一个神经网络控制系统的稳定性判据的方法
基于神经网络的电力系统安全稳定性预测与控制
基于神经网络的电力系统安全稳定性预测与控制近年来，随着电力系统规模的不断扩大和新能源的不断发展，电力系统的可靠性和稳定性越来越受到重视。
而神经网络技术，作为一种模拟人脑神经系统的计算模型，已经被广泛应用于电力系统安全稳定性预测与控制领域。
首先，我们来介绍一下电力系统安全稳定性的定义。
电力系统安全稳定性是指在电力系统各种扰动（如瞬时故障、负荷扰动、天气变化等）作用下，系统继续保持其正常工作状态的能力，以及在发生故障等意外情况时，系统尽可能迅速地恢复到正常工作状态的能力。
因此，电力系统安全稳定性预测与控制就是指通过各种手段，对电力系统的运行状态进行监控和预测，并采取相应的控制措施，在最小的损失下保证电力系统的安全稳定运行。
在电力系统的安全稳定性预测与控制领域中，神经网络技术具有独特的优势。
传统的电力系统安全稳定性预测模型往往需要大量的经验和数据，而且往往只能考虑相对简单的情况下的预测，而神经网络技术则可以通过学习大量的历史数据和经验，来预测并适应不同的运行条件和扰动情况。
其次，我们来分析一下基于神经网络的电力系统安全稳定性预测与控制的具体实现方法。
首先，需要建立一个合适的神经网络模型。
这个神经网络模型一般包括输入层、隐藏层和输出层三个部分。
输入层主要是对电力系统运行状态和扰动进行输入，隐藏层则是通过神经网络的非线性映射关系，来建立电力系统运行状态和扰动之间的关系，输出层则是输出电力系统的安全稳定性指标或控制指令。
接着，需要根据实际情况收集大量的历史数据和经验，并对这些数据进行预处理和特征提取。
这些历史数据和经验可以包括电力系统运行数据、天气数据、负荷数据等。
我们可以通过对这些数据进行统计分析、特征提取和数据清洗等操作，来为神经网络提供更准确和有效的输入数据。
然后，需要对神经网络进行训练和调整，以提高其预测和控制的准确度和稳定性。
神经网络的训练一般采用反向传播算法或其他类似的优化算法来实现。
在训练的过程中，需要根据具体的实验结果和误差分析，对神经网络的结构和参数进行调整和优化，来提高其预测和控制性能。
神经元网络的稳定性分析
神经元网络的稳定性分析神经元网络是生物学的一个重要领域，经过多年的研究，我们已经逐渐掌握了大量生物神经元网络的特性和运作机制。
神经元的连接具有高度的稳定性，这是神经元网络能够长时间保存信息的基础。
然而，由于生物神经元网络的复杂性和不确定性，研究其稳定性仍然存在困难。
本文旨在探讨神经元网络的稳定性分析。
1. 神经元网络的模型神经元网络是由神经元节点和它们之间的连接构成的。
神经元节点是生物体内信息传递的基本单元，其内部由细胞膜、胞质和核等构成。
而神经元之间的连接则是通过突触实现的。
在神经元网络中，各个节点之间的信号传递以及连接的形式均对网络的稳定性产生影响。
2. 神经元网络的稳定性分析是指在一定的输入和自身参数下，网络的响应是否会收敛到一定的状态。
通常情况下，稳定性的分析可以通过计算神经元网络的特征值或计算微分方程的解析解来实现。
此外，还可以使用神经元网络的仿真模拟来分析其稳定性。
3. 神经元网络的稳定性机制神经元网络的稳定性机制主要包括同步、决策和适应性。
同步机制是指网络中的神经元具有相似的行为，从而使得整个网络产生同步现象。
决策机制是指网络中的神经元会根据一定的规则进行判断和决策。
适应性机制是指网络中的神经元在不同的环境和刺激下会进行适应性调节。
4. 神经元网络稳定性分析的应用神经元网络稳定性分析是神经科学、计算机科学和工程学等众多领域的重要应用研究方向。
其中，神经科学领域的研究主要集中在生物神经元网络的模拟和仿真，以及神经退行性疾病的诊断和治疗等方面。
计算机科学领域的研究则主要关注基于神经元网络的智能系统和算法。
在工程学领域，神经元网络稳定性分析也被广泛应用于控制系统、电力系统、交通系统等领域。
总结：神经元网络是生物体内信息传递的基本单元，其稳定性分析是神经科学、计算机科学和工程学等众多领域的重要应用研究方向。
神经元网络的稳定性分析主要包括模型构建、参数计算、信号仿真等重要环节。
除此之外，神经元网络稳定性机制还包括同步机制、决策机制和适应性机制等方面。
PID神经网络控制系统的稳定性分析与改进
函数 , 使得被控对象的输入 v ( k) 被阈值强制限幅 在 [ - 1 , 1 ]. 若输出层的输出连续出现 x″= 1 ( 或 x″< - 1) 的情况 , 则被控对象的输入值 v ( k) =
v ( k - 1) 为 1 ( 或 - 1) , 使偏差平方均值 E 迅速增
大 , 并且因为 sgn ( v ( k) - v ( k - 1) ) = 0 , 使得反传
′ ′ u1 ( k) = net 1 ( k)
1 SPIDNN 的结构及控制系统的结构
SPIDNN 为 2 × 3× 1 结构的 3 层神经网络 ,
积分元 I 的状态转换函数为 ′ ′ ′ u2 ( k) = u2 ( k - 1) + net 2 ( k) 微分元 D 的状态转换函数为
′ ′ ′ u3 ( k) = net 3 ( k) - net 3 ( k - 1)
k
v ( k) = K P e ( k) + K I
i =0
e ( i) ∑
+
KD [ e ( k) - e ( k - 1) ] 上式与 PID 控制器的功能公式相同 , 因此利 用 PID 经验值的 SPIDNN 控制系统初始稳定 ,在 步长允许范围内不经历局部极小值点 , 直接收敛 到最小值点 ,SPIDNN 控制系统是全程稳定的 .
由于 PID 控制结构简单 ,工程上易于实现并 且控制效果较好 , 因此 , 目前运行的控制回路中 , 90 %以上使用传统的 PID 控制方式 . 但是 , 当被 控对象具有不确定性和非线性时 ,传统的 PID 控 制无法达到满意的控制效果 , 因此随着神经网络 理论的发展 ,研究两者相结合的控制方式具有较
′ 算法中 w′ j ( n) ≈ w j ( n - 1 ) , w ji ( n) ≈ w ji ( n - 1 ) ,
稳定性分析与控制器设计
稳定性分析与控制器设计一、稳定性分析稳定性是控制系统分析和设计的一个重要指标。
在控制系统中，稳定性分析主要是用来判断系统在不同参数、边界条件和干扰下的稳定性问题。
控制系统的稳定性主要包括稳定性的定义、分析方法、稳定性分析的应用。
1. 稳定性的定义在控制系统中，稳定性是指系统在输入和参数满足一定条件时，输出信号不会无限增长，而是趋于稳定的状态。
如果系统的输出信号一直增长，系统就失去了稳定性。
2. 稳定性分析方法稳定性分析在控制系统中是非常重要的，主要的分析方法有：（1）特征根法特征根法又称为极点法，是判断系统稳定性的一种方法。
通过计算系统的特征方程，可以得到系统的特征根，如果特征根都在稳定的区域内，则系统是稳定的。
（2）频域法频域法是一种通过分析系统在不同频率下的响应特性来判断稳定性的方法。
通过分析系统在不同频率下的幅频特性、相频特性和群延时，可以得出系统的稳定性特性。
（3）时域法时域法是一种通过分析系统在时间轴上的响应特性来判断稳定性的方法。
通过分析系统的阶跃响应、冲击响应等，可以判断系统的稳定性。
3. 稳定性分析的应用（1）控制系统设计在控制系统设计中，稳定性分析是非常重要的。
在设计控制系统时需要根据系统的特性，选取合适的系统结构，选择合适的控制算法，以保证系统的稳定性。
（2）控制系统维护在控制系统维护中，稳定性分析也是非常重要的。
通过对控制系统的稳定性进行分析，可以判断系统是否存在故障，以及系统的稳定性是否受到影响。
二、控制器设计控制器是控制系统中的一个重要组成部分。
控制器的设计是控制系统设计的核心之一。
控制器设计的目标是使系统具有合适的控制性能，如精度、响应速度、稳定性等。
1. PID控制器PID控制器是控制系统中常见的一种控制器。
PID控制器的主要作用是根据系统的误差信号，计算出输出信号，从而改变系统的控制量。
PID控制器的三个部分分别是比例、积分、微分控制器，输在控制量的线性组合。
2. 模糊控制器模糊控制器是一种基于模糊逻辑的控制器，可以用来处理一些非线性、模糊的控制问题。
系统稳定性判别方法
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绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一 些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们 更准确、更迅速的绘制根轨迹。
一．根轨迹的对称性
实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为 实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴。
二．根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点对应于 K1 0 时特征根在Ｓ平面上 的分布位置，而根轨迹的终点则对应于 K1 时， 特征根在Ｓ平面上的分布位置。
y cx
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件就是矩阵A所有特征值均
具有负实部，这里所说的是系统的状态稳定性，而对于输出稳定 性来说，其稳定的充要条件是其传递函数
W(s)c(sIA)1b 的极点全部位于s的左半
平面。
26
该方法能解决线性定常和非线性定常系统的稳定性分析，但不 能延伸至时变系统的分析。
决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚 这些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握 了系统的基本特性。
为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹 法，令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴 趣的参数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在 Ｓ平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。
值
6
优点：规律简单明确，使用方便 缺点：对高阶系统，计算行列式较复杂
此外，劳斯稳定性判据和赫尔维兹稳定性判据还有一个共同的 缺点就是：无法解决带延迟环节的系统稳定性判定。
7
乃奎斯特稳定性判据 乃奎斯特稳定性判据是根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭
环系统稳定性，本质上是一种图解分析方法。
闭环传递函数： GBs1GGssH s
于无穷远处。
举例如题，G(S)
控制系统稳定性判据
控制系统稳定性判据控制系统稳定性是控制工程中一个重要而关键的问题。
对于一个控制系统来说，稳定性是指当系统受到扰动时，系统输出能够以有限的幅度、有限的时间内收敛到期望的状态。
因此，对于控制系统的稳定性进行判断和分析是非常必要的。
在控制系统的稳定性判据中，有几个重要的指标被广泛应用。
这些判据不仅可以用于传统的模拟控制系统，也可以用于现代的数字控制系统。
第一个判据是零极点位置判据。
零极点分布是控制系统的重要性质之一，它直接关系到系统的稳定性。
当系统的极点全部位于左半平面时，即全部具有负的实部，系统就是稳定的。
如果出现了至少一个极点位于右半平面，那么系统就是不稳定的。
通过计算系统的传递函数，可以获得系统的零极点信息，从而进行稳定性判断。
第二个判据是根轨迹判据。
根轨迹是由系统的传递函数所决定的一条曲线。
当系统的开环传递函数的参数发生变化时，根轨迹会随之变化。
根据根轨迹的形状和位置，可以判断系统的稳定性。
如果根轨迹全部位于左半平面，系统就是稳定的。
如果根轨迹有点位于右半平面，那么系统就是不稳定的。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性。
第三个判据是频率响应判据。
频率响应是指系统输出对输入信号频率变化的响应情况。
通常采用频率响应曲线来表示系统的特性。
对于稳定系统来说，频率响应曲线应该是有界的，即曲线不会出现无限增长或无限衰减的情况。
当频率响应曲线无界时，系统就是不稳定的。
通过分析频率响应曲线，可以评估系统的稳定性。
另外一个重要的判据是李雅普诺夫稳定性判据。
李雅普诺夫稳定性判据是基于系统的能量函数进行判断的。
如果系统的能量函数对时间的导数为负，则系统是稳定的。
通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以进行稳定性判断。
综上所述，控制系统稳定性判据涵盖了零极点位置判据、根轨迹判据、频率响应判据和李雅普诺夫稳定性判据。
这些方法可以有效地进行控制系统的稳定性分析和判断。
在实际工程中，一般会综合运用这些判据来确保控制系统的稳定性，从而保证系统的正常运行。
神经元网络模型及其稳定性分析
神经元网络模型及其稳定性分析神经元网络模型是神经科学领域中的一个重要研究方向。
该模型通过对神经元及其之间的相互作用关系进行建模，可以更加深入地了解神经系统的运作机理，并对神经系统的许多重要现象进行解释和预测。
本文将从神经元网络模型的基础入手，介绍神经元的动力学行为和网络拓扑结构；然后从稳定性分析的角度探讨神经元网络的同步和异步行为，讨论网络的稳定性以及如何设计控制策略来维持稳定性。
一、神经元的动力学行为神经元是神经系统的基本单位，其通过神经突触与其他神经元之间相互作用。
神经元的动力学行为可以被模拟成一些基本的数学方程，最常用的是Hodgkin-Huxley模型。
该模型描述了神经元膜电势的变化及其影响因素，包括细胞膜的电容、离子通道的电导和电流等。
在Hodgkin-Huxley模型中，神经元的膜电势随着时间的推移而发生变化。
初试时，神经元的膜电势为静息电位，当该神经元受到外部刺激时，膜电势将会随之变化。
变化的大小和方向取决于外部刺激的强度和类型，以及神经元本身的特征参数。
在经历一个周期之后，神经元的膜电势会重新返回静息电位。
神经元的动力学行为还有其他的模型，包括FitzHugh-Nagumo 模型和Izhikevich模型等。
这些模型可以用来描述神经元的不同类型及其行为，如兴奋型和抑制型神经元，周期性放电和临界放电等。
二、神经元网络的拓扑结构神经元网络的拓扑结构是指神经元之间的连接方式和关系。
不同的拓扑结构对神经网络的动态行为产生了不同的影响。
最简单的神经元网络拓扑结构是全连接结构，即所有神经元之间都有相互作用。
这种拓扑结构可以有效地传递信息，但同时也容易产生不稳定的行为，如神经网络的自发震荡。
另一种常见的拓扑结构是层次结构，即神经元按照层次分组。
类似于神经系统的分层结构，这种网络拓扑结构的优点是具有层次性和稳定性，但也存在信号传输效率低和信息处理能力不足等问题。
还有一些其他的神经元网络拓扑结构，如小世界网络、无标度网络等。
一类神经网络的指数稳定性分析
ａＦ） （ ＝
，
南 ｝ ＋Ｅ 一 ＋Ｅ — 川 （ ｒ （ ｒＹ Ｆ ） Ｆ ）
称为算子 Ｆ在 上的广义 Ｄ ｈ ｕ ｔ 。 ａｌ ｉ 数 ｑｓ 定义 ３ 设 力是 Ｂｎｃ ａａｈ空间 的一个开子集 ， Ｆ是一个从 到 Ｘ的非线性算子 ， 是 中任意 固定 。
表 示网络 中神经元的个数 ； ｎ表示放大 函数 ， （ Ｃ＝（ 表示连接权 矩阵 ，ｆ Ｂ＝ ６）… ｃ） ｇ 表示激 活 函数 ； 表
示外部常数输入。模型（ ） １包含了许多著名的神经网络模型如：ｏｆｌ模型， Ｈｐｅ ｉｄ 细胞神经网络模型。 本文仅假设 （ ） 日 每个激活函数 （・ ， ）毋（・ 满足 Ｌｐｃｉ 条件 ， ） ｉ ｈｚ ｓ ｔ 即存在常数 ＞ ， ＞ ， ｆ ０ ０ 使得 Ｉ （ ） （ ）Ｉ Ｙ — ， ｇ（ 一 ｆ ）Ｉ ＹＩ ｌ ｆ ） ｇ（ Ｙ ｌ — 对 Ｖ ｙＲ都成立。在对激活 函数 （・ ，ｆ ） ＹＩ ，ｅ ） ｇ（・ 不 作有界性 、 单调性及可微性假设条件下 ， 利用非线性系统的广义 Ｄ ｈ ｕｓ数分析法 ， ａｌ ｉ ｑ ｔ 研究神经网络模型（ ） １ 平 衡 点 的存在 性 、 唯一 性 和稳定 性 ， 出其全 局指 数稳 定性 的判 断条件 。 给
一
１ 推 论 过 程
设 Ｒ 表示 维实向量 空间 ， 中向量范数为 ｌ 范数 Ｉ Ｉ ， 其 一 ｌ ｌ 即对 任意 的 ＝（ ，： … ， ） ・ 】 ， ，
ｌ＝∑ ｌ 。
的系统
１ 表示 矩阵。 ， ．） 个Ｂｎ ｈ ． Ｅ 单位 设（ ｌ １是一 ａ ｃ空间， １Ｉ ａ 是Ｘ的 一个开子 集。 下面 考虑
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摘要：本文讨论了基于李雅普诺夫方法分析神经网络控制系统的稳定性。
首先，文章指出神经网络系统的动态可以由视为线性微分包含（LDI）的一类非线性系统表示。
其次，对于这类非线性系统的稳定条件是推导并利用单神经系统和反馈神经网络控制系统的稳定性分析。
此外，用图形方式显示非线性系统参数位置的这种参数区域表示方法（PR）提出了通过引入新的顶点和最小值的概念。
从这些概念上可以推导出一个能有效地找到李雅普诺夫函数的重要理论。
单个神经的神经系统的稳定性标准时由参数区域来决定的。
最后，分析了包括神经网络设备和神经网络控制器为代表的神经网络控制系统的稳定性。
1.介绍最近，已经有很多关于神经网络的自适应控制的研究，例如:在机器人领域，川户提出了一种使用的学习控制系统，控制系统的一项关键指标就是他的稳定性，然而分析像基于神经网络的控制系统这样的非线性系统的稳定性是非常难的。
Nguyen和Widrow 设计了一种在电脑上模拟卡车拖车的神经网络控制器。
这个设计主要分为两大部分。
第一部分是通过神经网络来学习设备的动态，这一部分被称为“仿真器”。
第二部分是通过最小化的性能函数来计算出神经网络网络控制器的参数（权值）。
但是，他们没有分析神经网络控制系统的稳定性。
一项稳定性分析标准工具讲有利于神经网络控制应用到许多实际问题中。
最近，这类可被视为线性微分包含（LDI）的非线性系统的稳定条件已经被作者推导出来，再引用的[7][8]中讨论了。
其中一项保证LDI稳定的充分条件与李雅普诺夫稳定性定理是相一致的。
本文应用LDI的稳定条件和Nguyen与Widrow的方法来分析神经网络系统的稳定性。
文中选取了一种代表神经网络状态的方法。
此外，我们表明包含由近似于神经网络设备和神经网络控制器组成的神经网络反馈控制系统也可以分析神经网络是否能稳定。
这意味着，本文提出的稳定条件可以分析神经网络反馈控制系统。
本文的构成如下：第二节展示了一种文中的神经网络系统。
第三节给出了LDI的稳定条件。
第四节提出了一个以图形方式显示LDI参数的参数区域表示方法（PR）并推导出一个有效导出李雅普诺夫函数的重要定理。
第五节阐述了神经网络系统的LDI表示方法。
第六节介绍了用PR方法表示单神经系统和神经网络反馈系统的稳定标准。
2.神经控制系统假设一个神经网络函数是x(k + I) =P( x ( k )u, (k))，他的神经网络反馈控制系统的函数是：x(k + 1) = P(x(k),u(k)) 和u(k) = C(x(k))，其中x(k)是实属范围内的状态向量，u(k)是实属范围内的输入向量。
P和C分别表示神经网络设备和神经网络控制器的非线性传递函数。
如图1，显示了一个单一的神经网络系统和神经网络反馈控制系统。
假设每个神经元的输出函数f ( u )都是可微分的，在k > 0的情况下，我们可以得到：f ( 0 ) = 0,f(v)∈[-k,k]，对于所有的v都成立此外，假设所有的传递权重都已经被学习方法所确定了，例如反向传播神经网络在神经网络控制稳定性分析之前。
在一个单一的神经网络系统中，因为我们分析神经网络系统的动态平衡稳定性，所以设定. u(k) = 0。
图1.神经网络：（a ）单一神经网络，（b ）反馈神经网络3.一类非线性系统的稳定条件让我们分析以下这类非线性系统1x(k + 1) = ((k))x(k),((k))=(())ri i i h k =∑A z A z z A （１）其中r 是一个正实数，在z （k ）是一个向量，同时：T12()[n x k x k x k x k =（），（），…，（）]，1()~()n x k x k 是状态变量。
1(())((k))=1.ri i i h z k h z =≥0, ∑注3.1：像公式（1）代表的这类非线性系统我们可以把它看做LDI 。
大多数情况，对于LDI 的特性，我们可以用代替(())i h z k ，因此我们后面用()i h k ()i h k 来表示。
这类系统还包含了在模糊控制领域中流行的Takagi 和Sugeno 的模型，所以下面的稳定性条件 讨论也适用于模糊控制。
下面给出了一个满足公示（1）的稳定条件。
定理3.1：公式（1）描述的LDI 的稳定平衡在大范围内渐进稳定的条件是存在一个通用正定矩阵满足：A P T i i -<A P 0 （２）对于i=1,2，···，r 成立。
这个定理简化了李雅普诺夫稳定性定理对于r=1是的线性离散系统的情况。
当然，定理3.1给出了一个是公式（1）的系统稳定的充分条件。
我们可以直观的认为当所有的i A 都是稳定矩阵，公式（1）的系统是全局稳定的。
但是，一般情况下这是不正确的，因为公式（1）的系统不总是大范围渐进稳定的，即使所有的i A 都是稳定矩阵。
为了使公式（1）代表的系统稳定，我们必须找到一个通用矩阵P 满足A P Tii -<A P 0，对于所有的 i 都成立。
通过研究我们已经可以找到这样的通用正定矩阵P 。
接下来，我们就要给出这个满足公式（2）的正定矩阵P 存在的必要条件。
定理3.2；假设存在一个稳定矩阵矩阵i A ，其中i=1,2，···，r 。
存在一个正定矩阵P 使得A P T i i -<A P 0，对于所有 i 都成立，则i A A ｊ为稳定矩阵，其中i ，j=1,2，···，r ，。
反过来，这个定理说明：只要i A A ｊ中存一个不是稳定矩阵，就不存在满足公示（2）的矩阵P 。
4. 参数区域表示方法（PR ）我们提出对于公示（1）系统的PR 的概念。
PR 可以通过图表显示出LDI 的参数。
下面是两个例子。
例4.1： 让我们分析下面的LDI （LDI-1）31(1)()()i i i k h k x k =+=∑x A其中：31T 123()1,0.10.10.30.10.10.3101010()()[()(1)],,,i i i h h k k k x k x k ==≥0,=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑x A A A .这个LDI 系统也可以表示为：∑=-+=+31)}1()(){()1(i i i i k x b k x a k h k x其中：a1 = 0.1，bl = 0.1, a2 = 0.3,b2 = 0.1, a3 = 0.1,b3 = 0.3.图2显示了LDI 的参数区域数值，其中其中点1，2，3分别代表了321A A A ，， 例4.2：让我们假设另一个LDI 系统LDI-2，∑==+51)()()1(x i i k k h k x A i ,其中：,0115.015.0,012.02.0,013.01.0,011.03.0,011.01.0)],1()([)(,1)(,0)(543251⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-==≥∑=A A A A A x 1T k x k x k k h k h i i i 相似的,LSI 可以等效为：∑=-+=+51)}1()(){()1(i i i i k x b k x a k h k x ,此时：a1= 0.1, bl = 0.1, a2 = 0.3, b2 = 0.1, a3 = 0.1, b3 = 0.3, a4 = 0.2, b4 = 0.2, a5 = 0.15, b5 = 0.15.这个LDI 系统的区域参数表示如图3所示。
我们发现，尽管图2和图3中区域参数的区域是相同的的，但是LDI-1和LDI-2区域参数是不同的。
在图2中，每个点正好对应一个顶点。
但是在图3中，点1，2，3构成了参数区域，而点4，5包含在区域内。
注解4.1： 在2*2的矩阵A 中，PR 一般是四维的，因为在每个这样的矩阵中都有四个要素，例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i id c b a i APR 的例4.1和4.2是二维的，因为0d 1c i i ==，，对于所有的i 都成立。
下面定义顶点和最小单位。
定义4.1（顶点）： 图2中PR 的顶点1，2，3就是被定义为顶点的321A A A ，，。
定义4.2（最小单位）：一个有且只有顶点的非线性系统被称为最小单位。
明显的，前面的LDI-1是最小单位，LDI-2不是最小单位。
下面，给出一个检查是否为最小单位系统的稳定性的重要定理。
定理4.1：假设存在一个正定矩阵。
如果A P T i i -<A P 0，其中i=1，2，…，r ，那么 **A P T -<A P 0，其中＝１．０，，∑∑==≥=ri i i ri i s s 11i *s A A证明过程已经在附录中给出。
可以注意到*A 并不是一个顶点矩阵。
定理4.1指出LDI系统的稳定性可以通过对一个最小单位应用定理3.1而检验得出。
3240.5A A 5.0A +=32150.25A 0.25A 0.5A A ++=因此，LDI-2的最小单位与LDI-1的相同。
从定理4.1可以得出如果LDI-1稳定则LDI-2也稳定。
后面将定理4.1应用到例子6.4和6.6中。
5.神经网络的LDI 表示方法A.简单的神经网络用LDI 来表示神经网络系统的动力并应用定理3.1来分析神经网络的稳定性是非常重要的。
在这一章节中，提出了用LDI 表示神经网络动力系统的过程。
接下里以图4中的简单神经网络为例。
这个神经网络是由一个单一的层组成，函数是： （５） （４）)()1(),1()(21v f k x k w k x w v =+-+=其中21w w 和是权值。
假定输出函数f （v ）是一个Sigmoid 函数。
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=1)ex p(12)(q v v f λ其中q 和x 是函数的参数并且 q 和v>0.图5表示的是sigmoid 函数。
在本文中，稳定性准则适用于一切x>0的情况，于是假设x=1。
如图5，输出函数满足：)(0)(1221≤≤≤≥≤≤v v g v f v g v v g v f v g 图2.LDI-1的参数区域其中21g g 和分别是）（v f '的最小值和最大值，所以：qv f g v f g vv/5.0)(max ,0)(min 21='=='=当.)()(dvv df v f ≡'的时候。
所以神经网络的输入输出关系可以被表示为如下的LDI ：∑=-+=+==+21212211))1()(()())()(()()1(i i i k x w k x w g k h v g k h g k h v f k x 其中满足0)(),(21≥k h k h 和1)()(21=+k h k h 。