逐点比较法圆弧插补原理
逐点比较法圆弧插补算法
二、 逐点比较法圆弧插补加工一个圆弧，很容易联想到把加工点到圆心的距离和该圆的名义半径相比较来反映加工偏差。
这里，我们以第Ⅰ象限逆圆弧为例导出其偏差计算公式。
设要加工图2—3所示第Ⅰ象限逆时针走向的圆弧，半径为R ，以原点为圆心，起点坐标为A(00x ,y )，对于圆弧上任一加工点的坐标设为P( i j x ,y )，P 点与圆心的距离 P R 的平方为 222Pi j R =x +y ，现在讨论这一加工点的加工偏差。
图 2 - 2 圆 弧 差 补 过 程图2-3 圆弧插补过程点击进入动画观看逐点比较法圆弧插补若点P(i j x ,y )正好落在圆弧上，则下式成立：22222i j 00x +y =x +y =R若加工点P(i j x ,y )在圆弧外侧，则P R >R ，即：2222i j 00x +y >x +y若加工点P(i j x ,y )在圆弧内侧，则P R <R ，即：2222i j 00x +y >x +y将上面各式分别改写为下列形式：2222i 0j 0(x -x )+(y -y )=0(加工点在圆弧上) 2222i 0j 0(x -x )+(y -y )>0(加工点在圆弧外侧)2222i 0j 0(x -x )+(y -y )<0(加工点在圆弧内侧)取加工偏差判别式为：2222ij i 0j 0F =(x -x )+(y -y )运用上述法则，利用偏差判别式，即获得图2—2折线所示的近似圆弧。
若P(i j x ,y )在圆弧外或圆弧上，即满足 ij F ≥0的条件时，应向x 轴发出一个负向运动的进给脉冲(—Δx)，即向圆内走一步。
若P(i j x ,y )在圆弧内侧，即满足ij F <0的条件，则向y 轴发出一个正向运动的进给脉冲(+Δy)，即向圆弧外走一步。
为了简化偏差判别式的运算，仍用递推法来推算下一步新的加工偏差。
设加工点P(i j x ,y )在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为2222ij i 0j 0F =(x -x )+(y -y )0≥x 坐标需向负方向进给一步(—Δx)，移到新的加工点P(i+1j x ,y )位置，此时新加工点的x 坐标值为i x -1，y 坐标值仍为 i y ，新加工点P( i+1j x ,y )的加工偏差为：22222i+1,j i 0j 0F =(x -1)-x +y -y经展开并整理，得：i +1,j i j F =F 21i x -+(2-3)设加工点P(i j x ,y )在圆弧的内侧，则：ij F <0那么，y 坐标需向正方向进给一步(+Δy)，移到新加工点P( i j+1x ,y )，此时新加工点的x 坐标值仍为i x ，y 坐标值则改为 j y 1+，新加工点P( i j+1x ,y )的加工偏差为:2222i,j+1i 0j 0F =x -x +(y +1)y -，展开上式，并整理得:i,j+1ij F =F 21i y ++综上所述可知：当ij F ≥0时，应走—Δx ，新偏差为 i+1,j ij F =F 21i x -+，动点(加工点)坐标为i+1i x =x -1， j j y y =；当 ij F <0时，应走+Δy ，新偏差为 i,j+1ij F =F 21i y ++，动点坐标为 j j y y =, i+1i =y +1y 。
实验一 逐点比较法圆弧和直线插补实验
Y B(xe,ye)
M(xm,ym)
Rm R
A(x0,y0)
O 图3 圆弧插补原理图 X
圆弧插补原理参见上图，对于第一象限逆圆，设圆弧的起点为 A(x0,y0)，终点为 B(xe,ye)， 圆弧半径为 R。加工点为 M(xm,ym)，它与圆心的距离为 Rm，则
（1）偏差计算
Fm
=
Rm2
− R2
=
xm2
p102=p102-p104 p101=p101+1 x-0.1 else p102=p102+p103 p101=p101+1 y0.1
；计算新的偏差值（Fi+1=Fi－ya） ；步数计数器加一 ；X方向进分别是（-0.1 -0.5 -1.0） ；偏差判别（若P102小于0表示刀具在直线下方） ；计算新的偏差值（Fi+1=Fi＋xa） ；步数计数器加一 ；Y方向进给分别是（0.1 0.5 1.0）
endif
endwhile
close
（3）根据直线插补编成格式，编写所给圆弧插补程序。 各组的圆弧的插补任务是： u 第一组：圆弧半径 50，第二象限顺圆；
第二组：圆弧半径 50，第二象限逆圆； 第三组：圆弧半径 60，第三象限顺圆； 第四组：圆弧半径 60，第三象限逆圆； 第五组：圆弧半径 70，第四象限顺圆； 第六组：圆弧半径 70，第四象限逆圆； open prog7 clear linear inc p101=0 p102=0 p103=0 p104=50 while(p101!>100) if(p102!<0) y0.5 p101=p101+1 p102=p102-2*p104+1 p104=p104-1 else -x0.5 p101=p101+1 p102=p102-2*p103+1 p103=103-1 endif endwhile close
逐点比较法圆弧插补
逐点比较法圆弧插补逐点比较法圆弧插补过程与直线插补过程类似，每进给一步也都要完成四个工作节拍：偏差判别、坐标进给、偏差计算、终点判别。
但是，逐点比较法圆弧插补以加工点距圆心的距离大于还是小于圆弧半径来作为偏差判别的依据。
如图5-7所示的圆弧AB，其圆心位于原点O（0，0），半径为R，令加工点的坐标为P（xi，yj），则逐点比较法圆弧插补的偏差判别函数为当F＝0时，加工点在圆弧上；当F＞0时，加工点在圆弧外；当F＜0时，加工点在圆弧内。
同插补直线时一样，将Fi，j=0同Fi，j＞0归于一类。
下面以第一象限圆弧为例，分别介绍顺时针圆弧和逆时针圆弧插补时的偏差计算和坐标进给情况。
1．插补第一象限逆圆弧1）当Fi，j≥0时，加工点P（xi，yj）在圆弧上或圆弧外，－X方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆内方向进给，到达新的加工点Pi－1,j，此时xi －1=xi－1，则新加工点Pi－1,j的偏差判别函数Fi－1，j为（2）当Fi，j＜0时，加工点P（xi，yj）在圆弧内，＋Y方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆外方向进给，到达新的加工点Pi,j＋1，此时yj+1=yj＋1，则新加工点Pi,j＋1的偏差判别函数Fi，j+12．插补第一象限顺圆弧1）当Fi，j≥0时，加工点P（xi，yj）在圆弧上或圆弧外，－Y方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆内方向进给，到达新的加工点Pi，,j－1，此时yj－1=yj－1，则新加工点Pi，j－1的偏差判别函数Fi，j－1为2）当Fi，j＜0时，加工点P（xi，yj）在圆弧内，＋X方向进给一个脉冲当量，即向趋近圆弧的圆外方向进给，到达新的加工点Pi＋1,j，此时xi＋1=xi ＋1，则新加工点Pi＋1,j的偏差判别函数为Fi+1，j由以上分析可知，新加工点的偏差是由前一个加工点的偏差Fi，j及前一点的坐标值xi、yj递推出来的，如果按式（5-6）、（5-7）、（5-8）、（5-9）计算偏差，则计算大为简化。
插补的基本概念脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别逐点比较法的基本原理直线插补和圆弧插补
插补的基本概念脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别逐点比较法的基本原理直线插补和圆弧插补
脉冲增量插补和数据采样插补是实现插补的两种不同方法。
脉冲增量插补是将连续的运动轨迹离散化，以一定的脉冲数来表示，通过控制脉冲信号的频率和方向来控制机床的运动方向和速度。
而数据采样插补则是将预先生成的轨迹数据存储在内存中，通过对数据进行采样来得到机床的控制指令。
脉冲增量插补的特点是运算简单，系统响应速度较快，适合于高速运动控制；但由于其离散化的特点，可能会引入累积误差。
数据采样插补的特点是能够精确控制机床的运动轨迹，减小累积误差，但需要占用较大的内存空间。
逐点比较法是一种用于校正控制系统误差的方法。
其基本原理是通过对实际运动轨迹数据和预期轨迹数据进行逐点比较，根据比较结果来调整机床的控制指令，使实际运动轨迹尽可能地与预期轨迹一致。
逐点比较法的关键是选择合适的比较误差补偿算法，以实现高效准确的校正。
直线插补是指在机床坐标系下，按照直线轨迹进行插补运动。
直线插补的计算相对简单，只需要对坐标进行线性插值即可。
圆弧插补是指在机床坐标系下，按照圆弧轨迹进行插补运动。
圆弧插补的计算相对复杂，需要考虑起点、终点和半径等参数，通过数学运算得出插补指令。
总之，插补是机床运动控制的基础，脉冲增量插补和数据采样插补是两种常见的实现方式，逐点比较法是一种用于校正误差的方法，直线插补和圆弧插补则是两种常见的插补方式。
(二)逐点比较法圆弧插补PPT课件
同理，对于第一象限顺圆加工时，即B→A，当Fi≥0时， 应向－Y方向进给一步，当Fi＜0时，应向+X方向进给 一步。
Y
B(Xe,Ye)
Pi(Xi,Yi)
A(Xo,Yo)
O
X
6
当Fi≥0时，向－Y方向进给一步，动点由Pi(Xi,Yi) 移动到 Pi+1(Xi,Yi +1)，则新动点的坐标为 Yi+1=Yi －１
偏差计算
终点判别
0
F0=0,Xo=5,Yo=0 ∑=10
1 F0=0 －X F1=F0-2Xo+1= -9,X1=4,Y1=0∑=9
2 F1=－9 +Y F2=F1+2Y1+1= -8,X2=4,Y2=∑1=8
3 F2=-8 +Y F3=F2+2Y2+1= -5,X3=4,Y3=∑2=7
4 F3= -5 +Y F4=F3 +2Y3+1 =0, X4=4,Y4=3∑=6
2 F1=－5 +Y F2=F1+2Y1+1= -4,X2=2,Y2=∑1=4
3 F2=-4 +Y 4 F3= -1 +Y 5 F4=4 -X
F3=F2+2Y2+1= -1,X3=2,Y3=∑2=3 F4=F3 +2Y3+1 =4, X4=2,Y4=3∑=2 F5=F4-2X4+1 =1, X5=1,Y5=3∑=1
Y
Fi＜0
Fi≥0
Fi≥0 Fi＜0
Fi＜0
O Fi≥0
X
Fi＜0 Fi≥0
17
2、圆弧插补的象限处理
前面的圆弧插补（顺圆、逆圆）只限于第一象限，其他 情况如图所示： Y
(完整版)圆弧插补
Fi＜0
O Fi≥0
X Fi＜0 Fi≥0
2、圆弧插补的象限处理
前面的圆弧插补（顺圆、逆圆）只限于第一象限，其他 情况如图所示： Y
O
X
代入偏差函数，得Pi+1点的偏差为： Fi+1 = Fi－2Xi + 1
当Fi＜0时，向+Y方向进给一步。动点由Pi(Xi,Yi) 移动到 Pi+1(Xi,Yi +1)则新动点的坐标为 Yi+1=Yi +１
代入偏差函数，得Pi+1点的偏差为：
Fi+1 = Fi + 2Yi + 1
所以，第一象限逆时针圆弧插补加工时偏差加工的递推 公式为：
6 F5= -7 +Y F6=F5+2Y5+1 =0, X6=3,Y6=4 ∑=4
7 F6=0 -X F7=F6-2X6+1 = -5, X7=2,Y7=4 ∑=3 8 F7= -5 +Y F8=F7+2Y7+1 =4, X8=2,Y8=5 ∑=2
9 F8=4 -X F9=F8-2X8+1 = 1, X9=1,Y9=5 ∑=1
若P点在圆弧上，则有 (Xi2 +Yi2 ) — (Xo2 +Yo2) = 0，我们定义偏差函数Fi为 Fi = (Xi2 +Yi2 ) — (Xo2 +Yo2 )
Y
B(Xe,Ye)
Pi(Xi,Yi)
A(Xo,Yo) O
X
可见，若Fi=0，表示动点位于圆弧上；若Fi＞0，表示动 点位于圆弧外；Fi＜0，表示动点位于圆弧内。
（2）进给控制
把Fi=0和若Fi＞0合在一起考虑，当Fi≥0时，向－X方向进 给一步；当Fi＜0时，向+Y方向进给一步。
数控机床逐点比较法圆弧插补
3数控机床逐点比较法圆弧插补:与直线初步相似，圆弧插补加工是将加工点到圆心距离与被加工圆弧的名 义半径相比较，并根据偏差大小确定坐标进给方向，以 逼近被加工圆弧。
下面 以 第一象限逆圆弧为例，讨论圆弧的插补方法。
如图8-4所示，设要加工圆弧为第一象限逆圆弧 AB ，原点为圆心0,起点 y o )，终点为B (X e , y e )半径R ,瞬时加工点为P (X i ,y i )，点P 到圆<0 -<0‘—开始—若点P 正好在圆弧上，则有2 2 2 2X i +y j =R p =R即X i 2+y j 2-R 2=0若点P 在圆弧外则，则有2 2 2 2X i +y j =R p >R即X i 2+y j 2-R 2 > 0若点 P 在圆弧内则，则有2 2 2 2x i +y j =R p <R心距离为Rp------ X >0]+△*为 A (xo , <0* <7 F>0 ?*+X 走 一步 |] -y 走一y f1 FT -Ye ||FJF -Xe图8-2第一象限一象限直线插补轨迹图图8-3第一象限直线插补程序框图图初始化Xe ， Ye ，JJ J J-1J =0 ?结束即x i2+y j2-R2 < 0显然，若令F i,j = x i2+y j2-R2( 8-4) 图8-4 逆圆弧插补则有：(1)F i,j= F i,j=0,则点P在圆弧上( 2 )F i,j >0 则点P 在圆弧外则( 3 )F i,j<0 则点P 在圆弧不则常将8-4称为圆弧插补偏差判别式。
当F i,j>时，为逼近圆弧，应向-x方向进给一步；当F i,j<0时，应向+y方向走一步。
这样就可以获得逼近圆弧的折线图。
与直线插补偏差计算相似，圆弧插补的偏差的计算也采用递推的方法以简化计算。
若加工点P (X i, y i)在圆弧外或者圆弧上，则有：F i,j=x i2+y j2-R2> 0为逼近该圆沿-X方向进给一步，移动到新加工点P( X i=1,y i)，此时新加工点的坐标值为x i+1=x i-1 ，y i=y i新加工点的偏差为：F i+1,j= (x i-1) 2+y i2-R2=x i2-2x i+1+ y i2-R22 2 2= x i + y i -R +1F i+I,j= F i,j-2x i+1(8-5)若加工P （X i, y i）在圆弧内，则有F i,j=x i2+y j2-R2<0若逼近该圆需沿+y方向进给一步，移到新加工点P （X i, y i）,此时新加工点的坐标值图8-5第一象限圆弧插补程序框图为新加工点的偏为：F i,j+i =X i2+（y i+1）2-R2=X i2+ y i2+1 -R22 2 2=X i + y i -R +1+2y iF i,j+i = F i,j -2y i+1 （8-6）从（8-5）和式（8-6）两式可知，递推偏差计算仅为加法（或者减法）运算，大大降低了计算的复杂程度。
基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法设计
基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法设计摘要：随着数字化控制技术的发展，FPGA作为可编程逻辑设备，被广泛应用于了工业控制系统中。
本文通过分析圆弧插补算法的原理和特点，设计了一种基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法，并进行了硬件实现。
通过实验验证，该算法可以准确地实现圆弧插补功能，并具有较高的计算速度和运行效率。
关键词：FPGA；圆弧插补；逐点比较算法1.引言在数控系统中，圆弧插补是一种常见的运动控制方式。
圆弧插补可以实现工件在空间中沿着预定的曲线轨迹移动，从而实现复杂的形状加工。
目前，圆弧插补算法主要有计算细分点的数学法和逐点比较法两种。
其中，逐点比较法是一种基于离散点的插值方式，具有较高的计算速度和运行效率。
本文将基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法进行设计与实现。
2.圆弧插补算法原理圆弧插补是通过计算圆弧上一系列离散点的坐标，从而实现工件的平滑运动。
在逐点比较法中，圆弧插补算法主要包括以下几个步骤：（1）确定圆弧的起点、终点和中心点，并计算圆弧的半径；（2）根据离散点的间距，计算出圆弧的总点数；（3）计算圆弧上每个离散点的坐标，并保存在一个数据缓存区中；（4）将数据缓存区中的坐标输出。
3.算法设计（1）数据输入模块：接收圆弧的起点、终点和中心点坐标，并计算圆弧的半径；（2）总点数计算模块：根据离散点的间距，计算出圆弧的总点数；（3）坐标计算模块：根据圆弧的起点、终点、中心点和总点数，计算出每个离散点的坐标，并保存在一个数据缓存区中；（4）数据输出模块：将数据缓存区中的坐标输出。
4.硬件实现本文采用Xilinx FPGA作为硬件开发平台，Verilog HDL作为硬件描述语言。
根据设计的算法原理和模块设计，完成了逐点比较圆弧插补算法的硬件实现。
5.实验结果与分析通过对比实验，验证了基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法的正确性和有效性。
与传统的数学法相比，该算法具有更高的计算速度和运行效率，适用于高性能的工业控制系统。
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2.2 CNC系统的构成及工作原理
2.2.1 数控系统的组成
1.微机部分 2.速度控制单元和位置检测单元 3.机床逻辑控制部分 4.机床控制I/O接口 5.外部设备 6.程序即软件
2.2.2 数控系统的硬件结构
1.根据组成CNC系统的电路板常见的结构特点来分： 大板式结构和模块化结构 1）大板式结构。主CPU和各轴的位置控制电路集成 到一块大的印刷电路板上 ，如图2-4所示。
需要注意的是，某些CNC装置虽然有两个以上的微 处理器，但其中只有一个微处理器能够控制系统总线， 与其他微处理器组成主从结构，故它们也归于单微处理 器结构中， 单微处理器CNC的结构特点： （1）CNC装置内只有一个主微处理器，对信息存储、 插补运算、I/O控制、CRT显示等功能的实行பைடு நூலகம்中控制分 时处理的原则 ； （2）微处理器与存储器、I/O等接口电路相连是 通过总线进行连接的。 （3）结构简单，实现容易。 （4）CNC装置一般是专用型的，不具备通用性。
每一个硬软件模块形成一个特定的功能单元，称为 功能模块。 模块化结构的特点是：其是一种基于总线的开放性 系统，CNC系统可以如堆积木式地组成，设计简单， 柔性好，有良好的适应性和扩展性，试制周期短、调 整维护方便、效率高。
2.根据所采用的处理器结构形式分为单处理器结构和 多处理器结构 1）单处理器结构
2.1.4
数控系统主要技术指标
(1)控制轴数和联动轴数 (2)插补功能 (3) 脉冲当量（分辨率)、定位精度和重复精度 (4)行程和插补范围 (5) 主轴转速、进给速度 (6)准备功能(G功能) (7)辅助功能(M功能） (8)刀具管理和刀具补偿 (9)自动加减速控制 (10)机床顺序控制接口 (11)字符图形显示功能 (12)通信与通信协议 (13)自诊断功能
经济型数控机床一般都采用开环数控系统。
2）闭环数控系统
3）半闭环数控系统
全闭环数控系统的位置采样点如图的虚线所示 半闭环数控系统的位置采样点如图的实线所示
2. 按照刀具的运动轨迹分类 1)点位控制数控系统 3）轮廓控制数控系统 3. 按功能水平分类 1）高级型数控系统 3)经济型数控系统 2)普及型数控系统 2）直线切削数控系统
第 2章
数控机床控制系统
数控系统： 将利用数控技术进行信息处理并用以控 制机床完成机床动作和零件加工过程的系统称为数控
系统。
2.1 2.2 2.3 2.4 数控系统概述 CNC系统的构成及工作原理 数控系统的插补原理 数控系统的可编程控制器（PLC）
2.5 数控机床常用的数控系统
2.1 数控系统概述
2）多处理器结构
该种结构的CNC装置中有两个或两个以上的微处理 器，且各微处理器之间互不隶属。多微处理器结构的 CNC装置多为模块化结构，通常采用共享总线和共享存 储器两种典型结构实现模块间的互联与通信
微处理器CNC装置的基本功能模块一般由六种功 能模块组成，通过增加相应的功能模块，可实现一些特 殊功能。这六种基本功能模块为：
（1）微处理器。微处理器CPU是CNC装置的核心。
（2）总线。总线是由赋予了一定信号意义的一组物 理导线。按信号的物理意义，可分为数据总线、地址总 线、控制总线三组。
（3）存储器。存储器的作用是用于存放数据、参数和 程序等。 （4）MDI/CRT接口。 （5）位置控制模块。 （6）可编程控制器。替代传统机床强电继电器逻辑 控制，利用逻辑运算实现各种开关量的控制。 （7）I/O (输入/输出)接口 （8）通信接口。
大板式结构的特点是：结构紧凑、体积小、 可靠性高、价格低、有很高的性能/价格比， 也便于机床的一体化设计。缺点是硬件功能不 易变动，不利于组织生产。
2）模块化结构
模块化结构就是将微处理机、存储器、输入输出控 制分别做成插件板或将微处理机、存储器、输入、输 出控制组成独立微计算机级的硬件模块，相应的软件 也是模块结构，固化在硬件模块中。
2.1.1 数控系统的发展历程
2.1.2 数控系统的发展趋势
1. 向高速高精度方向发展 5. 小型化
2. 向多轴联动和功能复合方向发展 6. 向网络化方向发展 3. 智能化 4. 提高可靠性 7. 向开放式系统发展 8. 重视标准化工作
2.1.3
数控系统的分类
1. 按照所用进给伺服系统的类型分类
1）开环数控系统
3.预处理程序。 预处理程序有三个任务，即刀具半径补偿，速度计算 （即根据合成速度算出各轴的分速度）以及辅助功能的处 理等。 4.插补程序 插补计算是CNC系统中最重要的计算工作之一。 5.位置（伺服）控制软件位置（伺服）控制软件的主要 功能是对插补值进行处理（取全值或取其半值），计算出 位置的命令值，同时读一次实际的反馈值，然后对命令值 与反馈值间进行比较，从而得出的差值，进而在对运动部 件的速度进行控制。
6．输出程序 其功能主要是：进行位置伺服控制。M，S，T辅助功能 的输出；进行丝杠螺距误差补偿；反向间隙补偿处理 。
7．管理程序 管理程序主要为数据输入、处理及切削加工过程服务的 各个程序均由管理程序进行调度。 8.诊断程序 完善的诊断程序可以迅速查明故障的类型和部位，减少 故障停机时间 总之，CNC系统由软件和硬件组成，硬件为软件的运 行提供了支持环境。
（1）CNC管理模块。 （3）位置控制模块。 （2）CNC插补模块。 （4）PLC模块。
（6）存储器模块。 （5）操作面板监控和显示模块。 多微处理器的结构特点：采用模块化结构，有良好 的适应性和扩展性；可靠性高；硬件易于组织规模生产； 性能价格比高。
2.2.3 数控系统的软件构成 管理软件：零件程序的输入、CNC输出、显示、诊 断和通信功能软件 控制软件：译码、刀具补偿、速度处理、插补运算 和位置控制等 1.输入程序。其功能有两个： 一是把零件程序从阅读机或键盘经相应的缓冲器 输入 到零件程序存储器； 二是将零件程序从零件程序存储器取出送入缓冲器。 2.译码程序 译码也就是从数控加工程序缓冲器或MDI缓冲器中 逐个读入字符，先识别出其中的文字码和数字码，然后 根据文字码所代表的功能，将后续数字码送到相应译码 结果缓冲器单元中。