离散数学

5.2.3 逆元

例如,设代数系统<R,＋,×>,其中R是实数集, ＋与×是实数加与乘运算。 关于＋ 0幺元,结合,任意a∈A, a的逆元a-1＝－a 。 关于× 1幺元,结合,任意a∈A(a≠0),
a的逆元
a-1＝
1 a
5.2.4 独异点

定义5.2.1 设<A,＊>是半群，若A中有关于＊ 运算的幺元，则称<A,＊>为独异点(monoid)。
若b∈A，使a＊b＝e 若b∈A，使b＊a＝e＝a＊b
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5.2.3 逆元

例如，设代数系统<A,＊>的运算表 ＊ 1 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 4 3 4 4 1 2 1 1为幺元 1逆元为1 2右逆元4,无左逆元
3既无左逆元又无右逆元
4左逆元2与4,右逆元4
5.2.3 逆元
5.2.4 独异点

例如，<Z6,×6>的运算表 ×6 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] [4] [0] [2] [4] [0] [3] [0] [3] [0] [3] [0] [4] [2] [0] [4] [2] [0] [5] [4] [3] [2] [1]

例如，设代数系统<A, △>的运算表 △ 1 2 3 4 1 4 4 4 1 2 4 4 4 2 3 4 4 4 3 4 1 2 3 4 4为幺元 1的逆元为:1,2,3 2的逆元为:1,2,3 3的逆元为:1,2,3
4的逆元为:4
5.2.3 逆元

定理5.2.4设e为代数系统<A,＊>的幺元，运算
5.2.2 零元


例如,设代数系统<P(A),∩,∪>,其中P(A)是有 限集合A的幂集,∩与∪是集合交与并运算。 关于∪，对任意x∈P(A) 由于A∪x＝A，所以A是∪的左零元 由于x∪A＝A，所以A是∪的右零元 关于∩，对任意x∈P(A) 由于∩x＝ ，所以是∩的左零元 由于x∩＝ ，所以是∩的右零元
概括地写在32页稿纸上，并委托好友交给雅可比或高斯 审阅。他在第二天的决斗中不幸去世。
他对方程可解性问题提供了全面透彻的解答，解决了困扰数学家们长达百年之久的问题， 还给出了能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角、倍立方等问题。 他太超前于他那个时代，就连当时的数学大师们也不能理解他的数学思想和工作实质。直 到1870年，法国数学家若尔当(Jordan，1838—1922)对伽罗瓦理论作了第一次全面系统的 阐述，伽罗瓦理论才被完全理解。伽罗瓦理论开辟了全新的研究领域，使抽象代数迅速发 展成一门新的数学分支，并对近代数学的形成和发展产生了巨大影响，被公论为19世纪最 杰出的数学成就，确立了伽罗瓦在数学史上的不朽地位。
＊在A上结合。 a∈A，若bl＊a＝e＝a＊br ，
则bl＝br＝b，且b是a的唯一逆元。
证明 由bl＊a＝e＝a＊br知
bl＝bl＊e＝bl＊(a＊br)＝(bl＊a)＊br＝e＊br＝br
假设b和c都是a的逆元，则
b＝b＊e＝b＊(a＊c)＝(b＊a)＊c＝e＊c＝c
5.2.3 逆元

注释
设代数系统<A,＊>,若＊运算在A上结合。则 A中元素a若有逆元,则逆元唯一,记作a-1。
5.2.1 幺元



例如，代数系统<P(A),∩,∪>，其中P(A)是有 限集合A的幂集，∩与∪是集合交与并运算。 关于∩，对任意x∈P(A) 由于A∩x＝x，所以A是∩的左幺元 由于x∩A＝x，所以A是∩的右幺元 关于∪，对任意x∈P(A) 由于∪x＝x，所以是∪的左幺元 由于x∪＝x，所以是∪的右幺元
5.2.1 零元

设代数系统<A,＊>， ＊运算的 左零元 若ol∈A对x∈A有ol＊x＝ol 右零元 若or∈A对x∈A有x＊or＝or 零元 若o∈A对x∈A有o＊x＝o＝x＊o
5.2.2 零元

例如，设A＝{1,2,3,4}，A上的二元运算﹡与 △的运算表如下： ﹡ 1 1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 4 4 2 3 4 △ 1 2 3 4 1 2 1 3 4 2 1 2 3 4 3 3 3 3 3 4 1 4 3 4
5.2.4 独异点

定理5.2.5设<A,＊>是一个独异点，则＊运算 的运算表中任意两行或两列都不相同。
证明设e为幺元，任取a,b∈A且a≠b
＊
…
a … b

…

e

… e＊a … e＊b …
伽罗瓦小传
伽罗瓦(Galois，1811—1832)，法国数学家。
生于富裕家庭，幼年受到良好家庭教育，从小痴迷数学，一直 狂热地研究数学。 1829年5月，他提交法国科学院关于代数方程理论方面的论文， 不幸被审稿人柯西遗失。1830年2月，他提交法国科学院论文 《论方程可用根式解的条件》，不幸由于审稿人傅里叶的去世 而遗失。更为不幸的是，在那个法国保皇党和革命民主人士激 烈斗争年代，他被卷入越来越多政治纷争，后又因不为人知的 政治原因和情感纠葛，被迫卷入一场当时非常时兴的愚蠢决斗 中，在决斗前夜他疯狂地整理自己的数学思想和数学发现，
5.2 幺元、零元和逆元

5.2.1 幺元
5.2.2 零元
5.2.3 逆元 5.2.4 独异点
5.2.1 幺元

设代数系统<A,＊>， ＊运算的 左幺元 若el∈A对x∈A有el＊x＝x 右幺元 若er∈A对x∈A有x＊er＝x 幺元 若e∈A对x∈A有e＊x＝x＝x＊e
5.2.1 幺元
P(A)是有限集A的幂集，∩,∪分别是集合的 交运算与并运算。
5.2.4 独异点

例5.2.1设m是大于1的正整数,模m同余类集 合Zm＝{[0],[1],…,[m-1]},任意[a],[b]∈Zm, 规定 [a]＋m[b]＝[(a＋b)mod m] [a]×m[b]＝[(a×b)mod m]
则<Zm,＋m>与<Zm,×m>都是独异点。
5.2.2 零元

定理5.2.3 设代数系统<A,＊>，且A中元素的 个数不小于2。若该代数系统存在幺元e和零 元θ，则e ≠ θ
证明 假设e＝θ，则对任意a∈A，有
a＝a＊e＝a＊θ＝θ＝e
5.2.3 逆元

设代数系统<A,＊>且e为幺元。 a∈A，a的 左逆元 若b∈A，使b＊a＝e
右逆元 逆元
5.2.4 独异点

证明 (1)＋m与×m都是Zm上的代数运算 (2)任取[i],[j],[k]∈Zm,则
([i]＋m[j])＋m[k]
＝[i]＋m([j]＋m[k])＝[(i＋j＋k)mod m] ([i]×m[j])×m[k] ＝[i]×m([j]×m[k])＝[(i j k)mod m] (3)＋m的幺元为[0],×m的幺元为[1]
证明
el＝el＊er＝er
假设A中有两个幺元e与d，则d＝d＊e＝e
5.2.1 幺元



例如,设代数系统<R,＋,×>,其中R是实数集, ＋与×是实数加与乘运算。 关于＋，对任意x∈R 由于0＋x＝x，所以0是＋的左幺元 由于x＋0＝x，所以0是＋的右幺元 关于×，对任意x∈R 由于1×x＝x，所以1是×的左幺元 由于x×1＝x，所以1是×的右幺元
5.2.4 独异点

例如，<Z6,＋6>的运算表 ＋6 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5] [0] [1] [2] [3] [4]
作 业

课后作业
134面 习题5.2

例如，设A＝{1,2,3,4}，A上的二元运算﹡与 △的运算表如下： ﹡ 1 1 1 2 1 3 3 4 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 4 4 4 3 4 △ 1 2 3 4 1 2 1 4 4 2 1 2 3 4 3 4 3 2 4 4 1 4 3 4
5.2.1 幺元

定理5.2.1设代数系统<A,＊>，若A中有关于 运算＊的左幺元el与右幺元er，则el＝er＝e， 且A中幺元唯一。

定义5.2.2 设<A,＊>是独异点，B是A的非空子
集，若<B,＊>也是独异点，则称<B,＊>是独异 点<A,＊>的子独异点(submonoid)。
5.2.4 独异点

独异点<R,＋>与<I,＋>， <R,×>与<I,×> 设R实数集，I整数集， ＋,×分别是实数加 运算与乘运算。

独异点<P(A),∩>与<P(A),∪>
5.2.2 零元

定理5.2.2设代数系统<A,＊>，若A中有关于 运算＊的左零元Ol与右零元Or，则Ol＝Or＝O， 且A中零元唯一。
证明
Ol＝Ol＊Or＝Or
假设A中有两个零元O与d，则d＝d＊O＝O
5.2.2 零元


例如,设代数系统<R,＋,×>,其中R是实数集, ＋与×是实数加与乘运算。 关于＋，对任意x∈R 由于 ？＋x＝？， 所以＋没左零元 由于 x＋？＝？， 所以＋没右零元 关于×，对任意x∈R 由于0×x＝x， 所以0是×的左零元 由于x×0＝x， 所以0是×的右零元