人教版数学备课资料浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
数学归纳法在证明中的应用如何通过数学归纳法在证明中解决高中数学问题
数学归纳法在证明中的应用如何通过数学归纳法在证明中解决高中数学问题数学归纳法在证明中的应用数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它在高中数学中有着广泛的应用。
通过数学归纳法，我们可以有效地解决各种数学问题。
本文将介绍数学归纳法的基本原理和在高中数学问题中的应用。
一、数学归纳法简介数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它基于两个基本假设：基础情况成立和归纳步骤成立。
具体而言，数学归纳法可以分为三个步骤：1. 基础情况的证明：首先需要证明当n取某个特定值时，命题成立。
通常这个值为1或者0，取决于具体问题。
2. 归纳步骤的假设：假设当n=k时，命题成立。
这一步是假设我们已经证明了n=k时命题成立的情况。
3. 归纳步骤的证明：通过基于归纳步骤的假设，证明当n=k+1时，命题也成立。
这一步一般需要通过将n=k的情况推广到n=k+1的情况来完成。
二、数学归纳法在高中数学问题中的应用1. 证明数列的性质：数学归纳法常常用于证明数列的性质，比如等差数列和等比数列。
以等差数列为例，我们可以通过数学归纳法证明其通项公式。
2. 证明不等式的成立：数学归纳法可以用于证明不等式在某个范围内的成立。
例如，我们可以通过数学归纳法证明对于所有正整数n，2^n > n^2。
3. 证明恒等式：数学归纳法也可以用于证明恒等式的成立。
例如，我们可以通过数学归纳法证明Fibonacci数列的递推公式。
4. 证明图形的性质：数学归纳法可以用于证明图形的性质，比如几何图形中的等式或者不等式。
例如，我们可以通过数学归纳法证明平面上n个点可以构成n(n-1)/2条直线。
5. 证明数学问题的结论：数学归纳法可以用于证明一些数学问题的结论。
例如，我们可以通过数学归纳法证明所有的偶数都可以被2整除。
通过以上几个例子，我们可以看到数学归纳法在高中数学问题中的广泛应用。
通过合理运用数学归纳法，我们可以简化证明过程，提高解题效率，使得数学问题的解决更加清晰明了。
浅谈数学归纳法的认识及应用
浅谈数学归纳法的认识及应用【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。
本文通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法的应用。
要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。
最后我们在通过用数学归纳法证明命题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
【关键词】归纳法猜想证明方法(一）数学归纳法的概述归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在高中数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
[1]例如：大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？试验（1）从大球中取出5个小球，发现全是红色的。
推理大球中装的全是红球判断考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。
不完全归纳法得到的结论不一定正确。
试验（2）从大球中取出所有的小球，发现全是红色的。
推理大球中装的全是红球判断考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。
完全归纳法一定是正确！[2]数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解高中数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法。
用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n。
结论正确；(2)假设当n=k（k∈N，且k≥n。
）时，结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。
由（1）、（2）可知,命题对从n。
开始的所有正整数n都正确。
这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
数学ⅱ人教新资料说数学归纳法及其应用说课稿
数学ⅱ人教新资料说数学归纳法及其应用说课稿本卷须知1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
数学归纳法及其应用举例是人教社全日制普通高级中学教科书数学第三册〔选修II〕第二章的内容，归纳法是人们认识真理的常用方法，而数学归纳法是种思想，这种思想方法是人类智慧的骄傲.本节共三课时，这是第一课时，主要内容是数学归纳法理解与简单应用、我主要针对第一课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.【一】教材分析1.1数学本质及在教材中的地位和作用本课是数学归纳法的第一节课.前面学生已经通过《数列》一章内容和其它相关内容的学习，初步了解和使用了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法.不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段，几乎可以说全部中学数学教材都贯穿了归纳法基本思想.但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法.因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法－－－数学归纳法.是将无穷的归纳过程转为有限的演绎过程的一种思维方法.数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节.它的操作步骤简单、目标明确.教学的最终目的应该是数学归纳法的应用.数学归纳法不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的，它是一种高明的数学思维，用数学归纳法去论证与自然数N有关的命题更具普遍性；学习数学归纳法，不仅能证明有关问题，更重要的是可以开阔学生的眼界，还可以使他们受到论证思维的训练..本节内容也是培养学生严密的推理能力、训练学生抽象的思维能力、体验数学内在美的好素材.1.2教学诊断分析运用数学归纳法证明与自然数N有关的命题虽说只有两步，但是原理很抽象、新教学理念告诉我们，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的简单操练.对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重、为什么必须是两步呢？于是作为教师就会被动，可能反复举例，说明二步缺一不可、你怎么知道N＝K时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受、学完了数学归纳法的学生又往往会出现“短路”问题，应该用时却想不起来，等等、为此，我在教学设计中，设法进行强化数学归纳法产生过程的教学，通过列举一定的实例，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法完善结合起来、把数学归纳法的原理与生活联系，这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机、在学生数学归纳法理解中恰当的融入数学史的教学，也正面提升了学生数学学习的态度与学习成就感.应此，根据本课的教学要求、内容特点和学生现有认知水平，不难确定本课教学重点为归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理；教学难点是数学归纳法中递推思想的理解，初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可、此外，数学归纳法的应用将重点放在下一课时完成，这种设计不仅使学生能够充分认识数学归纳法的原理与本质，更为课后的自修学习提供了很大的空间，便于发挥学生探究学习的主动性、【二】学情分析2.1学生的认知特点：我所在的学校是省属重点中学，所教的班级是重点班，学生基础还不错.在知识方面，对数列已经熟悉，通过回顾数学旧知，追溯归纳，借助数学史料，促使思辨，新知教学会有很好的基础；在技能方面，高二学生，有较强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2教学目标的拟定：鉴于这些特点，并结合教学大纲的要求以及对教材的分析，我拟定如下的教学目标：知识与技能：⑴了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法，理解数学归纳的原理与实质；⑵掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题〔如恒等式等〕、⑶培养学生观察，分析，论证的能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想、过程与方法：⑴努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率、让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想；⑵通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力；⑶让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观：⑴通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
浅谈数学归纳法的应用
=1，所以当 n=1 时，命题成立； （2）假设当 n=k (k ∈ N * ) 时命题成立， 即 1 + 4 + 7 + ⋅ ⋅ ⋅ + (3k − 2) = 1 k (3k − 1) ，
2
则当 n = k + 1 时，
1 + 4 + 7 + ⋅ ⋅ ⋅ + (3k − 2 ) + [3(k + 1) − 2]
经 验 交 流
浅谈数学归纳法的应用
352100
【摘 要】 数学归纳法是证明和正整数 相关命题的一种有效的方法，本文简单介绍 了数学归纳法的历史背景、地位、概念、数 学归纳法的步骤以及应用数学归纳法证明时 的技巧，重点阐述数学归纳法在证明中的应 用与在探究问题中的应用。 【关键词】 数学归纳法；正整数；中学 数学 已知最早的使用数学归纳法的证明出现 于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575 年 ).Maurolico 利用递推关系巧妙的 证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n2，由此 揭开了数学归纳法之谜。无论是毛罗利科还 是帕斯卡，也无论是伯努利还是其后的数学 家们，虽然都在不断地使用数学归纳法，但 在很长的时期内并授有给他们的方法以任何 名称 . 只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利 的工作，才引进了“纳法”一名称。后来在 很长的一段时间内“归纳法”又被不同的数 学家称为 “逐收归纳法” 以及 “证明归纳法” ， 随着时间的推移，后来的通用教科书都只能 用数学归纳法，而不再使用“逐收归纳法” 以及“证明归纳法”。 中学数学中的许多重要结论，如等差数 列、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式 等都可以用数学归纳法进行证明。运用数学 归纳法可以证明许多数学问题，如证明代数 问题、证明几何问题、证明初等数论问题等。 既可以开阔眼界，又可以受到推理论证的训 练。对于一些用常规的分析综合法不容易证 明的题，用数学归纳法往往会得到一些意想 不到的好结果。数学归纳法在进一步学习高 等数学时会经常用到，因此掌握这种方法可 以为今后的高等数学的学习打下一个良好的 基础。 1 数学归纳法的概述 数学归纳法概念：数学归纳法是数学上 证明与正整数 N 有关的命题的一种特殊方法， 它主要用来研究与正整数有关的数学问题。 2 数学归纳法的步骤 ①当 n=1 时 , 这个命题是正确的。 ②假设当 n=k 时 , 这个命题是正确的 , 那 么当 n=k+1 时 , 这个命题也是正确的。 3 数学归纳法的典型应用 数学归纳法是证明与正整数有关的命题 的一种极为有效的方法，它在证明中的应用 是十分广泛的。应用数学归纳法可以证明代 数问题、 证明几何问题、 证明初等数论问题等。 3.1 归纳法在证明中的应用 3.1.1 在代数证明中的应用 例 1．用数学归纳法证明：
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1），由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。
浅议数学归纳法的应用
浅议数学归纳法的应用
数学归纳法是一种思维方式，它是从一般原理出发，到达特殊情况的规律性思维模型。
它具有可数的、可经验的推导，它的作用深远，在科学研究,学术分析及决策等方面都得到认可和应用。
下面就以列表的形式总结数学归纳法的应用：
一、在数学研究中的应用
1.可以从定理的初始情况开始，利用数学归纳法来证明定理，推导出新的定理。
2.可以根据定义形式推导出结论，从而解决问题。
二、在科学研究中的应用
1.可以利用它来构建模型。
2.可以用它来分析和预测实际问题，例如物理或营养等问题。
三、在社会学分析中的应用
1.可以用来解释不规则的社会现象，以及危机的滋生以及发展。
2.可以用它来探索社会变化规律并发现分布规律。
四、在计算机技术领域中的应用
1.可以用数学归纳法来识别微机程序的性质，从而优化程序的性能。
2.可以用数学归纳法来识别编程错误，从而及早改正错误并保证程序的安全运行。
总之，数学归纳法是一种有效的思维方式，它的作用不仅仅是在数学领域，而且还在科学研究、学术分析、社会学分析和计算机技术领域中都有其实际的应用，从而为社会的进步和发展做出了贡献。
人教版数学备课资料例析数学归纳法中的解题技法.
“法”中有“法”——例析数学归纳法中的解题技法数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。
在运用数学归纳法时,如果能够恰当地应用其它数学思想方法,可能会让你的解题过程更灵活.（一）等价转化法在应用数学归纳法解决问题时，若从问题本身解决有困难或者不利，可以用等价转化思想将问题变得简单，易处理.例1.某个命题与自然数n 有关，如果当n=k(k ∈N *)时该命题成立，则可以推得n=k+1时该命题也成立．现已知n=5时该命题不成立．则（ ）A.n=4时该命题成立B. n=6时该命题不成立C.n=4时该命题不成立D. n=6时该命题成立解析：题目中n=k 成立⇒n=k+1成立，其逆否命题为：当n=k+1不成立，则n=k 不成立，因为n=5时命题不成立，因此n=4时命题也不成立，因此答案选C.点拨：本题的解决,利用原题与其逆否命题等价进行转化,使问题变得很简单.（二）数形结合利用数学归纳法证明几何问题时，需要借助数形结合才好解决．例2.证明凸n 边形的对角线的条数)4)(3(21)(≥-=n n n n f . 证明：(1)当n=4时, 2)34(421)4(=-⨯⨯=f , 四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设，n=k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数)4)(3(21)(≥-=k k k k f , 当n=k+1时，凸k+l 边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A k+1，增加的对角线条数是顶点A k+1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加了对角线条数(k+1-3)+1=k-1.)2)(1(21)2(211)3(21)1(2-+=--=-+-=+k k k k k k k k f =],3)1)[(1(21-++k k 故n=k+1时，命题成立．由(1)(2)可知，对于n ≥4,n ∈N *命题成立．点拨：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少．(三)原理法直接应用数学归纳法原理证明相关问题，注意原理的方法与步骤．例3.已知n S n 14131211+++++= (n>1,n ∈N *),求证：212n S n +>(n>1,n ∈N *). 分析：由题设条件n>1,n ∈N *知，本题可用数学归纳法证明，但需注意S n 是n 项之和，S 2n 是2n 项之和，S 2k 是2k 项之和．证明：(1)当n=2时，命题成立．(2）假设n=k 时，命题成立．由(1)(2)可知，不等式212n S n +>(n>1, 且n ∈N *)成立． 点拨：本题为一个不等式证明问题,难度经常大于等式的证明,其中由n=k 成立 →n=k+1成立时,用到了放缩思想,注意体会！(四)插项法用数学归纳法证明相关问题时，尤其是证明整除问题时，有时需要用到插项法解决.例4.证明x n -na n-1 x+(n-1)a n 能被(x-a)2整除(n ∈N *,n ≥2).证明：（1）当n=2时，x n -na n-1 x+(n-1)a n =x 2-2ax+a 2=(x-a)2显然能被(x-a)2整除；(2)假设n=k 时,f(x) =x k -ka k-1x+ (k-1) a k 能被(x-a)2整除，那么当n=k+1时，f(k+1)=x k+1-(k+1)a k x+ka k+1=x(x k -ka k-1 x +(k-1)a k )+ka k-1(x-a)2.即f(k+1)＝xf(k)+ka k-1(x-a)2．∵f(x)能被(x-a)2整除，∴f(k+1)能被(x-a)2整除．即n=k+1时，命题成立．由(1)、(2)可知，对n ≥2,n ∈N *，命题成立．点拔：本题得证的关键是找出f(k+1) 与f (k)的关系，运用归纳假设就可获证． 数学归纳法是证明关于自然数n 的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式，就显得特别重要．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立. （2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k －1－1），由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k 2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k)101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k这就是说，等式当1+=k n 时也成立． 综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立．三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立。
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2)13(1--≤n nn b 所以 12212)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n nn n b b b S2131)213(1)13(----⋅-=n.33221311)13(=--⋅-<故对任意.332,<∈*n S N n 例4．已知数列｛ｂn ｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100． （1）求数列｛ｂn ｝的通项公式ｂn ； （2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝lg （1＋nb 1），记S n 为｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与 21lg ｂn ＋1的大小，并证明你的结论． 解：（1）容易得ｂn ＝2n －1.（2）由ｂn ＝2n －1，知S n ＝lg （1＋1）＋1g （1＋31）＋…＋lg （１＋121-n ） ＝lg （１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）. 又211g b n ＋１＝1g 12+n ， 因此要比较S n 与211g b n ＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）与12+n 的大小. 取n =1，2，3时可以发现：前者大于后者，由此推测（1+1）（1+31）· …· （１＋121-n ）＞12+n . ① 下面用数学归纳法证明上面猜想： 当n =1时，不等式①成立.假设n =k 时，不等式①成立，即（1＋1）（1＋31）·…·（１＋121-k ）＞12+k .那么n =k +1时，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k ）（１＋121+k ）＞12+k （１＋121+k ）＝1212)1(2+++k k k .又［1212)1(2+++k k k ］2－（32+k ）2＝121+k ＞０，∴1212)1(2+++k k k ＞32+k =.1)1(2++k∴当n =k +1时①成立.综上所述，n ∈N*时①成立．由函数单调性可判定S n ＞211g b n ＋１.四、用数学归纳法解决某些与正整数有关的探索性问题由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．例5、已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg a n －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论解：∵f （n ）=f （n －1）+lg a n －1，令n =2，则f （2）=f （1）+f （a ）=－lg a +lg a =0 又f （1）=－lg a ，∴⎩⎨⎧=+=+.1420αββα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,21βα∴f （n ）=（21n 2－21n －1）lg a证明：（1）当n =1时，显然成立（2）假设n =k 时成立，即f （k ）=（21k 2－21k －1）lg a ， 则n =k +1时，f （k +1）=f （k ）+lg a k =f （k ）+k lg a=（21k 2－21k －1+k ）lg a =［21（k +1）2－21（k +1）－1］lg a ∴当n =k +1时，等式成立综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=21，β=－21，使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任意n ∈N *都成立 点评：本题是探索性问题．它通过观察――归纳――猜想――证明这一完整的过程去探索和发现问题，并证明所得出的结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力． 六、数学归纳法与其它知识点的交汇数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．例6、平面上有n 个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证这n 个圆分平面为n 2－n ＋2个部分．证明：（1）当n ＝1时，n 2－n ＋2＝1－1＋2＝2，而一个圆把平面分成两部分，所以n ＝1时命题成立．（2）设当n ＝k 时，命题成立，即k 个圆分平面为k 2－k ＋2个部分，则n ＝k ＋1时，第k ＋1个圆与前k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点把第k ＋1个圆分成2k 段，每一段把原来的所在平面一分为二，故共增加了2k 个平面块，共有k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分．∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由（1）（2）可知，这个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分．点评：关于这类几何问题，关键在于分析k 与k ＋1的差异，k 到k ＋1的变化情况，然后借助于图形的直观性，建立k 与k ＋1的递推关系．例7．如下图，设P 1，P 2，P 3，…，P n ，…是曲线y =x 上的点列，Q 1，Q 2，Q 3， …，Q n ，…是x 轴正半轴上的点列，且△OQ 1P 1，△Q 1Q 2P 2，…，△Q n －1Q n P n ，…都是正三角形，设它们的边长为a 1，a 2，…，a n ，…，求证：a 1+a 2+…+a n =31n （n +1）. xyP 1Q 1P 2Q 2P 3Q 3证明：（1）当n =1时，点P 1是直线y =3x 与曲线y =x 的交点，∴可求出P 1（31，33）.∴a 1=|OP 1|=32.而31×1×2=32，命题成立.（2）假设n =k （k ∈N *）时命题成立，即a 1+a 2+…+a k =31k （k +1），则点Q k 的坐标为（31k （k +1），0）， ∴直线Q k P k +1的方程为y =3[x －31k （k +1）].代入y =x ，解得P k +1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k∴a k +1=|Q k P k +1|=33（k +1）·32=32（k +1）. ∴a 1+a 2+…+a k +a k +1=31k （k +1）+32（k +1）=31（k +1）（k +2）. ∴当n =k +1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.评述：本题的关键是求出P k +1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k +1|.。