高次方程及解法
高次幂方程怎么解
高次幂方程怎么解
高次幂方程的解法一般比较复杂，没有一般的通解公式。
以下列举一些常见的解法：
1.因式分解法：如果高次幂方程能够因式分解，则可以将其转化为一组一次或低次幂方程，从而求得解。
2.换元法：有些高次幂方程可以通过一些特殊的代换或变换，转化为比较容易解决的一次或低次幂方程。
常见的代换包括三角函数代换、指数函数代换等。
3.数值法：有时候高次幂方程的解很难用代数方法求出来，可以使用数值法逼近其解。
常见的数值法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等。
4.根号解法：一些高次幂方程可以通过根号解法转化为无理数方程，从而求解。
常见的根号解法包括拉格朗日等价形式法和积和变换法。
总之，高次幂方程的解法需要根据具体情况而定，有时候需要多种解法结合才能求出其解。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
高次方程解法
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
1．卡尔丹公式
一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3
【卡尔丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
２．盛金公式
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
奥林匹克数学题型高次方程解法
奥林匹克数学题型高次方程解法高次方程是数学中的一个重要概念，常见于奥林匹克数学竞赛中。
解决高次方程需要运用各种数学技巧和方法，本文将介绍一些高次方程的解法。
高次方程是指次数大于1的方程，通常表现为多项式形式。
一、一次方程一次方程是最简单的方程形式，即次数为1。
例如：2x + 3 = 5。
这类方程只有一个根，可以通过移项相减的方式解决。
二、二次方程二次方程是指次数为2的方程，表现为ax² + bx + c = 0的形式。
其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
常见的二次方程求解方法有因式分解、配方法、求根公式等。
1. 因式分解法：当二次方程可因式分解时，可以通过分解得到的两个一次方程求解，例如：x² + 5x + 6 = 0可以分解为(x + 2)(x + 3) = 0，得到x的值为-2和-3。
2. 配方法：对于一些无法直接因式分解的二次方程，可以通过配方法将其转化为可因式分解的形式。
例如：x² + 6x + 8 = 0，可以通过构造平方项的方法得到(x + 2)(x + 4) = 0，得到x的值为-2和-4。
3. 求根公式：二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
通过代入a、b、c的值，计算得到x的值。
例如：2x² - 5x + 3 = 0，根据求根公式计算得到x的值为1和1.5。
三、三次方程与四次方程对于三次方程和四次方程，求解方法相对复杂一些。
一般情况下，可通过求根公式或换元法来解决。
1. 求根公式：三次方程的求根公式较为复杂，这里不再具体展开。
对于四次方程，也存在求根公式。
但由于其计算过程复杂，一般情况下，会借助计算机或数值计算方法来求解。
2. 换元法：对于三次方程和四次方程，常常可以通过合适的换元，将其变为二次方程或者多个一次方程。
例如，利用变量代换的方法将三次方程转化为二次方程后，再通过上述的二次方程求解方法解决。
高次方程的解法与应用知识点总结
高次方程的解法与应用知识点总结高次方程，也称多项式方程，是一种含有高次幂的方程。
解决高次方程是数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用背景。
本文将对高次方程的解法和应用知识点进行总结。
一、高次方程的解法1. 因式分解法高次方程的因式分解法是根据高次方程的特殊形式来求解的。
如果方程能够分解成两个或多个较低次数的因式相乘的形式，就可以借助因式分解的方法求解。
例如：x^2 - 4 = 0，可以通过因式分解(x + 2)(x - 2) = 0求得解x =2和x = -2。
2. 配方法配方法是解决一些二次方程的常用方法，通过选择适当的变量替换和配方，将高次方程转化为较低次数的方程来求解。
例如：x^2 + 6x + 9 = 0，可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而解得x = -3。
3. 求根公式求根公式是解决二次、三次、四次方程的常用方法，它将高次方程的解与方程的系数之间建立了一种关系，通过求解这些关系式可以得到高次方程的解。
例如：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为x= (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
4. 奇偶对称性对于某些高次方程，可以利用奇偶对称性来简化解法。
通过观察方程中各项的奇偶性，可以减少计算量，并找到方程的一些特殊解。
例如：x^5 - x^3 + x = 0，通过观察可以发现x = 0是方程的解，这是因为x^5和x都是奇次幂，而-x^3是偶次幂。
5. 数值逼近法对于一些无法用以上方法求解的高次方程，可以借助数值逼近法求解。
数值逼近法是通过不断逼近方程解的数值来求解方程的近似解。
例如：牛顿迭代法、二分法等。
二、高次方程的应用知识点1. 几何应用高次方程在几何学中有着广泛的应用。
例如，二次方程可以用来描述抛物线的形状和轨迹；三次方程可以用来描述三维空间中的曲线；四次方程可以用来描述圆锥曲线等。
2. 物理应用高次方程在物理学中也有着重要的应用。
高次方程的求解方法
高次方程的求解方法在数学中，高次方程是指其最高次数大于等于2的多项式方程。
对于高次方程的求解是数学中的重要课题之一。
本文将介绍几种常见的高次方程求解方法。
一、一元高次方程的求解方法一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程。
下面将介绍二次方程和三次方程的求解方法。
1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次数为2的一元方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
求解二次方程的一种常见方法是使用求根公式。
根据二次方程的解法，可以得到求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。
当求根公式中的判别式(b^2-4ac)大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次数为3的一元方程。
一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
求解三次方程的一种常见方法是使用牛顿迭代法。
该方法通过不断逼近，寻找多项式的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))，其中x(n+1)为下一个近似解，x(n)为当前的近似解，f(x(n))为方程的多项式函数值，f'(x(n))为多项式函数的导数值。
二、多元高次方程的求解方法多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程。
下面将介绍二元高次方程和三元高次方程的求解方法。
1. 二元高次方程的求解方法二元高次方程是指含有两个未知数的高次方程。
一般形式为：f(x, y) = 0。
求解二元高次方程可以采用消元法或者代入法。
消元法是通过将一个未知数用另一个未知数表示，从而减少方程的未知数个数。
代入法是将一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而求解方程的解。
2. 三元高次方程的求解方法三元高次方程是指含有三个未知数的高次方程。
高次方程的解法
高次方程的解法高次方程是指次数大于等于2的方程，例如二次方程、三次方程、四次方程等。
解高次方程是数学中的基本技能之一，能够帮助我们研究各种实际问题。
本文将介绍几种解高次方程的方法，包括因式分解、配方法、提取公因式和根的公式等。
一、因式分解法当高次方程可因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程。
举个例子，考虑解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0。
首先，我们观察方程中的常数项6，寻找其因数。
可以得知6的因数有1、2、3和6。
然后我们将这些因数带入方程，并观察是否能够满足等式。
不难发现，当将2和3带入方程时，等式成立。
因此，我们可以得出以下因式分解形式：(x - 2)(x - 3) = 0。
由因式分解的性质可知，当一个方程的乘积等于0时，其中一个因式等于0。
因此，我们可以得到两个解：x - 2 = 0 和 x - 3 = 0。
进一步求解可得x的值，即x = 2和x = 3。
因此，原方程的解为x = 2和x = 3。
二、配方法对于一些特殊的高次方程，我们可以通过配方法来求解。
配方法适用于二次方程以及一些特殊的三次方程，例如x^2 + bx + c = 0。
我们仍以二次方程为例进行讲解。
考虑解方程x^2 - 8x + 12 = 0。
首先，我们观察方程中的系数，将常数项12分解为两个数的乘积，这里可以分解为2和6。
然后我们观察方程中的一次项系数-8，将其写成-2和-6之和。
然后将方程重新写成完全平方的形式：(x - 2)(x - 6) = 0。
继续通过因式分解的性质可以得到x的两个解：x - 2 = 0 和 x - 6 = 0。
求解可得x = 2和x = 6。
因此，原方程的解为x = 2和x = 6。
三、提取公因式法当高次方程中存在公因式时，我们可以通过提取公因式的方式简化方程，并进一步求解。
举个例子，考虑解方程x^3 - 4x^2 + 4x = 0。
首先，我们观察方程中的每一项，可以发现每一项都含有x。
高次方程的解法
高次方程是指方程中最高次数的项大于等于2的方程。
高次方程的解法较为复杂，需要运用代数的知识和数学推导方法。
本文将介绍高次方程的解法。
一般来说，高次方程的解法可以分为两种：一种是可以直接求解得到解析解的方程，另一种是无法得到解析解，只能通过数值逼近的方法求解。
对于可直接求解得到解析解的高次方程，我们可以通过一系列的代数操作将方程化简为一元二次方程、三次方程或四次方程等可以直接求根的方程。
例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a来求解方程的根。
而对于三次方程和四次方程，我们可以使用卡尔达诺公式和费拉里公式来求解方程的根。
然而，对于高于四次的高次方程，我们无法直接求解得到解析解。
这是由于高于四次的高次方程在一般意义上是不可解的。
对于这种情况，我们可以通过数值逼近的方法来求解方程的近似解。
常用的方法有二分法、牛顿迭代法和割线法等。
这些方法通过不断的迭代计算，逐渐逼近方程的解，并可能得到任意精度的解。
除了上述的解法之外，高次方程还存在一些特殊的解法。
例如，对于特殊形式的高次方程，我们可以使用因式分解的方法来求解。
对于齐次方程，我们可以使用换元的方法将方程转化为更简单的形式。
对于含有参数的高次方程，我们可以通过改变参数的值来研究方程解的变化规律。
除了解析解和数值逼近的方法之外，我们还可以使用图像分析的方法来研究高次方程的解的性质。
通过绘制方程的图像，我们可以获得方程解的一些性质，例如解的个数、解的分布等。
这对于我们理解方程的解具有重要的启示作用。
综上所述，高次方程的解法包括可直接求解得到解析解的方程、通过数值逼近方法求解的方程，以及一些特殊解法和图像分析方法。
对于高次方程的解法，我们需要灵活运用代数的知识和数学推导方法，并结合具体的问题进行分析和求解。
通过研究高次方程的解法，我们可以进一步深入理解和探索数学的奥秘。
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高次方程及解法
✍✍✍✍✍✍✍✍✍江苏省通州高级中学✍徐嘉伟
一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双
1-6=-5）÷原高次方程:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0
时，有x4=-4
点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶
次项”系数计算。
二、常数项约数求根法
根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出因式P x-Q,
Q（Ｐ、Q是互质整数），那么，即方程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根
P
Ｐ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项a 0的约数”，我们用“常数项约数”
很快找到求解方程的简捷方法。
“常数项约数求根法”分为两种类型：
第一种类型：首项系数为1。
对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。
依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方
程求解。
432 6
2+x+1
x －
解：将原方程化为３（x 3-32x 2＋３x-２）＝０此时，“常数项”为-2，它的约数为±1，2±，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，
或P Q =-3
2
f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3X -2）。
（3x 3-２x 2＋９x-6）÷(3x-2)=x 2+3
解方程式x 2+3=0x=23i ±， x 1=23i ，x 2=-2
3i ∴
原方程的解为x 1=23i ，x 2=23i -，x 3=32 三、倒数方程求根法
1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。
如
ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=0,其中，,e a =d b =或者a=-e,b=-d
2、性质：倒数方程有三条重要性质：
（1）倒数方程没有零根；
（3）+3（x+x 12324±-=-2±3, x 1=-2+3,x 2=-2-3 又 x+x 1
=252x 2+2=5x,2x 2-5x+2=0(2x-1)(x-2)=0∴x 3=2
1
,x 4=2 经检验知x 1=-2+3,x 2=-2-3，x 3=21
,x 4=2都是原方程的根。
例2解方程6x 5-4x 4-3x 3+3x 2-4x-6=0
解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，
有根x=1,方程两边同除以因式（x-1）得：
6x 4+10x 3+7x 2+10x+6=0， 方程两边同除以x 2并整理得：6⎪⎭⎫ ⎝⎛+
221x x +10071=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x ,令y=x x +1得051062=-+y y ,65551+-=y =2y 6555--方程x+65551+-=x 无实数解：65551--=+x x 得：x ()
12
6455105553,2-±+-=
对首2,化成即常数即：y 2+5y-6=0y=-6或1,当y=-6时，x+53,64±-=-=x x
当y=1时，x+14=x (无实数根)∴531+-=x ,532--=x 四、双二次方程及推广形式求根法
双二次方程有四种形式：
第一种是标准式，如：ax 4+bx 2+c=0,此时设y=x 2原方程化为含y 的一元二次
方程ay 2+by+c=0，求出y 值在代入x 2之值，从而求出x 之值。
第二种形式双二次方程的推广形式。
如：（ax 2+bx+c ）2+m(ax 2+bx+c)+d=0,此时设y=(ax 2+bx+c),也可转化
为含y 的一元二次方程y 2+my+d=0,解出y 值代入ax 2+bx+c=y
从而求出原方程的根x 之值。
第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（x+a ）(x+c);(x+b)(x+d)结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ax 2+bx+c ）或成比例的多项式m(ax 2+bx+c),然后设y=ax 2+bx+c,将原方程转化为含y 的一元二
”换成“程化为：y ，
（ax 2y=1x 2例3解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x 2
解：本例题属于双二次标准方程ax 4+bx 2+c=0推广形式的第三种类型（x+a ）(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设y 换元的相同多项式”。
根据这个要求，只有将（x+2）(x+12)和(x+3)(x+8)组合（最小数2和最大数8组合，中间数3和8结合），才能创造出“相同”的多项式“x 2+24”,即
()24142++x x ()
2242411x x x =++，设242+=x y 则原方程转化为(y+14x)(y+11x)=4x 2,y 2+25xy+150x 2=0,(y+10x)(y+15x)=0y+10x=0或
y+15x=0,y+10x+24=0或
y+15x+24=0,x 2+10x+24=0,x 1=-4x 2=-6;x 2+15x+24=0,2
12915±-=
x ,2129153+-=x 2129154--=x 例4解方程(x-6)4+(x-8)4=16
解：本题属于双二次标准方程ax 4+bx 2+c=0推广形式的第四种类型（x-a ）
4+(x-b)4=c 的形式。
86-+-x x 4444为:()14+y 2+1-4y 3(x+a)4)]2
2b -，。