第五章 静定结构位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
典型例题解析-静定结构位移计算
第5章 静定结构位移计算§5 – 1 基本概念5-1-1 虚拟单位力状态构造方法●虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。
如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ∆和C 截面转角C ϕ，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。
5-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：N Q ,,,Ri F M F F实际荷载作用下，引起的内力：NP P QP ,,F M F●位移计算一般公式N Q Ri i F du Md F ds F c ∆ϕγ=++-∑∑∑∑⎰⎰⎰●荷载作用产生位移的计算公式Q N QP NP Pk F F F F M M ds ds ds EA EI GA∆=++∑∑∑⎰⎰⎰ 1、梁或刚架结构 PM M ds EI∆=∑⎰ 2、桁架结构 N NPF F ds EA∆=∑⎰图3-1虚拟单位力状态)a ()b ()c (3、混合结构N NP PF F MM ds ds EA EI∆=+∑∑⎰⎰ ●支座移动引起位移计算公式Ri i F c ∆=-∑●温度引起位移计算公式()N 0tF t dx Mdx hα∆∆α=+±∑∑⎰⎰()N 0Mtt lF A hα∆∆α=+±∑∑式中：0,,t t α∆为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度M A 虚拟状态弯矩图面积●有弹性支座情况的位移计算公式()P RPR 0RPR M M Fds F EI kAy F F EI k∆=+⨯±=+⨯∑∑⎰∑∑5-1-3 图乘法图乘法公式：0P()Ay MM dx EI EI±∆==∑∑⎰图乘法公式条件：●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定：面积A 与y 0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静定结构的位移计算——非荷载因素作用时的位移计算
t
h SMK
对 桁 架：
K t0 F NKl
例 1 ： 计算图示结构C点竖向位移
C
t1
t2
A
已知：t2 30oC,t1 10oC, 105, h 0.5m
10m
CV 2356105 (m) ()
4m 4m
例 2： 计算图示桁架结构B 点竖向位移
t t t t B
a
B 8t a( )
*
F RK CR
(
FNP
F NK *
kFQP F QK*
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
温度
t0
S F Nk
t
h
S Mk
*
F RK CR
荷载 支座
P t C
作业： 5—29、5—31、5—32
t1
h1 t0 dt h h2
(令t2 t1)
t2 t2 - t1
设温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。
截面上、下边缘温差： t t2 - t1
杆轴线处温度改变值t0 ：
t0
t1 dt
t1
h1 h
(t2
-
t1
)
=
h1t2
h2t1 h
图示结构，设外侧温度改变 t1 ，内侧温度改变 t2 ，
(
)
例5： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角。
t t t t B
a
A
4a
AB 4 t( )
静定结构多因素下的位移计算一般公式：
K
*
*
*
*
等于0
(F NK F QK M K )ds F RK CR
(b)
静定结构的位移计算-图乘法
这种利用内力图相乘代替积分的方法称为图乘法。
如果两个图形均为直线，则可取其中任一图形面积和 另一图形纵距相乘；如果两个图形都为曲线，则不能用图 乘法。
利用图乘法应注意：
（1）要满足3个条件；
（2）形心的纵距需取自直线图形； （3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘 积为正。
例 1 计算图示结构 C 点转角
FP
FP B
C
0.5EI
a
EI A
a
C
5FP a 2 2EI
(
)
例 2 ：计算图示结构 B 点转角。
A
B
EI
20kN
m 10m40kN
m
B
500 3EI
(
)
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（同侧）
1
2
Mp M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d)
FP
EI
A
C
B
l/2 l/2
例 8： 计算图示结构A点竖向位移
FP＝0.5qL q
A
EI B
L
例 9（课后完成） : 计算图示结构 C点竖向位移 q
A l/2C l/2 B
作业： 5—20、5—23
第五章 静定结构的位移计算
§5-5 图乘法
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件：
（1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线
K
M P M ds Mp M C
EI
EI
(d )
公式（d）的意义在于：当两个内力图形中有一条为 直线时，其积分结果为曲线图形积分段内的面积ω与其形 心相对应的直线图形中纵距的乘积。
第五章 结构位移计算
MP
1 2
qx12
MP
1 2
ql 2
求刚架A点的竖向位移。
AB： FN 0 FQ 1 M x1
BC： FN 1 FQ 0 M l
Ay
FN FNPds EA
kFQFQPds GA
MM Pds EI
5ql 4 8EI
8I ( 5 Al 2
求解的关键是找出虚力状态的静力平衡关系。
【例2】 已知支座A的位移为，求C点位移和杆CD的转角。
【解】
虚设单位力状态。
1
C
1 3
0
C
1 3
1 1 0
2l
1
2l
A
l 位移状态
A
1
l
3
虚单位力状态
所得正号表明位移方向 A
与假设的单位力方向一致。 1
MP
1 2
ql 2
AB：
FN 0 FQ 1 M x1
BC：
FN 1 FQ 0 M l
x2
x2
q
B
A
x1 A'
l
（实际位移状态）
C
l
F 1
B
x1
A
虚设单位力状态
C
实际位移状态
虚单位力状态
AB： FNP 0
BC：FNP ql
FQP qx1
FQP 0
P
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)
局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
Page 12
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
14:32
结构力学5-6静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
F
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。
yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a
0 .1 5 a
1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt
t0 A
F
N
பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。
yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a
0 .1 5 a
1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt
t0 A
F
N
பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0
5.3结构位移计算一般公式 5.4静定结构在荷载作用下的位移计算(远程教学)
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
结构位移计算的一般公式：
l Ndu l Md l Qdv RiCi
一、公式推导：
P2
C
B
P1
求C点的竖向位移Δ。 无支座位移: RiCi 0
A
l Ndu l Md l Qdv
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、公式推导： 当结构为线弹性结构时, 最后得到：
A
分段： 分为AB、BC段：
BC段： 以C为原点：
MP q C
x
M
M=1 B
C x
MP
1 qx2 2
M 1
A
q C
l
M=1
C
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（2）分别求出两种状态的内力：
AB段：以B为原点：
q
Bx
C
B
BC段：
MP
1 qx2 2
M=1
B
x
C
MP
MP
1 2
ql
2
M
M 1
l
第五章 结构位移的计算
建筑工程系
5.3 结构位移计算的一般公式
一、 结构位移计算的一般公式
图示刚架由于外因作用，产生变形和位移如图。 求D点处的水平位移Δ。
ds D
A D
B C3
B
A C2
C1
（a图）
D
P=1
A
R1
R2
ds B
R3
（b图）
5.3 结构位移计算的一般公式
一、 结构位移计算的一般公式 由变形体虚功原理：即，T外 W内
3.积分时，当EI、荷载改变时，应分段积分；
角位移→集中力偶
05.静定结构的位移计算
3
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
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Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
目的3：分析超静定结构以及结构动力和稳定计算的基础。
q MA FAX FAY q 利用位移 协调条件 A B
BP BR
A
L
B
+
支座反力未知量多 于静力平衡条件
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
单位位移法
虚位移原理
虚功原理
虚力原理
力是真实的，位移是虚设的；用 虚设位移的办法求真实的力。 位移是真实的，力是虚设的；用 虚设力的办法求真实的位移。
结构力学 Structural Mechanics 第12页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2、支座移动产生的位移计算
在C点作用一个竖向单位力，求出FYA和FXB。
FBY
A
B
FBY
超静定结构的计算，除了静力平衡方程之外，还需利用位
移协调条件补充方程，才能求出所有的未知量。
结构力学 Structural Mechanics 第7页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
4）结构位移计算理论——虚功原理 先复习一下相关概念
●
虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。
1 A △11 △12 △22 FP1 2 FP2 B
其中：
T FP1 12 ——虚功
虚功：使力作功的位移不是由于该力本身所引起，即作功的力 与相应的位移彼此独立，二者无因果关系，这时力所作的功称 为虚功。
（2）求C点的相对转角 C 在C点作用一对力矩，求出FYA和FXB。
C L b A L/2 L/2 B a A 0 B 1/L M= 1 C
真实的位移状态
FYA 0
C
结构力学
1 a ( a ) L L
Structural Mechanics
1 FXB L
虚设的力状态
FP=1 A FP=1
求B点水平位移
B A FP=1
求C点转角位移
B
FP=1
求A、B两点相对竖向位移
结构力学
求A、B两点相对水平位移
第18页
Structural Mechanics
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
目的2：满足设计对结构外形的要求，需预先计算并考虑 结构的位移。
大跨度刚构桥一般采用悬臂拼装的方式施工，为确保桥段顺利合 拢就位和桥面的平直，需要对结构在施工过程中的位移进行计算，以 便在施工过程中采取相应措施。
结构力学 Structural Mechanics 第6页
第一章位移计算 绪 论 第五章
FP = 1 C L b A L/2 L/2 B a 1/2 A B 1/4 C
真实的位移状态
虚设的力状态
CY
1 1 b a ( b a ) 2 4 2 4
Structural Mechanics 第13页
结构力学
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
第一章 论 第七章 绪 位移法
Chapter Displacement Method Chapter 1 7 Preface to Steel Structure
第五章
Chapter6
静定结构位移计算
Displacement Calculation
1、概述
2、支座移动产生的位移计算
3、力的虚设方法
4、制造误差产生的位移计算
结构力学 Structural Mechanics 第17页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
FP=1 B C
FP=1 B C B
M=1 C
A
A
A
求C点竖向位移
结构力学 Structural Mechanics 第8页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
由于作功的力和相应位移是彼此独立的，因此可将二者看 成是同一体系的两种彼此无关的状态，其中力所属的状态为力 状态；位移所属状态为位移状态。
CD相对转角：A B 变形体位移 CD杆 刚体位移
第3页
AX BX AB相对水平位移：
Structural Mechanics
AC杆、BD杆
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
5、温度作用时的计算
6、荷载作用下的位移计算
7、图乘法
8、线性变形体系的互等定理
结构力学 Structural Mechanics 第2页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
4、制造误差产生的位移计算
制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。 【例题3】图示桁架AC杆比要求的短了2cm，求由此产生的C 点水平位移 。 解：在C点作用一水平单位力，求出AC杆的内力，并切断AC 杆让其内力暴露出来，令虚设的力到真实的位移上去做 功，由虚方程有 ：
C
D
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
0.01m
4m A 0.01rad 2m 2m 1m FP = 1 B C 0
解：（1）求C的竖向位移 CY
在C点加竖向单位荷载，求出虚设 力状态的支座反力，如图所示。 则：
真实的位移状态
D
CY （ 2 0.01 0 0.01 ） 0.02m
2
结构力学 Structural Mechanics 第15页
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
3、力的虚设方法
力的大小—— 一般虚设单位力。 力的位置—— 作用在需要求位移的点及方向上。 力的方向—— 随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的， 说明与假设的方向相反 。 力的性质—— 求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转 角加一对单位力矩。
第14页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2、支座移动产生的位移计算
【例题2】图示结构发生了支座 移动，求铰C的竖向位移 CY 及其两侧截面的相对转角 。
A
虚设的力状态
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
（2）求铰C两侧截面的相对转角 C
在C点的两侧截面上加一对单位力矩，求出虚设力状态的 支座反力，如图所示，则：
单位荷载法
FP＝１ B A B
q
A
△Ｙ
真实的位移：状态Ⅰ
虚设的力：状态Ⅱ
虚功原理
求出
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令：状态Ⅱ的力到状态Ⅰ的位移上去做功
结构力学 Structural Mechanics
真实的位移
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
1）结构位移——结构上的任意点由于各种原因产生的移动。 例如：荷载作用下杆件会变形，结构上任意点位置就会移动。
q B
AX
A A A A,
AX AY
A
q
BX
B
绝 对 位 移
C
A点位移：
A
A ——角位移
结构力学
AY AX ——线位移
C
C
D
D
相 对 位 移
AB杆、BA杆
结构力学 Structural Mechanics 第11页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：
FRi ci
其中： FRi—由虚设力产生的在第i个有支座位移处的支座反力 c i—第i个真实的支座位移
1、概述
目的3：分析超静定结构以及结构动力和稳定计算的基础。
q MA FAX FAY q 利用位移 协调条件 A B
BP BR
A
L
B
+
支座反力未知量多 于静力平衡条件
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1、概述
单位位移法
虚位移原理
虚功原理
虚力原理
力是真实的，位移是虚设的；用 虚设位移的办法求真实的力。 位移是真实的，力是虚设的；用 虚设力的办法求真实的位移。
结构力学 Structural Mechanics 第12页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2、支座移动产生的位移计算
在C点作用一个竖向单位力，求出FYA和FXB。
FBY
A
B
FBY
超静定结构的计算，除了静力平衡方程之外，还需利用位
移协调条件补充方程，才能求出所有的未知量。
结构力学 Structural Mechanics 第7页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
4）结构位移计算理论——虚功原理 先复习一下相关概念
●
虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。
1 A △11 △12 △22 FP1 2 FP2 B
其中：
T FP1 12 ——虚功
虚功：使力作功的位移不是由于该力本身所引起，即作功的力 与相应的位移彼此独立，二者无因果关系，这时力所作的功称 为虚功。
（2）求C点的相对转角 C 在C点作用一对力矩，求出FYA和FXB。
C L b A L/2 L/2 B a A 0 B 1/L M= 1 C
真实的位移状态
FYA 0
C
结构力学
1 a ( a ) L L
Structural Mechanics
1 FXB L
虚设的力状态
FP=1 A FP=1
求B点水平位移
B A FP=1
求C点转角位移
B
FP=1
求A、B两点相对竖向位移
结构力学
求A、B两点相对水平位移
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Structural Mechanics
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
目的2：满足设计对结构外形的要求，需预先计算并考虑 结构的位移。
大跨度刚构桥一般采用悬臂拼装的方式施工，为确保桥段顺利合 拢就位和桥面的平直，需要对结构在施工过程中的位移进行计算，以 便在施工过程中采取相应措施。
结构力学 Structural Mechanics 第6页
第一章位移计算 绪 论 第五章
FP = 1 C L b A L/2 L/2 B a 1/2 A B 1/4 C
真实的位移状态
虚设的力状态
CY
1 1 b a ( b a ) 2 4 2 4
Structural Mechanics 第13页
结构力学
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
第一章 论 第七章 绪 位移法
Chapter Displacement Method Chapter 1 7 Preface to Steel Structure
第五章
Chapter6
静定结构位移计算
Displacement Calculation
1、概述
2、支座移动产生的位移计算
3、力的虚设方法
4、制造误差产生的位移计算
结构力学 Structural Mechanics 第17页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
FP=1 B C
FP=1 B C B
M=1 C
A
A
A
求C点竖向位移
结构力学 Structural Mechanics 第8页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
由于作功的力和相应位移是彼此独立的，因此可将二者看 成是同一体系的两种彼此无关的状态，其中力所属的状态为力 状态；位移所属状态为位移状态。
CD相对转角：A B 变形体位移 CD杆 刚体位移
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AX BX AB相对水平位移：
Structural Mechanics
AC杆、BD杆
第一章位移计算 绪 论 第五章
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5、温度作用时的计算
6、荷载作用下的位移计算
7、图乘法
8、线性变形体系的互等定理
结构力学 Structural Mechanics 第2页
第一章位移计算 绪 论 第五章
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4、制造误差产生的位移计算
制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。 【例题3】图示桁架AC杆比要求的短了2cm，求由此产生的C 点水平位移 。 解：在C点作用一水平单位力，求出AC杆的内力，并切断AC 杆让其内力暴露出来，令虚设的力到真实的位移上去做 功，由虚方程有 ：
C
D
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
0.01m
4m A 0.01rad 2m 2m 1m FP = 1 B C 0
解：（1）求C的竖向位移 CY
在C点加竖向单位荷载，求出虚设 力状态的支座反力，如图所示。 则：
真实的位移状态
D
CY （ 2 0.01 0 0.01 ） 0.02m
2
结构力学 Structural Mechanics 第15页
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3、力的虚设方法
力的大小—— 一般虚设单位力。 力的位置—— 作用在需要求位移的点及方向上。 力的方向—— 随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的， 说明与假设的方向相反 。 力的性质—— 求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转 角加一对单位力矩。
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2、支座移动产生的位移计算
【例题2】图示结构发生了支座 移动，求铰C的竖向位移 CY 及其两侧截面的相对转角 。
A
虚设的力状态
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（2）求铰C两侧截面的相对转角 C
在C点的两侧截面上加一对单位力矩，求出虚设力状态的 支座反力，如图所示，则：
单位荷载法
FP＝１ B A B
q
A
△Ｙ
真实的位移：状态Ⅰ
虚设的力：状态Ⅱ
虚功原理
求出
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令：状态Ⅱ的力到状态Ⅰ的位移上去做功
结构力学 Structural Mechanics
真实的位移
第一章位移计算 绪 论 第五章
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1、概述
1）结构位移——结构上的任意点由于各种原因产生的移动。 例如：荷载作用下杆件会变形，结构上任意点位置就会移动。
q B
AX
A A A A,
AX AY
A
q
BX
B
绝 对 位 移
C
A点位移：
A
A ——角位移
结构力学
AY AX ——线位移
C
C
D
D
相 对 位 移
AB杆、BA杆
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第一章位移计算 绪 论 第五章
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可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：
FRi ci
其中： FRi—由虚设力产生的在第i个有支座位移处的支座反力 c i—第i个真实的支座位移