人教版数学八年级上册 轴对称解答题专题练习(解析版)

人教版数学八年级上册轴对称解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；

（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；

（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；

Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得

∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；

（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；

（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．

【详解】

（1）结论：AF=BD，理由如下：

如图1中，∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵

BC AC

BCD ACF

DC FC

=

∠=∠

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

，

∴△BCD ≌△ACF （SAS ），

∴BD =AF ；

（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下：

如图2中，∵△ABC 是等边三角形，

∴BC =AC ，∠BCA =60°，

同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，

∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，

在△BCD 和△ACF 中，

∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩

，

∴△BCD ≌△ACF （SAS ），

∴BD =AF ；

（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：

由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；

同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，

∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：

同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，

在△BCF ′和△ACD 中，

BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩

′

′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），

∴BF ′=AD ，

又由（2）知，AF =BD ，

∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．

2．（1）问题发现．

如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．

①求证：ADC BEC ∆∆≌．

②求AEB ∠的度数．

③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．

（2）拓展探究．

如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．

①请判断AEB ∠的度数为____________．

②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）

【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+

【解析】

【分析】

（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；

（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．

【详解】

解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，

∴AC CB =，CD CE =，

又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，

∴ACD ECB ∠=∠，

∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．

②∵CDE ∆为等边三角形，

∴60CDE ∠=︒．

∵点A 、D 、E 在同一直线上，

∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，

又∵ADC BEC ∆∆≌，

∴120ADC BEC ∠=∠=︒，