简易高次方程的解法
任意高次方程的解法
任意高次方程的解法
任意高次方程一般指的是n次方程，其中n是一个正整数。
解决任意高次方程的方法主要有以下几种：
1. 因式分解法：对于一些特殊的高次方程，可以尝试进行因式分解，将方程化简为多个一次或二次方程，然后求解得到解。
2. 公式法：对于二次方程，可以利用求根公式来求解。
公式为x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a) ，其中a、b、c分别为二次方程ax²+bx+c=0的系数。
3. 代数法：对于高于二次的方程，可以尝试进行代数变换，将高次方程化为一次方程或二次方程，然后采用相应的方法求解。
4. 图像法：对于无法用传统的代数方法求解的高次方程，可以通过观察方程的图像特征来获取近似解。
借助计算工具，绘制方程的图像并观察交点的位置和数量，从而得到方程的解。
需要注意的是，在解高次方程时，可能存在多个解、重根、无解或复数解等情况，需要根据具体的方程进行分析和求解。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
任意高次方程求解方法
任意高次方程求解方法对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理。
但经常会遇到高次方程的问题，如何通过一种简便的方法快速得到高次方程的解，成为一个迫切的需求。
本人发现了数列与高次方程的关系，可以通过数列与高次方程的关系可以得到高次方程的一个解。
这种方法适用于任意高次有解的方程。
任一高次方程:可以变化为： 以上方程可以产生一个数列，通过数列前后项相除可以得到方程的近似解。
以下为求解结论：二次方程： 所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： 三次方程:所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： ܽݔ+ܾݔିଵ+ܿݔିଶ+⋯+ݔ+ݍ=0ଵݔ+ଶݔିଵ+ଷݔିଶ+⋯+ݔ=1ଵݔଶ+ଶݔ=1ቐ݂ଵ=݂ܽଶ=ܾ݂=ଵ݂ିଶ+ଶ݂ିଵݔ=lim →ஶ(݂ିଵ݂)0<ݔ<1ଵݔଷ+ଶݔଶ+ଷݔ=1݂ଵ=݂ܽଶ=ܾ݂ଷ=݂ܿ=ଵ݂ିଷ+ଶ݂ିଶ+ଷ݂ିଵݔ=lim →ஶ(݂ିଵ݂)0<ݔ<1(ܽ,ܾ不同时为0的常数)(ܽ,ܾ,ܿ不同时为0的常数)依次类推n次方程:所对应的数列为：方程有解的情况下对应的一个解为： 以上求解的方法基本为,将通用方程转化为数列对应方程,再由方程产生一个对应的数列,数列前项除后项可以得到方程的近似解,数列的项越靠后,这个近似解不断逼近方程的解.当迭代次数m趋向于无穷大时,这个值为方程的一个解,这个解大于0小于1.当方程无解时,方程对应的数列会循环或前后项相除的结果比较离散,不会逼近一个值.以上的求解方法可以通过Execl去验算，目前只是发现了这个现象还没有很好证明，至于方程是否有解，也只能从演算的结果去判断。
有兴趣的朋友可以一起(159探5246讨5840)。
但在实际应用中，迭代次数m取一定的值就可以得到方程的近似解，在要求不高时，可以很快得到方程的一以下为一个五次的方程，得到对应的数列，数列的前五位全选1，数列生成到12位。
一元二次不等式和简单高次不等式的解法
C.
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4.已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为(1,+∞)，则关
于x的不等式(ax-b)(x-2)＜0的解集是
{x|-1＜x＜2} .
【解析】由题设，得a＞0，b=-a， ∴不等式(ax-b)·(x-2)＜0， 可化为(x+1)(x-2)＜0，解得-1＜x＜2.
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5.不等式(x+3)(x+1)2(x-1)(x-2)(x2+x+1)≤0的解集是
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3.如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立，则实数k的取值范 围是 (
C
)
A．-1≤k≤0
C．-1＜k≤0
B．-1≤k＜0
D．-1＜k＜0
【解析】若k=0时,不等式为-2＜0，对x∈R成立, ∴k=0. 若k≠0时，则k＜0,Δ＜0，-1＜k＜0.
故-1＜k≤0
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根为x1，x2且x1＜x2.
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3 7 故a、b的取值范围分别为［- ，-2］，［-3, ］. 2 2
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【小结】关于二次不等式的求解问题， 要注意利用“三个二次”之间的联系(如一 元二次不等式的解区间端点是对应二次方 程的根)，结合二次函数的图象、数轴和韦
达定理等知识灵活求解.
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基 础 训 练
1．设集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+6≥0}， 则A∩B= ( A) A．{x|1≤x≤2或3≤x≤4} B．{1，2，3，4} C．{x|1≤x≤4} D．R 【解析】∵A={x|1≤x≤4}， B={x|x≤2或x≥3}， ∴A∩B= {x|1≤x≤2或3≤x≤4}.
第五章 高次方程及解1
第五章高次方程和方程组一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
第一节高次方程及解法一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
高次方程及解法
高次方程及解法一、 ±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1 解方程x 4+2x 3-9x 2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x 4+2x 3-9x 2-2x+8)÷(x-1)= x 3+3x 2-6x-8观察方程x 3+3x 2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（x+1），∴ （x 3+3x 2-6x-8）÷ (x+1)=x 2+2x-8，对一元二次方程x 2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴ 原高次方程x 4+2x 3-9x 2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x 1=1;当(x+1)＝０时，有x 2= -1;当(x-2) =0时，有x 3=2; 当(x+4)=0时，有x 4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式a n x n ＋a n-1x n-1+ +a 1x+a 0可分解出因式P x-Q ,即方程a n x n ＋a n-1x n-1+ +a 1x+a 0=0有有理数根PQ（Ｐ、Q 是互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项 a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。
简易高次方程的解法
简易高次方程的解法高次方程一直以来是数学中的难点之一，尤其是高于四次方程，没有通式可言，无法用简单的方法解决。
但是对于低于四次方程的情况，我们可以采用一些比较简单的方法来求解。
本文将介绍一些简易高次方程的解法。
一、一次方程和二次方程一次方程和二次方程是最简单的两类方程，它们的解法也是数学基础中最基础的一部分。
一次方程指的是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，需要求出未知数x的值。
解法很简单，只需要把方程移到等式左边，就得到x = -b/a。
二次方程指的是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，需要求出未知数x的值。
解法包括两种：一种是使用求根公式，即x = (-b ± √(b²-4ac))/2a；另一种是配方法，即通过求出b²-4ac的值，再用公式x=(-b±√d)/2a来求解，其中d=b²-4ac。
二、三次方程对于三次方程，通式较为复杂，因此我们需要采用别的方法来求解。
一种方法是使用维达定理，即给定一个三次多项式ax³+bx²+cx+d=0，我们可以通过令x=y-b/3a来把多项式化简为y³+py+q=0的形式，其中p=(3ac-b²)/3a²和q=(2b³-9abc+27a²d)/27a³。
然后我们可以通过求解y³+py+q=0的实根来求得三次方程的解。
另一种方法是使用卡尔达诺公式。
卡尔达诺公式是16世纪意大利学者卡尔达诺发现的，它通过三次方程的根与二次无理数的关系，构造出一个广义立方体方程，再通过这个方程来求得三次方程的根。
具体的推导过程比较复杂，这里不再展开。
三、四次方程四次方程的通式也比较复杂，但特殊情况下也有简单的解法。
例如如果四次方程的项次中只有一次和四次项，那么我们可以通过配方法来解决。
具体来说，形如ax⁴+bx+c=0的四次方程可以化为(x²+p)(x²+q)=0的形式，其中p和q是已知的一次方程，通过解决这个二次方程，我们就可以得到四次方程的解。
高次方程的解法
高次方程的解法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。
其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。
我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。
其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。
比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。
一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。
因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。
其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。
如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。
比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。
那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。
通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。
所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。
比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。
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在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程
x3-2x2-4x＋8=0．
解原方程可变形为
x2(x-2)-4(x-2)=0，
(x-2)(x2-4)=0，
(x-2)2(x+2)=0．
所以
x1＝x2＝2，x3=-2．
说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样
=0可化为
bkx3+bx2+dkx+d=0，
即 (kx+1)(bx2+d)=0．
方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．
例2 解方程
(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．
设
则
(y-9)(y+9)=19，
即y2-81＝19．
说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．
例3 解方程
(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．
解我们注意到
2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，
6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，
所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令
y=6x＋7，①
由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得
(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，
即
y2(y＋1)(y-1)=72，
y4-y2-72＝0，
(y2＋8)(y2-9)=0．
因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为
例4 解方程
12x4-56x3+89x2-56x+12=0．
解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由
例5 解方程
解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．
所以
经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．
例6 解方程
(x+3)4+(x+1)4=82．
分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设
于是原方程变为
(y＋1)4＋(y-1)4＝82，
整理得
y4+6y2-40=0．
解这个方程，得y=±2，即
x+2=±2．
解得原方程的根为x1=0，x2=-4．
说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如
(x＋a)4＋(x+b)4=c
例7 解方程
x4-10x3-2(a-11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3＋22x2+12x)=0，
△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x)
=4(x2-2x+1)．
所以
所以
a=x2-4x-2或a=x2-6x．
从而再解两个关于x的一元二次方程，得
练习三
1．填空：
(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．
(2)方程x3-3x＋2=0的根为_____．
(3)方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．
(4)方程(x2+3x-4)2＋(2x2-7x＋6)2=(3x2-4x+2)2的根为______．
2．解方程
(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．
3．解方程
x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．
4．解方程
5．解方程
(x+2)4+(x-4)4=272．
6．解关于x的方程
x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2＋a+2=0．。