数学归纳法

数学归纳法知识点数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．7 易误提醒运用数学归纳法应注意：(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．1．利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即n＝k＋1时命题为什么成立？n＝k＋1时命题成立是利用假设n＝k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n＝k＋1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．2．运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．【自主练习】1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋142．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)一 用数学归纳法证明等式|例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 【练习】1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n－1n (n ＋1)2. 思考：证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取 n 0(n 0∈N *)时命题成立．(2)(归纳递推)假设 (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．【答案】 导学1. 解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数，所以f (n )中共有n 2－n ＋1项，且f (2)＝12＋13＋14，故选D.2. 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B.答案：B习题11.证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2.∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N *，有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2.二 用数学归纳法证明不等式|例2 设数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n .，求证：对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2. 练习2．数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.测：对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确请写出正确解法【答案】例2[证明] ∵数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n ， ∴a 2＝a 1－a 21>0，解得0<a 1<1.当n ＝2时，a 3＝a 2－a 22＝14－⎝⎛⎭⎫a 2－122≤14，不等式成立， 假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即a k ≤1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k －a 2k ＝14－⎝⎛⎭⎫a k －122≤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2－122＝k ＋1(k ＋2)2<k ＋1(k ＋1)(k ＋3)＝1(k ＋1)＋2，∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2.习题2．数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n，即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.证明：法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 法二：(数学归纳法)当n ＝1时，1S 1＝1，n n ＋1＝12，不等式成立．假设当n ＝k 时，不等式成立，即1S 1＋1S 2＋…＋1S k >kk ＋1.则当n ＝k ＋1时，1S 1＋1S 2＋…＋1S k ＋1S k ＋1>k k ＋1＋1(k ＋1)2，又k (k ＋1)＋1(k ＋1)2－k ＋1k ＋2＝1－1k ＋1＋1(k ＋1)2－1＋1k ＋2＝1k ＋2－k (k ＋1)2＝1(k ＋2)(k ＋1)2>0， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S k ＋1S k ＋1>k ＋1k ＋2， ∴原不等式成立．【测】D 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中没有用到归纳假设，故从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确．三归纳—猜想—证明问题|例 3 将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n －1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…习题3．设a>0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．【答案】例3[解] 由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14；当n ＝2时，S 1＋S 3＝16＝24； 当n ＝3时，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34； 当n ＝4时，S 1＋S 3＋S 5＋S 7＝256＝44. 猜想：S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4. 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2k －1＝k 4，那么，当n ＝k ＋1时，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2k －1＋S 2k ＋1＝k 4＋[(2k 2＋k ＋1)＋(2k 2＋k ＋2)＋…＋(2k 2＋k ＋2k ＋1)]＝k 4＋(2k ＋1)(2k 2＋2k ＋1)＝k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1＝(k ＋1)4，这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任意的n ∈N *，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4都成立． 习题3解：(1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a3＋a .猜想a n ＝a(n －1)＋a(n ∈N *)．(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a(k －1)＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k ＝a ·a (k －1)＋aa ＋a (k －1)＋a＝a(k －1)＋a ＋1＝a [(k ＋1)－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确．由①②知，对于任意的n ∈N *，都有a n ＝a(n －1)＋a成立.四、数学归纳法在证明不等式中的易误点例4 设函数f(x)＝x－sin x，数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)．(1)若a1＝2，试比较a2与a3的大小；(2)若0<a1<1，求证：对任意n∈N*,0<a n<1恒成立．[习题]4、若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{x n}如下：x1＝2，x n＋1是过点P(4,5)，Q n(x n，f(x n))的直线PQ n与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n<x n＋1<3.思考：(1)用数学归纳证明不等式的关键是由命题成立，证明命题成立．(2) 时命题成立是利用假设时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论出来的，而不是，否则n＝k＋1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．【答案】例4[易误点评] (1)不会作差比较a 2与a 3大小，同时忽视了sin 2的值大小．(2)证明n ＝k ＋1成立时用不归纳做证n ＝k 成立条件导致失误．[解] (1)当a 1＝2时，a 2＝f (2)＝2－sin 2∈(0,2)，所以sin a 2>0，又a 3＝f (a 2)＝a 2－sin a 2， 所以a 3－a 2＝－sin a 2<0，所以a 2>a 3.(2)证明：用数学归纳法证明当0<a 1<1时，对任意n ∈N *,0<a n <1恒成立．①当n ＝1时，0<a 1<1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，0<a k <1，所以sin a k >0，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－a k ＝－sin a k <0，所以a k ＋1<a k <1.因为f (x )＝x －sin x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )是(0,1)上的单调递增函数，所以a k ＋1＝f (a k )>f (0)＝0，即0<a k ＋1<1，故当n ＝k ＋1时，结论成立．综上可得，当0<a 1<1时，对任意n ∈N *,0<a n <1恒成立．习题4证明：(1)当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)．∴直线PQ 1的方程为y ＝4x －11，令y ＝0，得x 2＝114，因此，2≤x 1<x 2<3，即n ＝1时结论成立． (2)假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.∴直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)． 又f (x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3，代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1，由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2. 所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)，(2)知对任；意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.【测试】1用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N ＋)，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需增乘的代数式为( )．A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋12平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为( )．A ．f(k)＋kB ．f(k)＋1C ．f(k)＋k ＋1D ．kf(k)3利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)＜1(n ∈N ＋，且n ≥2)时，第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式左端的变化是( )．A ．增加了12k ＋1这一项 B ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项 C ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少了1k 这一项 D ．以上都不对4用数学归纳法证明“若f(n)＝1＋12＋13＋ (1)，则n ＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝nf(n)(n ∈N ＋，且n ≥2)”时，第一步要证的式子是___________________________________．5在数列{an}中，a1＝1，且Sn ，Sn ＋1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想Sn ＝________.1. 用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N ＋，n ≥2)．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1n f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2n ，n ＝1，S 2n －S n －1，n ≥2，(1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．3．已知数列{a n }满足a 1＝a >2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：对任意n ∈N *，a n >2；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n <2n ＋43.【答案】1．B n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)，而n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k)(2k ＋1)(2k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)(2k ＋1)．2．A 第k ＋1条直线与原来k 条直线相交，最多有k 个交点．3．C 不等式左端共有n ＋1项，且分母是首项为n ，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n ＝k 时，左端为1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ；当n ＝k ＋1时，左端为1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，对比两式，可得结论． 4．2＋f(1)＝2f(2) 起点n0＝2，观察等式左边最后一项，将n ＝2代入即可．5．32，74，158 2n －12n －1由题意，得2Sn ＋1＝Sn ＋2S1，且S1＝a1＝1，令式子中的n 分别取1,2,3，可得S2＝32，S3＝74，S4＝158，从而猜想Sn ＝2n －12n －1.1.证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立． (2)假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k－1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立． 由(1)，(2)知原不等式在n ∈N ＋，n ≥2时均成立．2.证明：(1)由已知f (1)＝S 2＝1＋12＝32， f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝1312， f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝1920； (2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1；下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，f (n )<1.①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；②假设n ＝k (k ≥3)时，f (k )<1，即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋ (12)<1，那么 f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＝1＋2k －(2k ＋1)2k (2k ＋1)＋2k －(2k ＋2)2k (2k ＋2)＝1－12k (2k ＋1)－1k (2k ＋2)<1，所以当n ＝k ＋1时，f (n )<1也成立． 由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1.所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1；当n ≥3时，f (n )<1.3.解：(1)证明：用数学归纳法证明a n >2(n ∈N *)；①当n ＝1时，a 1＝a >2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k >2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2>2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n >2成立．(2){a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n >2，所以a 2n ＋1－a 2n <0，所以a n ＋1<a n .这说明{a n }是单调递减的数列．(3)证明：由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，所以a 2n ＋1－4＝a n －2. 根据(1)知a n >2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2<14，所以a n ＋1－2<14(a n －2)<⎝⎛⎭⎫142·(a n －1－2)<…<⎝⎛⎭⎫14n (a 1－2)．所以，当a ＝3时，a n ＋1－2<⎝⎛⎭⎫14n ，即a n ＋1<⎝⎛⎭⎫14n ＋2. 当n ＝1时，S 1＝3<2＋43. 当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n <3＋⎝⎛⎭⎫14＋2＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋2＋…＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14n －1＋2＝3＋2(n －1)＋141－14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1＝2n ＋1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1<2n ＋43.综上，当a ＝3时，S n <2n ＋43(n ∈N *)．。