李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
组合数学第3章答案
3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。
解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．×3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m -j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n ml n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn m n mk m n --=--。
设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m ln A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫⎪⎝⎭∑（2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k kk l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑（3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i个的方案数。
李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1
1第一章 排列组合1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。
2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。
（2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。
（或：()()4142*2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。
（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。
所以满足条件的串共48个。
3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。
如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。
求n 和m 。
解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。
以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。
因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。
因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。
李凡长版组合数学课后习题标准答案习题
第二章 容斥原理与鸽巢原理1、1到10000之间（不含两端）不能被4，5和7整除的整数有多少个？ 解 令A={1,2,3,…,10000}，则 |A|=10000.记A 1、A 2、A 3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，则有：|A 1| = L 10000/4」=2500,|A 2| = L 10000/5」=2000,|A 3| = L 10000/7」=1428,于是A 1∩A 2 表示A 中能被4和5整除的数,即能被20 整除的数，其个数为| A 1∩A 2|=L 10000/20」=500；同理， | A 1∩A 3|=L 10000/28」=357,| A 2∩A 3|=L 10000/35」=285,A 1 ∩A 2 ∩ A 3 表示A 中能同时被4,5,7整除的数，即A 中能被4,5,7的最小公倍数lcm(4,5,6)=140整除的数，其个数为| A 1∩A 2∩A 3|=L 10000/140」= 71.由容斥原理知，A 中不能被4，5，7整除的整数个数为||321A A A ⋂⋂= |A| - (|A 1| + |A 2| +|A 3|) + (|A 1∩A 2| + |A 1∩A 3| +|A 3∩A 2|) - |A 1∩A 2∩A 3|= 51432、1到10000之间（不含两端）不能被4或5或7整除的整数有多少个？ 解 令A={1,2,3,…,10000}，记A 1、A 2、A 3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合，A 中不能被4，5，7整除的整数个数为||321A A A ⋃⋃ = |A| - ||321A A A ⋂⋂ - 2 = 10000 - L 10000/140」- 2 = 99273、1到10000之间（不含两端）能被4和5整除，但不能被7整除的整数有多少个？解 令A 1表示在1与10000之间能被4和5整除的整数集，A 2表示4和5整除，也能被7整除的整数集。
组合数学第四版答案
组合数学第四版答案组合数学第四版答案【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】>1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a- b|=5；（2）|a-b|?5；解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4 或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。
当|a- b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a 和b之间正好有3个女生的排列是多少？所以总的排列数为上述6种情况之和。
1.3题m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。
解：(a) 可以考虑插空的方法。
n个女生先排成一排，形成n+1个空。
因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。
则男生不相邻的排列个数为ppnnn?1m(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。
(完整word版)组合数学习题解答
第一章：1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。
解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。
1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。
如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。
而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。
故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！- 2*9！。
1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。
两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。
1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0，例如235写成0235,则问题就变为求：x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有F （4，5）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=515456 (2)分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1将它们相加即得，F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。
李凡长版 组合数学课后习题谜底 习题3
1. 在平面上画 n 条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为 f(n),求 f(n)满足的递推关系.
解： f(n)=f(n-1)+2
f(1)=2,f(2)=4 解得 f(n)=2n. 2. n 位三进制数中,没有 1 出现在任何 2 的右边的序列的数目记为 f(n), 求 f(n)满足的递推关系. 解：设 an-1an-2…a1 是满足条件的 n-1 位三进制数序列，则它的个数可以用 f(n-1)表示。 an 可以有两种情况： 1） 不管上述序列中是否有 2，因为 an 的位置在最左边，因此 0 和 1 均可选； 2）当上述序列中没有 1 时，2 可选； 故满足条件的序列数为
解：这种序列有两种情况：
1)最后一位为 0，这种情况有 f(n-3)个；
2)最后一位为 1，这种情况有 2f(n-2)个；
所以
f(n)=f(n-3)+2f(n-2)
f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5. 求 n 位 0,1 序列中“00”只在最后两位才出现的序列数 f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有 2n-2 个。
f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在 n-1
位第一次出现“00”的可能；
f(n-1)表示在第 n-1 位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在
n-2 位第一次出现“00”的可能；
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高三数学组合与组合的运用试题答案及解析
高三数学组合与组合的运用试题答案及解析1.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【答案】D【解析】从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即=5种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即=60种方法；第三类是取四个奇数，即=1，故有5+60+1=66种方法．故选D．2.高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有名男生，名女生，第二组有名男生，名女生.现在班主任老师要从第一组选出人，从第二组选出人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得.（Ⅰ）求选出的人均是男生的概率；（Ⅱ）求选出的人中有男生也有女生的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意，先将从第一组选出人，从第二组选出人这一基本事件的所有可能情况都列出，可知共有30种情况，其中选出的人均是男生可知共有3种情况，故求得选出的人均是男生的概率为；（Ⅱ）在30种基本事件中找出符合人中有男生也有女生共得到25个基本事件，从而计算得选出的人中有男生也有女生的概率为.试题解析：（Ⅰ）记第一组的4人分别为；第二组的5人分别为 1分设“从第一组选出人，从第二组选出人”组成的基本事件空间为，则共有30种 4分设“选出的人均是男生”为事件，则事件A含有3个基本事件 6分,所以选出的人均是男生的概率为 8分（Ⅱ）设“选出的3个人有男生也有女生”为事件B，则事件B含有25个基本事件， 10分，所以选出的人中有男生也有女生的概率为. 12分【考点】1.随机事件的概率；2.排列组合.3.从8名女生，4名男生中，选出2名女生，1名男生组成课外小组，则不同的选取方案种数为_______________（用数字作答）.【答案】【解析】.【考点】组合与组合数公式.4.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含正半轴上的整点），其运动规律为或。
组合数学讲义及答案 3章 递推关系
A 图 3.1.1
B Hanoi 塔问题
C
（解）特例：a1＝1，a2＝3，对于任何 n≥3。 一般情形： ： 第一步，将套在柱 A 的上部的 n－1 个盘按要求移到柱 B 上，共搬动了 a n1 次；
第二步，将柱 A 上的最大一个盘移到柱 C 上，只要搬动一 次； 第三步，再从柱 B 将 n－1 个盘按要求移到柱 C 上，也要 用 a n1 次。 由加法法则：
《组合数学》
第三章 递推关系
第三章
递推关系
§3.1 基本概念
（一） 递 推 关 系 定义3.1.1 （隐式）对数列 a i i 0和任意自然数 n，一
个关系到 an 和某些个 a i i n 的方程式， 称为递推关系， 记 作 F a0 , a1 , , a n 0 (3.1.1) 例
4／75
《组合数学》
第三章 递推关系
n 1 n -1 n n - 1 n - 2 2 2 2 an ＝ n 为奇数： 0 1 r 2 r ＋…＋ n - 1 r 2
后两项求和：
m 1 m 1 2m j 2 j r r r ＋ m 1 r j j 0
m2 m 1
＝r
2m 2 j j 0
j j r ＝ r
n 2 2
an 3an1 2an2 2a1 1
（二） 分 类 （1） 按常量部分： ① 齐 次 递 推 关 系 ： 指 常 量 ＝ 0 ， 如
Fn Fn1 Fn 2 ；
② 非齐次递推关系，即常量≠0，如 hn 2hn 1 1 。 （2） 按 a i 的运算关系：
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李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3第三章递推关系1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解： f(n)=f(n-1)+2f(1)=2,f(2)=4解得f(n)=2n.2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解：设an-1an-2…a1是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1)表示。
an可以有两种情况：1）不管上述序列中是否有2，因为an的位置在最左边，因此0 和1均可选；2）当上述序列中没有1时，2可选；故满足条件的序列数为f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1,f(1)=3解得f(n)=2n-1(2+n).3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。
则有h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1）f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2）将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得n+4n)/2-2f(n),4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n).解：这种序列有两种情况：1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个；2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个；所以f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5.5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n).解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。
f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能；f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能；依此类推，有1718f(n)+f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)=2n-2f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.6. 求n 位0,1序列中“010”只出现一次且在第n 位出现的序列数f(n). 解：最后三位是“010”的序列共有2n-3个。
包括以下情况：f(n)包含了在最后三位第一次出现010的个数，同时排除了从n-4到n-2位第一次出现010的可能；f(n-2)包含了从n-4到n-2位第一次出现010的个数； f(n-3)包含了从n-5到n-3位第一次出现010的个数；2f(n-4)包含了从n-6到n-4位第一次出现010的个数（因为在第n-3位可以取0或1）；同理，k ≥3时，第n-k-2到n-k 位第一次出现010的个数为 2k-3f(n-k)(因为第n-k 位～n-3位中间的k-3位可以取0、1，所以有2k-3种状态)。
所以满足条件的递推关系为f(n)+f(n-2)+f(n-3)+…+2n-6f(3)=2n-3 n ≥6 f(3)=1,f(4)=2,f(5)=3.7. 有多少个长度为n 的0,1序列,在这些序列中,既不包含“010”,也不包含“101”？解：设满足条件的序列数为f(n)考虑n-1位时最左边的情况：1) 最左边为1，则左边可选0或1生成满足要求的序列，这种情况有2f(n-2)个；2) 最左边为01，则左边只能选1才能满足要求，这种情况有f(n-3)个；f(n)=2f(n-2)+f(n-3) f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.8. 在信道上传输a,b,c 三个字母组成的长为n 的字符串,若字符串中有两个a 连续出现,则信道就不能传输.令f(n)表示信道可以传输的长为n 的字符串的个数,求f(n)满足的递推关系.解：信道上能够传输的长度为n （n ≥2）的字符串可分成如下四类：1) 最左字符为b ； 2) 最左字符为c ；3) 最左两个字符为ab ； 4) 最左两个字符为ac ；前两类字符串分别有f(n-1)个，后两类字符串分别有f(n-2)个。
容易求出f(1)=3,f(2)=8。
从而得到 f(n)=2f(n-1)+2f(n-2) (n ≥3) f(1)=3,f(2)=8.9. 求解下列递推关系：（1）()2(1)2(2)(1)3,(2)8f n f n f n f f =-+-⎧⎨==⎩；解：先求这个递推关系的通解，它的特征方程为x 2-2x －2=0解这个方程，得11x =,21x =19所以，通解为12()(1(1n n f n c c =+.代入初值来确定c 1和c 2，得1c =，2c =.因此，2323()3)3)2323n n f n +-+=. （2）()4(1)4(2)(0)1,(1)3f n f n f n f f =---⎧⎨==⎩；解：此递推关系的特征方程为x 2-4x+4=0 解这个方程，得x 1=x 2=2. 所以通解为f(n)=c 12n +c 2n2n .代入初值来确定c 1和c 2，得c 1=1，c 2=1/2.因此，f(n)=2n +2n-1n.（3）()(1)3(2)5(3)2(4)(0)1,(1)0,(2)1,(3)2f n f n f n f n f n f f f f =--+-+-+-⎧⎨====⎩；解：该递推关系的特征方程为x 4+x 3-3x 2-5x-2=0, 解得特征根为x 1=x 2=x 3=-1,x 4=2.所以通解为f(n)=c 1(-1)n +c 2n(-1)n +c 3n 2(-1)n +c 42n . 代入初值，得1234712,,0,939c c c c ==-==.因此，712()(1)(1)2939nnnf n n =---+⋅.（4）()4(1)4(2)2(0)0,(1)1nf n f n f n n f f ⎧--+-=⋅⎨==⎩；解：由于2是特征方程的二重根，所以该递推关系的特解为 f '(n)=n 2(b 1n+b 0)·2n .将它代入递推关系化简，得到 6b 1=1, -6b 1+2b 0=0解得012b =，116b =.而相应齐次递推关系的通解为(c 0+c 1n)·2n ，从而非齐次递推关系的通解为2011()()262n n f n c c n n =+++⋅⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.代入初值可得00c =，116c =-.20于是321()(3)26n f n n n n =+-⋅.（5）()(1)! (1)(0)2f n nf n n n f =-+≥⎧⎨=⎩；解：f(1)=f(0)+1!f(2)=2f(1)+2!=2f(0)+2*2!=2!(f(0)+2) f(3)=3f(2)+3!=6f(0)+3*3!=3!(f(0)+3) …f(n)=n!(f(0)+n)=n!(n+1).（6）()(2)(1) (1)(0)1f n n f n n f =+-≥⎧⎨=⎩；解：f(n)=(n+2)f(n-1)=(n+2)(n+1)f(n-2)=… =(n+2)(n+1)…3·f(0)=(n+2)!/2.10. 在一圆周上取n 个点,过每对点作一弦,且任何三条弦不在圆内共点,试求这些弦把圆分成的区域的个数.解：n-1个点把圆分为f(n-1)部分，在加第n 个点则对于前n-1个点来说，每选3个点都有3条弦构成了一个三角形。
而中间的一点和第n 点的连线把中间和第n 点间的弦分成了2个部分，增加了1一个域。
第n 个点和其它n-1个点的连线又把第1，n-1，n 点构成的三角形分为n 个域。
故满足条件的递推关系为f(n)=f(n-1)+C(n-1,3)+n-1，f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=8. 解得 f(n)=1+C(n,2)+C(n-4).11. 设有n 条椭圆曲线，两两相交于两点，任意3条椭圆曲线不相交于一点.问这样的n 个椭圆将平面分割成多少部分?解：设f(n)表示n 个椭圆将平面分割成的部分的个数，则有：一个椭圆将平面分成内、外两个部分，两个椭圆将平面分成4个部分。
第二个椭圆的周界被第一个椭圆分成两部分，这恰恰是新增加的域的边界。
依此类推，第三个椭圆曲线被前面两个椭圆分割成4部分，将平面分割成4＋4＝8个部分。
若n －1个椭圆将平面分割成f(n-1)个部分，第n 个椭圆和前n －1个椭圆两两相交于两点，共2（n －1）个交点，即新增加的域有2（n －1）个。
故有f(n)=f(n-1)+2(n-1) f(1)=2解得f(n)=n(n-1)+212. 求n 位十进制正数中出现偶数个5的数的个数.解：设f(n)表示n 位十进制正数中出现个5的数的个数，d=d 1d 2…d n-1表示n-1位十进制数，则若d 含有偶数个5，则d n 取5以外的任何一个数；若d 含有奇数个5，则d n 取5。
另n-1位十进制的数共有9×10n-2个，故递推关系为f(n)=9f(n-1)+ 9×10n-2-f(n-1)= 9×10n-2+8f(n-1) f(1)=8.13. 在一个平面上画一个圆,然后一条一条地画n 条与圆相交的直线.当r 是21 大于1的奇数时,第r 条直线只与前r －1条直线之一在圆内相交.当r 是偶数时,第r 条直线与前r －1条直线都在圆内相交.如果无3条直线在圆内共点,这n 条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？解：当r 是奇数时，它只与原来r －1条直线之一相交，因此多了两个部分； 当r 是偶数时，它与原来的r －1条都相交，因此多了r 个交点； 故有f(n)=f(n-1)+2 n 为奇数； f(n)=f(n-1)+n n 为偶数；14. 从1到n 的自然数中选取k 个不同且不相邻的数,设此选取的方案数位f(n,k).1) 求f(n,k)满足的递推关系； 2) 用归纳法求f(n,k)；3) 若设1与n 算是相邻的数,并在此假定下从1到n 的自然数中选取k 个不同且不相邻的数的方案数位g(n,k),试利用f(n,k)求g(n,k).解：1）有两类：选n 为f(n-2,k-1)；不选n 为f(n-1,k).所以 f(n,k)=f(n-2,k-1)+f(n-1,k). 2)f(n,k)=C(n-k+1,k).3)f(n,k)=C(n-k+1,k-1)*n/k.15. 从1到n 的自然数中选取两两之差均大于r 的k 个数 1) 求它所满足的递推关系；2) 证明(,),(1)r n rk r f n k n r k r k -+⎛⎫=+≥+ ⎪⎝⎭解：可将本题转换为构造相应的0－1串的问题。