新课程高中数学《1.1.2四种命题》教案新人教A版选修11.doc

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高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案新人教A版选修

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一四种命题的概念思考1 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.思考2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？答案有.梳理名称阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题知识点二四种命题间的相互关系思考1 命题与其逆命题之间是什么关系？答案互逆.思考2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.知识点三逆否证法与反证法1.逆否证法由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.2.反证法(1)反证法的步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.(2)反证法导出结果的几种情况：①导出綈p为真，即与原命题的条件矛盾；②导出q为真，即与假设“綈q为真”矛盾；③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；④导出自相矛盾的命题.3.反证法与逆否证法的联系(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.(2)起步相同：都是从“綈q”(即否定结论)出发(入手)；(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.4.反证法与逆否证法的区别(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“綈p”(即否定条件)；(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.类型一四种命题的关系及真假判断命题角度1 四种命题的写法例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等.解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.命题角度2 四种命题的真假判断例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题.否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.反思与感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④答案 B解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”.故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题.③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”. ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题.④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”. ∵x 不是无理数，∴x 是有理数.又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数.故为真命题. 故正确的命题为①③④，故选B. 类型二等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明方法一原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”. 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ). 即原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题.方法二假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ).这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾，因此假设不成立，故a ＋b ≥0.反思与感悟因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别.跟踪训练3 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.证明 “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”.∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.类型三反证法的应用例4 若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0. 而a ＋b ＋c＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3. ∵π－3>0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0， ∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.反思与感悟 (1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确. (2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：跟踪训练4 设a ，b ，c ∈R ，且a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数.证明方法一 (逆否证法)依题意，就是证明命题“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”为真命题.为此，只需证明其逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2”为真命题即可.∵a ，b ，c 都是奇数，∴a 2，b 2，c 2都是奇数， ∴a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，∴a 2＋b 2≠c 2. ∴原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题也为真命题.方法二 (反证法)假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数. ∴a 2＋b 2为偶数.而c 2为奇数， ∴a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾. ∴假设不成立，原命题成立.1.命题“若綈p，则q”的逆否命题为( )A.若p，则綈qB.若綈q，则綈pC.若綈q，则pD.若q，则p答案 C2.下列命题为真命题的是( )A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题.3.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_____________，逆否命题是_____________.答案若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤14.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题.5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假.解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.(2)命题p的否命题是真命题.判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题.写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.40分钟课时作业一、选择题1.“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为( )A.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D.以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”.2.若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )A.互逆命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”.故q 与r为互逆命题.3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数答案 D解析用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.故选D.4.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A.(－2，2)B.(－2，0)C.(－2，1)D.(0，1)答案 D解析由题意，构建函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，∵两个实根一个小于－1，另一个大于1， ∴f (－1)<0，f (1)<0， ∴0<m <1. 5.原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A.真、真、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假答案 A解析从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题. 6.给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案 D解析根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题. 二、填空题7.命题：“若|x |＝1，则x ＝1”的否命题为______________________________. 答案若|x |≠1，则x ≠18.已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是_____. 答案 [1，2]解析由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.9.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有_______；互为逆否命题的有_______. 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断. 10.给出下面3个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数； ②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ③解析 ①举反例：x ＝2π＋π6或π4，tan(2π＋π6)＝33，tan π4＝1，因为2π＋π6>π4，tan(2π＋π6)<tan π4，所以原命题为假命题；②例如y ＝1x 是奇函数但不过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题为“若a >b >1，则0<log a b <1”是真命题，因为a >b >1，所以1＝log a a >log a b >log a 1＝0，即0<log a b <1. 三、解答题11.已知命题P ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题Q ：1－x ＋x 24<1，若命题P 、Q 至少有一个是真命题，求实数x 的取值范围.解由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4.若命题P 、Q 至少有一个是真命题，则有以下三种情形： ①P 真Q 假；②P 假Q 真；③P 真Q 真.当P 真Q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4.解得x ≤－1或x ≥4.当P 假Q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，0<x <4，解得0<x <3.11 / 11 当P 真Q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，0<x <4，解得3≤x <4.综上，满足条件的实数x 的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞).12.判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假.解方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”.方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边的中点，如图所示.求证：AD<12BC . 证明假设AD ≥12BC . (1)若AD ＝12BC ，由平面几何中“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，则这条边所对的角为直角”，知∠BAC ＝90°，与题设矛盾.∴AD ≠12BC . (2)若AD >12BC ，由题意知BD ＝DC ＝12BC ， ∴在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD ；同理∠C >∠CAD .∴∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ，即∠B ＋∠C >∠BAC .∵∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ，∴180°－∠BAC >∠BAC ，则∠BAC <90°，与题设矛盾. 由(1)(2)知AD <12BC .。

1.1.2-3 四种命题、四种命题间的相互关系学案(人教A版选修2-1).DOC

1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系【课标要求】1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．3．会利用命题的等价性解决问题．【核心扫描】1．结合命题真假的判定，考查四种命题的结构．(重点)2．掌握四种命题之间的相互关系．(重点)3．等价命题的应用．(难点)自学导引1．四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”．(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若綈p，则綈q”．(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q，则綈p”．想一想：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？提示任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.逆命题否命题逆否命题真真真假假真真真假(2)①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．想一想：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.名师点睛1．四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.(1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)已知原命题，写出它的其他三种命题，首先将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提．2．四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真．3．四种命题的等价关系的应用判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假，如带有否定词的命题真假的判断．因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.题型一四种命题之间的转换【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路探索]可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．解(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．【变式1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．解(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.题型二四种命题真假的判断【例2】有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．[思路探索]可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假．解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”是假命题．答案 1规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．【变式2】下列命题中是真命题的是()．A．命题“若0<log a b<1，则0<a<1<b”的逆命题B．命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析对于A，逆命题为“若0<a<1<b，则0<log a b<1”，由对数函数图象得，当0<a<1<b 时，log a b<0，∴A为假；B项，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；C项，否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以为假；D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.答案 D题型三等价命题的应用【例3】(12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．审题指导本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假．[规范解答] 法一原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下： 3分∵抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7， 6分若a <1，则4a －7<0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点. 9分所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真. 12分法二先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 4分即4a －7≥0，解得a ≥74. 8分因为a ≥74，所以a ≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．12分【题后反思】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．【变式3】判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．解 ∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．方法技巧反证法的应用1．反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立．由于互为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真．在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立．2．反证法的思想方法：命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，假设q 不成立，即非q 成立，由此进行推理，则非p 一定成立，这与p 成立矛盾，那么就说明“假设q 不成立”为假，从而可以导出“若p ，则q ”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法．3．反证法证明命题的步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；(2)归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响．【示例】若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．[思路分析]可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法．证明法一依题意，就是证明命题“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2.”为真命题即可．∵a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．于是a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a2＋b 2≠c 2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．法二假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．得a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾．所以假设不成立，从而原命题成立．方法点评上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙述的格式不同罢了，而以什么方式表达某一数学事实，这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的本质特点．两种方法相比较，反证法更具有“程式化”特点．注意含有否定词的命题常用反证法证明.。

人教A版高中数学选修11 .2四种命题真假关系共19张PP

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例 4 、判断命题：若 m > 0 ，则 x2+ x - m = 0 有实根。的逆否命题的真假。
此命题是真命题。
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例2 设原命题是：当c>0时，若a>b，则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b.
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
根据命题的等价关系：原命题：若m≤0或n≤0，则m+n≤0
（真）（真）（假）
（假）
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或” “且”。
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1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞生活经历和军旅生活体验的作家，以亲历的见闻来写作；另一些诗人用乐府旧题来进行翻新创作。于是，乡村便改变成了另一种模样。正是由于村民们的到来，那些山山岭岭、沟沟坪坪便也同时有了名字，成为村民们最朴素的方位标识.

人教A版选修2-1 1.1.2四种命题学案(1)

1．1.2 & 1.1.3 四种命题四种命题间的相互关系观察下列四个命题：(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等．(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形．(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．四种命题2．四种命题之间的关系3．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，再根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．2．互为逆否命题的两个命题真假性相同．[例1](1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路点拨]首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．[精解详析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线，否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：如果x >0，那么x >10；否命题：如果x ≤10，那么x ≤0；逆否命题：如果x ≤0，那么x ≤10. (3)逆命题：如果x 2＋x －6＝0，那么x ＝2；否命题：如果x ≠2，那么x 2＋x －6≠0；逆否命题：如果x 2＋x －6≠0，那么x ≠2. [一点通](1)要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化即可．(2)如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．1．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．答案：C2．写出命题“若a>1，则函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数”的逆命题、否命题和逆否命题．解：逆命题：若函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，则a>1.否命题：若a≤1，则函数y＝log a x在(0，＋∞)上不是增函数．逆否命题：若函数y＝log a x在(0，＋∞)上不是增函数，则a≤1.[例2](1)垂直于同一个平面的两直线平行．(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.[思路点拨]写出命题的条件、结论→写出四种命题→判断命题的真假[精解详析](1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．[一点通]要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．3．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；(4)若x∈A，则x∈A∩B.解：(1)逆命题：在△ABC 中，若A >B ，则a >b ；真命题．否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B ；真命题．逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ，则a ≤b ；真命题．(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题．否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题．逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题． (3)逆命题：若x ＝3，则x 2－2x －3＝0；真命题．否命题：若x 2－2x －3≠0，则x ≠3；真命题．逆否命题：若x ≠3，则x 2－2x －3≠0；假命题． (4)逆命题：若x ∈A ∩B ，则x ∈A ；真命题．否命题：若x ∉A ，则x ∉A ∩B ；真命题．逆否命题：若x ∉A ∩B ，则x ∉A ；假命题.[例3] [思路点拨] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．[精解详析] 法一：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0. ∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．法二：原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”．方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根， ∴Δ＝4＋12m <0.∴m <－13≤0.∴“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真．法三：p ：m >0，q ：方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根；綈p ：m ≤0，綈q ：方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根．綈p ：A ＝{m |m ≤0}，綈q ：B ＝{m |方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根} ＝{m |m <－13}．∴B ⊆A ，∴“若綈q ，则綈p ”为真，即“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真． [一点通](1)原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．(2)命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关集合、不等式及二次方程的综合题．这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且要有一定的分析推理能力．5．把本例命题改换成“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a <2”，判断其逆否命题的真假．解：法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ≥2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. ∵a ≥2，∴4a －7>0，即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴有交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．法二：判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，∴a <74，∴a <2，∴原命题为真命题．因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．6．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都大于或等于13，则a ＋b＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，得a ＋b ＋c ≥1.显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q ； (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：1．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的() A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．答案：B2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：根据原命题与逆否命题之间的关系可知D 正确．答案：D3．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：原命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”为假命题；逆命题“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R)”为真命题；否命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2(a ，b ，c ∈R)”为真命题；逆否命题“若ac 2≤bc 2，则a ≤b (a ，b ，c ∈R)”为假命题．答案：B4．有下列命题：①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：①否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全是0”，为真．②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1. ∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是________，假命题的个数是________．解析：原命题“对顶角相等”是真命题，逆命题“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，所以否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案：2 26．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2]7．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0；真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1；真命题．逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0；真命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R.若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．所以假设不成立，故a ＋b ≥0.。

人教a版高中数学新课标选修课1-1教案.doc

第一课时 1.1.1 命题及其关系（一）教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.教学重点：命题的改写.教学难点：命题概念的理解.教学过程：一、复习准备：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312>；（3）312>吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、讲授新课：1. 教学命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）215x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.1③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.（学生自练→个别回答→教师点评）3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式.三、巩固练习：1. 练习：教材 P4 1、2、32. 作业：教材P9 第1题第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分；（2）函数232=-+有两个零点.y x x二、讲授新课：1. 教学四种命题的概念：原命题逆命题否命题逆否命题若p，则q若q，则p若⌝p，则⌝q若⌝q，则⌝p ①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（学生自练→个别回答→教师点评）2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系.23 原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系.④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+；（3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；（5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页第2（2）题 P10页第3（1）题第一课时 1.2.1充分条件与必要条件（一）教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，4 命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab=0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P12 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件（sufficient condition ），q 是p 的必要条件（necessary condition ）.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-；（2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数；（4）若x 为无理数，则2x 为无理数.（5）若12//l l ，则12k k =.（学生自练→个别回答→教师点评）③练习：P12页第2题④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.（学生自练→个别回答→教师点评）⑤练习：P12页第3题⑥例3：判断下列命题的真假：（1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件.（学生自练→个别回答→学生点评）3. 小结：充分条件与必要条件的理解.三、巩固练习：作业：教材P14页第1、2题5 第二课时 1.2.2充要条件教学要求：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念. 教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等.二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件（sufficientand necessary condition ）. ②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；（3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.（学生自练→个别回答→教师点评）②练习教材P14 练习第1、2题③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与O 相切的充要条件.（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：充要条件概念的理解.三、巩固练习：1. 从“⇒”、“”与“⇔”中选出适当的符号填空：（1）1x >- 1x >；（2）a b >11a b <；（3）2220a ab b -+= a b =；（4）A ⊆∅ A =∅.2. 判断下列命题的真假：6 （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“a b >”是“22a b >”的必要条件；（3）“a b >”是“22ac bc >”的充要条件；（4）“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件；（5）“1x =”是“2230x x --=”的充分条件.3. 作业：教材P14页习题第3、4题第一课时 1.3.1简单的逻辑联结词（一）教学要求：通过教学实例，了解逻辑联结词“且”、“或”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.教学重点：正确理解逻辑联结词“且”、“或”的含义，并能正确表述这“p q ∧”、“p q ∨”、这些新命题.教学难点：简洁、准确地表述新命题“p q ∧”、“p q ∨”.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：下列三个命题间有什么关系？（1）菱形的对角线互相垂直；（2）菱形的对角线互相平分；（3）菱形的对角线互相垂直且平分.2. 发现：命题（3）是由命题（1）（2）使用联结词“且”联结得到的新命题.二、讲授新课：1. 教学命题p q ∧：①一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”.②规定：当p ，q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题.③例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：（1）p ：正方形的四条边相等，q ：正方形的四个角相等；（2）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数；（3）p ：三角形两条边的和大于第三边，q ：三角形两条边的差小于第三边. （学生自练→个别回答→教师点评）④例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：（1）12是48与60的公约数；（2）1既是奇数，又是素数；（3）2和3都是素数.（学生自练→个别回答→学生点评）2. 教学命题p q ∨：7 ①一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”.②规定：当p ，q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p ，q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题.例如：“22≤”、“27是7或9的倍数”等命题都是p q ∨的命题.③例3：判断下列命题的真假：（1）34>或34<；（2）方程2340x x --=的判别式大于或等于0；（3）10或15是5的倍数；（4）集合A 是A B ⋂的子集或是A B ⋃的子集；（5）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.（学生自练→个别回答→教师点评）3. 小结：“p q ∧”、“p q ∨”命题的概念及真假三、巩固练习：1. 练习：教材P20页练习第1、2题2. 作业：教材P20页习题第1、2题.第二课时 1.3.2简单的逻辑联结词（二）教学要求：通过教学实例，了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.教学重点：正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义，并能正确表述这“p q ∧”、“p q ∨”、“p ⌝”这些新命题.教学难点：简洁、准确地表述新命题“p q ∧”、“p q ∨”、“p ⌝”.教学过程：一、复习准备：（1）命题“6是自然数且是偶数”是的形式；（2）命题“3大于或等于2”是的形式；（3）命题“正数或0的平方根是实数”是的形式.2. 下列两个命题间有什么关系？（1）7是35的约数；（2）7不是35的约数.二、讲授新课：1. 教学命题p ⌝：①一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定.②规定：若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题. ③例1：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）p：tan=是周期函数；y x（2）p：32<；（3）p：空集是集合A的子集；（4）p：若220+=，则,a b全为0；a b（5）p：若,a b都是偶数，则a b+是偶数.（学生自练→个别回答→学生点评）④练习教材P20页练习第3题⑤例2：分别指出由下列各组命题构成的“p q⌝”形式的复∨”、“p∧”、“p q合命题的真假：（1）p：9是质数，q：8是12的约数；（2）p：1{1,2}⊂；∈，q：{1}{1,2}（3）p：{0}∅=；∅⊂，q：{0}（4）p：平行线不相交.2. 小结：逻辑联结词的理解及“p q⌝”这些新命题的正确∨”、“p∧”、“p q表述和应用.三、巩固练习：1. 练习：判断下列命题的真假：（1）23≥.≤；（2）22≤；（3）782. 分别指出由下列命题构成的“p q⌝”形式的新命题的真∨”、“p∧”、“p q假：（1）p：π是无理数，q：π是实数；（2）p：23>，q：8715+≠；（3）p：李强是短跑运动员，q：李强是篮球运动员.3. 作业：教材P20页习题第1、2、3题第一章 1.4全称量词和存在量词及其否定教学要求：了解生活和数学中经常使用的两类量词的含义，并会判断此类命题的真假.教学重点：判断全称命题和特称命题的真假.教学难点：会判断全称命题和特称命题的真假.教学过程：一、复习准备：思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？89 ⑴3x >；⑵21x +是整数；⑶对所有的x R ∈，3x >；⑷对任意一个x Z ∈，21x +是整数.（学生回答——教师点评——引入新课）二、讲授新课：1. 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∀全称命题：含有全称量词的命题. 符号：(),x M p x ∀∈例如：对任意的n Z ∈，21n +是奇数；所有的正方形都是矩形都是全称命题.2. 例1 判断下列全称命题的真假.⑴所有的素数都是奇数； ⑵2,11x M x ∀∈+≥；⑶对每一个无理数x ，2x 也是无理数；⑷每个指数函数都是单调函数. （教师分析——学生回答——教师点评）3. 思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？⑴213x +=；⑵x 能被2 和3 整除；⑶存在一个0x R ∈，使0213x +=； ⑷至少有一个0x Z ∈，0x 能被2 和3 整除. （学生回答——教师点评——引入新课）4. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃特称命题：含有存在量词的命题. 符号：()00,x M p x ∃∈例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.5. 例2 判断下列全称命题的真假.⑴有一个实数0x ，使200230x x ++=； ⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线；⑶有些整数只有两个正因数；⑷00,0x R x ∃∈≤；⑸有些数的平方小于0. （教师分析——学生回答——教师点评）6.思考：写出下列命题的否定：⑴所有的矩形都是平行四边形；⑵每一个素数都是奇数.7.全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.8.例3写出下列命题的否定.⑴所有能被3整除的整数都是奇数；⑵每一个四边形的四个顶点共圆； ⑶对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3；⑷有一个素数含有三个正因数； ⑸有的三角形是等边三角形. （教师分析——学生回答——教师点评）三、巩固练习10 1. 练习：教材26P ，28P 的练习.2. 精讲精练第6练.3. 作业：29P 1，2第二章 2.1.1椭圆及其标准方程教学要求：从具体情境中抽象出椭圆的模型，掌握椭圆的定义，标准方程教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导教学过程：一、新课导入：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？（学生动手，观察结果）思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.二、讲授新课：1. 定义椭圆：把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.椭圆标准方程的推导：以经过椭圆两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .设(,)M x y 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为()20c c >，那么焦点12,F F 的坐标分别为(),0c -，(),0c ，又设M 与12,F F 的距离之和等于2a ，根据椭圆的定义，则有122MF MF a +=，用两点间的距离公式代入，画简后的222221x y a a c+=-，此时引入222b a c =-要讲清楚. 即椭圆的标准方程是()222210x y a b a b +=>>. 根据对称性，若焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程是()222210x y a b b a+=>>.两个焦点坐标()()12,0,,0F c F c -. 通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：122MF MF a +=和11 222b c a +=3. 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,15a c ==，焦点在y 轴上；⑶10,25a b c +==（教师引导——学生回答）例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程.（教师分析——学生演板——教师点评）三、巩固练习：1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点()3,26P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c +=-=. 2. 作业：40P 第2题.第二章2.1.2椭圆及其标准方程教学要求：掌握点的轨迹的求法，坐标法的基本思想和应用. 教学重点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学难点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学过程：一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.关于椭圆的两个基本等式. 二、讲授新课：1. 例 1 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程.求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式. （教师引导——示范书写）2. 练习：1.点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？（教师分析——学生演板——教师点评）2.求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比为22的动点的轨迹方程.12 （教师分析——学生演板——教师点评）3. 例2 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.（教师引导——示范书写） 4. 练习： 1.47P 第7题.2.已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程. 5.知识小结：①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程. 三、作业： 40P 第4题精讲精练第8练.第二章2.2椭圆的简单几何性质教学要求：根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图. 教学重点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学难点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学过程：一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：1.范围——变量,x y 的取值范围，亦即曲线的取值范围：横坐标a x a -<<；纵坐标b x b -<<.方法：①观察图像法； ②代数方法.2.对称性——既是轴对称图形，关于x 轴对称，也关于y 轴对称；又是中心对称图形.方法：①观察图像法； ②定义法.3.顶点：椭圆的长轴122A A a =，椭圆的短轴122B B b =，椭圆与四个对称轴的交点叫做椭圆的顶点，13 ()()()()1212,0,,0,,0,,0A a A a B b B b --.4.离心率：刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦点与长轴长的比ca称为离心率.记ce a=.可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.5.例题例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长，离心率，焦点和定点坐标. 提示：将一般方程化为标准方程. （学生回答——老师书写）练习：求椭圆22416x y +=和椭圆22981x y +=的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.（学生演板——教师点评）例5 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45，求点M 的轨迹. （教师分析——示范书写）三、课堂练习：①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ⑵22936x y +=与221610x y +=（学生口答，并说明原因）②求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴经过点()()22,0,0,5P Q -⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P ⑶焦距是8，离心率等于0.8 （学生演板，教师点评） ③作业：47P 第4题.第一课时 2.2.1 双曲线及其标准方程教学要求：学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、14 推理等能力．教学过程：一、新课导入： 1. 提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)2. 在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系，若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程。

人教A版高中数学选修1-1课件1.1.2《四种命题》1.1.3《四种命题的相互关系》

高中数学课件
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思考、分析
思考 1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数．（2）若 f(x)是周期函数，则 f(x)是正弦函数．（3）若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数．（4）若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数．
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
抽象概括
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
抽象概括
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
抽象概括
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
四种命题的形式
思考 2：若原命题为“若 p，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
四种命题的形式
思考 2：若原命题为“若 p，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题否命题、逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个三角形的两条边相等，则这个三角
真

2019-2020学年高中数学 1.1.2四种命题教案新人教A版选修2-1.doc

2019-2020学年高中数学 1.1.2四种命题教案新人教A版选修2-1
课题：1.1.2四种命题第课时总序第个教案
课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式．
◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
５．四种命题的形式
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
３．归纳总结
问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
４．抽象概括
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
让学生结合所举例子，思考：
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）

高中数学四种命题课件二新人教A版选修1-1

原命题真真假假逆命题真假真假否命题真假真假逆否命题真真假假
归纳可得，四种命题的真假性有且仅有上面四种关系.
四种命题之间的真假关系： 1．原命题为真，它的逆命题不一定为真． 2．原命题为真，它的否命题不一定为真． 3．原命题为真，它的逆否命题一定为真．若） A.命题p是真命题 B.命题p的否命题是假命题 C.命题p的逆否命题是一个假命题 D.命题p的否定是真命题
并且可以判断真假。命题：语句都是陈述句，真命题：判断为真的语句。假命题：判断为假的语句。
例1.判断下列语句是不是命题？是真命题还是假命题
1)
2)
空集是任何集合的子集
若整数a是素数，则a是奇数.
真命题
假命题
疑问句
3)
4)
指数函数是增函数吗？
若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行. 假命题
(2)
• （2）若一个三角形的两条边相等，则这个
三角形的两个角相等
• （3）奇函数的图像关于原点对称
例2 写出命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0” 的逆命题、否命题、逆否命题。
解：逆命题：若 x = 0或 y = 0，则 xy = 0; 否命题：若 xy 0，则 x 0且 y 0; 逆否命题：若 x 0且 y 0 ，则 xy0。
2
（3）若 A B B 则 A B
四种命题的关系
上述四种情况概括如下：（1）“若p,则q”为原命题，则（2）“若q,则p”为逆命题（3）“若 p,则 q”为否命题（4) “若 q,则 p”为逆否命题由上可得四种命题之间的关系：
原命题（若p，互逆则q）
互否
（真）（真）

高中数学选修2-1精品教案1：1.1.2 四种命题-1.1.3四种命题间的相互关系教学设计

1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系（一）教学目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？二.思考、分析观察下列四个命题：(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等．(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形．(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？三.归纳总结：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．四.抽象概括(1)四种命题(3)四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．五.例题分析及练习[例1]写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路点拨]首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．[精解详析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线，否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：如果x >0，那么x >10；否命题：如果x ≤10，那么x ≤0；逆否命题：如果x ≤0，那么x ≤10.(3)逆命题：如果x 2＋x －6＝0，那么x ＝2；否命题：如果x ≠2，那么x 2＋x －6≠0；逆否命题：如果x 2＋x －6≠0，那么x ≠2. [感悟体会](1)要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化即可．(2)如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．训练题组11．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．答案：C2．写出命题“若a >1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数”的逆命题、否命题和逆否命题．解：逆命题：若函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，则a >1. 否命题：若a ≤1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上不是增函数．逆否命题：若函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上不是增函数，则a ≤1.[例2] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假． (1)垂直于同一个平面的两直线平行． (2)若m ·n <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实根． (3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.[思路点拨] 写出命题的条件、结论→写出四种命题→判断命题的真假[精解详析](1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．[感悟体会]要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．训练题组23．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2D．3解析：4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；(4)若x∈A，则x∈A∩B.解：(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b；真命题．否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B ；真命题．逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ，则a ≤b ；真命题．(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题．否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题．逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题． (3)逆命题：若x ＝3，则x 2－2x －3＝0；真命题．否命题：若x 2－2x －3≠0，则x ≠3；真命题．逆否命题：若x ≠3，则x 2－2x －3≠0；假命题． (4)逆命题：若x ∈A ∩B ，则x ∈A ；真命题．否命题：若x ∉A ，则x ∉A ∩B ；真命题．逆否命题：若x ∉A ∩B ，则x ∉A ；假命题.[例3] 判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．[思路点拨] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断． [精解详析] 法一：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0. ∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．法二：原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”．方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根， ∴Δ＝4＋12m <0.∴m <－13≤0.∴“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真．法三：p ：m >0，q ：方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根；￢p ：m ≤0，￢q ：方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根．￢p ：A ＝{m |m ≤0}，￢q ：B ＝{m |方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根}＝{m |m <－13}．∴B ⊆A ，∴“若￢q ，则￢p ”为真，即“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真． [感悟体会](1)原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．(2)命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关集合、不等式及二次方程的综合题．这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且要有一定的分析推理能力．训练题组35．把本例命题改换成“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a <2”，判断其逆否命题的真假．解：法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ≥2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. ∵a ≥2，∴4a －7>0，即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴有交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．法二：判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0， ∴a <74，∴a <2，∴原命题为真命题．因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．6．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都大于或等于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，得a ＋b ＋c ≥1.显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.六.课堂小结与归纳1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定￢p 和结论q 的否定￢q ； (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：七.当堂训练1．若命题p 的逆命题是q ，q 的逆否命题是r ，则命题r 是命题p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．等价命题解析：根据四种命题之间的关系可知命题r 是命题p 的否命题．答案：B2．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 解析：根据原命题与逆否命题之间的关系可知D 正确．答案：D3．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：原命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”为假命题；逆命题“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R)”为真命题；否命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2(a ，b ，c ∈R)”为真命题；逆否命题“若ac 2≤bc 2，则a ≤b (a ，b ，c ∈R)”为假命题．答案：B4．有下列命题：①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( ) A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：①否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全是0”，为真． ②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是________，假命题的个数是________．解析：原命题“对顶角相等”是真命题，逆命题“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，所以否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案：2 26．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2]7．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0；真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1；真命题．逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0；真命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R. 若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．所以假设不成立，故a ＋b ≥0.。

高中数学命题及其关系1.1.2_1.1.3四种命题、四种命题间的相互关系学案含解析人教A版选修1_1

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标 1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题.2.理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假．知识点一四种命题的概念思考分析下列四个命题，请指出命题(1)的条件和结论分别与其它三个命题的条件和结论间的关系．(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；(2)若sinα＝sinβ，则α＝β；(3)若α≠β，则sinα≠sinβ；(4)若sinα≠sinβ，则α≠β.答案命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理(1)四种命题的概念对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．(2)四种命题结构知识点二四种命题之间的相互关系知识点三四种命题的真假性之间的关系思考如果原命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题一定是真命题吗？答案原命题是真命题，其逆否命题一定是真命题；而逆命题、否命题不一定是真命题．梳理(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．( √)2．两个互逆命题的真假性相同．( ×)3．四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( √)类型一四种命题的概念命题角度1 四种命题的概念例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若x∈A，则x∈(A∪B)；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.考点四种命题题点四种命题概念的理解解(1)逆命题：若x∈(A∪B)，则x∈A.否命题：若x∉A，则x∉(A∪B)．逆否命题：若x∉(A∪B)，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.反思与感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．跟踪训练1 命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A．若log a2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 B解析直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．命题角度2 四种命题的相互关系例2 若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是( )A．互为逆命题B．互为否命题C．互为逆否命题D．同一命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 B解析已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，∴r是p的逆否命题，∴r是p的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断．(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．跟踪训练2 已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2解析由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．类型二四种命题的真假判断例3 下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．故填①②③.反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪训练3 下列命题为真命题的是( )①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③B．②③C．①②D．①③考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．②原命题的逆否命题为“若x 2＋2x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m <0，∴m <－1，即m ≤0成立，故为真命题．③原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”．∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数，故为真命题．正确的命题为②③，故选B. 类型三等价命题的应用例4 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．考点四种命题的相互关系题点逆否证法解方法一原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅，判断如下：二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0，则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74>1，所以原命题为真，故其逆否命题为真．引申探究判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，则a <74”的逆否命题的真假．解先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，所以a <74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．反思与感悟(1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.考点四种命题的相互关系题点逆否证法证明命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证．1.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．下命题中为真命题的是( )A．命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题B．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题C．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题D．命题“若tan x＝3，则x＝π3”的逆否命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 C解析对于A，命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题是“若ab>0，则a，b都大于0”，是假命题，如a，b都为负数时ab>0也成立；对于B，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题是“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，如x＝－2；对于C，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，是真命题；对于D，命题“若tan x＝3，则x＝π”是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选C.33．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A．①B．②C．③D．④考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 C解析对于①，原命题：若ab≤0，则a≤0或b≤0，是真命题；逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0，是假命题；否命题：若ab>0，则a>0且b>0，是假命题；逆否命题：若a>0且b>0，则ab>0，是真命题．对于②，原命题：若a>b，则am2>bm2，是假命题；逆命题：若am2>bm2，则a>b，是真命题；否命题：若a≤b，则am2≤bm2，是真命题；逆否命题：若am2≤bm2，则a≤b，是假命题．对于③，原命题：在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B，是真命题；逆命题：在△ABC中，若A＝B，则sin A＝sin B，是真命题；否命题：在△ABC中，若sin A≠sin B，则A≠B，是真命题；逆否命题：在△ABC中，若A≠B，则sin A≠sin B，是真命题．对于④，原命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根，是假命题；逆命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若方程有实数根，则b2－4ac<0，是假命题；否命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac≥0，则方程无实数根，是假命题；逆否命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若方程无实数根，则b2－4ac≥0，是假命题．综上，以上命题中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是③.故选C.4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤解析命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 [1,2]解析命题：“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”，该逆命题为真命题，∴由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，得1≤m ≤2.1．写四种命题可以按以下步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q .(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q . (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．判断命题的真假可以根据互为逆否命题的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．一、选择题1．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2<12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 C解析 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2<12”，故否命题为“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12”．2．命题“若(綈p )，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则(綈q ) B ．若(綈q )，则(綈p ) C ．若(綈q )，则p D ．若q ，则p考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 C3．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题D ．无关命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 A4．若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( ) A ．互逆命题 B ．互否命题 C ．互为逆否命题D ．以上都不正确考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 A解析设p 为“若A ，则B ”，那么q 为“若綈A ，则綈B ”，r 为“若綈B ，则綈A ”．故q 与r 为互逆命题． 5．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为( )A．①②B．②③C．①③D．③④考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 C解析命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．6．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．0B．1C．2D．3考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 B解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( ) A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 C解析特例：p：△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；r：△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；s：△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；t：△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析因为原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a ，b 都小于1，则a ＋b <2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例如a ＝1.2，b ＝0.3.二、填空题9．“若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为________________________．考点四种命题题点四种命题概念的理解答案若x ，y 不全为零，则xy ≠0解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为“若x ，y 不全为零，则xy ≠0”．10．命题“已知不共线向量e 1，e 2，若λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为______________，是________命题(填“真”或“假”)．考点四种命题的相互关系题点逆否证法答案已知不共线向量e 1，e 2，若λ，μ不全为0，则λe 1＋μe 2≠0 真11．给定下列命题：①“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”的逆否命题；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题； ④“若a >1且b >1，则a ＋b >2”的否命题．其中真命题的序号是________．考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 ①解析显然①为真；②为假；对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于④中，“若a >1且b >1，则a ＋b >2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．12．命题“如果a 2＋2ab ＋b 2＋a ＋b －2≠0，那么a ＋b ≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 1解析a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0化简得(a＋b－1)(a＋b＋2)≠0，即a＋b≠1且a＋b≠－2. 命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题为“如果a＋b≠1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0”，为假命题，a＋b＝－2也可以使a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“如果a＋b＝1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”，真命题．三、解答题13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．考点四种命题的相互关系题点逆否证法解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．四、探究与拓展14．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A. 15．设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.考点四种命题的相互关系题点逆否证法证明将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥12(m＋n)2＞12×22＝2.所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．。

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1
原命题若p则q否命题若┐p则┐q逆命题
若q则p

逆否命题
若┐q则┐p

互
为
逆

否互逆否
互

为
逆
否

互
互
逆

否

互

高中新课程数学（新课标人教A版）选修1-1《1.1.2四种命题》教
案

上课时间第周星期第节课型
课题 1.1.2 命题及其关系（二）
教学目的
进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析
四种命题的相互关系.

教学设想
教学重点：四种命题的概念及相互关系.
教学难点：四种命题的相互关系.

教
学
过
程

一、复习准备：
指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：
（1）矩形的对角线互相垂直且平分；
（2）函数232yxx有两个零点.
二、讲授新课：
1. 教学四种命题的概念：
原命题逆命题否命题逆否命题
若p，则q 若q，则p 若p，则q 若q，则p

①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它
们的真假.
（师生共析学生说出答案教师点评）
②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）正弦函数是周期函数；
（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（学生自练个别回答教师点评）
2. 教学四种命题的相互关系：
①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系.
②四种命题的相互关系图：

③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、
2