浅谈数学归纳法
探究数学中的数学归纳法
探究数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中的一个基本方法，可以解决许多重要的问题。
在本文中，我们将深入探讨数学归纳法，并展示一些归纳法的实际应用。
1. 数学归纳法的定义和原理数学归纳法是一种证明的方法，它可以证明一个有序集合的所有元素都满足某个性质。
它的基本原理是：(1) 证明基本情况，即证明第一个元素满足所要证明的性质；(2) 假设所有前面的元素都满足所要证明的性质，证明下一个元素也满足所要证明的性质。
这样，通过不断地“归纳”，可以得到整个集合中所有元素都满足所要证明的性质的结论。
2. 数学归纳法的例子我们来看一个简单的例子。
假设我们要证明：对于所有正整数n，1+2+...+n=n(n+1)/2。
首先，当n=1时，左边等于1，右边等于1×(1+1)/2=1，两边相等，基本情况得证。
接下来，假设当n=k时1+2+...+k=k(k+1)/2成立，要证明当n=k+1时1+2+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
我们首先把1+2+...+k+(k+1)拆分成1+2+...+k和(k+1)两部分，按照假设，前一部分等于k(k+1)/2，后一部分等于(k+1)。
于是1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2，即得证。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在证明数学定理、推导公式、证明算法复杂度等方面都有广泛的应用。
其中一个常见的应用是证明Fibonacci数列的性质。
Fibonacci数列是这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，它的第n个数等于其前两个数之和，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
我们可以用数学归纳法来证明这个公式。
首先当n=1和n=2时都满足公式，假设当n=k和n=k+1时公式成立，要证明当n=k+2时公式也成立。
根据假设，F(k+2)=F(k+1)+F(k)。
又因为F(k+1)=F(k)+F(k-1)，所以F(k+2)=F(k)+F(k-1)+F(k)=F(k+1)+F(k)=F(k+1)+F(k-1)+F(k-2)=F(k)+F(k-1)+F(k-2)+F(k-3)=F(k-1)+F(k-2)+F(k-3)+F(k-4)=F(k-1)+F(k-3)+F(k-4)+F(k-5)=...=F(2)+F(1)=1+1=2。
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，它通过已知某个命题成立和成立条件，则可以推导出该命题对所有符合条件的情况都成立。
数学归纳法在数学领域中发挥着重要的作用，本文将介绍数学归纳法的基本原理和应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
1. 基础步骤：首先要证明当n取某个特定值时，命题成立。
这是数学归纳法的起点，称为基础步骤。
通常情况下，我们会取n=1或n=0作为基础步骤。
2. 归纳步骤：接下来，假设当n=k时，命题成立，即我们假设命题对于某个值k成立。
然后，使用这个假设来证明当n=k+1时，命题也成立。
这一步骤称为归纳步骤。
3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设命题对于n=k成立，这被称为归纳假设。
通过归纳假设，我们可以推导出命题对于n=k+1的情况也成立。
归纳法的基本原理就是通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法不仅仅是一种证明方法，它也被广泛应用于其他数学问题的解决中。
以下是数学归纳法的一些典型应用。
1. 证明整数性质：数学归纳法常被用来证明某个整数性质对于所有正整数成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明所有正整数的和公式：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2。
2. 证明不等式：数学归纳法还可以应用于证明不等式的成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明对于所有正整数n，2^n > n^2。
3. 证明命题等式：除了整数性质和不等式，数学归纳法也可以应用于证明命题等式的成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明斐波那契数列的通项公式：F(n) = (φ^n - （1-φ）^n) / √5，其中φ为黄金分割率。
数学归纳法作为一种重要的证明方法，广泛应用于数学的各个领域。
它能够简化证明过程，使得证明更加直观和清晰。
总结：数学归纳法是一种重要的证明方法，它通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。
数学公式知识：数学归纳法的定义与应用
数学公式知识：数学归纳法的定义与应用数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明一些有关自然数的性质。
其基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后利用假设n=k 时命题成立推断出n=k+1时命题也成立，从而得证当n为任意正整数时命题都成立。
一、数学归纳法的基本原理假设我们要证明对于任意正整数n，命题P(n)成立。
使用归纳法证明该命题时，需要完成以下两个步骤：（1）证明当n=1时，命题P(n)成立。
（2）证明当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立。
在第一步中，需要证明的是当n=1时P(1)成立。
证明的方法可以是直接证明，也可以是通过推理证明。
例如，对于命题P(n)为“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”，可以对n=1时P(1)进行直接证明：当n=1时，左边为1，右边为1(1+1)/2=1所以1=1，命题成立。
在第二步中，需要证明的是当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立。
证明的方法可以是直接证明，也可以是通过推理证明。
例如，对于命题P(n)为“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”，可以通过下列步骤证明当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立：假设当n=k时命题P(k)成立，即：1+2+3+...+k=k(k+1)/2现在需要证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立：1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2对于左边式子，我们可以将其拆分为前面k项的和加上最后一项，即：1+2+3+...+k+(k+1)=(1+2+3+...+k)+(k+1)根据假设，左边等于k(k+1)/2+(k+1)，即k(k+1)/2+k/2+k/2+1=k(k+1)/2+k+1=k(k+1+2)/2而右边等于(k+1)(k+2)/2，两边相等。
因此，当n=k+1时，命题P(n)成立。
二、数学归纳法的应用举例数学归纳法可以应用于各种数学问题的证明，下面举几个例子。
例1：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2我们已经在第一部分进行了证明，这里再次重点强调一下：首先证明当n=1时命题成立，即1=1(1+1)/2，然后根据假设n=k时命题成立推导得出当n=k+1时命题也成立，即1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2例2：证明2的n次幂大于n例如，证明2的n次幂大于n，即2^n>n。
高中数学中的数学归纳法详细解释与应用
高中数学中的数学归纳法详细解释与应用数学归纳法是高中数学中一个重要的证明方法，它可以用来证明关于整数的命题的真实性。
数学归纳法包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
本文将详细解释数学归纳法的原理和应用。
一、数学归纳法的原理数学归纳法是一种直观且有效的证明方法。
它的主要思想是从一个已知命题在整数集中的某个整数成立开始，证明该命题在整数集中的所有满足一定性质的整数上成立。
1. 基础步骤：首先，我们需要证明命题在某个整数上是成立的。
通常，这个整数是最小的可能值，例如0或者1。
2. 归纳假设：接下来，我们假设命题在一个自然数k上成立，即假设命题P(k)为真。
3. 归纳步骤：通过归纳假设，我们将证明命题在下一个整数k+1上也成立，即证明P(k+1)为真。
这一步通常需要运用数学方法，如代数运算、推导或其他定理的应用等。
通过以上三个步骤，我们可以得出结论：命题P(n)对于所有大于等于基础步骤中所选择的整数n成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，下面举例说明其中几个重要的应用领域。
1. 数列与数和：数学归纳法可以用来证明数列的性质。
例如，我们可以通过数学归纳法证明等差数列的通项公式。
首先，证明当n=1时命题成立；然后假设当n=k时命题成立，即得到通项公式的正确性；最后，通过归纳步骤证明当n=k+1时命题也成立，从而得到通项公式的普遍性。
2. 数学恒等式的证明：数学归纳法可以用来证明数学恒等式的正确性。
例如，我们可以通过数学归纳法来证明n个自然数的和公式：1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，证明当n=1时恒等式成立；然后假设当n=k时恒等式成立；最后通过归纳步骤证明当n=k+1时恒等式也成立，从而证明了恒等式的普遍性。
3. 不等式的证明：数学归纳法也可以用来证明不等式的正确性。
例如，我们可以通过数学归纳法证明当n为正整数时，2^n > n。
首先，证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立；最后通过归纳步骤证明当n=k+1时不等式也成立，从而证明了不等式的普遍性。
数学归纳法的原理与应用
数学归纳法的原理与应用数学归纳法是一种重要的证明方法，常用于证明整数集上的命题。
它的基本思想是，通过证明命题在第一个整数上成立，并假设命题在某个正整数k上成立，推导出它在下一个正整数k+1上也成立。
这样，通过无限次的迭代，我们可以推导出该命题在所有正整数上都成立。
在本文中，我将介绍数学归纳法的原理，并举例说明其应用。
一、数学归纳法的原理数学归纳法的原理可以分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
1. 基础步骤基础步骤是证明命题在第一个整数上成立。
通常，这一步骤可以通过具体计算或逻辑推理来完成。
假设我们要证明一个关于正整数n的命题P(n)，我们需要证明P(1)成立。
2. 归纳步骤归纳步骤是假设命题在某个正整数k上成立，然后通过这个假设推导出它在下一个正整数k+1上也成立。
具体地，我们需要证明当P(k)成立时，P(k+1)也成立。
这一步骤通常需要运用数学归纳法的假设和相应的数学性质来进行推导。
通过这两个步骤，我们可以得出结论：若基础步骤成立，并且归纳步骤成立，那么命题P(n)对任何正整数n都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在数学中有着广泛的应用。
下面，我将举两个例子来说明它的应用。
1. 证明等差数列的求和公式我们知道，等差数列中相邻两项之差是常数d。
现在，我们希望证明等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示前n项的和，a表示第一项，d表示公差。
首先，我们需要通过数学归纳法的基础步骤证明当n=1时，公式成立。
可以发现，此时等式右边的表达式为a，恰好等于等差数列的第一项。
然后，我们假设当n=k时，公式也成立。
也就是假设Sn = (k/2)(2a + (k-1)d)成立。
接下来，我们通过归纳步骤证明当n=k+1时，公式也成立。
我们将Sn在等式两边加上等差数列的第k+1项an+1，得到Sn + an+1 =(k/2)(2a + (k-1)d) + an+1。
根据等差数列的性质，an+1 = a + kd。
数学归纳法的特点数学归纳法的三个步骤数学归纳法两种形式
一、数学归纳法的步骤
1）当n=1时，显然成立。
2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，
则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。
由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。
二、数学归纳法的特点
数学归纳法就是一种证明方式。
通过过归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学系统化。
归纳是在比较的基础上进行的。
通过比较，找出数学间的相同点和差异点，然后把具有相同点的数学归为同一类，把具有差异点的数学分成不同的类。
最终达到数学上的证明。
归纳法：
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。
归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。
数学归纳法的应用：
（1）证明恒等式；
（2）证明不等式；
（3）三角函数；
（4）计算、猜想、证明。
三、数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可；
②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法；
③最后一定要写“由（1）（2）……”。
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，常用于证明自然数命题的正确性。
它基于两个重要的假设：第一个是基准情形，即当n等于一个特定的值时，命题成立；第二个是归纳假设，即假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。
通过这种递推的思想，我们可以推导出对所有自然数n都成立的结论。
数学归纳法在数学研究和证明中扮演着重要的角色，它具有以下优势：首先，数学归纳法是一种简洁而有效的证明方法。
通过归纳的逻辑推理，可以快速证明数学命题的正确性，减少了繁琐的推导过程。
其次，数学归纳法可以用于证明具有递增性质的命题。
对于这类问题，我们只需要证明基准情形和归纳假设，就能推导出一般情况的正确性。
最后，数学归纳法具有广泛的应用范围。
无论是数学领域还是其他科学领域，都可以使用数学归纳法进行推导和证明。
下面通过一些具体的例子来说明数学归纳法的应用。
例一：证明1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2，其中n为正整数。
首先，我们需要证明基准情形，即当n=1时等式成立。
显然，1 =1(1+1)/2，左右两边相等。
其次，我们假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2。
然后，我们来证明当n=k+1时等式也成立。
当n=k+1时，左边的表达式可以写成1 + 2 + 3 + … + k + (k+1)。
根据归纳假设，1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2，将其代入原式得：k(k+1)/2 + (k+1)。
进行化简得到：[k(k+1) + 2(k+1)]/2 = (k+1)(k+2)/2。
右边的表达式正好等于n(n+1)/2，因此得证。
例二：证明2^n > n，其中n为正整数且n≥4。
基准情形：当n=4时，2^4 = 16 > 4。
归纳假设：假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。
然后我们证明当n=k+1时不等式也成立。
浅议数学归纳法的应用
浅议数学归纳法的应用
数学归纳法是一种思维方式，它是从一般原理出发，到达特殊情况的规律性思维模型。
它具有可数的、可经验的推导，它的作用深远，在科学研究,学术分析及决策等方面都得到认可和应用。
下面就以列表的形式总结数学归纳法的应用：
一、在数学研究中的应用
1.可以从定理的初始情况开始，利用数学归纳法来证明定理，推导出新的定理。
2.可以根据定义形式推导出结论，从而解决问题。
二、在科学研究中的应用
1.可以利用它来构建模型。
2.可以用它来分析和预测实际问题，例如物理或营养等问题。
三、在社会学分析中的应用
1.可以用来解释不规则的社会现象，以及危机的滋生以及发展。
2.可以用它来探索社会变化规律并发现分布规律。
四、在计算机技术领域中的应用
1.可以用数学归纳法来识别微机程序的性质，从而优化程序的性能。
2.可以用数学归纳法来识别编程错误，从而及早改正错误并保证程序的安全运行。
总之，数学归纳法是一种有效的思维方式，它的作用不仅仅是在数学领域，而且还在科学研究、学术分析、社会学分析和计算机技术领域中都有其实际的应用，从而为社会的进步和发展做出了贡献。
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浅谈数学归纳法国良井冈山大学数理学院邮编：343009指导老师：艳华[摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。
学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识.[关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式1 数学归纳法的萌芽和发展过程数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。
欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。
欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。
不过他并没有对这原则做出清晰的表述。
对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。
他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。
第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n ）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。
由此可得，该命题对所有n 值成立。
因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。
帕斯卡的思想论述十一例子来述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。
直至十七世纪，瑞士数学家J 。
伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。
由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。
十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。
即：对于正整数N +的子集M ，如果满足：①1∈M;②若a ∈M ，则a+1∈M ；则M=N +.2 数学归纳法的表现形式2.1 第一数学归纳法原理1：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果（1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立；（2）假设0(,)n k k n k N +=≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。
证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠∅，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,因为命题对于1n =时成立，所以a ≠1，1a >，从而1a -是个正整数，又由于条件（3）当n a =也成立.因此a S ∉，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕.在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c 开始的，这时在叙述上只要将1n =换成n c =即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步：①归纳基础：证明c 时命题成立；②归纳假设：假设n k =时命题成立；③归纳递推;由归纳假设推出1n k =+时命题也成立.2．2第二数学归纳法原理2：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果（1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立；（2）假设0(,)n k k n k N +≤≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。
则这个命题对于一切正整数n 都成立其证明方法与上述证明方法类似由此我们可以看出第二数学归纳法与第一数学归纳法是等价的，在有些情况下，由归纳法“假设n k =时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题()P n ，在证明(1)P k +成立，不仅依赖()P k 成立，而且依赖于前面各步成立.这时一般要选用第二数学归纳法.第二数学归纳法可概括为一下三步：①归纳基础：证明1n =时命题成立;②归纳假设：假设n k =时命题成立;③归纳递推：由归纳假设推出1n k =+时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.2.3.跳板数学归纳法原理原理3：设()P n 是一个与正整数有关的命题.如果：（1）当n=1，2，3，…，L 时，()P n 都成立；（2）假设n k =时，()P n 成立，由此能推得n=k+L 时，()P n 也成立；那么，对一切正整数n ≥1,()P n 成立.2.4.反向归纳法反向归纳法是数学家柯西最先使用的，原理：设()P n 是一个与正整数n 有关的命题.如果：（1）()P n 对于无限多个正整数n 成立-（2）假设对正整数k>1,()P k 成立，则(1)P k -也成立；那么，对一切正整数1n ≥，()P n 成立.3 归纳法的两种分类归纳法有完全归纳法和不完全归纳法（经验归纳法）之分3.1完全归纳法也叫完全推理。
这是根据某类事物中的每一事物都具有某种性质P ，推出该类中全部事物都具有该性质P 的归纳推理。
运用完全归纳法，前提必须包括某类事物中的一切对象，无一遗漏，而且作为前提的判断也必须是真实的。
故完全归纳法得出的结论是真实的可靠的。
3.2不完全归纳法是通过对一类事物的部分对象的考察，从中作出有关这一类事物的一般性的结论的猜想的方法。
它的可靠性较弱些，但同时是一种创造性较强的方法。
在数学发现和数学创造的活动中有十分的重要作用。
具体可表示如下：从具体问题或具体素材出发→实验→归纳→推广→形成普遍命题→证明3.2.1 用经验归纳法发现问题的结论常见的有两种形式:一是由特殊事物直接猜测问题的结论；二是根据规律先猜测一个递推规律，然后凭借递推关系去发现结论。
例1设正项数列｛n a ｝的前n 项和为n s 且n s =11()2n na a +，求该数列的通项公式。
分析：在n s =11()2n na a +中，依此令n=1,2,…可得： n=1时，11111()2a a a =+,从而得1a =1； n=2时,122211()2a a a a +=+,即222210a a +-=.解之，得221,1a a ==（负值舍去）.类似的，可得3a =…于是可猜想：n a结论的正确性可以通过数学归纳法进行证明。
3.2.2 用经验归纳发现解决问题的途径。
例2证明正方形比可划分为n(n ∈N 且n 5>)个小正方形。
证明：当n=5,6,7,8.时，命题显然成立。
假定当n=3k,n=3k+1(k ∈N 且k 2≥)时，命题也成立，己也可以划分，那么，当n=3(3k+1)+3,n=3(k+1)+1,n=3(k+1)+2时，亦即n=3k+3,n=(3k+2)+3时，只要将n=3k,n=3k+1,n=3k+2时各情形中的一个小正方形分成四个更小的正方形，即可使所划分出的正方形数目增加3个，所以n=3k+3,n=(3k+2)+3时，命题也成立。
这样，命题便得到了证明。
4 数学归纳法的形式步骤例3对n ∈N+,证明:1 (1)+++≤ 分析：这是一个典型的可用数学归纳法证明的命题，证明过程如下：（1）当n=1时，左=11≤，命题成立。
（2）假设n=k 时，1 (1)+≤成立，则当n=k+1时，1 (1)++-11≤+-==22==0<即1 (1)+++≤，命题也能成立。
（3）综上所述，由数学归纳法原理知，对n ∈N +,1 (1)++≤成立。
在证明第二步“n=k+1时等式成立”时，除了形式上的变形外，其实质是运用了先前的假设“n=k 时等式成立“。
因此，第二步一开始的假设不是可有可无，它不是摆设，而是在以后的证明中起着已知条件的作用，不可或缺，也只有这样，才表明由n=k 时命题成立到处n=k+1时命题成立的递推关系的真实存在，在用数学归纳法证明时，第一步很简单，第二步很关键，也是综合性较强的一步，其归纳过渡作用。
数学归纳法是一种非常有效的证明与自然数序列有关的命题的数学方法。
他绕开了证明过程中的很多障碍显得简洁有力。
这种证明方法的本质特征用庞加莱的话来说：“把无穷的第二轮纳入唯一的公式中。
”具体运用归纳法原理证明数学命题是分三步：①验证n 去第一个值0n 时命题也正确性（奠基）；②证明“由n=k ”时命题正确可推得n=k+1时命题也正确”（递推依据）； ③由以上两个步骤确认结论（断言）。
5 数学归纳法应用举例以及一些技巧数学归纳法形式上是三步，看似简单，其使用起来也有很多技巧，尤其是第二部归纳过度推证，有时会用许多数学变形技巧，例4：设012,,....a a a 是一个正数列，对一切n=0,1,2,….,都有21nn n a a a +≤-，证明，对一切n=1,2,…,都有11n a n <+. 分析：由不等式2001a a a ≤-得知210000(1)a a a a a ≤-=-，由于010,0,a a >>知01a -0,>再结合平均不等式，即得10011(1)42a a a ≤-≤<.知当n=1时，所证不等式成立.假设当n=k 时，不等式成立，即有11k a k <+，要证n=k+1时不等式也成立.分两种情况讨论： （1）若1121k a k k ≤<++，则1111(1)(1)122k k k a a a k k k +≤-≤-=+++； （2）若12k a k <+，显然有0<1-k a <1，所以11(1)2k k k k a a a a k +≤-≤<+； 无论任何情况，所证不等式都对n=k+1成立。
故根据数学归纳法原理，对一切正整数n ，不等式均成立。
在上述证明过程中，实施归纳过度是分成两种情况考虑，用意十分明显，因为我们要想从1(1)k k k a a a +≤-得出关于1k a +的上界估计，不仅需要关于“k a 小于多少”的信息，而且需要关于“k a 大于多少”的信息。
然而这类信息既不能从归纳假设中得到，有无法从数列本身性质中得到，迫不得已只好先对k a 假定有1121k a k k ≤<++。
而对另一种情形采用另一种估计的办法。
6 数学归纳法的重要性如果所得的判断得到的证明或者检验，就变成了科学规律性的认识，因此归纳与猜想是科学发现过程中的重要步骤和思想方法。
例如，牛顿，爱因斯坦的科学成果，在相当大的程度上是从特殊事实出发，经过归纳，得到大胆的猜想，提出更一般，广泛的全新的科学方法或者结论，推动了科学的发展。