2013年高考真题——理科数学(安徽卷)解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：

如果事件A 与B 互斥，那么

()()()P A B P A P B +=+

如果事件A 与B 相互独立，那么

()()()P AB P A P B =

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 （1） 设i 是虚数单位，_

z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi g ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -

【答案】A 【解析】设

2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则

i z b a a +=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩

⎨⎧==+⇒111222b b a 22

所以选A

（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

（A ）

16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112

【答案】D 【解析】.12

11

,1211122366141210=∴=++=+++

=s s Θ,所以选D

（3）在下列命题中，不是公理．．

的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行

（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】A

【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。 所以选A

（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】 当a=0 时，

，

时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= .

)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,

.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y

故前者是后者的充分必要条件。所以选C

（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是

（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样

（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C

【解析】 对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错。 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错。 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30。所以C 选项正确。

对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。所以D 选项错。 所以选C

（6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2

x x x 或，则(10)>0x f 的解集为

（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<

（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x

【答案】D

【解析】 由题知，一元二次不等式2ln 2

1

1-),2

1(-1,的解集为0)(-<⇒<<>x e x x 即 所以选D 。

（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为

（A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22

R π

θρρ∈和

（C ） =

()cos=12

R π

θρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和

【答案】B

【解析】在极坐标系中，圆心坐标2

32

.101ππ

θθρ或

故左切线为，半径，=

===r .2cos 2

:.2cos 2

cos ==

=⇒=

θρπθθρρ

θ和即切线方程为右切线满足

所以选B

（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得

1212()

()()==,n n

f x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B

【解析】由题知，过原点的直线y = x 与曲线=()y f x 相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4.

所以选B

（9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r

g 则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈u u u r u u u r u u u r

所表示的区域的面积是

（A

） （B

）（C ）

（D

）【答案】D

【解析】考察三点共线向量知识:

1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若PC PB PA P C B A .

在本题中，3

2cos 4cos ||||π

θθθ=⇒==⋅⋅=⋅OB OA OB OA .

建立直角坐标系，设

A(2,0),).

(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S