高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系充分条件与必要条件课时分层训练

课时分层训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是
( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
D[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]
2．(2017·杭州调研)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]
3．“x>1”是“log1
2
(x＋2)<0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B[∵x>1⇒log1
2(x＋2)<0，log1
2
(x＋2)<0⇒x＋2>1⇒x>－1，∴“x>1”是“log1
2
(x＋
2)<0”的充分不必要条件．]
4．给出下列命题：
①“若a2<b2，则a<b”的否命题；
②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；
④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是( ) 【导学号：51062009】 A ．③④ B ．①③ C ．①②
D ．②④
A [对于①，否命题为“若a 2
≥b 2
，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]
5．(2017·嘉兴期末测试)设α，β是两个不同的平面，m 是直线，且m ⊂α，则“m ⊥β”是“α⊥β”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β的位置关系不确定，所以“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.]
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
A [由正弦定理a sin A ＝b
sin B
＝2R (R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin
B ，故a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ．]
7．已知条件p ：x 2
－2ax ＋a 2
－1>0，条件q ：x >2，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) 【导学号：51062010】
A ．a ≥1
B ．a ≤1
C ．a ≥－3
D ．a ≤－3
B [条件p ：x >a ＋1或x <a －1，条件q ：x >2， 又q 是p 的充分不必要条件，
故q ⇒p ，pD ⇒/q ，所以a ＋1≤2，即a ≤1.] 二、填空题
8．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2
＞bc 2
”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
【导学号：51062011】
2 [由a ＞bD
ac 2＞bc 2，但ac 2＞bc 2⇒a ＞b .
所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题． 从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]
9．“m ＜14”是“一元二次方程x 2
＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．
充分不必要 [x 2
＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，因为m ＜14⇒m ≤1
4
，反之不成立．
故“m ＜14”是“一元二次方程x 2
＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．]
10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062012】
(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·宁波调研)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [cos 2α＝0等价于cos 2
α－sin 2
α＝0，即cos α＝±sin α. 由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．]
2．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2
≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥x －1，y ≥1－x ，
y ≤1，
则p
是q 的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．
由图可知，p 是q 的必要不充分条件．] 3．有下列几个命题：
①“若a ＞b ，则a 2＞b 2
”的否命题；
②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2
＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．
②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2
≤b 2
”错误． ②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2
≥4”正确．]
4．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜1
2，则实数m 的取值范围是
________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，43 [由|x －m |＜1得－1＋m ＜x ＜1＋m ，
由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
13＜x ＜
12x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋m ≤1
3，1＋m ≥1
2
，解得－12≤m ≤4
3
，
所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，43.]。