线段和角
射线、直线、线段和角
边
顶点
∠1 ）条，线段（ 1 ）条，射线（ 4 ）条。
（ 3 ）个角
（ 8 ）个角
数一数，下面的各图形各有几个角？
（ 1 ）个角
公共端点的两条射线组成
（ 3 ）个角
公共端点的三条射线组成
（ 6 ）个角
公共端点的四条射线组成
1个角
1+2=3个角
1+2+3=6个角
九年义务教育六年制小学数学第七册
课件制作：李剑雄 制作者单位：珠海市金海岸海华小学
直线
可以向两端无限延长
只能向一端无限延长 射线
线段 可以度量长短
直线
射线 线段 直线、射线和线段之间有什么区别？ 直线： 射线： 线段： 没有端点，可以向两端无限延长，不可度量长短。 有一个端点，只能向一端无限延长，不可度量长短。 有两个端点，可以度量长短。
做一做
①
把序号写在适当括号里
⑦ ② ③
④ ⑤ ⑥ 直线： （ 射线： （ 线段： （
⑤
②
⑥
③ ④
） ） ）
⑧
①
欣赏
欣赏
过一个点可以画多少条射线？
还可以画吗？
角
小结：过一个点可以画无数条射线。
从一点引出的两条射线所 组成的图形叫做角。
角有一个顶点，两条边。
边 顶点 角通常用符号“∠”来表示。
边
1 记作:∠1
2
记作:∠2 读作:角2
读作:角1
画一画
可以画无数条直线
你发现了 什么？
1、通过上面任意一点画直线。 （一个点上可以画无数条直线。 ） 2、通过上面任意两点画直线。 （两个点之间只能画一条直线。 ） 3、画出两个角，要求∠1比∠2小，并标 出两个角的各部分名称。 边 1 顶点
线段和角的模型-初中数学常见的模型方法专题
根据前面的结果解答即可．
【详解】解： 分别是 的中点，
分别是 的中点
又
∵ ，
∴ 在点 的右边，
如图示：
分别是 的中点，
又
只要满足点 在线段 所在直线上，点 分别是 的中点．那么 就等于 的一半
【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键．
【点睛】考查了两点间的距离，利用了等分点等分线段的性质，线段的和差．
变式8
9.如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据图示知AM＝ AC，AC＝AB﹣BC；
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②AD BE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】①由题意可知随着C的运动，D、P、E都在动，故正确；
②可以推得当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，AC<BC，故错误；
（2）由2平分两个点组成的线段，得到左边的点为2－距离的一半，从而可求得答案；
（3）设点C表示的数为x，分三种情况讨论：①点C在A的左侧，②点C在A和B之间，③点C在B的右侧．
（4）先求出每两条相邻折痕的距离，进一步得到最左端的折痕和最右端的折痕与数轴的交点表示的数，即可求得答案．
【详解】解：（1）（﹣1+5）÷2=4÷2=2．
③由题意及中点的性质可知正确；
综合算式专项练习题线段与角的计算
综合算式专项练习题线段与角的计算综合算式专项练习题——线段与角的计算一、线段计算题1. 已知线段AB的长度为5cm，线段BC的长度为7cm，求线段AC 的长度。
解析：根据线段加法原理，线段AC的长度等于线段AB的长度加上线段BC的长度。
即AC = AB + BC = 5cm + 7cm = 12cm。
2. 在平面直角坐标系中，已知点A(-3, 4)和点B(5, -2)，求线段AB的长度。
解析：根据两点间距离公式，线段AB的长度可以计算为√[(x2 -x1)² + (y2 - y1)²]。
带入坐标得到AB = √[(5 - (-3))² + (-2 - 4)²] = √[64 + 36] = √100 = 10。
二、角计算题1. 已知一条线段DE，角BED为90°，角AEB为120°，求角DEB的度数。
解析：根据角的和为180°，∠DEB = 180° - ∠BED - ∠AEB = 180° - 90° - 120° = -30°。
2. 已知∠ABC = 30°，∠BCD = 120°，求∠ABD的度数。
解析：根据角的外角性质，∠ABD = ∠BCD - ∠ABC = 120° - 30° = 90°。
三、混合算式题1. 一条线段的长度为9cm，截取其中的1/4作为新线段的长度，再将新线段平均分成3段，求每段的长度。
解析：新线段的长度为9cm * (1/4) = 9cm * 0.25 = 2.25cm。
将新线段平均分成3段，则每段的长度为2.25cm / 3 = 0.75cm。
2. 若一物体从点A开始沿直线运动，经过8秒后到达点B，然后还需经过5秒才能到达点C，求从A到C的总时间。
解析：从A到B的时间已知为8秒，从B到C的时间已知为5秒。
小学数学线段和角的练习题
小学数学线段和角的练习题一、线段练习题1. 在一张纸上，画一条长为5厘米的线段AB。
将线段AB分成两段，使其中一段的长度为3厘米，找出另一段的长度。
2. 画一条长为8厘米的线段CD，将线段CD平分为三等分，找出每一段的长度。
3. 画一条长为6厘米的线段EF，将线段EF分成四段，其中有一段的长度为2厘米，找出其他三段的长度。
4. 在一张纸上，画一条长为10厘米的线段GH。
将线段GH分成五段，且其中有一段的长度为4厘米，找出其他四段的长度。
二、角的练习题1. 画一个顶点为O的角，使其大小为40°。
将这个角平分为两个相等的角，找出每个角的大小。
2. 画一个顶点为P的角，使其大小为80°。
将这个角划分为四个相等的角，找出每个角的大小。
3. 画一个顶点为Q的角，使其大小为60°。
将这个角分成三段，找出每一段的大小。
4. 画一个顶点为R的角，使其大小为120°。
将这个角平分为六个相等的角，找出每个角的大小。
三、综合练习题1. 在一张纸上，画一条长为7厘米的线段AB。
再画一个顶点为A的角，使其大小为50°。
将线段AB和角A划分为三段，找出每一段的长度和每个角的大小。
2. 画一个顶点为O的角，使其大小为30°。
将这个角平分为四个相等的角，再将每个相等的角分为五段，找出每一段的大小。
3. 在一张纸上，画一条长为12厘米的线段CD。
再画一个顶点为C的角，使其大小为70°。
将线段CD和角C分成四段，找出每一段的长度和每个角的大小。
4. 画一个顶点为P的角，使其大小为140°。
将这个角划分为五个相等的角，再将每个相等的角分为三段，找出每一段的大小和每个角的大小。
以上是小学数学线段和角的练习题，通过解答这些题目可以加深对线段和角的理解，并提升数学应用能力。
希望能对你的学习有所帮助！。
(完整版)线段和角知识点
线段、射线、直线线段 射线 直线端点个数 两个一个 没有 延伸情况 没有延伸向一个方向延伸 向两个方向延伸 长度 有长度可以测量 没有长度不能测量 没有长度不能测量 表示方法 ①用表示两个端点的大写字母（无序） ②用一个小写字母 用两个大写字母，其中表示端点的字母写在前面（有序） ①用直线上表示任意两个点的大写字母（无序）②用一个小写字母表示1、线段的性质：两点之间，线段最短。
2、两点间的距离：连接两点之间的线段的长度。
三、直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。
四、线段的长短比较方法：度量法和叠合法五、画一条线段等于已知线段：1、画一条线段等于已知线段是用直尺和圆规的第一个基本作图，直尺的作用是画直线、射线或线段，圆规的作用是画弧、截取等长的线段。
2、常见的作图语言：①作射线××；②在射线××上截取××=××；③在线段××上截取××=××；则××就是所要求作的××。
说明：作图时用的直尺是没有刻度的，因此作图的痕迹要保留。
六、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。
如图所示点C 是线段AB 的中点，则有①AB=2AC=2BC ，②AC=BC=21AB 。
七、线段的和、差、倍、分的计算：1、逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和差倍分展开。
若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解。
2、整体转化：巧妙转化是解题的关键，首先将所求的线段转化为两条线段的和或差，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段。
3、构造方程：利用各段线段的比值及中点关系建立起方程，求出未知数的值。
注意：有关线段长度的计算如果没有图形，题中又没有明确的点的位置，应该全面考虑，注意条件中的图形的多样性，防止漏解。
数角和线段的简便方法
数角和线段的简便方法在几何学中，角和线段是基本的概念。
对于学习几何学的人来说，掌握数角和量线段的方法至关重要。
本文将介绍一些简便的方法，帮助读者准确而快速地处理数角和线段的问题。
首先，我们来看数角的处理方法。
对于平面角来说，最常用的单位是度。
要将角度转化为度数，可以利用圆的性质。
以角的顶点为圆心，角所在的弧长与整个圆的弧长之比即为角的度数。
例如，当角所对应的弧长度为圆周长的1/4时，该角的度数为90度。
在实际问题中，经常需要计算两个角度之间的差值。
这时，可以利用逆时针旋转的概念。
将目标角度绕圆心逆时针旋转，使其与起始角度重合。
然后计算旋转的弧长，将其转化为角度即可。
这种方法可以使计算简单而准确。
接下来，我们来探讨线段的量化方法。
在线段的量化中，最基本的要素是长度。
测量线段长度可以使用尺子或者其他测量工具，将其放在线段上并读取刻度值即可。
需要注意的是，线段的长度应该使用相应的单位进行表示，如厘米、米等。
在解决线段的相关问题时，经常需要进行比较或计算。
这时，可以利用比例关系和相似三角形的性质。
如果两个线段在几何图形中对应的部分相似且比例相等，那么这两个线段也是相似的。
根据相似的特性，可以通过已知线段的长度推导出未知线段的长度。
另外，线段还可以用向量表示。
向量是具有大小和方向的量，可以表示线段的位移和方向。
常见的表示方法有箭头表示法和坐标表示法。
箭头表示法是通过箭头的方向和长度来表示位移和方向。
坐标表示法是将线段的起点和终点的坐标表示出来，通过坐标的差值得出向量的大小和方向。
综上所述，数角和线段的简便方法可以帮助我们快速准确地处理几何问题。
掌握这些方法可以提高计算的效率和准确性，解决复杂问题变得更加简单。
在实际应用中，我们可以灵活运用这些方法，将几何学的理论与实际问题相结合，更好地理解和应用几何学的知识。
《线段和角的画法》综合练习题答案
线段和角的画法综合练习题答案一、判断题每小题1分共8分,对的在括号内画“√”,错的画“×”．1．经过三点中的每两个,共可以画三条直线…………………………………提示平面内三点可以在同一条直线上,也可以不在同一条直线上．答案×．点评要注意,三个点的相互位置共有两种情况,如图1 2因此,平面内经过三点中每两个的直线可以是同一条,也可以是三条,必须把上面两种情况全部考虑到,再分类解决,若只考虑其中的第二种情况,判断就会出错．2．射线AP 和射线PA 是同一条射线………………………………………………提示表示射线端点的字母要写在前,另一个字母写在后,端点不同的射线不是同一条射线． 答案×．3．连结两点的线段,叫做这两点间的距离…………………………………………提示连结两点的线段的长度,叫做这两点的距离．答案×．点评“线段”表示的是“图形．．”,而“距离”指的是线段的“长度”,指的是一个“数．”,两者不能等同．4．两条直相交,只有一个交点……………………………………………………提示两条不同的直线,如果它们有一个公共点,我们就说它们相交,若两条直线相交,有两个公共点,那么根据直线公理：经过两点有且只有一条直线,则这两条直线实际上是同一条直线了．同样两条不同的直线不能有三个或更多的公共点．答案√．5．两条射线组成的图形叫做角……………………………………………………提示有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．答案×．点评“角”的构成有两个条件：①有公共端点；②两条射线组成的图形．两者缺一不可,按题中的叙述,可以画出这样的图形如下图,显然这个图形不是角．6．角的边的长短,决定了角的大小．提示角的大小,与组成角的两条射线张开的程度相关,或者说与射线绕着它的端点旋转过的平面部分的大小相关,与角的边画出部分的长短无关．答案×．点评我们在现实生活中看到的直线或射线,其实大多数以线段的形式出现的,所以在运用直线或射线概念时,千万别忘了它们的几何意义,否则就要出错．7．互余且相等的两个角都是45°的角…………………………………………提示“互余”即两角和为90°．答案√．点评设相等的两个角为x°,由“互余”得,2x＝90,∴x＝45度,以正确的计算为依据,也是作判断题的方法之一．注意,角度是一个带单位的数．设未知数时,未知量带单位,则列式中即可不用带单位．这与解其他类型的应用题格式相同．8．若两个角互补,则其中一定有一个角是钝角……………………………………提示“互补”即两角和为180°．想一想：这里的两个角可能是怎样的两个角答案×．点评两角互补,这里的两角有两种情形,如图：图1 图2有一个是钝角,也可能两个角都是直角,因此因此,互补的两个角中,可能．．在作出判断前必须全面地考虑,这就要求有“分类讨论”的思想,“分类讨论”是数学中重要的思想方法之一．二、填空题每空1分,共28分1．过平面内的三个点中的每两个画直线,最少可画____条直线,最多可画_____条直线．提示分三点在一条直线上和三点不在同一条直线上两种情况．答案1,3．2．如图,线段AB上有C、D、E、F四个点,则图中共有_____条线段．提示方法一：可先把点A 作为一个端点,点C 、D 、E 、F 、B 分别为另一个端点构成线段,再把点C 作为一个端点,点D 、E 、F 、B 分别为另一个端点构成线段……依此类推,数出所有线段求和,即得结果．方法二：先数出相邻两点间线段的条数,再数出中间隔一点或隔二点、或隔三点……数出各种情况线段的条数,将它们相加,即得结果．答案15．点评一条线段上．．．．．有4个点,则共有5＋4＋3＋2＋1条线段；若线段上．．．再增加一个点,即有5个点,则共有6＋5＋4＋3＋2＋1条线段；若一条线段上．．．．．有n 个点呢 则有n ＋1＋n ＋n －1＋…＋3＋2＋1＝2)2)(1(++n n 条线段,每增加一个点,就增加n ＋1条线段． 3．线段AB ＝6 cm,BC ＝4 cm,则线段AC 的长是______．提示分点C 在AB 的延长线上或点C 在AB 上两种情形．答案10 cm 或2 cm ．点评1当点C 在AB 延长线上时,如图,则AC ＝AB ＋BC ＝6＋4＝10cm ；2当点C 在AB 上时,如图,则AC ＝AC －BC ＝6－4＝2cm,点有位置不同,故应有两种情形．4．把线段AB 延长到点C ,使BC ＝AB ,再延长BA 到点D ,使AD ＝2AB ,则DC ＝_____AB ＝____AC ；BD ＝_____AB ＝_____DC ．提示根据题意,画出符合条件的图形,如图,答案是否明白了答案4,2；3,43． 点评判断线段间的数量关系,应画出符合题意的图形,结合图形正确分析方能得出正确的结论,这里要注意“延长线段AB ”与“延长线段BA ”的区别．5．45°＝______直角＝_____平角＝____周角．提示1直角＝90°,且1直角＝21平角＝41周角． 答案21,41,81． 6．18.26°＝___°___′___″；12°36′18″______°．提示1°＝60′,1′＝60″,高一级单位化成低一级单位,用乘法,乘以60；低一级单位化成高一级单位,用除法,除以60．答案18,15,36；12.605．7．只有_____角有余角,而且它的余角是_____角．提示①互余的两角和为90°；②0°＜锐角＜90°．答案锐、锐．8．如图,∠AOC ＝∠COE ＝∠BOD ＝90°,则图中与∠BOC 相等的角为_____；与∠BOC 互余的角为______,与∠BOC 互补的角为______．提示互余的两角和为90°,互补的两角和为180°；同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等．答案∠DOE ,∠AOB 、∠COD ；∠AOD ．点评互补两角,图形上并非一定出现相邻两角为平角,而只要求和为180°,类似地,也应这样去理解互为余角的概念．9．∠α与它的余角相等,∠β与它的补角相等,则∠α＋∠β＝____°．提示互余且相等的角是45°,互补且相等的角是90°．答案135°．10．互为余角两角之差是35°,则较大角的补角是_____°．提示先根据互余两角和为90°,差是35°,求出较大角,然后再求较大角的补角．答案117.5°．点评设互余两角为α,β,且α＞β,则⎩⎨⎧︒=-︒=+3590βαβα．解这个方程组,即可求出∠α的度数,这种和用方程组解决几何计算题的方法以后还会经常用到．11．钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角是_____°．提示钟面上时针每小时旋转1大格为30°,则每分旋转0.5°；分针每小时旋转12大格为360°,则每分转6°．答案如图,∠BOC ＝∠AOB －∠AOC＝30°×3－0.5°×15＝90°－7.5°＝82.5°12．用定义、性质填空：1如下图,∵ M 是AB 的中点,∴ AM ＝MB ＝21AB ． 2如下图,∵ OP 是∠MON 的平分线,∴ ∠MOP ＝∠NOP ＝21∠MON ． 3如右图,∵ 点A 、B 、C 在一条直线上,∴ ∠ABC 是平角4如右图,∵ ∠1＋∠2＝90°,∠3＋∠2＝90°,∴ ∠1＝∠3提示根据线段中点、角平分线概念、互为余角的性质填写．答案线段中点的定义,角平分线的定义,平角的定义,同角的余角相等．点评定义性质是推理的依据,要学会定义、性质的符号表达式,为后面的进一步学习做好准备．三、选择题每小题2分,共16分1．如图,B 、C 、D 是射线AM 上的一个点,则图中的射线有………………A6条 B5条 C4条 D1条提示射线是指直线上一点和它一旁的部分,射线有一个端点,可以向一方无限延伸．答案B ．2．下列四组图形其中AB 是直线,CD 是射线,MN 是线段中,能相交的一组是A B C D提示直线没有端点,可以向两方无限延伸；射线有一个端点,可以向一方无限延伸；线段有两个端点,题中四组图形,画出部分都没相交、要找出能相交的一组,就看直线、射线可延伸出部分能否与另一条线相交．答案B ．3．如图,由AB ＝CD ,可得AC 与BD 的大小关系是…………………………A AC ＞BDB AC ＜BD C AC ＝BD D 不能确定提示由AB ＝CD ,两边同时减去CB ,即可找出答案．答案C ．4．如图,M 是线段AB 的中点,N 是线段AB 上一点,AB ＝2a ,NB ＝b ,下列说法中错误的是…………………………………………………………………………A AM ＝aB AN ＝2a －bC MN ＝a －bD MN ＝21a提示由“M 是线段AB 的中点,AB ＝2a ”,可得AM ＝MB ＝21AB ＝a ． 答案D ． 5．下列说法中正确的是…………………………………………………………A 角是由一条射线旋转而成的B 角的两边可以度量C 一条直线就是一个平角D 平角的两边可以看成一条直线提示角是由一条射线绕着它的端点．．．．旋转而成的图形,角的边是射线,角有顶点．答案D ．点评平角的两边互为反向延长线,可以构成一条直线,但不可把直线当作直角,因为直线没有明确角的顶点．6．下列四个图形中,能用∠ ,∠O ,∠AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是A B C D提示当且仅当顶点处只有一个角时,可用顶点的大写字母表示这个角．答案C ．7．如图,∠AOB 是一直角,∠AOC ＝40°,OD 平分∠BOC ,则∠AOD 等于A65° B50° C40° D25°提示∠AOD ＝∠AOB －∠BOD 或者∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ．答案A ．点评观察图形,确定角与角之间的关系是解决此题的关键．8．下列说法中正确的是…………………………………………………………A 一个角的补角一定比这个角大B 一个锐角的补角是锐角C 一个直角的补角是直角D 一个锐角和一个钝角一定互为补角提示0°＜锐角＜90°,1直角＝90°,90°＜钝角＜180°,互补两角的和是180°．答案C ．四、计算每小题2分,共8分1．37°28′＋44°49′； 2．108°18′－52°30″；3．25°36′×4； 4．40°40′÷3．提示1°＝60′,1′＝60″,低一级单位满“60”,要向高一级单位进“1”,由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．答案1．82°17′； 2．56°17′30″； 3．102°24′； 4．13°33′20″．五、画图题共15分1．４分读句画图：如图,A 、B 、C 、D 在同一平面内．1过点A 和点D 画直线；2画射线CD ；3连结AB ；4连结BC ,并反向延长BC ．答案如图：点评画直线AD 时,要画出向两方延伸的情况,画射线CD 时,要画出向D 的一旁延伸的情况,画线段AB 时,则不要画出向任何一旁延伸的情况,线段是射线、直线的一部分,射线又是直线的一部分．2．４分已知线段a 、b 如图,画出线段AB ,设AB ＝3a －21b ,并写出画法． 答案方法一：①量得a ＝1.9 cm,b ＝2.6 cm ；②算AB 的长,AB ＝3×1.9－21×2.6＝4.4cm ； ③画线段AB ＝4.4 cm ．则线段AB 就是所要画的线段．方法二：①画射线．．AM ,并在．射线AM 上顺次截取．．．．．AC ＝CD ＝DE ＝a ；②在线段．．EA 上截取EB ＝21b ． 则线段AB 就是要画的线段．点评①写画法就是按照画图的顺序,交代清楚在什么位置在射线AM 上上画什么样的线段,怎样画顺次截取,哪一条线段就是要画的线段．②涉及到的概念用语是射线还是线段,位置术语在……上,动作术语截取还是顺次截取等都要仔细体会,正确运用．3．４分用三角板画15°与135°的角．提示15°＝45°－30°＝60°－45°；135°＝90°＋45°＝180°－45°．答案如图：或则∠AOC 就是所要画的15°角． 或则∠MON 就是所要画的135°的角．4．3分已知：∠1与∠2,且∠1＞∠2,画∠AOB ,使∠AOB ＝21∠1－∠2． 答案方法一①量得∠1＝120°,∠2＝44°；②算∠AOB ＝21120°－44°＝38°； ③画∠AOB ＝38°．则∠AOB 就是所要画的38°角．方法二①画∠AOC ＝120°；②以O 为顶点OC 为一边在∠AOC 的内部画∠COD ＝44°；③量得∠AOD ＝76°,则21∠AOD ＝38°； ④以O 为顶点,OA 为一边,在∠AOD 的内部画∠AOB ＝38°．则∠AOB 就是所要画的38°的角．点评无论方法一还是方法二,都要使用量器画角,有一定的局限性,常常会有误差．以后,我们还要学习“尺规作图”的方法,从而能提高画图能力．5．读句画图填空每空1分,共10分1画∠AOB ＝60°．2画∠AOB 的平分线OC ,则∠BOC ＝∠____＝21∠____＝____°． 3画OB 的反向延长线OD ,则∠AOD ＝∠____－∠AOB ＝_____°．4画∠AOD 的平分线OE ,则∠AOE ＝∠____＝_____°,∠COE ＝_____°．5以O 为顶点,OB 为一边作∠AOB 的余角∠BOF ,则∠EOF ＝____°,射线OC 、OB 将∠____三等分． 答案2AOC 、AOB 、30；3BOD 、120；4DOE 、60,90；5150,AOF ．点评读句画图,看图填空,把几何图形与语句表示,符号书写融为一体,看到了图形形成的过程,利于识图．六、解答题每小题5分,共15分1．如图,M 是线段AB 的中点,点C 在线段AB 上,且AC ＝4 cm,N 是AC 的中点,MN ＝3 cm,求线段CM 和AB 的长．提示CM ＝MN －NC ,AB ＝2 AM ．答案∵ N 是AC 中点,AC ＝4 cm,∴ NC ＝21AC ＝21×4＝2cm, ∵ MN ＝3 cm,∴ CM ＝MN －NC ＝3－2＝1cm,∴ AM ＝AC ＋CM ＝4＋1＝5cm,∵ M 是AB 的中点,∴ AB ＝2 AM ＝2×5＝10cm ．答：线段CM 的长为1 cm,AB 的长为10 cm ．点评在进行线段的有关计算时,要依据已知,仔细看图,找出已知线段与所求线段的关系,关于线段中点的三种表达方式,应结合图形灵活运用．2．已知∠ 与∠ 互为补角,且∠ 互为补角,且∠ 的32比∠ 大15°,求∠ 的余角． 提示互补两角和为180°,根据题意可知列出关于∠ 、∠ 的方程组,求出∠ ,再根据“互余两角和为90°”,求出∠ 的余角．答案由题意可得：解之得：∴ ∠ 的余角＝90°－∠ ＝90°－63°＝27°．答：∠ 的余角是27°．3．如图,∠AOB 是直角,∠AOC 等于46°,OM 平分∠AOC ,ON 平分∠BOC ,求∠MON 的度数．提示∠MON ＝∠CON －∠COM ．答案∵ ∠AOB 是直角．∴ ∠AOB ＝90°直角的定义,∵ ∠AOC ＝46°,∴ ∠BOC ＝∠AOB ＋∠AOC ＝90°＋46°＝136°,∵ ON 平分∠BOC ,∴ ∠CON ＝21∠BOC ＝21×136°＝68°角平分线定义, ∵ OM 平分∠AOC , ∴ ∠COM ＝21∠AOC ＝21×46°＝23°角平分线定义, ∴ ∠MON ＝∠CON －∠COM ＝68°－23°＝45°．答：∠MON ＝45°．点评和线段计算一样,在进行有关角度计算时,也要根据已知,仔细看图,找出已知角与所求角的关系,此题中的∠MON 还可看成是∠BOM 与∠BON 的差,∠MON 也可看成是∠AOM 与∠AON 之和,请试一试怎么算,比一比哪种方法较简便．关于角平分线的三种表达式,也应结合图形灵活运用．。
小专题(十二) 线段和角的计算中的数学思想
×12=6.所以AM= AC=1,DN= DB= .①
=MC+CD+DN=2-1+4+ = ;②
如图①,当点N在点D右侧时,MN
如图②,当点N
在点D左侧时,MN=MC+CD-DN=2-1+4- = .综
上所述,线段MN的长为 或
1
2
3
4
5
6
7
写出结果).
(3) 如图③④,∠MON=α+45°或135°-2α
第8题
1
2
3
4
5
6
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8
9
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11
12
13
类型三
整体思想
9. 如图,C,D是线段AB上的任意两点,E是AC的中点,F是BD的中点.如果
EF=m,CD=n,那么线段AB的长度为
( C )
A. m+n
B. 2m+n
C. 2m-n
D. 3m-2n
1
或9
,AC=10,BC=4,则线段MN的长为
.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
7. 已知线段AB=12,在AB上有C,D,M,N四点,且AC∶CD∶DB=1∶2∶3,
1
1
AM= AC,DN= DB.求线段MN的长.
2
4
因为AB=12,AC∶CD∶DB=1∶2∶3,所以AC= ×12=2,CD= ×12=4,DB=
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3. 线段 （1）线段的概念：直线上的两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 （2）两点间的距离：连结两点的线段的长度叫做这两点的距离。 （3）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短，即两点之间线段最短。 （4）线段的表示方法：如图 1，用两个大写字母表示，记做线段 AB 或线段 BA；如图 2，用一个小写 字母表示，记做线段 a。
图8
3．在同一条公路旁，住着五个人，他们在同一家公司上班，如图 9,不妨设这五个人的家分别住在点 ABDEF 位置，公司在 C 点，若 AB=4km，BC=2km，CD=3km，DE=3km，EF=1km，他们全部乘出租车上班，车费单位报 销．出租车收费标准是： 起步价 3 元（3km 以内，包括 3km） ， 以后每千米 1.5 元（不足 1km， 以 1km 计算） ， 每辆车能容纳 3 人． （1）若他们分别乘出租车去上班，公司在支付车费多少元？ （2）如果你是公司经理，你对他们有没有什么建议？
例 2：反向延长一线段 BA 到 C，使 BC = DC 的中点 E 和 A 点之间的距离。
2 1 AB ，延长 BA 到 D，使 DA AB ，已知 DC = 6cm，求线段 3 3
例 3：已知点 C 是线段 AB 上一点，M 是线段 BC 的中点，可以有 AM =
1 ( AB AC ) 的结论吗？为什么？ 2
（5）两条直线相交的意义：当两条不同的直线有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共 点叫做它们的交点。如图所示，可以说：直线 a、b 相交于点 O。此时直线 a、b 只有一个公共点。 2. 射线 （1）射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。 （2） 射线的表示方法： 用射线的端点和射线上任一点来表示， 如图 1 中的射线记做射线 OA 或射线 l。 注意：①表示端点的字母一定要写在前面，使字母的顺序与射线延伸的方向一致，如图 1 射线 OA 不能表 示成射线 AO；②同一条射线是指射线的端点相同，而延伸方向也相同的射线。如图 2，射线 OA 与射线 OB 表示同一条射线； ③两条不同射线是指端点不同的射线，或者是指端点相同但延伸方向不同的射线，如图 2 中，射线 OB 与 射线 AB 不是同一射线。
A 图1 B a 图2
注意：①线段 AB 和线段 BA 是同一条线段；②连结 AB 就是画以 A、B 为端点的线段；③延长线段 AB 是指按从 A 到 B 的方向延长，如图所示，也可以说成反向延长 BA。线段的延长线常常画成虚线。
A B
（5）线段大小的比较：①度量法。先量出线段 AB、线段 CD 的长度，根据它们的长度（数量）进行比 较，线段的大小关系与它们的长度关系是一致的。②叠合法。如图所示。
90 , 互余 180 , 互补
性质： （1）等角的补角相等 8.用角度表示方向 （1）东北方向（即北偏东 45 或东偏北 45 ） ————射线 OA （2）北偏西 60 方向（或西偏北 30 方向） ————射线 OB 【典型例题】 例 1：线段 AB 3.8 cm，延长线段 AB 到 C，使 BC = 1cm，再反向延长 AB 到 D，使 AD=3 cm，E 是 AD 中 点，F 是 CD 的中点，求 EF 的长度。 （2）等角的余角相等
1 BC 2
图4 ).
C．CD=
1 AB-BD 2
D．CD=AD-BC
5.如果线段 AB=13cm,MA+MB=17 cm,那么下面说法中正确的是 ( A．M 点在线段 AB 上 C．M 点在直线 AB 外 B．M 点在直线 AB 上
D．M 点可能在直线 AB 上,也可能在直线 AB 外
6．如图 5,小华的家在 A 处，书店在 B 处，星期日小明到书店去买书， 他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线 A．A→C→D→B C．A→C→E→F→B B．A→C→F→B D．A→C→M→B 图5 （ ） ．
1 60 1 60
（1）平角是指射线旋转到与起始位置成一直线时所成的角. （2）周角是指射线旋转回到起始位置所成的角. 注意： 平角的特点是两边成一条直线， 但直线与平角的意义是不同的， 不要误认为直线就是平角.同样， 周角的特点是两边重合成一条射线，不要误说射线就是周角，射线和周角的意义也是不一样的. 4.角的比较方法： （1）叠合法 （2）度量法 5.角的平分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线若 OC 为 AOB 的平分线
图1 5．已知线段 AB 及一点 P，若 AP+PB>AB,则点 P 在 .
图2
6．已知线段 AB=10,直线 AB 上有一点 C,且 BC=4,M 是线段 AC 的中点,则 AM 的长为. 7.下列说法中不正确的有 ①一条直线上只有两个点；②射线没有端点；③如图，点 A 是直线 a 的中点；
A
a
④射线 OA 与射线 AO 是同一条射线；⑤延长线段 AB 到 C ，使 AB BC ；⑥延长直线 CD 到 E ，使
7. 某公司员工分别住在 A ， B ， C 三个住宅区， A 区有 30 人， B 区有 15 人， C 区有 10 人，三个区在 同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路 程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A 100 米 B 200 米
Ａ． A 区 Ｂ． B 区 Ｃ． C 区
A C A C AB＝CD
B A D C B A D C D D AB＞CD
B A C B A C
B D B AB＜CD D
（6）线段的中点及等分点的概念：如图 1 所示，点 B 把线段 AC 分成两条相等的线段，点 B 叫做线段 1 AC 的中点。有 AB＝BC＝ AC。如图 2 所示，点 B 和点 C 把线段 AD 分成三条相等的线段，点 B、点 C 叫做线 2 1 段 AD 的三等分点，有 AB＝BC＝CD＝ AD。类似的还有线段的四等分点、五等分点等。 3
DE CD ．
8. 如图给出的分别有射线，直线，线段，其中能相交的图形有 个．
A
B
A
D
B
a
b C
B A
D
④
D
C
① 二、选择题： 1．下列说法中错误的是（ ） ．
C
② ③
A．A、B 两点之间的距离为 3cm
B．A、B 两点之间的距离为线段 AB 的长度
C．线段 AB 的中点 C 到 A、B 两点的距离相等 D．A、B 两点之间的距离是线段 AB 2．下列说法中，正确的个数有（ ） ． （2）延长射线 MN 到 C （4）连结两点的线段叫做两点间的距离 C．3 D．4 ） ） ．
（1）射线 AB 和射线 BA 是同一条射线 （3）延长线段 MN 到 A 使 NA==2MN A．1 B．2
3.同一平面内有四点，过每两点画一条直线，则直线的条数是 （ (A)1 条 (B)4 条 (C)6 条 (D)1 条或 4 条或 6 条 4．如图 4,C 是线段 AB 的中点，D 是 CB 上一点，下列说法中错误的是（ A．CD=AC-BD B．CD=
则 AOC BOC
1 AOB AOB 2AOC 2BOC 2
能够利用图形将一个角转化为其它角的和与差。如图：
AOC AOB BOC BOC AOC AOB AOB AOC BOC
6.余角： 如果两个角的和等于 90 （直角） ，就说这两个角互为余角. 7.补角： 如果两个角的和等于 180 （平角） ，就说这两个角互为补角.
4. 如图，在正方形两个相距最远的顶点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛． ①蜘蛛可以从哪条最短的路径爬到苍蝇处？请你画图并说明你的理由？ ②如果蜘蛛要沿着棱爬到苍蝇处，最短的路线有几条？
苍蝇
蜘蛛
C
Ｄ． A ， B 两区之间 ）.
8．已知点 A、B、C 都是直线 l 上的点，且 AB=5cm，BC=3cm，那么点 A 与点 C 之间的距离是（ A．8cm 三、解答： 1．如图 6，四点 A、B、C、D，按照下列语句画出图形： （1）联结 A，D，并以 cm 为单位，度量其长度； （2）线段 AC 和线段 DB 相交于点 O； （3）反向延长线段 BC 至 E，使 BE=BC． 2．如图 8，C 为线段 AB 的中点，N 为线段 CB 的中点，CN=1cm.求图中所有线段的长度的和． 图6 B．2cm C．8cm 或 2cm D．4cm
例 4：求钟表在 6 点 45 分整时，时针和分针所形成的角度。
例 5：一个角的补角加上 80°的余角后，等于这个角的余角的 5 倍。求这个角的补角的度数。
例 6： AOB 是直角，OP 平分 AOB ，OQ 平分 AOC ， POQ = 70°。求 AOC 的度数。
例 7：已知 BO 平分 AOC ，DB 平分 BOE ， BOE = 90°. BOC 2COD ，求 AOE 的度数。
A B 图1 C A B 图2 C D
4. 直线、射线、线段的区别 图形名称 直线 射线 线段 特征 向两端无限延伸 只向一方无限延伸 有实际长度，可延长 端点 无 1个 2个 表示方法 用两个大写字母或 一个小写字母表示 用两个大写字母或 一个小写字母表示 用两个大写字母或 一个小写字母表示
二、角 1.角的定义： （1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边. （2）角也可看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 2.角的表示法： （1）用三个大写字母表示，顶点字母在中间。 如：记作： AOB （2）单独一个角时，用顶点的一个字母表示。 如：记作： O （3）数字加弧线表示如：记作： 1 （4）用小写希腊字母加弧线表示如：记作： 3. 1 周角=2 平角=4 直角
线段和角
【知识梳理】 一、直线、射线和线段 1、直线： （1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。 （2）特征：一是“直”的；二是向两方无限延伸的；三是没有粗细。 （3）表示方法：①如图 1；②如图 2。