新课标2017春高中数学第2章数列2.2等差数列第4课时等差数列前n项和公式的应用课件新人教B版必修5

〔跟踪练习1〕 导学号 27542374 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值.
[解析]
解法一：由S17＝S9，得
17×17－1 9×9－1 25×17＋ d＝25×9＋ d，解得d＝－2， 2 2 nn－1 所以Sn＝25n＋ 2 ×(－2)＝－(n－13)2＋169. 由二次函数性质，得当n＝13时，Sn取得最大值169.
1 2 21 则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋„＋|an|＝Sn＝－ n ＋ n. 2 2 1 2 21 当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋„＋|an|＝－Sn＋2S11＝ n － n＋110. 2 2 综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋„＋|an| 1 2 21 －2n ＋ 2 nn≤11 ＝ 1n2－21n＋110n≥12 2 2
解法二：先求出d＝－2(同解法一)． ∵a1＝25>0，d＝－2， 1 n≤132 an＝25－2n－1≥0 ∴ ，得 an＋1＝25－2n≤0 n≥121 2
.
1 1 即122≤n≤132.∴当n＝13时，Sn取得最大值 1313－1 S13＝13×25＋ ×(－2)＝169. 2
B．16 D．64
2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9 项和S9等于 导学号 27542368 ( B ) A．66 C．144 B．99 D．297
[解析]
∵a1＋a4＋a7＝3a4＝39，∴a4＝13.
又∵a3＋a6＋a9＝3a6＝27，∴a6＝9. 9a1＋a9 9a4＋a6 9×13＋9 ∴S9＝ ＝ ＝ ＝99. 2 2 2
d 1 解法二：由S9＝S12，得 ＝－ . a1 10
an＝a1＋n－1d≤0 由 an＋1＝a1＋nd≥0
，
1 1－10n－1≥0 得 1－ 1 n≤0 10 解得10≤n≤11.
.
∴n取10或11时，Sn取最小值．
解法三：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0， ∴3a11＝0，∴a11＝0. ∵a1<0，∴前10项或前11项和最小．
6．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且S4＝－62，S6＝－75，求： 导学号 27542372 (1)通项an及前n项和Sn； (2)求|a1|＋|a2|＋„＋|a14|的值．
[解析]
4a1＋6d＝－62 (1)设公差为d，由题意，得 6a1＋15d＝－75
，
a1＝－20 解得 d＝3
3．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错 误的是 导学号 27542369 ( C ) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值．
[解析]
由S5<S6知a6>0，由S6＝S7知a7＝0，
由S7>S8知a8<0，C选项S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误．
156 4．在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则S13＝________.
导学号 27542370
[解析]
设公差为d，则a11－a4＝7d＝4，
4 4 60 ∴d＝7，又a3＋a7－a10＝a1－d＝8，∴a1＝8＋d＝8＋7＝ 7 . 1 4 ∴S13＝13a1＋2×13×12×7 60 4 13×84 ＝13× 7 ＋13×6×7＝ 7 ＝13×12＝156.
命题方向2 ⇨含绝对值的数列的前n项和
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项 和. 导学号 27542375
[分析] 本题实际上是求数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，要
求我们应首先分清这个数列中的哪些项是负的，哪些项是非负的．由已知，数列 {an}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起共有哪些项是负 数，然后再分段求出前n项的绝对值之和．
(2)∵an＝2n－1， 1 1 1 1 ∴bn＝ ＝22n－1－2n＋1 ， 2n－12n＋1 ∴Bn＝b1＋b2＋b3＋„＋bn
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝21－3＋3－5＋5－7＋„＋2n－1－2n＋1
1 1 n 1 － ＝ ＝ . 2n＋1 2 2 n ＋ 1
1 求数列 nn＋2的前n项和. 导学号
27542379
[错解]
1 11 1 ∵ ＝2(n－ )， nn＋2 n＋2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴数列{ }的前n项和Sn＝2(1－3＋2－4＋3－5＋„＋n－ )＝ (1＋2 nn＋2 n＋2 2 1 1 3 1 ＋n－ )＝ ＋ . n＋2 4 nn＋2
解法三：先求出d＝－2(同解法一)． 由S17＝S9，得a10＋a11＋„＋a17＝0. 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0. ∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0. 故n＝13时，Sn取得最大值169.
解法四：先求出d＝－2(同解法一)． 由d＝－2，得Sn的图象如图所示的曲线上均匀分布的点，由S17＝S9，知图象 9＋17 的对称轴n＝ 2 ＝13. 所以，当n＝13时，Sn取得最大值169.
当n＝1时，2 a1＝a1＋1，即( a1－1)2＝0，∴a1＝1. 当n≥2时，有2 Sn－1＝an－1＋1.②
2 ①2－②2得4an＝a2 n－an－1＋2an－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an>0，∴an＋an－1>0，∴an－an－1＝2， ∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
大 值；a1<0，d>0，则Sn 2．在等差数列{an}中，a1>0，d<0.则Sn存在最________
小 存在最________ 值．
1．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 导学号 27542367 ( A ) A．15 C．49
[解析] a8＝S8－S7＝82－72＝15.
[辨析] 错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项．
[正解]
1 1 9a1＋ ×9×8×d＝12a1＋ ×12×11×d， 2 2 即3a1＝－30d，∴a1＝－10d，
பைடு நூலகம்
∵a1<0，∴d>0， 1 1 2 21 ∴Sn＝na1＋2n(n－1)d＝2dn － 2 dn 212 212 d ＝ n－ 2 － d. 2 8 ∵d>0，∴Sn有最小值． 又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
新课标导学
数 学
必修5 ·人教B版
第二章
数 列
2.2 等差数列
第4课时 等差数列前n项和公式的应用
1
课前自主学习
2
3
课堂典例讲练
课 时 作 业
课前自主学习
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含 许多与 9 相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环型的石板铺成 ( 如右图 所示 ) ．中心是一块天心石，围绕它的第一圈有 9块石板，从第二圈开始，每一 圈比前一圈多9块，共有9圈．
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
nn－1 d 2 d 1．等差数列的前n项和Sn＝na1＋ 2 d可以改写成：Sn＝ 2 n ＋(a1－ 2 )n.当
二次 函数，所以可借助________ 二次 函数的有关性质来处理 d≠0时，Sn是关于n的________
等差数列前n项和Sn的有关问题．
nn－1 3 2 123 当n≤20时，S′n＝－Sn＝－[－60n＋ ×3]＝－ n ＋ n； 2 2 2 当n>20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 nn－1 20×19 ＝－60n＋ ×3－2×(－60×20＋ ×3) 2 2 3 2 123 ＝2n － 2 n＋1 260. 3 2 123 －2n ＋ 2 nn≤20 ∴数列{|an|}的前n项和S′n＝ 3n2－123n＋1 260n>20 2 2
1 1 1 ＝ ( － )， 2 2n＋1 2n＋3
1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an＝2[(3－5)＋(5－7)＋„＋( － )] 2n－1 2n＋3 11 1 n ＝ ( － )＝ . 2 3 2n＋3 6n＋9 1 A B [点评] 形如： 的式子，若可拆分为 － 的形式，一 an＋bcn＋d an＋b cn＋d
5．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已
3 知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________.
导学号 27542371
[解析] 由题意，得an＋an＋1＝5，
∴an＋1＋an＋2＝5，∴an＋2－an＝0. ∵a1＝2，∴a2＝3. ∴当n为偶数时，an＝3. ∴a18＝3.
.
命题方向3 ⇨裂项求和法
1 求数列 2n＋12n＋3的前n项和. 导学号
27542377
[分析]
通项的分母是两项的积，且这两项相差2，所以可将其拆分为两项之
1 1 1 1 差，即 ＝2( － )． 2n＋12n＋3 2n＋1 2n＋3 1 [解析] an＝ 2n＋12n＋3
.
〔跟踪练习2〕 导学号 27542376 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3满足5a1· a3＝(2a2 ＋2)2. (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋„＋|an|.