连根数构成的康托尔集的豪斯多夫维数研究
初中数学 数学名师 豪斯多夫
豪斯多夫豪斯多夫，F．(Hausdorff，Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau，今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)]；1942年1月 26日卒于波恩．数学．豪斯多夫是犹太人，他的父亲是一位富裕的商人．在豪斯多夫年幼的时候，随着父母迁往莱比锡．在莱比锡读完中学后，又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学．1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位．豪斯多夫的兴趣极为广泛，不仅对数学、天文学和光学有兴趣，而且也酷爱文学、哲学和艺术．他的朋友主要是艺术家和作家．豪斯多夫曾用Dr．Paul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese， 1898)；还有大量的富有哲理的散文和文章．在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre)，这部戏在 1912年上演，获得相当大的成功．他在1891—1896期间，曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章．1896年成为莱比锡大学讲师，1902年成为副教授．以后主要致力于数学，逐渐减少了非科学的写作，特别是1904年以后，主要研究集论．1910年，他作为副教授去波恩大学，在那里写出了著名的专题著作?集论根底?(Grundzügeder Mengenlehre)，发表于1914年．这本专著影响极大，使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人．1913年，豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授．1921年回到波恩大学任教授，在波恩一直非常活泼，直到1935年，因为他是犹太人而被迫隐退．但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作．他的成果只能在国外发表．1941年，他作为犹太人将被送到拘留营去．当拘留变得紧迫时，豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩．豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的奉献是在集合论和点集拓扑学方面．豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括，导入了许多新的观念、方法和定理，开展为有系统的完美的理论，并为进一步开展提供了强大的动力．他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者．豪斯多夫的?集论根底?(1914)一书在数学文献中是很珍贵的，他概括了前人广泛的工作，使之成为新理论的支柱，创立并完成了拓扑和度量空间的理论．由于它的阐述清晰、准确而优美，所以很容易读，直到今天仍有价值．他开展了D．希尔伯特(Hilbert)(1902)和H．外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念，用邻域的语言给予公理的描述，定义了拓扑空间．在豪斯多夫之前，M．R．弗雷歇(Frechet)F．里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间，给出过各种定义及相关概念，但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在?集论根底?中提出的．他定义的拓扑空间建立在抽象集X上，使每个x∈X对应一个子集族 (x),{ (x)}x∈X称为邻域系统，满足(1)对 x∈X， (x)≠，且对 U∈ (x)，有x∈U；(2)假设x∈U∈ (y)，那么 V∈ (x)使V U(3)对 U1，U2∈ (x)， U∈ (x)，使U U1∩U2；(4)对 x，y∈X，x≠y，开集U∈ (x)，V∈ (y)，由{ (x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间．它是最重要的拓扑空间之一．形成拓扑的各种方法，首先由豪斯多夫在1927年给予系统的描述．在欧氏空间的子集类中，G．康托尔(Cantor)曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念，豪斯多夫的?集论根底?将它们推广于抽象空间，并建立了两个可数性公理：(1)对 x∈X，子集族{ (x)}是可数集．(2)所有的{ (x)}x∈X的集是可数集．关于同胚的概念，H．庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并研究过．弗雷歇于1910年首先讨论了抽象空间上的同胚概念，但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在?集论根底?中给出的．1935年，他还首先注意到正规性是闭映射的不变量．关于欧氏空间的子空间，E．L．林德勒夫(Lindel f)曾讨论过集的凝聚点的概念，豪斯多夫在?集论根底?中，在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质，并由此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并，其中之一是完全集，另一集是可数集．关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫?集论根底?开始的．设{As:s∈S｝是X的子集族，如果对S的任意不同元素组成的有限序列s1，s2，…，sk，以及由0和1组成的序列i1，…，ik，有其中A0=A，A1=X＼A，那么称{As:s∈S}为独立集组成的．1936年，豪斯多夫得出：基数m≥ 0的集X的所有子集族含有由独立集组成的基数为2m的子族．早在1934年，G．费契田厚茨(Fichlenholz)和Л．B．坎托罗维奇(KaHTopoBИЧ)也曾得出过类似结果．关于实直线的波莱尔集的定义由E．波莱尔(Borel)给予概括表达，H．L．勒贝格(Lebesgue)于1905年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论．在此根底上，豪斯多夫创立了关于度量空间的波莱尔集理论(1914)．1906年，弗雷歇导入可数紧空间的概念，豪斯多夫于1914年给出了在豪斯多夫空间X 中，X的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一，并在度量空间中建立了序列紧性和可数紧性的等价性．他证明了任一可度量化空间X是第二可数的当且仅当X是可分的，以及紧可度量化空间是可分的．关于连续扩张问题，豪斯多夫在1919年建立了：设A为可度量化空间X的闭子空间，那么对X上的任一度量ρ，任一连续函数f：A→I确定X上f的连续扩张F为豪斯多夫?集论根底?指出紧可度量化空间X到可度量化空间Y的任一连续映射f：X→Y 关于空间X和Y上分别为ρ和σ的距离是一致连续的．全有界空间的概念也是豪斯多夫?集论根底?导入的，并在1927年证明了全有界度量空间是可分的[6]．1914年，豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间，刻画了度量空间的完备化空间，证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集，还证明了在所有完备可度量化空间中贝尔(Baire)纲定理成立．1927年又证明了完备化空间的唯一性[6]．Л．C．亚历山德罗夫(AлeKcaHДpoЬ)对可分空间证明了完备度量化性关于Gδ集是可继承的，豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间(1924)．豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于1927和1925年独立地证明了每个非空紧可度量化空间是康托尔集的连续象，即二进空间．这个结果对点集拓扑学的开展富有启发意义．设M是可度量化空间X的闭子空间，豪斯多夫于1930年证明了子空间M上的任一距离可扩张为空间X上的距离．设f：M→L为可度量化空间X的闭子空间M到度量空间L上的连续映射，豪斯多夫证明了如果空间L可作为度量空间Y的闭子空间等距嵌入Y中[14]，那么f可扩张为连续映射F：X→Y，使限制F|X＼M是X＼M到Y＼L上的同胚．设2X为度量空间(X，ρ)的所有有界非空闭子集族，令为A和B的距离，那么(2X，ρh)为度量空间．称ρh(A，B)为豪斯多夫距离(1914)．(X，ρ)等距于(2X，ρh)的闭子空间．但空间X上两个等价的全有界距离ρ和σ，由ρh和σh 在2X上导入的拓扑未必相同．豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中起着重要作用．W．谢尔品斯基(Sierpinski)于1930年证明了假设度量空间Y是可分完备可度量化空间X在开映射下的连续象，那么Y是完备可度量化的．1934年，豪斯多夫证明了假设可度量化空间Y是完备可度量化空间X在开映射下的连续象，那么Y是完备可度量化的．以后E．麦克(Michael)又推广于仿紧空间Y．连通性的概念是M．E．C．假设尔当(Jordan)于1893年研究平面的紧子集类时导入的．豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究．在?集论根底?中包含连通集的一些简单性质，连通分支、拟分支的定义，以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等．该书还导入继承不连通空间．极不连通空间是M．H．斯通(Stone)在1937年定义的，但βN＼N不是极不连通的事实本身却是由豪斯多夫证明的(1936)．集X上的距离ρ称为非阿基米德的，如果对所有x，y，z∈X，有ρ(x，z)≤max[ρ(x，y)，ρ(y，z)]．豪斯多夫证明了非空可度量化空间X，IndX=0当且仅当在空间X上存在非阿基米德距离(1934)．在描述集合论方面，豪斯多夫?集论根底?中研究了有序集的理论，如将序型分类，序型的有序积，有序集的表示等问题．他引入的极大原理可用来代替超限归纳法，是和选择公理、良序原理、图基(Tukey)引理、库拉托夫斯基(Kuratowski)引理等命题等价的．豪斯多夫提出的Rn中单位球分解(1914)，在空间转动理论及变换群的分剖结果的根底上，用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理．以后导致S．巴拿赫(Banach)的分球悖论(1924)，即把一个球切成有限个片段，然后重新组合，可得到与原球有相同尺寸的两个球．这一悖论使人疑心选择公理，引起数学界的极大重视，从而推进数学根底的开展．豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理(1916)，这是和亚历山德罗夫同年独立解决的．他还提出了豪斯多夫运算(1927)，豪斯多夫递归公式(1914)等．1914年，豪斯多夫提出测度问题：是否存在Rn的每个子集均可测的有限可加测度？1923年，他证明了当n=1，2时存在无限多个解，当n≥3时无解．在数学分析中，豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果，解决了有限区间的矩量问题及矩量的性质．他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理(1921)．在连续群理论中，豪斯多夫建立了重要的代数算法，导出并研究了群论符号的指数公式(1906)．他也给出华林(Waring)问题的简化证明(1909)并提出过任意非整维数(1919)．豪斯多夫的工作对现代数学的形成和开展起着重要作用，以致现代数学中的某些术语是以豪斯多夫的名字命名的．如豪斯多夫公理、豪斯多夫空间、豪斯多夫距离、豪斯多夫一致空间、豪斯多夫拓扑群、豪斯多夫极大原理、豪斯多夫运算、豪斯多夫递归公式、豪斯多夫-杨(Young)定理等．。
标准康托尔集的定义
标准康托尔集的定义康托尔集是德国数学家康托尔在19世纪提出的一个重要概念，它是集合论中的一个重要概念，对于集合论的发展有着重要的影响。
康托尔集的定义对于我们理解集合论和数学基础有着重要的意义，下面我们将对标准康托尔集的定义进行详细的介绍。
首先，我们来看一下康托尔集的定义。
康托尔集是指一个无限集合，其基数大于可数集合，但小于连续集合。
简单来说，康托尔集是介于可数集合和连续集合之间的一类集合。
康托尔集的特点是具有无限的基数，但不同于连续集合的基数。
康托尔集的定义对于我们理解无限集合的性质和分类有着重要的意义。
其次，我们来看一下康托尔集的构造。
康托尔集的构造是通过对实数区间的分割来实现的。
具体来说，我们可以通过二进制小数的表示来构造康托尔集。
例如，我们可以将实数区间[0,1]分割为三等分，然后取中间的那一部分，再将这一部分分割为三等分，取中间的部分，如此循环下去，我们就可以构造出一个康托尔集。
康托尔集的构造方法对于我们理解集合的构造和基数的概念有着重要的启发作用。
最后，我们来看一下康托尔集的性质。
康托尔集具有许多重要的性质，例如它是不可数的、紧致的、完全不连通的等。
这些性质对于我们理解集合的结构和性质有着重要的启发作用。
康托尔集的性质也为我们理解实数集合和拓扑空间提供了重要的范例。
总的来说，康托尔集是集合论中一个重要的概念，它对于我们理解集合的性质和结构有着重要的意义。
康托尔集的定义、构造和性质都为我们理解集合论和数学基础提供了重要的启发和范例。
通过对康托尔集的研究，我们可以更深入地理解集合论和数学基础的重要概念，对于我们的数学学习和研究有着重要的意义。
在数学领域中，康托尔集的定义是一个重要的概念，它对于我们理解集合的结构和性质有着重要的意义。
通过对康托尔集的研究，我们可以更深入地理解集合论和数学基础的重要概念，对于我们的数学学习和研究有着重要的意义。
康托尔集的定义、构造和性质都为我们理解集合论和数学基础提供了重要的启发和范例。
集合11
§1 集合的含义
及其表示
一般地，一定范围内某些确定的、不同 的对象的全体构成一个集合(set)． 集合中的每一个对象称为该集合的元素 (element)，简称元． ①确定性：明确的标准；
②互异性：任意两个元素都不相同；
③无序性：元素的排列没有顺序．
集合常用大写拉丁字母表示，如集合A；
而元素用小写拉丁字母表示，如元素a．
≠ ≠
读作： “A真包含于B”或“B真包含A”．
如果集合S包含我们所要研究的各 个集合的全部元素，这时将S看作是一 个全集(universal set)． 通常记作：U． 设AS，由S中不属于A的所有元素组成 的集合称为S的子集A的补集(complementary set)．
记作：∁sA ＝｛x｜xS，且xA｝．
y， o， b， u， n e g
E＝｛1，2，3，4，5｝， F＝｛4，5，6，7｝， G＝｛4，5｝． 1， 2， 3 4， 6， 5 7
一般地，由所有属于集合 由所有属于集合A且属于
集合B的元素构成的集合，称为 的元素构成的集合 A与B
的交集(intersection set)，
记作：A∩B，
赛的有 6名同学．两项比赛中，这个班共有
多少名同学没有参加过比赛？
U
A A∩B B (6) (6) (14)
∁U(A∪B)
解：设A＝｛x｜x为参加排球赛的同学｝， 集合中元素的个数为12； B＝｛x｜x为参加田径赛的同学｝， 集合中元素的个数为20； 则A∩B＝｛x｜x为两项比赛都参加的同学｝， 集合中元素的个数为6； A∪B＝｛x｜x为至少参加一项比赛的同学｝， 集合中元素的个数为12＋20―6＝26． 画出Venn图， 两次比赛均没有参加的共有45―26＝19（人）． 答：这个班共有19位同学两项比赛都没有参加．
康托集Hausdorff维数
康托集Hausdorff 维数姓名:彭发醇学号 :13151056学院:宇航学院摘要:在文晓老师的选修课中，我们了解了一些关于在20世纪,伴着分形图形的研究而应运而生一种新的维度---分数维。
而它便是能解释康托集的Hausdorff 维数关键词:Hausdorff 维数康托集正文:康托集是由德国数学家Georg Cantor 引进的。
我们这里给出简单的构造方式——康托五分集.下面求它的五分集的Hausdorff 维数。
由［0,1］区间组成的一条线段。
第一步,把这个线段分成五等份.不妨去掉第二段,即去掉了（1255，），剩下来是有4段闭区间. 第二步,把这4个区间都分成五等份,各自去掉第二段,剩下了16条闭区间,第三步,把这剩下的16条线段再等成五等分,各自去掉第二段,剩下了64条线段.把第ｋ步操作之后剩下k 2个闭区间构成的集合记为K I ,这是一个闭集.那么集合r ln (r)d lim ln rN →∞=-是一个非空的闭集.则这个集合P 称为康托五分集.P 的性质有(1)P 的长度是k 1k k 1415-+∞=-∑=0; (2)P 是不可数的.根据Hausdorff 维数概念,考虑一个度量空间 X 。
记N(r)为用半径为r 的小球去充满整个 X 所需要的小球的最少数目,r ln (r)d lim ln rN →∞=-那么d 就是X 的维数.下面考虑集合P,如果用r=110的小球(即长度为15的区间)来盖住P,那么最少需要4个.如果再用r=150的小球(即长度为125的区间)来盖住P ,那么最少需要16个,如果用r=k 125⋅的小球(即长度为k 15的区间)来盖住P,那么最少需要k 4个小球.因此所求的康托集的维数应该为k k k ln 4ln 4d lim 1ln 5ln 25→∞=-=⋅.它是介于0和1两个整数维数之间,是一个分数维数.由以上的计算和推导过程可以很容易的得到任意有限等分的康托集的维数..即任意有限n 等分的康托集的Hausdorff 维数是ln(n 1)ln n -. 结论:康托五分集的Hausdorff 维数是ln 4ln 5.而由此推广得到任意有限m 等分的康托集的Hausdorff 维数是ln(n 1)ln n -. 参考资料 :1.《Hausdorff 维数讲座讲稿》文晓2.[Hausdorff 维数] 百度百科。
两康托集的交子集的分形维数与测度
两康托集的交子集的分形维数与测度随着时代的进步，分形维数和测度的研究变得越来越重要，这些研究工作已经成为数学、物理和计算机领域的主要研究课题之一。
在分形维数和测度的研究中，分形理论中的维数是一个重要概念，它表明物体内部结构的复杂性。
分形维数用来表示物体的“形状”或“结构”，从而可以分析物体的模型以及物体的表面的测量。
康托集是一种数学模型，用来描述在一定空间中相互关联的物体。
康托集的“交子集”是一种特殊的康托集，表示求解特定问题的一种方法，其中的物体之间存在相互的联系和依赖。
在交子集的分形维数和测度的研究中，研究者可以分析康托集的物体在各种尺度上的分布，并计算出与之相关的宽度和深度。
交子集的分形维数是指康托集中物体间的分布情况，具体可分为低维、中维和高维的分形维数。
低维的分形维数表示物体之间的联系微弱，中维的分形维数表示物体之间的联系较强，高维的分形维数表示物体之间的联系非常强烈。
交子集的测度是指康托集中物体间关联距离的大小，表示物体之间的联系在非线性空间中的大小。
交子集的测度可以通过宽度指数和深度指数来确定，宽度指数用来表示物体间相互联系的宽度，深度指数用来表示物体间相互联系的深度。
康托集的交子集的分形维数和测度的研究已经成为当今数学和计算机科学的一个重要课题，它在物理、生物、流体力学、医学图像处理等领域得到了广泛的应用。
例如，在拓扑地图计算中，分形维数可以用来表示空间中的物体之间的联系；在流体力学模型中，可以通过宽度指数和深度指数来定义系统的流动特性；在机器学习领域，高维的分形维数可以用来分析大规模数据集中的复杂结构。
综上所述，康托集的交子集的分形维数和测度的研究为许多领域的研究提供了有价值的信息，可以更好地理解系统中物体之间的相互关系和联系，并实现出更加优化和高效的结构。
因此，这项研究工作仍然是当今数学、物理和计算机领域研究工作的主要议题之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。
乔治·卡尔 纯粹数学与应用数学基本结果汇编
乔治·卡尔纯粹数学与应用数学基本结果汇编乔治·卡尔（George Cantor）是19世纪末20世纪初德国数学家，被誉为无限集合论的创始人。
他的研究领域涵盖了纯粹数学和应用数学，对数学的发展有着深远的影响。
以下是乔治·卡尔在纯粹数学与应用数学领域的基本结果汇编：一、纯粹数学部分1. 无限集合的大小比较乔治·卡尔在无限集合的研究中提出了著名的悖论，即自然数集合与实数集合的大小居然相等。
这引发了数学界对无限集合大小的比较的热烈讨论，也为后来集合论的发展奠定了基础。
2. 康托尔对角线方法在研究实数集合时，乔治·卡尔提出了“对角线方法”，通过构造一种新的实数来证明实数集合是不可数的。
这一方法对于理解无限集合的数量级是至关重要的。
3. 康托尔连续统假说乔治·卡尔提出了连续统假说，即不存在介于可数集合和连续集合之间的集合。
这一假说在20世纪后期引发了大量争论，直至今日仍是数学界的热点问题之一。
4. 凯雷-哈密尔顿定理乔治·卡尔在拓扑学领域提出了凯雷-哈密尔顿定理，指出任意简单闭曲线都将平面分成两个互补区域。
这一结果对于拓扑学的发展有着深远的影响。
二、应用数学部分1. 康托尔集乔治·卡尔研究了一类特殊的自相似集合，即康托尔集。
这一集合在分形几何和混沌动力系统中有着广泛的应用，对于理解非线性系统的行为具有重要意义。
2. 康托尔函数在分析学领域，乔治·卡尔引入了康托尔函数，这是一种非常奇特的函数，具有不连续性和奇异性，对于深入理解实分析有着重要的作用。
3. 康托尔对称性原理在动力系统和物理学中，乔治·卡尔提出了康托尔对称性原理，指出系统中的一些对称性将限制其可能的运动。
这对于探索宇宙中的对称性和规律有着深远的意义。
总结：乔治·卡尔在纯粹数学和应用数学领域的研究成果丰富多彩，对数学的发展和应用都有着重要的影响。
伟大的康托尔与集合论
简介集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体)的数学理论,包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。
在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要如何描述数学物件的语言.集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件.在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。
在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
对集合论的异议一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。
埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学,应该留给上帝"。
而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗—弗兰克尔集合论有关。
维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过. 对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。
拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。
拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案,如结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。
集合论（Set theory)作用按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。
从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础.历史集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一,是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。
但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前.无穷集合的早期研究概念集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。
集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。
世纪之交最伟大的数学家——集合统帅康托尔
康托尔提起“集合”，除了像“集合起来搞事情”的意思，作为名词，上过高中的小伙伴们可能都还记得，这是高中数学最开始学的知识。
内容不多，原理也比较简单，更是高考数学的送分题（做对了送分，做不对送命）。
不过大家可能对集合背后的这个神秘男子不太了解，今天浪子老师就给大家扒一扒“集合论”的创始人：康托尔大神和他的传奇故事。
1.天才求学康托尔（Georg Ferdinand Philip Cantor，1845～1918），德国数学家，集合论的创始者，与其他天才一样，还在幼年时代，康托尔就表现出对数学的强烈兴趣。
1862年，17岁的康托尔离开双亲，考入瑞士苏黎世大学，第二年转入柏林大学，兴趣开始转移到纯数学方面。
于1868年以数论方面的论文获博士学位，1869年进入哈勒大学担任讲师，之后发表多篇论文，1879年成为哈勒大学的教授……巴拉巴拉等，反正都是些数学家的正常操作。
2.集合论诞生康托尔的研究主要是在无穷集合领域，无穷这个东西，看不见摸不着，也数不过来，到底能不能拿来计算，怎么个用法，大家争论很大。
因此大多数数学家，包括像高斯、柯西这样的大数学家，只好对无穷集合采取避而远之的态度。
但是老康却把无穷当作了自己的珍爱，他夜以继日地苦读、研究、计算、论证。
最终，康托尔得出了许多惊人的结论，起初他都不敢相信自己的眼睛，他说，“我见到了，但我不相信。
”按照康托尔研究的理论，下述观点是完全正确的——1厘米长的线段内的点，和太平洋内的点，和地球内部的点竟是“一样多”！这种整体等价于局部的理论，在世人眼里，就好比郭敬明和姚明同时站在你面前，你非得说他俩一样高。
但是天才就是天才，在进行了严密的论证后，他证明了郭敬明和姚明一样高，不对，是发现自己的理论无懈可击。
这样，在1874年，年仅29岁的康托尔在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性论文。
这篇论文的发表，标志着集合的诞生。
当时老康估计像这张照片上一样，意气风发，帅的掉渣。
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连根数构成的康托尔集的豪斯多夫维数研究如果a1,a2,a3,…是正实数,那么,被称为在a1,a2,a3…之下的一个连根数。
限制ai属于集合S={a,b},其中a、b是自然数,这些在实数集上的连根数就可以构成一个康托尔集C({a,b})。
T. Clark·T. Ri chmond研究了这种康托尔集的厚度、测度、以及他们之和的性质。
T. Clark.T. Richmond[3]计算出康托尔集C({a,b})的厚度τ({a,b}),并表示成仅仅关于a和b有关的连根式的极限形式。
在[29]中,康托尔集C{(a,b})的豪斯多夫维数dimH(C{a,b})与它的厚度之间的关系：于是,得到了康托尔集C({a,b})的豪斯多夫维数的下界。
T.Clark·T.Richmond[3]发现康托尔集C({a,b})的n阶基本区间中长度最长的小区间是最左边的那一个小区间。
我们以2n个长度为最左边的小区间的长度的区间去覆盖n阶基本区间。
对这个长度进行适当的不等式放缩,得到一个关于n的一个表达式。
再给这个表达式配上一个为常数的指数,使得2n与这个表达式的常数次方的乘积也是一个常数。
那么,这个指数就是我们所要寻找的康托尔集C({a,b})的豪斯多夫维数的一个上界。
而关于康托尔集C({a,b})的豪斯多夫维数的准确值,可以通过类似的压力
方程给出则,P(—slog｜f’｜)=0的唯一实数解就是它的豪斯多夫维数。