平行线及其性质和判定

平行线及其性质和判定
核心纲要
1．平行线
（1）定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行，
记作a∥b．
（2）平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
注：点必须在直线外，而不是在直线上．
(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行"．
2．两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:(1）相交；（2）平行．
注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，两直线平行;
3．两直线平行的判定方法
(1）平行线的定义．（2）平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．（4）内错角相等，两直线平行．（5)同旁内角互补，两直线平行．
4．平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等．（2)两直线平行，内错角相等．（3)两直线平行，同旁内角互补．本节重点讲解：一个定义（平行线），一个位置，五个判定，三个性质．
基础演练
1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( )
A．平行或相交B．垂直或相交C．垂直或平行D．平行、垂直或相交2．下列说法正确的是( )
A．经过一点有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
3．如图所示,下列推理中错误的是（ )
A．∵∠A＋∠ADC=180°，∴AB∥CD B．∵∠DCE=∠ABC，∴AB∥CD
C．∵∠3=∠4,∴AD∥BC D．∵∠1=∠2,∴AD∥BC
4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°
C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°,第二次右拐50°
5．（1)如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D’,C’的位置．若
∠EFB=65°，则∠AED’等于__________．
(2)如图2所示，AD∥EF,EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是__________．
(3）如图3所示,AB∥CD，直线AB，CD与直线l相交于点E，F，EG平分∠AEF,FH平分∠EFD，则GE与FH的位置关系为__________．
图1 图2 图3
6．解答题．
(1)填写推理理由如图所示,D、F、E分别是BC、AC、AB上的点,DF∥AB，DE∥AC,试说明：∠EDF=∠A．
解：∵DF∥AB( ）
∴∠A＋__________=180°( ）
∵DE∥AC(已知)
∴∠AFD＋__________=180°（）
∴∠EDF=∠A（ )
(2)推理填空，如图所示,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的度数过程填写完整：解：∵EF∥AD（）
∴∠2=__________（）
又∵∠1=∠2( ）
∴∠1=∠3( )
∴AB∥__________( )
∴∠BAC＋__________=180°( ）
又∵∠BAC=70°（ )
∴∠AGD=__________
7．已知：如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G,∠E＝∠3．求证:AD平分∠BAC．
能力提升
8．若α和β是同位角，且a=30°，则β的度数是( )
A．30°B．150°C．30°或150°D．不能确定
9．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )
A．30°和150°B．42°和138°
C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°
10．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．
从图中可知,小敏画平行线的依据可能有（ )
①两直线平行,同位角相等；②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行;④内错角相等,两直线平行．
A．①②B．②③C．③④D．①④
11．如图所示，点E在CA延长线上，DE、AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：①AB∥CD,②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度为定值．其中正确的结论有（ )个数
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图所示,AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，
∠B－∠D=24°,则∠GEF=__________．
13．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…,a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3,a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．
14．如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4，试说明：AD∥BE．
15．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB∥DC．
16．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E,∠BDA＋∠ECA=180°,
求证：DA⊥EF
17．已知,如图所示，∠1＋∠2=180°,∠1＋∠EFD=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系,并证明你的结论．
18．已知,如图所示，AC∥DE,DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．
19．阅读材料：
材料1:如图(a）所示，科学实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．即∠1=∠2．
材料2：如图(b）,已知△ABC，过点A作AD∥BC则∠DAC=∠C．
又∵AD∥BC，∴∠DAC＋∠BAC＋∠B=180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C=180°．即三角形内角和为180°．
根据上述结论，解决下列问题：
（1)如图(c）所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b 反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=_________,∠3=__________;
(2)在（1)中,若∠1=40°，则∠3=__________，若∠1=55°，则∠3=__________；
(3)由（1)(2)请你猜想：当∠3=__________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b 的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由．
20．已知直线MN∥BC,点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分
∠NAD
（1)如图(a）所示，若DE⊥AC于E，求证：∠1=∠2．
（2)若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD交AC于点Q，设∠HFQ=x,∠MAB=α,∠BDF=β，∠AFD=∠FBD＋∠FDB，点D在线段BC上（不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，FH∥MN（如图(b)所示）?试写出α、β、x 之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH∥MN．
21．如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C=∠OAB=100°，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
(1）求∠EOB的度数．
(2)若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变,求出这个比值．
（3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由．
中考连接
22．如图所示，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°,则∠BED的度数是( ) A．17°B．34°C．56°D．68°
23．如图所示，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果
∠1=20°,那么∠2的度数是（ )
A．30°B．25°C．20°D．15°
巅峰突破
24．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5；②∠1=∠7;③∠2＋∠3=180°;④∠4=∠7．其中能说明a∥b的条件序号为( )
A．①②B．①③C．③④D．①②④
25．如图所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证:∠EDF=∠BDF．
平行线及其性质和判定
26．平面上有5条直线,其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由．
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