0n n =时，P (n)成立，故0n M ∈， (01n ≥)；

由数学归纳法条件(2)，假设n k =时P(n)成立，推得 1n k =+ 时，P (n) 成立，故知一旦k M ∈，k 的直接后经为'k M ∈。

由此可知，使命题P (n) 成立的自然数集合M 满足皮亚诺公理条件①②，所以M 含有

0n n ≥的一切自然数，于是命题P(n)对0n n ≥的一切自然数 n 都成立。证毕。

（参见[3][5]） 自然数公理和数学归纳法原理承认与自然数相关的许多无穷数目的命题能够通过递推解决，集合论承认无限的全体中无限能够构造完，由此可知，数学归纳法实质上有一个无限递推下去的过程。（参见[3]）

4. 数学归纳法的应用

利用数学归纳法可以证明关于自然数的等式和不等式。此外，可以利用数学归纳法定义一些关于自然数集或非负整数集上的函数，如阶乘函数和裴波拉契函数，还可以利用数学归纳法定义某些集合。（参见[4]）

参 考 文 献：