第一讲 定义新运算
第1讲：定义新运算讲义
定义新运算(★★)(迎春杯试题)规定n※b＝3×n－b÷2。
例如：1※2＝1×3－2÷2＝2。
根据以上的规定，10※6＝()(★★)两个不相等的自然数a、b(b≠0)，较大的数除以较小的数商为a△b，余数记为a◇b，如3△11＝3、3◇11＝2，那么6◇(2△7)＝()。
⑴(★★★)(“从小爱数学”邀请赛)设a※b表示a的3倍减去b的2倍，即a※b＝3a－2b，例如，当a＝6，b＝5时，6※5＝3×6－2×5＝8。
①计算：(8※7)※9；②已知：x※(4※1)＝7，求：x。
⑵(★★★)规定a○b＝(3a－2b)，例如4○5＝3×4－2×5＝2，那么当x○5比5○x大5时，x等于几？⑴(★★)规定a⊗b＝a×3＋b÷2，其中a、b都是自然数。
①6⊗8的值；②8⊗6的值。
⑵(★★★)定义运算※为a ※b ＝a ×b －(a ＋b )，①求12※(3※4)，(12※3)※4；②这个运算“※”有结合律吗？③如果3※(5※x )＝3，求x 。
⑴(★★★)(“祖冲之杯”数学邀请赛)如图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两个数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____。
⑵(★★★★)(中环杯试题)已知A *B ＝A ×B ＋A ＋B则101*9*9*9**9*9 共次运算＝__________。
(★★★★★)定义a *b 为a 与b 之间(包含a 、b )所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7*14＝(7＋9＋11＋13)÷4＝10，18*10＝(18＋16＋14＋12＋10)÷5＝14。
在算式□*(19*99)＝80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
(完整版)小学五年级奥数第一讲__定义新运算及作业
第一讲定义新运算一、a、b是自然数，规定a※b=(a+b)÷2,求：3※（4※6）的值。
二、对于任意两个自然数a、b，定义一种新运算“*”：a*b=ab+a÷b，求75*5=？，12*4=？三、定义运算符“◎”：a◎b=3a+4b-5，求6◎9=？9◎6=？四、定义两种运算“○＋”和“○×”，对于任意两个整数a、b规定：a○＋b=a+b-1，a○×b=a×b-1，那么8○× [（6○＋10）○＋（5○×3）]等于多少？五、定义运算“○＋”=（a+b）÷3，那么（3○＋6）○＋12与3○＋（6○＋12）哪一个大？大的比小的大多少？六、a、b是自然数，规定a⊙b= ab-a-b-10，求8⊙8=？七、如果1*2=1+2，2*3=2+3+4，3*4=3+4+5+6，……，请按照此规则计算3*7=？八、规定运算a@b=（a+b）÷2，且3@（x@2）=2，求x=？九、规定a△b=ab+2a， a▽b=2b-a，求（8△3）▽（9△5）的值。
第二讲定义新运算作业十、定义新运算“*”：a*b=3a+4b-2，求（1）10*11；（2）11*10。
十一、定义新运算“△”：a△b= a÷b×3，求（1）24△6；（2）36△9。
十二、规定a○＋b，表示自然数a到b的各个数之和，例如：3 ○＋10=3+4+5+6+7+8+9+10=52，求1○＋200的值。
十三、定义新运算“○×”，a○×b=10a+20b，求（3○×7）+（4○×8）。
十四、定义新运算“△”：a△b=6a+3b+7，那么5△6和6△5哪个大？大的比小的大多少？十五、规定a*b=（a+b）÷2，求[（1*9）*9]*3的值。
十六、规定a☆b=3a-2b，如果x☆（4☆1）=7，求x的值。
十七、规定X○＋Y=（X+Y）÷4求：（1）2○＋（3○＋5），（2）如果X○＋16=10，求X的值。
五数奥数新定义运算
第一讲定义新运算一、学习目标1. 了解新运算的定义并学会按新运算的要求进行计算。
2. 学习观察、比较、判断和推理的数学方法。
二、内容提要与方法点拨1.要熟练掌握四则运算的法则及运算定律。
2. 定义新运算是指用某种特定的符号表示特定意义的运算。
解答这类题目时，首先要弄清新定义的运算的特定含义，也就是弄清它所表示的通常意义下是什么运算，然后转化为通常意义下的四则运算来进行解答。
在没有特别说明的情况下，一些基本的四则运算法则如从左往右计算、有括号时先算括号里面的等在新定义的运算中也是适用的。
但是，在新定义的运算中，不一定都适合交换律或结合律。
三、例题选讲例1如果a▽b表示a×b＋a－b，试计算：（7▽4）▽5。
解：式子a▽b表示两个数的积加上第一个数后再减去第二个数。
在式子（7▽4）▽5中，要先算小括号里面的。
（7▽4）＝7×4＋7－4＝31而31▽5＝31×5＋31－5＝181，所以，（7▽4）▽5＝181。
例2规定a☆b表示a的4倍减去b的3倍，即a☆b＝4a－3b，试计算：（1）5☆6 ；（2）6☆5。
解：（1）根据a☆b＝4a－3b，所以，5☆6＝4×5－3×6＝2（2）6☆5＝6×4－5×3＝9注意：a☆b表示a的4倍减去b的3倍，而b☆a表示b的4倍减去a的3倍，这里a≠b，所以a☆b≠b☆a。
因此，本例定义的新运算是不满足交换律的，计算中不能把前后两个数交换。
例3 对于两个数x、y，规定x＃y表示3x＋2y，试计算：（1）（5＃7）＃8 ；（2）5＃（7＃8）。
解：（1）根据x＃y＝3x＋2y，得（5＃7）＃8＝（3×5＋2×7）＃8＝29＃8＝3×29＋2×8＝103（2）5＃（7＃8）＝5＃（3×7＋2×8）＝5＃37＝3×5＋2×37＝89注意：本例定义的运算是不满足结合律的。
第一讲 定义新运算
五年级春季第一讲定义新运算对于＋、－、×、÷四则运算，我们已经熟知它们的运算规则和计算方法，还学会了四则混合运算，以及速算与巧算。
这一讲我们要学习一种新的运算，简称为定义新运算。
所谓定义新运算就是用一种新的符号来自主定义或规定一种运算规则，然后按照这一规则进行计算。
典例精讲例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3。
②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2， 17△（6△2）。
④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b。
【思路点拨】解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍。
【详细解答】例2 对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”“☉”：a☆b＝a＋b－1，a☉b＝a×b－1，计算4☉[（6☆8）☆（3☆5）]的值。
【思路点拨】这题是两种新运算的混合运算，首先要弄清楚每一种运算的运算规则，再确定运算顺序；在新运算中，也是按照先算括号内再算括号外的运算顺序进行计算，先将定义的新运算符号前后运算好后再进行新运算，计算时可以分步进行。
【详细解答】例3 定义x☉y＝a×x＋2×y，并且已知5☉6＝6☉5，求a是几？【思路点拨】先根据对新运算的定义，把等式5☉6＝6☉5转化成含有未知数的等式，然后，再求出未知数a的值。
【详细解答】例4 有一个数学运算符号“◎”使下列算式成立：2◎4＝8，5◎3＝13，3◎5＝11，9◎7＝25，求7◎3＝？【思路点拨】题目没有明确告知对新运算进行定义，该如何进行运算呢？我们可以通过对题目提供的算式进行观察、分析，找出规律，从而确定新运算的运算规则。
可以看出“◎”表示前面的数的2倍加上后一个数。
【详细解答】达标练习1.定义一种新的运算“△”，规定：a△b＝a×b＋a＋b。
5△8是多少？2.定义新运算“□”为x□y等于2xy－（x＋y）。
定义新运算
第一讲定义新运算一、教学目标：1、知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。
2、过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的+、-、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。
3、情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功．二、教学重难点：1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。
2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
三、教学方法：引导发现法四、教学过程：（一）导入：1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。
2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。
3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。
5（）2=7 6（）3=3 100（）2=50 13（ )3=394、趣味引导：生活中我们都知道羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以当狼和羊在一起时，我们用△符号表示狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼=在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战胜狼：羊☆狼= 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼=5、已知符号“#”表示a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13的值？（体现对应思想和解题的三个步骤）加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72的值？小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。
一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算（二）例题引导：第一类：（直接运算型）例题引导：①表示求两个平均数的运算，则a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15时，求a①b？例1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3, 6△9的值？练习：（1）对定义运算※为a※b=（a+b）×2。
第1讲 定义新运算
第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*()+()，求13*5和13*（5*4）。
练习1：1、将新运算“*”定义为：a*()×().。
求27*9。
2、设a*2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△4×()÷2。
求3△(4△6)。
练习2：1、设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（）÷2，求5△（6△4）。
2、设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4；210*2。
练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4。
2、规定，那么8*5。
【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，那么，A是几？练习4：1、规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么。
第一讲定义新运算
第一讲：定义新运算加、减、乘、除这四种运算的意义和计算法则我们都很熟悉。
除了这四种运算，我们还可以定义一些其他的运算，这里所说的定义，是指按照某种约定，给这种新运算一个明确的含义，只要弄明白这种含义，就可以正确的计算出有关算式的结果。
注意：（1）做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、▢、★、◎、Δ、▤、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例题精选例1．P★Q=2PQ,求3★5的值。
【思路点拨】看起来和以前的加、减、乘、除不一样。
那么这里的新运算和加、减、乘、除有什么联系呢？按照题目中的定义，这里的“★”表示左右两个数乘积的2倍。
解：3★5=2×3×5=30.我能行！1．a※b=a+b,求13※8的值。
(5分) 2．a□b =3a－b,求（2□5）×7的值。
(5分)例2．如果2※3=2+3+4=9,5※4=5+6+7+8=26。
求：9※5的值是多少？【思路点拨】这里的“※”表示求连续自然数的和，“※”前的数字表示第一个数（首项），“※”后面的数表示连续自然数的个数（项数）。
解：9※5=9+10+11+12+13=55。
我能行！1．如果5◎3=5+7+9=21，9◎4=9+11+13+15=48.求7◎3的值是多少？ (10分)2．1※4=1+11+111+1111, 2※3=2+22+222，求6※4的值是多少？ (10分)例3．规定“○”的运算法则如下，对于任何整数a，b，有：2a+b－1 (a+b≥10)a○b=2×a×b (a+b<10)求：（1） 3○5的值（2）5○6的值【思路点拨】这道题实际上定义了两种运算，必须根据两个数的和的大小，确定进行哪种运算。
解：（1）3○5=2×3×5=30 （2）5○6=2×5＋6－1=15我能行！1．规定“※”的运算法则如下，对于任何整数p ，q ，有： p ＋q －10 (p+q ≥10)p ※q= ， 求 （2※4）+（6※8）的值？ (10分)p+2q (p+q<10 )2．规定“☆”的运算法则如下，对于任何整数p ，q ，有：p ＋q (p>q)p ☆q= p-q+1 (p=q) ，那么（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=？ (10分) p ×q (p<q )我很棒！1．若a*b=a ×b －a ，求2*5的值。
四年级下册(春季)奥数讲义1-15讲
第一讲、定义新运算知识要点：1、定义新运算：是在题目里特意规定一种有别与我们常用的新的运算规则，要求按照新定的运算法则进行计算推理或证明。
2、解题关键：要抓住定义的本质，根据规定的新运算与我们学过的四则运算的关系式，将新运算转化为我们熟知的四则运算，再进行四则运算就能得出运算的结果.例1、规定a*b=2a+3b，计算（2）、3*2（1）、7△（10△4）（2）、（7△10）△4的值例3 、规定X⊙Y=3X+Y÷2，如果已知7⊙Y=25，求例4、规定A▽B＝A÷5＋B÷2，求（5▽8）×3－（15▽6）÷2的值。
8×9，按此运算规则计算（4*6）÷（3*5）X*Y=X×Y+(X+Y) ×K,并且1*1=5，求1998*1999的值是1、如果规定A△B=A+B+2，计算（1）、9△20 =（）（2）、20△9=（）2、若规定X*Y=（X+Y）÷5，那么8*（3*7）的结果等于（）3、X△Y=（X+Y）÷2，如果X△6=10，那么X=（）4、规定X△Y=X×5-Y×2，那么（1△2）×（2△1）等于多少？3⊙4=3×4×5×6，求4⊙5的值4◇3）○5等于多少？7、规定A△B=A×B×2-（A-B），计算（3△2）+（48、如果4*2=4+44=48，2*3=2+22+222=246，1*4=1+11+111+1111=1234，那么3*4等于多少？9、“⊙”表示一种新的运算符号，已知 2⊙3=2+3+4 3⊙5=3+4+5+6+7 7⊙2=7+8 ……2○5等于多少？11、小明做了一些口算题，他2分钟做30道，照这样计算，小明5分钟做多少道口算题？老师布置60道口算题，他几分钟可以完成？12、某工厂6个工人5天可做300个零件，照这样计算，10个工人8天可做多少个零件？6天要做120020天挖完，实际上每天多挖了45立方米，这样可提前几天14 、一段地下管道预计15个工人每天工作4小时，18天可以完成。
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第一讲：定义新运算
典例1 定义一种运算△如下：a △b=3×a －2×b ，（1）求3△2，2△3；（2）求这个运算“△”有交换律吗？（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；（4）如果已知4△b=2,求b 。
解析：解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：用运算符合前面数的3倍减去运算符合后面数的2倍。
举一反三训练1
1、规定a △b=2a ＋b ，如7△5=2×7＋5=19，计算：（1）9△8 （2）15△12
2、规定a △b=a ×a －b ×2，如7△5=7×7－5×2=49－10=39，计算：（1）15△14 （2）8△4
3、“△”表示一种新的运算，它是这样定义的：a △b=a ×b －（a ＋b ）。
求：（1）3△5 （2）（3△4）△5
4、对于数a 、b 、c 、d ，规定（a,b,c,d ）=2ab －c ＋d 。
已知（1，2，5，x ）=7，求x 的值。
典例2 x 、y 表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：x ※y=mx ＋ny ，x △y=kxy,其中m 、n 、k 均为自然数，已知1※2=5，（2※3）△4=64，求（1△2）※3的值。
举一反三训练2
1、 对于任意整数A,B ，定义新运算“△”：A △B=
B MA AB 212＋（其中M 是一确定的整数），如果1
△2=2，求2△9的值。
2、 x 、y 表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：x ※y=6x+5y,x △y=3xy,求（2※3）△4
的值。
3、 对于任意自然数x 、y ，定义新运算“※”如下：若x 、y 同奇或同偶，则x ※y=（x ＋y ）÷2；
若x 、y 的奇偶性不同，则x ※y=（x ＋y ＋1）÷2。
求4※5※6※8※11的值。
总结：由上面两例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。
如例1中，a*b=a ×b-a-b ，新运算符号使用“*”，
而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
例6 对于任意自然数，定义：n ！=1×2×… ×n 。
例如 4！=1×2×3×4。
那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？
例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
练习：
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。
求8*9的值。
2.已知a b表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。
3.已知a b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P， Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。
例如：2☆8=（2×8）÷4。
已知x☆（8☆5）=10 求x的值。
8.定义： a△b=ab-3b，a b=4a-b/a。
计算：（4△3）△（2b）。
9.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求（44）÷（33）的值。