复合材料与结构热传导问题的多尺度模型与算法研究
复合材料的多尺度模拟与分析
复合材料的多尺度模拟与分析在当今科技飞速发展的时代，复合材料因其卓越的性能在众多领域得到了广泛应用，从航空航天到汽车制造，从生物医学到电子设备，无处不在。
为了更深入地理解和优化复合材料的性能，多尺度模拟与分析技术应运而生，成为了材料科学研究中的重要手段。
复合材料通常由两种或两种以上具有不同物理和化学性质的材料组成，这些不同的组分在微观尺度上相互作用，共同决定了复合材料的宏观性能。
然而，要准确预测和理解复合材料的性能，仅仅依靠实验研究是远远不够的。
实验研究往往受到时间、成本和技术限制，而且无法直接观察到材料内部在不同尺度下的微观结构和物理过程。
这就需要借助多尺度模拟与分析技术，从原子、分子水平到微观结构，再到宏观尺度，全面深入地研究复合材料的性能。
在原子和分子尺度上，量子力学模拟方法如密度泛函理论（DFT）等被用于研究复合材料中原子之间的化学键合、电子结构和相互作用。
通过这些模拟，可以了解材料的基本物理性质，如电学、光学和磁学性能等，为设计具有特定功能的复合材料提供理论基础。
当研究范围扩大到纳米和微米尺度时，分子动力学（MD）模拟和蒙特卡罗（MC）方法就发挥了重要作用。
分子动力学模拟可以追踪原子和分子在一定时间内的运动轨迹，从而研究材料的热性能、力学性能和扩散过程等。
蒙特卡罗方法则适用于研究材料中的随机过程，如晶体生长、相变等。
在微观尺度上，有限元分析（FEA）和有限差分法（FDM）是常用的模拟方法。
这些方法可以建立复合材料的微观结构模型，如纤维增强复合材料中的纤维分布、基体与纤维的界面结合等，并计算其力学性能，如强度、刚度和韧性等。
通过微观尺度的模拟，可以优化复合材料的微观结构，提高其性能。
而在宏观尺度上，基于连续介质力学的理论和方法，如均匀化理论和等效介质理论等，可以将微观结构的性能等效地转化为宏观材料参数，从而预测复合材料在宏观尺度上的行为。
例如，在结构设计中，可以通过宏观尺度的模拟预测复合材料结构在受力情况下的变形、应力分布和失效模式等。
复合材料的多尺度分析
复合材料的多尺度分析引言复合材料是由两种或更多种材料组合而成的材料，具备良好的机械性能、化学稳定性和热稳定性等特性。
然而，复合材料的复杂结构和多尺度特性使得其性能预测和优化变得非常困难。
针对这一问题，多尺度分析成为了复合材料领域的重要研究方向。
多尺度分析可以将复合材料的结构和性能在不同尺度上进行建模和研究，从而提高对其性能的理解和控制能力。
多尺度分析的基本原理多尺度分析是一种将宏观结构性质与微观结构特征相耦合的方法。
它通过将复合材料划分为宏观尺度、中观尺度和微观尺度，并在不同尺度上进行逐层分析和建模，以实现多尺度特性的全面分析。
宏观尺度分析宏观尺度分析关注复合材料整体的宏观性能，例如强度、刚度和热膨胀系数等。
在宏观尺度上，可以通过有限元分析等数值方法建立复合材料的宏观模型，从而预测其整体性能。
中观尺度分析中观尺度分析考虑复合材料中的细观结构特征，例如纤维与基体之间的界面、纤维的方向和分布等。
在中观尺度上，可以使用计算力学或统计学方法对复合材料的细观结构进行建模和分析，以揭示细观结构对复合材料性能的影响。
微观尺度分析微观尺度分析关注复合材料中的单个纤维和基体的性质，例如纤维的力学性能和基体的化学性质。
在微观尺度上，可以使用分子动力学模拟和量子力学计算等方法对复合材料的微观结构和力学性能进行研究。
多尺度分析的应用多尺度分析在复合材料领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：复合材料强度预测通过多尺度分析，可以揭示复合材料中宏观结构、中观结构和微观结构之间的相互作用，从而预测其强度。
例如，通过建立宏观模型和微观模型，可以计算复合材料的应力分布和损伤演化，从而预测其在不同加载条件下的破坏强度。
复合材料优化设计多尺度分析可以帮助优化复合材料的设计。
通过在不同尺度上进行分析和模拟，可以评估不同结构和成分对复合材料性能的影响，并寻找最佳的设计方案。
例如，在微观尺度上优化纤维的取向和分布，可以提高复合材料的强度和韧性。
复合材料耦合热弹性问题的多尺度方法
ｒｒ ｓ ｉ ｎｗ ｔ ｏｄ ｒ ） ｗ ｅｅ８ｉ ｔｅｓ ｅｏ ｌ ｐｒ ｄ ｏ ｖ ｉ ｒｅ ｉｇ ｅ ｈ ０（ ， ｈｒ ｉ ｆ ｍａ ｅ ｏ ． ｓ ｈ ｚ ｓ ｌ ｉ
［ ｙｗｏｄ ］ ｍ ｌ—ｃｌ ａａ ｓ ｔｏ ； ｄｎｍｉ ｃｕｌ ｈｒ ｏｌｓｃｙｐｏｌ ｃｍｐｓｅ Ｋｅ ｒｓ ｕｔｓａｅ ｎｌ ｉｍｅ ｄ ｉ ｙｓ ｈ ｙａ ｃ ｏｐｅ ｔｅｍ ｅ ｔｉ ｒｂｅ ｄ ａ ｉｔ ｍ； ｏ ｏｉ ｔ
复 合 材 料 耦 合 热 弹 性 问题 的 多 尺 度 方 法
万建 军 肖留超 刘鸣放 ， ，
（ ．郑州大学 数学系 ， １ 河南 郑州 ４０ ０ ； ．河南 工业大学 理学 院，河南 郑 州 ４０ ０ ； ５０１ ２ ５ ０ １
３ 河南大学 数学与信息科学学 院， ． 河南 开封 ４５０ ） ７００
荡 的 函数 ， 则温 度场 和 位移 场 及 其 导数 也 具有 局 部 振荡 的特 性．相 对单 场 问题 ， 场 耦 合 问题 需 考 虑 多 多 场之 间的耦合 效 果 ， 在数 学 处 理上 将 带来 复 杂 这 性 ．此 外 ， 要 发 展 出能够 有 效 捕 捉 温 度场 和位 也需
［ 摘 要］ 考虑周期复合材料耦合热弹性问题 ， 问题含有瞬态位移场的动态热弹性方程和瞬态温度场 的动态热 此
传导 方程 ， 在求解时需考虑 动态耦合 的温度场和位移场．用 构造性的多尺度 分析方法定义 了周期 复合材料瞬态耦 合热 弹性 问题 的一 阶多尺度渐近解 ， 并证 明了此多尺度渐近解 的逼近阶为 ０（ ） ｓ．
［ ｂｔａｔ Ｔ ｅｕｌ ｄｎｍｃｃｕｌｄｔｅｍ ｅ ｓｅｙｐｏｌｍｆｒ ｅｉ ｉ ｃｍ ｏｉ ｓｓｔｄｅ．Ｔ ｅ Ａ ｓ ｃ］ ｈ ｌ ｙａ ｉ ｏｐｅ ｒｏｌ ｔｉ ｒｂｅ ｒ ｄｃ ｏ ｐｓｅ ｕ ｉ ｒ ｆ ｙ ｈ ａ ｉｔ ｏｐ ｏ ｔ ｉｓｓ ａｅ ａ ｙ ｔ ｔ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｓｄ ｒ ｅ ｙ ｃ ｎ ｔ ｃｉｅ ｗａ ． Ｉ ｄ ｉ ｏ ｈ ｅ ｎ — ｒ ｅ ｌ —ｃ ｌ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｓ ｌ ｔ ｆｔ ｒ ｂ ｅ ｉ ｅ ｖ ｄ ｂ ｏ ｓ ｕ ｔ ｙ ｎ ａ ｄ ｔ ｎ，ｔ ｉ ｃ ｏ ｈ ｉ ｒ ｖ ｉ
平面复合材料热传导问题的一个新的多尺度渐近展开式
平面复合材料热传导问题的一个新的多尺度渐近展开式王自强;尹文双;张恩宾【摘要】利用渐近展开和均匀化思想讨论了小周期型复合材料的瞬时热传导问题,得到了高阶震荡系数的半线性抛物型方程的一个新的渐近展开式.区别与传统展开式,把周期边界条件改为齐次边界条件,使得易于求解.充分利用新的渐近展开式的特点,结合传统展开式的结论,得到了与传统的一样的收敛阶的误差估计.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(026)004【总页数】4页(P391-394)【关键词】均匀化;双尺度有限元;抛物型方程;复合材料【作者】王自强;尹文双;张恩宾【作者单位】贵州民族学院数学与计算机科学学院,贵州贵阳550025;湖北民族学院理学院,湖北恩施445000;河南财政税务高等专科学校信息工程系,河南郑州450002【正文语种】中文【中图分类】O242.2自从20世纪70年代起,随着计算机软硬件的发展,出现了许多涉及具体物理问题的算法与理论.但对于小周期型复合材料的计算,若ε≪1非常小时,变化非常频繁,差分或有限元等数值求解时,网格剖分要求非常细,这样最终求解线性方程组的计算量非常大.针对类似这样的问题,渐渐发展起来了均匀化和多尺度渐近展开方法,在宏观尺度上求解均匀化解,在微观尺度上增加调整项,均匀化解和调整项构成原始解的渐近展开形式,从而降低了计算量.文献[1]讨论二阶椭圆问题的均匀化和渐近展开,对抛物型方程仅给出了均匀化结果.在文献[2]和[3]之中也从不同方面对[1]中的结果进行了很大的改进,但也只对椭圆型方程进行了讨论.对抛物型方程多尺度渐近展开的讨论是结合文献[4]和[5]的思想首次在文献[6]讨论了线性抛物型方程的渐近展开.将在文献[7]的基础上再给出一个新的渐近展开式及最优阶误差估计.1 数学模型和已知结果平面复合材料热传导问题可以描述为:(1)其中uε′表示表示温度分布,f是热源,u0(x)为初始温度,为热传导系数,是以2ε为周期的周期函数.∀2ε×2ε的单胞为参考单胞.为K中心,考虑到不同材料间的粘结比较紧密,可以认为在数学上理解为函数的光滑化.另外,假设aij(ξ))2×2∈M(α,β),即存在常数0<α<β,使得:∀(ηi,ηj)≠(0,0).(2)文中采用Einstein求和记号,即带相同下标量的乘积表示从1到2求和.为了以后使用方便,记为C∞(RN)的子空间,其中的函数是以Q为周期,即每个分量是以2ε为周期的,为在空间H1(Q)中的完备化.文中不同地方出现的常数C大小可能不相等,但都是与ε无关,假定f∈L2(0,T;H-1(Ω))和u0(x)∈L2(Ω).问题(1)的弱形式为:(3)2 传统的渐近展开式和已知结果在文献[7]中构造了传统的渐近展开式,其结果如下:(1)求使得:(4)(2)均匀化系数:(5)(3)求解均匀化问题:(6)(4)求使得:(7)(5)构造下面的渐近展开式:(8)定理1 设Ω是R2中的光滑凸区域,且aε(x)∈M(α,β),渐近展开式如式(8)所示,如果u∈C1(0,T;H4(Ω)),Nk,Nkl∈W1,∞(Q)(k,l=1,2)则有下面的估计:(9)这里C与ε无关.3 新的渐近展开式和收敛性分析设Ω是R2中的光滑凸区域,记其中是所有位于Ω中的完整单胞构成的闭区域,是Ω所有靠近∂Ω的碎片构成的集合.为了方便起见,所有完整单胞构成的集合记作Λ1,碎片构成的集合记作Λ2.仿照传统的均匀化和渐近展开,构造新的渐近展开如下:(1)求使得:(10)该弱解是存在唯一的.与传统的区别在于:求解空间在∂Q为0替换了传统方法的周期边界条件.(2)均匀化系数:(11)(3)求解均匀化问题:(12)(4)求使得:(13)(5)构造下面的渐近展开式:(14)该形式简单,不需要求解边界层问题.由于u**(x,t)在Ω上连续,在每个单元K上属于H1(K),即可得满足初始问题(1)的边界条件,克服了传统的渐近展开式不满足边界条件的缺陷.下面证明这种渐近展开具有较好的收敛阶.定理1 设Ω∈R2的光滑凸区域,f∈C1(0,T;H2(Ω)),aij(ξ)关于Q中心轴对称且关于i,j(i≠j)反对称.渐近展开式如式(14),如果则有下面估计式:证明先在上证明：≤+≤Cε1/2+ε+ε2.对于,做以下分析,记N(ε)为两两不相交而由Q所平移决定的Yk(k=1,2,…,N(ε))的个数且在文献[1]中已经证明以下结论:其中C是与ε无关的常数.同理:≤C,所以:≤Cε1/2.在上证明:=≤+≤其中利用了Nk,Nkl的正则性和碎片为ε-1阶.参考文献:[1] Ciorandescu D,Donoato P.An Introduction toHomogenization[M].NewYork：Oxford University Press,1999.[2] Cao L Q,Cui J Z. Asymptotic Expasions and Nurmereical Algorithms of Eigenvalues and Eigenfunctions of the Dirichlet Problem for Second Order Elliptic Equation in Perforated[J].Numer Math,2004,96：525-581.[3] Chen J R,Cui J Z.Two-scale FEM for Elliptic Mixed Boundary Value Problemes with Small Periodic Coefficiences[J]. J CompMath,2001,19(5):549-560.[4] Lions J L,Magens E.Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications (1\&2)[M].New York and Berlin:Springer-Verlag,1972.[5] 宋士仓,崔俊芝.小周期型复合材料稳态热传导问题的一种双尺度渐近展开收敛性分析[J].数学物理学报,2007,27A(4):682-687.[6] 王自强,宋士仓,曹俊英.小周期复合材料热传导问题的双尺度渐近展开及收敛性分析[J].高校应用数学学报,2008,23(2):145-152.[7] 王自强,曹俊英,宋士仓.具有高阶震荡系数半线性抛物型方程的渐近展开式[J].贵州大学学报,2008,25(2):1-3.[8] Adams R A.Sobolev Spaces[M].New York:Academic Press,1975.。
复合材料稳态热传导问题多尺度计算的一个数学模型
∑∫ = 5K
δk ij
5K
(ξ)
5
(θε(
x)
5
xj
θ0
(
x)
)
ni
ds
5
∑∫ - ε
δk ij (ξ)
5K 5K
∑∫ Nα(ξ)
5θ0 5 xα
5xj
ni ds - ε2
K
5 δk ij (ξ)
5K
Nα1α2
(ξ)
52θ0 5 xα1 5 xα2
5xj
ni ds
∫ ∑∫ =
δk
+ε2 Nα1α2
(ξ)
52θ0 ( 5 xα1 5
x) xα2
.
(2. 10)
需要注意的是 :若 Nα1α2 采用 H1 周期边界条件 ,θ3 在 Ω上跨越单胞边界的光滑度比采用
齐次边界时会好些. 不过现在的θ3 在每个单胞上属于 H1 ( K) , 在 Ω上又是连续的 ,因此仍有
基本的光滑度θ3 ∈ H1 (Ω) .
1. 引言 自七十年代以来 ,随着计算机软硬件的发展 ,出现了许多涉及具体物理问题的算法与理 论[5 ,7] ,特别是与有限元混合元方法结合的算法[6] ,文献[ 3 ]中给出了小周期二阶椭圆问题的混 合元算法. 针对着解关于单胞 Hp1er ( Q) 周期边值问题不容易处理 ,文献 [ 2 ]给出了在材料具有 某种对称性的特定条件下 ,可将解 Hp1er ( Q) 周期边值问题转化为解齐次边值问题. 转化为齐次 边值问题的优点不仅在于齐次边值问题容易用有限元协调元求解 ,更重要的是这种方案可向 一般小周期同分布随机复合材料的均匀化方法推广[8] ,尽管这方面的理论还不成熟 ,但给出了 一种从小周期型复合材料的均匀化到小周期同分布随机复合材料推广的一种途径 ,还有许多 工作要做. 本文要给出的是二维小周期复合材料的一种渐近化方法 ,一阶项系数仍用周期边界 获得 ,而二阶项系数通过解齐次边值问题得到 ,这种方法很容易推广到三维情况. 2. 数学模型与算法描述 平面复合材料稳态热传导问题可描述为
碳纳米管纤维增强复材有效热传导系数的多尺度计算方法[发明专利]
![碳纳米管纤维增强复材有效热传导系数的多尺度计算方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/a1ddd669ce84b9d528ea81c758f5f61fb73628b6.png)
专利名称：碳纳米管纤维增强复材有效热传导系数的多尺度计算方法
专利类型：发明专利
发明人：王冠楠,田莉,彭雅慧,潘剑超,赵海涛,徐荣桥,陈吉安
申请号：CN202011392804.2
申请日：20201202
公开号：CN112613162B
公开日：
20220621
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明提出了碳纳米管纤维增强复合材料有效热传导系数的多尺度模型计算方法，属于导热材料技术领域。
碳纤维增强复合材料在纤维方向上的热传导性能优异，但在横向上的热传导性能较差，通过添加碳纳米管可以显著提高横向热传导性能，对于如何获得添加碳纳米管后复合材料的热传导系数目前还是空白。
本发明建立了碳纳米管纤维增强复合材料的热传导等效模型，及该模型的六边形等效单胞及解析表达式，能够快速计算出三相(碳纳米管、碳纤维、树脂基体)复合材料的轴向和横向热传导系数，且该方法的计算程序可封装为一个黑匣子，实现快速的输入输出计算，弥补这种材料热传导计算的空白，具有建模高效、适用范围广、等效精度高、程序实现简单的优点。
申请人：浙江大学,上海交通大学
地址：310058 浙江省杭州市西湖区余杭塘路866号
国籍：CN
代理机构：杭州求是专利事务所有限公司
代理人：郑海峰
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平面复合材料热传导问题的一个新的多尺度渐近展开式
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平面复合材料热传 导 问题 的一个新 的 多尺度渐近展开式
王 自强 尹文双 张恩宾。 ， ，
（。 Ｉ贵州民族学院 数学与计算机科学学院， 贵州 贵阳 ５０２ ； ５０５
复合材料的热传导特性与性能研究
复合材料的热传导特性与性能研究在现代科技的快速发展中，复合材料因其独特的性能和广泛的应用而备受关注。
其中，复合材料的热传导特性是一个至关重要的研究领域，它对于材料在热管理、电子设备散热、航空航天等众多领域的应用具有决定性的影响。
复合材料通常由两种或两种以上具有不同物理和化学性质的材料组合而成。
这些不同的组分在热传导性能上往往存在差异，这就使得复合材料的热传导行为变得复杂而多样。
例如，常见的纤维增强复合材料中，纤维和基体的热导率可能相差很大。
一般来说，金属纤维如铜、铝等具有较高的热导率，而聚合物基体如环氧树脂等的热导率则相对较低。
热传导的基本原理是基于热能从高温区域向低温区域的传递。
在复合材料中，热传递的方式主要包括通过基体的传导、纤维的传导以及纤维与基体界面处的热传递。
然而，由于复合材料的微观结构不均匀性，热流在传递过程中会遇到各种障碍和阻力，从而影响整体的热传导性能。
影响复合材料热传导性能的因素众多。
首先是材料的组分及其比例。
不同材料的热导率不同，其在复合材料中的含量也会直接影响整体的热导率。
以碳纤维增强环氧树脂复合材料为例，随着碳纤维含量的增加，复合材料的热导率通常会逐渐提高。
其次是纤维的取向和分布。
当纤维沿着热流方向排列时，热传导性能会得到显著增强；反之，如果纤维分布杂乱无章，热流的传递路径就会变得曲折，热导率也会相应降低。
此外，纤维与基体之间的界面结合强度也对热传导性能有着重要影响。
良好的界面结合能够减少热阻，提高热传递效率；而界面结合不良则会导致热传递受阻，降低复合材料的热导率。
为了准确测量复合材料的热传导性能，科学家们发展了多种实验方法。
其中，热导率测试仪是一种常见的设备，它可以通过测量材料在一定温度梯度下的热流密度和温度差，来计算热导率。
此外，激光闪光法也是一种常用的测量技术，它利用短脉冲激光加热样品表面，通过测量背面的温度响应来确定热扩散系数，进而计算热导率。
这些实验方法为研究复合材料的热传导特性提供了有力的手段。
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复合材料与结构热传导问题的多尺度模型与算法研究
翟方曼
摘 要
本文主要研究复合材料与多孔固体材料结构热学问题的多尺度分析与数值算法，内容分为四部分。
本文的第一部分对一类具有快速振荡系数，即系数关于时间变量和空间变量快速变化的抛物方程，提出了具有高精度的多尺度有限元方法，利用有限元后处理技术给出了其严格的误差估计，并对边界层问题的计算给出了一套新的数值算法，用大量的数值算例表明了多尺度有限元方法的有效性和正确性。
本文的第二部分研究了格子结构的热传导问题。
格子结构含有两个小参数，这使得格子结构无论是从数值计算还是多尺度理论分析都比通常的只含有一个小参数的孔洞结构要困难。
本文对格子结构的热传导问题提出了多尺度方法及相关算法，利用均匀化方法和多尺度渐近方法给出了收敛定理。
在多尺度收敛定理的证明中，在处理多尺度渐近解在区域边界上的效应时，与已有理论采用的截断函数法不同，我们对多尺度渐近解在边界上给出了具体的估计，从而对多尺度展开式本身给出了新的误差估计。
数值算例表明:在解决格子结构的热问题中，一阶多尺度方法比均匀化方法和二阶多尺度方法具有更高的数值精度。
本文的第三部分研究了具有快速振荡系数的抛物型积分-微分方程的多尺度分析方法。
在对这类问题进行多尺度分析时，经典的多尺度分析方法无法处理方程中的积分项。
本章将Laplace变换技术和经典的多尺度分析方法相结合，给出了求解具有快速振荡系数抛物型积分-微分方程的多尺度数值算法并给出了相关的收敛定理。
本部分方法的核心思想是：先利用Laplace变换将原问题转化为稳态问题，再提出稳态问题的均匀化与多尺度算法，最后借助逆Laplace变换得到原问题的近似解。
值得一提的是本文给出的多尺度数值算法适用于并行计算。
数值结果表明：我们提出的多尺度算法是有效和可靠的。
本文的第四部分对微尺度传热问题中的一个重要模型即双相延滞型热传导方程，给出了多尺度分析和有限元算法。
在讨论高维复合介质双相延滞型热传导方程的多尺度计算中，一个本质困难是：如何处理方程中关于时间变量和空间变量的混合导数。
本章将Laplace变换技术和经典的多尺度分析方法相结合，给出了求解复合介质双相延滞型热传导方程的多尺度数值算法并给出了相关的收敛定理。
值得一提的是本文给出的多尺度数值算法适用于并行计算。
数值试验结果验证了多尺度算法的正确性和有效性。
关键词: 复合材料，均匀化方法，多尺度分析，后处理技术，格子结构，积分-微分方程，延滞型热传导方程，Laplace变换。