万有引力与航天 复习教案

万有引力与航天 复习

二、本章要点总结

1、开普勒行星运动定律

第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即：

3

2a k T

= 比值k 是一个与行星无关的常量。

补充说明：解决天体问题时一般把模型看成圆周运动，请同学们看看公式的变换。

2、万有引力定律

（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2）万有引力定律公式：

122

m m F G

r =，11226.6710/G

N m kg -=⨯⋅

（3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件，r 为重心点间的距离。

3、万有引力定律在天文学上的应用。 （1）基本方法：

①在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：

2

M g G

R =，R 为天体半径。

②把天体的运动看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供：22

2n h Mm v G ma mg m m r r r

ω==== 联写2

22

()()h GM R g g

R h R h ==++

（2）天体质量，密度的估算。

测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2

224Mm G m r r T

π= 得被环绕天体的质量为2324r M GT π=，密度为3

223M r V GT R

πρ==，

R 为被环绕天体的半径。

当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则

2

3GT π

ρ=。

（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。

①由2

2Mm v G m r r

=得v

=

∴r 越大，v 越小

②由2

2Mm G

m r r ω=得ω=∴r 越大，ω越小

③由2

2

24Mm G

m r r

T π=得T =

∴r 越大，T 越大

m 1︰m 2=1︰2，

运行速度之比是υ1︰υ2＝1︰2。它们轨道半径之比、它们周期之比、向心加速度之比、所受向心力之比、动能之比？ （4）三种宇宙速度

①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：

v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。

②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：

v 2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。

③第三宇宙速度：

v 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。

三、本章专题剖析

1、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）

由r T m r Mm G 2

2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛=π 得2324GT r M π= 又ρπ⋅=334R M 得3

233R

GT r πρ=

【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美

航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”

号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕

n 周飞行时

间为t

。试计算土星的质量和平均密度。

解析：设“卡西尼”号的质量为m ，土星的质量为M . “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力

提供.

2

2

)2)(()

(T h R m h R Mm G

π+=+，其中n t T =， 所以：2

3

22)(4Gt h R n M +=π．

又334R V π=， 3

23

2)(3R Gt h R n V M +⋅⋅=

=πρ

2、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）

表面重力加速度：2002R GM

g mg R Mm G

=∴= 轨道重力加速度：()()2

2h R GM

g mg h R GMm h

h +=∴=+

【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与卫星的质量m 之比M /m=81，行

星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径R 0之比r /R 0＝60。设卫星表面的重

力加速度为g ，则在卫星表面有

m g r

GMm =2

……

经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。

解析：题中所列关于g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的

解法是