组合数学第一章习题解答

1.16、n个完全一样的球放到r个有标志的盒中，无一空盒， 试问有多少种方案？ 取r个球每盒放一个，然后n-r个放入r个不同盒中，同充许空 盒的放法。 C(r+n-r-1,n-r)=C(n-1,n-r)=C(n-1,r-1)
1.18、8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒 最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？ 5!×6×5×4 1.19、n+m位由m个0，n个1组成的符号串，其中n≤m+1,试问 不存在两个1相邻的符号串的数目？ (m+1)*m*...*(m-n+2)/n!=C(m+1,n) 1.20、甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同 志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单 位占4人，面且7人中男同志5位，试问有多少种方案？ 按甲单位： C(10,4)C(15,1)C(10,2)+C(10,3)C(4,1)C(15,2)C(10,1)+ C(10,2)C(4,2)C(15,3)
习题：1.15试求从1到1000000的整数中，0出现的次数。 解：先将1到999999的整数都看作6位数,例如2就看作是 000002，这样从000000到999999。0出现了多少次呢？ 6×105，某一位取0，其它各位任取。 0出现在最前面的次数应该从中去掉 000000到999999中最左1位的0出现了105次， 000000到099999中左数第2位的0出现了104次， 000000到009999左数第3位的0出现了103次, 000000到000999左数第4位的0出现了102次, 000000到000099左数第5位的0出现了10次, 000000到000009左数第6位的0出现了1次。 因此不合法的0的个数为105+104+103+102+101+1=111111， 不合法的应该去掉，再加整数1000000中的6个0，这样，从1到 1000000的整数中0出现的次数为6×105-111111+6=488895。 问题：在去掉多余的零的过程中，多减去了一部分，例如： 000000这种情况在每次减的过程中都出现。
m=2
∑(m−1)C(n, m) = n2
n
n−1
+1
习题：1.14六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两 排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。 解： ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法； 第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法； 第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法； 剩下的每边1个取法固定。所以共有 C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。
(a)C(n, r) =
C(n, r) =
n C(n −1 r −1),1 ≤ r ≤ n , r
! )! n n(n −1 = (n − r)!r! (n − r)!r(r −1 )! (n −1 )! n n = = C(n −1 r −1 , ) r (n − r)!(r −1 )! r
n − r +1 C(n, r −1 1 ≤ r ≤ n ), r
a1
p2
a2
... pm
2a2
am 2am
n2 = p 1
2a 1
p2
... pm
所有的组合数都是偶数，最后再加上1，偶数加1是奇数
1.10 证明任一正整数n可惟一地表示成：
n = ∑a i!,0 ≤ ai ≤ i, i ≥1 1
i≥ 1
先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n的非负整数，命题成立。 对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k! 由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑ai·i!，其中ak≤k-1, n=∑ai·i!+k!，命题成立。
5!*6*5*4*3*2 6!5! P(6,2)8!
1.28 k和n都是正整数，kn位来宾围着k张桌子而坐，试求其 方案数。
[(n −1)!]k [C(kn, n) ×C(kn− n, n) ×...×C(n, n)]
1.29 从n个对象中取r个作圆排列，求其方案数。 C(n,r)(r-1)!
1.30 试证下列等式
k =1 n
1.24、
A ={(a, b) a, b∈z,0 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 5 }
(a)求x,y平面上以A作顶点的长方形的数目。 (b)求x,y平面上以A作顶点的正方形的数目。
1.25、平面上有15个点p1,p2,...,p15,其中p1,p2,...,p5,共线， 此外不存在三点共线。 1、求至少过15个点中两点的直线的数目。 2、求由15个点中3点组成的三角形的数目。
1、C(10,2)+(10,1)C(5,1)+1 2、C(10,3)+C(10,2)C(5,1)+C(10,1)C(5,2)
1.26 S={1,2,...,1000},a,b∈S,使ab=0mod5,求数偶{a,b} 的数目。 解：偶数有500个，200个5的倍数，100个10的倍数。 单独是5的倍数不是10的倍数有100个，偶数中除去10的 倍数有400个， C(100,1)C(400,1)+C(100,1)(900,1) 1.27 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐。 女宾不相邻有多少种方案？ 所有女宾在一起有多少种方案？ 一女宾A和两位男宾相邻又有多少种方案？
再证表示的唯一性： 设n=∑ai·i!=∑bi·i!,
令 = m i ai ≠ bi } j in{
∑a i!= ∑b i!
i≥ j i i≥ j i
两 同 除 ( j +1)!, 得 数 j j!= bj j! 边 时 以 余 a 也 是 j != bj !,矛 。 就 a 盾
1.11 证明下式，并给出组合解释
1.8、求1040和2030的公因数数目。 解： 等价于求(2×5)40和(2×2×5)30 的公因数数目。 C(40,1)+C(40,1)C(30,1)+C(30,1)+1=40+1200+30=1271 C(41,1)C(31,1)=1271 1.9、试证n2的整除数的数目是奇数。
n= p 1
nC(n −1, r) = (r +1)C(n, r +1)
组合意义： 从n个不同的球中取出的r+1个，要求指定第一个球，有两 种方式： 1、等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的 n-1个中取r个； 2、等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中 任意一个为第一个。 显然两种方案数相同。
C(n, r) =
n C(n −1 r −1),1 ≤ r ≤ n , r
n ! n(n −1 )! = (n − r)!r! (n − r)(n − r −1 r! )! n (n −1 )! n = = C(n −1 r) , n − r (n − r −1 r! n − r )!
1.31 试证任意r个相邻数的连乘 (n+1)(n+2)...(n+r)=(n+r)!/n!被r!除尽。 从n+r个元素中取r个的组合数，C(n+r,r)=(n+r)!/n!r! 1.32 在a,b,c,d,e,f,x,x,x,y,y的排列中，要求y必须夹在 两个x之间，问这样的排列数等于多少？ 7！把xyxyx看作一个元素来看待。 1.33 已知r,n,k都是正整数，r≥nk,将r个无区别的球放在 n个有标志的盒子里，每盒至少k个球，试问有多少种方案？ C(n+r-nk-1,r-nk)
1.34 在r,s,t,u,v,w,x,y,z的排列中，求y居x和z中间的排 列数。 解：2*7！ 1.35 凸十边形的任意三条对角线不共点，试求这凸十边形 的对角线交于多少个点（交点指内部交点，顶点及外部交点除 外）。
任意4点的两条对角线有一个交点， C（10，4）
1.36 试证一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的 数的数目是整(奇)数。 解：如果一个数能写成另一个整数的平方的形式。则
1.12 试证等式：
kC(n, k) = n2n−1 ∑
k =1 n
用多项式(1+x)n证明，求导
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最 小数大于另一组的最大数。 设取的第一组数有a个,第二组有b个,而要求第一组数中最小 数大于第二组中最大的，即只要取出一组m个数(设m=a+b),从 大到小取a个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为 C(n,m)。从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 总的方案数为
1.23、令s={1,2,...,n+1},n≥2,
T ={( x, y, z) x, y, z ∈s, x < z, y < z}, 试 : 证 T = ∑k 2 = C(n +1 2) + 2C(n +1 3) , ,
k =1 n
1、z可选2,3,4,...,n+1,相对应的x,y都有1,2,3,...,n种选 择，因此共有：
第一章习题 1.1,从{1,2,...,50}中找一双数{a,b},使其满足：
( ), a − b = 5 1 (2), a − b ≤ 5
求这样的一对数的组合数。 解：1 分三部分，1-5，6-45，46-50 [C(5,1)+C(40,1)×2+C(5,1)]/2 解：2 分三部分，1-5，6-45，46-50 [5+6+7+8+9+C(40,1)×10+9+8+7+6+5]/2
m = k 2 = (k1 1 k2 2 ...kh h )2 = k1
除尽m的数的个数是: