数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,求证:△PDH的周长是定值;
(3)当BE+CF的长取最小值时,求AP的长.
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)2.
【解析】
试题分析:(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出
∠APB=∠PBC即可得出答案;
(2)首先证明△ABP≌△QBP,进而得出△BCH≌△BQH,即可得出
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8;
(3)过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB,证明△EFM≌△BPA,设AP=x,利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.
试题解析:(1)解:如图1,
∵PE=BE,
∴∠EBP=∠EPB.
又∵∠EPH=∠EBC=90°,
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP.
即∠PBC=∠BPH.
又∵AD∥BC,
∴∠APB=∠PBC.
∴∠APB=∠BPH.
(2)证明:如图2,过B 作BQ ⊥PH ,垂足为Q .
由(1)知∠APB=∠BPH ,
又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP ,
在△ABP 和△QBP 中,
{90APB BPH
A BQP BP BP
∠=∠∠=∠=︒=,
∴△ABP ≌△QBP (AAS ),
∴AP=QP ,AB=BQ ,
又∵AB=BC ,
∴BC=BQ .
又∠C=∠BQH=90°,BH=BH ,
在△BCH 和△BQH 中,
{90BC BQ
C BQH BH BH
=∠=∠=︒=,
∴△BCH ≌△BQH (SAS ),
∴CH=QH .
∴△PHD 的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.
∴△PDH 的周长是定值.
(3)解:如图3,过F 作FM ⊥AB ,垂足为M ,则FM=BC=AB .
又∵EF 为折痕,
∴EF ⊥BP .
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°,
∴∠EFM=∠ABP .
又∵∠A=∠EMF=90°,
在△EFM 和△BPA 中,
{EFM ABP
EMF A FM AB
∠=∠∠=∠=,
∴△EFM ≌△BPA (AAS ).
∴EM=AP .
设AP=x
在Rt △APE 中,(4-BE )2+x 2=BE 2.
解得BE=2+28x
, ∴CF=BE-EM=2+28
x -x , ∴BE+CF=24
x -x+4=14(x-2)2+3. 当x=2时,BE+CF 取最小值,
∴AP=2.
考点:几何变换综合题.
2.如图(1)在正方形ABCD 中,点E 是CD 边上一动点,连接AE ,作BF ⊥AE ,垂足为G 交AD 于F
(1)求证:AF =DE ;
(2)连接DG ,若DG 平分∠EGF ,如图(2),求证:点E 是CD 中点;
(3)在(2)的条件下,连接CG ,如图(3),求证:CG =CD .
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)CG =CD ,见解析.
【解析】
【分析】
(1)证明△BAF ≌△ADE (ASA )即可解决问题.
(2)过点D 作DM ⊥GF ,DN ⊥GE ,垂足分别为点M ,N .想办法证明AF =DF ,即可解决问题.
(3)延长AE ,BC 交于点P ,由(2)知DE =CD ,利用直角三角形斜边中线的性质,只要证明BC =CP 即可.
【详解】
(1)证明:如图1中,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠D=90o,
∴∠2+∠3=90°
又∵BF⊥AE,
∴∠AGB=90°
∴∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠3
在△BAF与△ADE中,
∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D,
∴△BAF≌△ADE(ASA)
∴AF=DE.
(2)证明:过点D作DM⊥GF,DN⊥GE,垂足分别为点M,N.
由(1)得∠1=∠3,∠BGA=∠AND=90°,AB=AD
∴△BAG≌△ADN(AAS)
∴AG=DN,
又DG平分∠EGF,DM⊥GF,DN⊥GE,
∴DM=DN,
∴DM=AG,又∠AFG=∠DFM,∠AGF=∠DMF
∴△AFG≌△DFM(AAS),
∴AF=DF=DE=1
2AD=
1
2
CD,
即点E是CD的中点.
(3)延长AE,BC交于点P,由(2)知DE=CD,
∠ADE=∠ECP=90°,∠DEA=∠CEP,
∴△ADE≌△PCE(ASA)
∴AE=PE,
又CE∥AB,
∴BC=PC,
在Rt△BGP中,∵BC=PC,
∴CG=1
2
BP=BC,
∴CG=CD.
【点睛】
本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质定理,直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
3.已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点(不与点A、D重合),连接PB、PC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,AD与EF交于点M;
(1)如图1,当AB=AC时,求证:四边形EGHF是矩形;
(2)如图2,当点P与点M重合时,在不添加任何辅助线的条件下,写出所有与△BPE面积相等的三角形(不包括△BPE本身).
【答案】(1)见解析;(2)△APE、△APF、△CPF、△PGH.
【解析】
【分析】
(1)由三角形中位线定理得出EG∥AP,EF∥BC,EF=1
2
BC,GH∥BC,GH=
1
2
BC,推出
EF∥GH,EF=GH,证得四边形EGHF是平行四边形,证得EF⊥AP,推出EF⊥EG,即可得出结论;
(2)由△APE与△BPE的底AE=BE,又等高,得出S△APE=S△BPE,由△APE与△APF的底