实验11：图的最短路径实验报告(1)
图-最短路径(2009级)1
D 4 3 2
本章要点
熟悉图的各种存储结构及其构造算法，了解图 的基本操作、图的应用问题的求解效率与采用何 种存储结构的联系； 熟练掌握图的两种遍历：深度优先遍历和广度 优先遍历的算法。注意图的遍历算法与树的遍历 算法之间的之间的类似和差异。 应用图的遍历算法求解各种简单路径问题。 理解教科书中讨论的各种图应用的经典算法。
void PrintPath(MGraph G, int i, int Path[]) { if(Path [i]!=-1) { PrintPath(G, Path[i], Path); 40 printf(“, ”); V1 40 V2 18 } 35 20 10 10 PrintVextex(G ,i); } V3 V4
单源点最短路径 迪杰斯特拉算法(Dijkstra) 输入数据:带权图 输出数据:源点s到图中其它各顶点的最短路径
迪杰斯特拉算法基本思想 按长度递增的顺序求解最短路径
40
V1 V3 V1 V3 V4 V1 V3 V4 V2 V1 V5 V1 V5 V6
10 25 35 40 52
V1 20 V3 10
40
V2
10
18
35 30
V5
12
V3
15
V4
V6
S={V1,V3,V4,V2,V5}
40 V1 20 10
40
V2
10
18
35 30
V5
12
V3
15
V4
V6
S={V1,V3,V4,V2,V5}
40 V1 20 10
40
V2
10
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35 30
V5
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V3
15
最短路径问题求解
最短路径问题求解实验报告学院：计算机科学与技术学院班级：***学号：***姓名：***一、实验目的1）以最短路径问题为例，掌握动态规划的基本设计策略；2）掌握dijkstra贪心法求解最短路径问题并实现；3）掌握动态规划方法Floyd算法求解最短路径问题并实现；4）分析实验结果。
二、问题基本思想描述1、实验描述及目标（1）以下图作为输入，利用dijkstra贪心法获取由结点1到其余结点最短路径长度，输出保存到外部文件dijkstra－output1.txt（2）然后改写你的程序，求得所有各点之间的最短距离; 输出保存到文件dijkstra－output2.txt.（3）以上图作为输入，利用Floyd算法求得所有各点直接的最短距离; 输出保存到文件floyd－output1.txt.2、Dijkstra算法（单源最短路径）Dijkstra算法主要解决单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。
在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
（1）最短路径的最优子结构性质该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。
下面证明该性质的正确性。
假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。
而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。
则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。
因此该性质得证。
（2）Dijkstra算法由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。
图的最短路径算法的实现
数据结构课程设计报告图的最短路径算法的实现班级：计算机112班姓名：李志龙指导教师：郑剑成绩：_______________信息工程学院2013 年1 月11 日目录一、题目描述 -------------------------------------------------------------------- 11.1题目内容-------------------------------------------------------------------- 12.2题目要求-------------------------------------------------------------------- 1二、设计概要 -------------------------------------------------------------------- 22.1程序的主要功能----------------------------------------------------------- 2 2.2数据结构-------------------------------------------------------------------- 22.3算法分析-------------------------------------------------------------------- 2三、设计图示 -------------------------------------------------------------------- 4四、详细设计 -------------------------------------------------------------------- 5五、调试分析 -------------------------------------------------------------------- 8六、运行结果 -------------------------------------------------------------------- 9七、心得体会 ------------------------------------------------------------------- 11参考资料 ------------------------------------------------------------------------ 12一、题目描述1.1题目内容设计校园平面图，所含景点不少于8个。
MATLAB实验报告-遗传算法解最短路径以及函数最小值问题
染色体编码为从1到11的无重复编码，所以不能采用一般的生成一个随机 数替代的办法。此处采用交换变异法。 即随机产生两个数， 交换两个节点的顺序。
例：p[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],K1 3, K2 8则新染色体编码为：
p[1,2,8,4,5,6,7,3,9,10,11]
%************Step 3 :
temppath2=path;
for i=1:2:row
[l m]=find(path(i+1,:)~=0);
v2=path(i+1,m);%取出i+1行的非零元素，成一向量path(i,:)=[v1(1:temPm4-1) temp2 v1(temPm4-1+size(temp1):end)];
0 50
0 1
500
500
500
500
500
2
500
500
0
7 500
9
500
500
500
500
500
6
500
7
0 1
2
500
500
500
500
500
500
1
500
1 0
4
500
500
500
500
500
500
500
9
2 4
0
注：为避免计算时无穷大数吃掉小数，此处为令inf=500。
问题要求求出任意两点间的最短路径，Floyd算法采用的是在两点间尝试插 入顶点，比较距离长短的方法。 我思考后认为， 用遗传算法很难找到一个可以统 一表示最短路径的函数， 但是可以对每一对点分别计算， 然后加入for循环，可 将相互之间的所有情况解出。 观察本题可发现， 所有节点都是可双向行走， 则可 只计算i到j的路径与距离，然后将矩阵按主对角线翻折即可得到全部数据。
实验二：空间分析实验—最短路径
实验四：空间分析实验—最短路径一、背景在现实中，最短路径的求取问题是可以拓展为许多方面的最高效率问题，最短路径不仅指一般意义上的距离最短，还可以是时间最短、费用最少、线路利用率最高等标准。
二、目的学会用ArcGIS 9进行各种类型的最短路径分析，理解网络分析原理。
三、数据GeoDatabase地理数据库：City.mdb。
数据库中包含一个数据集：City，其中含有城市交通网net、商业中心及家庭住址place、网络节点city_Net_Junctions等要素。
四、要求根据不同的要求，获得到达指定目的地的最佳路径，并给出路径的长度；找出距景点最近的某设施的路径。
在网络中指定一个商业中心，分别求出在不同距离、时间的限制下从家到商业中心的最佳路径。
给定访问顺序，按要求找出从家出发，逐个经过访问点，最终到达目的地的最佳路径。
研究阻强的设置对最佳路径选择的影响。
五、操作步骤1．启动ArcMap。
创建新地图文档，点击菜单File—>Add Data，打开D：\GIS_Data\Ex2\city.mdb文件，加载数据。
2．对点状要素place符号化：以HOME字段，1值为家，0值为商业中心。
图1图2图33．加入网络分析工具条图44．无权重最佳路径的生成（1）在网络分析工具条上，选择旗标工具，将旗标放在“家”和想要去的“商业中心”点上。
图5（2）选择Analysis Options命令，打开Analysis Options对话框，确认Weights和Weight Filter标签项全部是None，这种情况下进行的最短路径分析是完全按照这个网络自身的长短来确定。
图6（3）在Track Task文本框中选择Find path。
单击solve按钮。
显示出最短路径，这条路径的总成本显示在状态栏中。
注：这里的“18”指的是从起点到目的地总共经过了17个网络节点，如果把两个网络节点当作一个街区的话，也就是指中间经过了17个街区。
离散数学 实验报告 迷宫最短路径问题求解
离散数学迷宫问题问题描述：一只老鼠走进了一个迷宫，这个迷宫是由M行N列（如:10行8列）的方格构成的，相邻方格之间可能是相通的，也可能有墙相隔，各方格位置由其对应坐标确定，如图所示。
迷宫在（1，1）处有一个入口，在（M,N）处有一个出口，在入口和出口之间有通路相通。
问题是让你帮助老鼠找出从入口到出口的一条最短路径。
00001000110010100001000000001010101000000011101110001000基本要求：为老鼠找出一条从入口到出口的最短路径。
实现提示：1、迷宫用数组表示，1代表是墙走不通，0表示可以通行。
边界可以扩充为墙，即M×N 迷宫用(M+2)×(N+2)数组表示。
2、向4个方向前进时的位移量可以用以下数组表示，处理是方便。
int move[4][2]={ {0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0} };3、采用图的广度优先搜索算法。
#include<stdio.h>#define m 7#define n 8void path(){int maze[m+2][n+2] ;int move[4][2]={ {0,-1},{-1,0},{0,1},{1,0} };int s[54][3];int top=0;int i,j,k,f=0;int g,h,p;for(i=0;i<m+2;++i)for(j=0;j<n+2;++j)scanf("%d",&maze[i][j]);maze[1][1]=2;s[top][0]=1;s[top][1]=1;s[top][2]=0;++top;while(top!=0&&f==0){--top;i=s[top][0];j=s[top][1];k=s[top][2];while(k<4){g=i+move[k][0];h=j+move[k][1];if(g==m&&h==n&&maze[g][h]==0) {for(p=0;p<top;++p)printf("%3d,%d\n",s[p][0],s[p][1]);printf("%3d,%d\n",i,j);printf("%3d,%d\n",m,n);f=1;}//ifif(maze[g][h]==0){maze[g][h]=2;s[top][0]=i;s[top][1]=j;s[top][2]=k;++top;i=g;j=h;k=0;}//ifk=k+1;}//while}//whileif(f==0)printf("no path\n"); }//pathvoid main(){path();}。
算法最短路径
华中科技大学计算机科学与技术学院《计算机算法基础》课程设计(最短路径)实验报告专业：班级：学号：姓名：指导教师：成绩：算法基础实验报告------最短路径一．实验目的运用所学算法分别使用动态规划和贪心算法解决有向图的最短路径问题，要求显示最短路径以及相应的路径长度。
二．动态规划1.算法思想最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。
一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
在本次试验中具体考察i到j的最短路径：首先确定哪个节点是该路径上具有最大编号的中间结点k，计算由i、j分别到k的最短路径，这2条路径都不可能有比k-1还大的中间节点。
求解递推；用Ak（i，j）表示从i到j且不经过比k 还大的结点的最短路径长度，由于G中不存在比n还大的结点，因此A（i，j）=An（i，j），即由i到j的最短路径上不通过比n标号还大的结点。
这条路径可能通过结点n也可能不通过节点n，如果通过结点n则A n（i，j）=A n-1（i，n）+A n-1（n，j），如果不通过结点n，则A n（i，j）=A n-1（i，j）。
组合起来得到A n（i，j）=min{A n-1（i，j），A n-1（i，n）+A n-1（n，j）}同理A k（i，j）=min{A k-1（i，j），A k-1（i，k）+A k-1（k，j）}，k》1.简单的描述最短路径算法如下：I从某一点k开始，根据cost[n][n]（比较A(i,j)与A(i,k)+A(k,j)的大小）修改从i到j的最短路径值，若A(i,k)+A(k,j)<A(i,j)，A(i, j)= A(i,k)+A(k,j).II. 重复1直到所有点均考虑完。
2.程序流程图3.源代码见最后的附录4.运行结果实验的有向图如下1 2 3 4 51 02 2 00 002 1 0 00 4 003 2 00 0 2 84 00 3 00 0 25 00 00 00 1 0首先将有向图的矩阵输入如下程序输出的最短路径列表如下三．贪心算法1.算法思想题目要求为单源点最短路径问题，即已知n结点有向图G=（V，E）和边的权函数c（e），求G中某个结点到其他结点的最短路径（假设所有权均为正）。
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告
动态规划算法实现多段图的最短路径问题算法设计与分析实验报告算法设计与分析实验报告实验名称 动态规划算法实现多段图的最短路径问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 理解最优子结构的问题。
有一类问题的活动过程可以分成若干个阶段，而且在任一阶段后的行为依赖于该阶段的状态，与该阶段之前的过程如何达到这种状态的方式无关。
这类问题的解决是多阶段的决策过程。
在50年代，贝尔曼（Richard Bellman ）等人提出了解决这类问题的“最优化原理”，从而创建了最优化问题的一种新的算法设计方法－动态规划。
对于一个多阶段过程问题，是否可以分段实现最优决策，依赖于该问题是否有最优子结构性质，能否采用动态规划的方法，还要看该问题的子问题是否具有重叠性质。
最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。
子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
问题的最优子结构性质和子问题重叠性质是采用动态规划算法的两个基本要素。
2.理解分段决策Bellman 方程。
每一点最优都是上一点最优加上这段长度。
即当前最优只与上一步有关。
U s 初始值，u j 第j 段的最优值。
⎪⎩⎪⎨⎧+==≠}.{min ,0ijiji js w u u u3.一般方法1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2）递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3）以自底向上的方式计算出最优值；4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。
二.实验内容1.编程实现多段图的最短路径问题的动态规划算法。
2.图的数据结构采用邻接表。
3.要求用文件装入5个多段图数据，编写从文件到邻接表的函数。
4.验证算法的时间复杂性。
运筹学最短路径实验
（2）比较所有T标号， , 最小，给 以P标号，令 ,记录路径
4. （1） 为刚得到P标号的点，考察
（2）比较所有T标号， , 最小，给 以P标号，令
,记录路径
5. （1) 为刚得到P标号的点，考察
（2）比较所有T标号， , 最小,给 以P标号,令 ，记录路径
实验项目：最短路径问题
实验学时： 4
实验日期：2012年11月30日
实验要求：案例 模型 分析
实验内容：用最短路径模型解决具体问题
前言
运输是物流过程的主要职能之一，也是物流过程各项业务的中心活动。物流过程中的其它各项活动，如包装、装卸搬运、物流信息等，都是围绕着运输而进行的。可以说，在科学技术不断进步、生产的社会化和专业化程度不断提高的今天，一切物质产品的生产和消费都离不开运输。物流合理化，在很大程度上取决于运输合理化。所以，在物流过程的各项业务活动中，运输是关键，起着举足轻重的作用。而有效的缩减路径可以使得运输费用降低。本文运用Dijkstra算法求出最短路径，以最大限度地节约运输费用降低物流成本，Dijkstra算法用于求解最短路径问题最常用的方法之一。
案例分析
下图所示是某地区交通运输的示意图，试问从 出发，经哪条路线达到 才能使总行程最短？使用Dijkstra求解。
5 9
4 4 7 5 4
6 4 5 1
7 6
步骤：
1.首先给 以P标号， ,给其余所有的点以T标号，
2.（1）考察点 ，边
（2)比较所有T标号 ， 最小，所以给 以P标号，令 ,记录路径
实验总结
科学合理的运输路线对物流的成本的大小影响很大。Dijkstra算法就是通过一种方法，使运输路线最短，运费最少，尽可能的降低物流成本，提高产品的竞争力，Dijkstra，根据距 从近到远的顺序，依次求得 到 各顶点的最短路径和距离，直至 ，算法结束。根据记录的最后路径 逆推至 ， ， ，总结出路径为 ，所以最短距离为15.
图的最短路径问题
图的最短路径问题带权图的最短路径问题1、带权图的最短路径问题带权图的最短路径问题即求两个顶点间长度最短的路径。
其中：路径长度不是指路径上边数的总和，而是指路径上各边的权值总和。
路径长度的的具体含义取决于边上权值所代表的意义。
【例】交通网络中常常提出的如下问题就是带权图中求最短路径的问题。
（1）两地之间是否有路相通?（2）在有多条通路的情况下，哪一条最短?其中:交通网络可以用带权图表示：图中顶点表示城镇，边表示两个城镇之间的道路，边上的权值可表示两城镇间的距离，交通费用或途中所需的时间等等。
2、交通网络的表示由于交通网络存在有向性，所以一般以有向网络表示交通网络。
【例】设A城到B城有一条公路，A城的海拔高于B城。
若考虑到上坡和下坡的车速不同，则边和边上表示行驶时间的权值也不同。
即和应该是两条不同的边。
3、源点和终点习惯上称路径的开始顶点为源点(Source)，路径的最后一个顶点为终点(Destination)。
为了讨论方便，设顶点集V={0，1，…，n-1}，并假定所有边上的权值均是表示长度的非负实数。
单源最短路径问题(Single-Source Shortest-PathsProblem)单源最短路径问题：已知有向带权图(简称有向网)G=(V，E)，找出从某个源点s∈V到V 中其余各顶点的最短路径。
1、边上权值相等的有向网的单源最短路径用求指定源点的BFS生成树的算法可解决2、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法求单源最短路径由Dijkstra提出的一种按路径长度递增序产生各顶点最短路径的算法。
（1）按路径长度递增序产生各顶点最短路径若按长度递增的次序生成从源点s到其它顶点的最短路径，则当前正在生成的最短路径上除终点以外，其余顶点的最短路径均已生成（将源点的最短路径看作是已生成的源点到其自身的长度为0的路径）。
【例】在有向网G8中，假定以顶点0为源点，则它则其余各顶点的最短路径按路径递增序排列如右表所示（2）算法基本思想设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。
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深 圳 大 学 实 验 报 告
课程名称： 数据结构实验与课程设计
实验项目名称： 图的最短路径实验
学院： 计算机与软件学院
专业：
指导教师： 杨芳
报告人： 学号： 班级：
实验时间： 2014-11-6
实验报告提交时间：
教务处制
－2－
一、实验目的
1、掌握图结构的（邻接矩阵）输入方法
2、掌握图结构的说明、创建以及图的存储表示（邻接矩阵）
3、掌握最短路径算法原理
4、掌握最短路径算法的编程实现方法
二、实验要求
1、熟悉C++语言编程
2、熟悉图的邻接矩阵存储表示
3、熟悉最短路径算法原理
4、熟练使用C++语言，实现最短路径算法
三、实验内容
本次实验有两项内容：
（一）图的最短路径实验
1、问题描述
给定一个顶点（始点），求该顶点（始点）到（连通）图中其它顶点的最短路径。
2、算法
⑴、初始化： S ← {v1 }; // 始点送S
D[i] ← arc[1][i], i = 2, 3, …, n; // 从v1到vi的距离
P[i] = {1,i} // 从v1到vi的路径
⑵、求出最短路径的长度：
D[j] ← min { D[i] }, iV-S ; S←S U {j };
⑶、修改：
if (D[i] > D[j] + arc[j][i]) {
D[i] = D[j]+arc[j][i];
P[i] = P[j] U {i} ; } iV-S // 更新从v1到vi的路径
⑷、判断：若 S = V, 则算法结束，否则转 ⑵。
3、输入
第一行：样本顶点个数，假设为n。
第二行，n个顶点（用空格隔开）
第三行开始到n+2行：每一行是某顶点（按第二行的输入为序）与其它顶点的距离（-1
表示无穷大）
第n+3行：开始顶点
4、输入样本
5
a b c d e
-1 5 -1 7 15
-1 -1 5 -1 -1
-1 -1 -1 -1 1
-1 -1 2 -1 -1
－3－
-1 -1 -1 -1 -1
a
5、输出
共计n行（图中顶点数目）
每行是（与输入顺序相同）某顶点（距离）：路径（顶点序列，用空格隔开，回车前无
空格）
6、输出样本
a(0):
b(5): a b
c(9): a d c
d(7): a d
e(10): a d c e
（二）拓扑排序（选作）
1、问题描述
已知有向图，顶点从0开始编号，求它的求拓扑有序序列。
2、拓扑排序算法：给出有向图邻接矩阵
（1）逐列扫描矩阵，找出入度为0且编号最小的顶点v
（2）输出v，并标识v已访问
（3）把矩阵第v行全清0
重复上述步骤，直到所有顶点输出为止
3、输入
第一行输入一个整数t，表示有t个有向图
第二行输入n，表示图有n个顶点
第三行起，输入n行整数，表示图对应的邻接矩阵
以此类推输入下一个图的顶点数和邻接矩阵
4、输出
每行输出一个图的拓扑有序序列
5、样本输入
2
5
0 1 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
7
0 0 0 0 0 0 0
－4－
1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0
6、样本输出
0 1 3 2 4
4 6 5 1 3 2 0
四、程序清单
五、程序运行时截图
六、实验心得与体会（实验中遇到的问题及解决方案，或写点感想）
－5－
指导教师批阅意见：
成绩评定：
指导教师签字：
年 月 日
备注：
注：1、报告内的项目或内容设置，可根据实际情况加以调整和补充。
2、教师批改学生实验报告时间应在学生提交实验报告时间后10日内。