最优化方法论文

第五章多目标规划

例题5.1 某工厂生产两种产品：A与B. 产品A每单位需装配时间3小时，而B 为2小时，每周总装配有效时间为120小时。A产品的单位利润为100元，而B 产品的单位利润为80元。工厂允许加班，但加班生产的产品单位利润各减10元。根据合同，每周两种产品个需要提供30单位。

决策者，确定如下事实：

1.合同必须遵守，每周正常装配时间只有120小时；

2.尽可能少加班；

3.利润尽可能大。

建立其模型如下：

设：x1—每周正常时间生产的A产品数；

x2—每周加班时间生产的A产品数；

x3—每周正常时间生产的B产品数；

x4—每周加班时间生产的B产品数.

(VP) min 3x2+2x4,

max 100x1+90x2+80x3+70x4，

s.t. x1+x2≥30，

x3+x4≥30，

3x1+2x3≤120，

x1，x2，x3，x4≥0.

我们把这种目标函数多于一个的数学规划称为多目标规划，记为（VP）.

多目标规划问题，一般可以表示为

(VP)

p个目标函数minf1x；minf2x；

.

.

. minf p x。

m个约束条件g1（x）≥0，g2x≥0,

.

.

.

g m(x)≥0,

其中x=（x

1，

x2，x3，x4……x n）T，p≥2，m≥0。

若引进向量函数，可把多目标规划写成向量形式（VP）min F(x),

s.t. G(x)≥0,

其中

F(x)=(f1(x),f2(x),…,f p(x))T

G(x)=(g1(x),g2(x),…,g m(x))T.

若把可行域记为D，即

D=x|G(x)≥0,

则(VP)又可记为

F(x).

min

x∈D

5.2偏差概念的运用

例如某个问题包含有如下部分要求：甲、乙两种产品均使用原料A，其单消耗分别为a1和a2单位，且原料A现有库存400单位；另甲、乙产品的单位利润分别为c1和c2。在制定生产计划时，要求尽量使用库存A，又期望得到利润500万。

若以x1、x2分别表示甲、乙的计划产量，则关于原料A的要求，利用偏差p1和n1表示为

min p1+n1，

s.t. a1x1+a2x2+p1-n1=400,

x1,x2,p1,n1≥0.

关于利润的要求，同样可引进偏差p2和n2，表示为

min p2+n2,

s.t. c1x1+c2x2+p2-n2=500(万),

x1,x2,p2,n2≥0，

其中p1，p2为正偏差量，若p1，p2>0而n1，n2=0，即意味着用完库存的A 和没有实现500万的利润；反之若p1，p2=0，n1，n2>0，则意味着A的使用量超过了现有库存，和利润超过了预期的500万。整个问题合在一起就是一个多目标规划：

min p1+n1，

min p2+n2,

s.t. a1x1+a2x2+p1-n1=400,

c1x1+c2x2+p2-n2=500(万),

x1,x2,p1,p2,n1,n2≥0.

5.3多目标规划解的概念

(VP) min x1,

min x2,

s.t. x1+x2≥3,

x1+x2≤5,

0≤x1≤2.

若写成向量形式，即为

(x1,x2)T

min

x∈D

D=(x1,x2)T3≤x1+x2≤5,0≤x2≤2.

在x1,x2坐标平面中很容易画出可行域D：

若上述问题的最优解，要求在所有可行点(x1,x2)T∈D中的x1和x2都是最小的，即相当于我们对向量（a,b)T和（a1,b1)T大小的定义为：

当且仅当a1

所以对于多个目标规划还要引进一些解的概念.对于多目标规划：

(VP)

(f1x,f2x,…,f p(x))T.

min

x∈D

定义对于可行点x0∈D,若存在另一可行点x ∈D,使f k(x )

定义对于可行点x0∈D,若不存在另一可行点x ∈D,使f k(x )≤f k(x0),k=1,2,…,p,则称可行点x0为(VP)的有效解.

定义对于可行点x0∈D,若不存在另一可行点x ∈D,使f k(x )

5.4多目标线性规划的解法

一转化成一个单目标问题的解法

对于多目标规划

(VP) min

x∈D

(f1x,f2x,…,f p(x))T

按照p个目标f i(i=1,2,…,p)的重要程度，分别乘以权系数λi,以单目标规划

（P）min

xϵD

λi f i

P

i=1

(x)

的最优解作为(VP)的最优解.

二分层排序法

向量的的字典序定义为：先比较第一个分量，仅当第一个父女俩相同时，在比较第二个分量，一次类推.符号“L<”表示字典序意义下的小于.例如三维向量

1 2 5L<

2

1

7

L<

2

4

8

L<

2

4

9

.

若用这种方法求解多目标线性规划时，既可以一次性求解,也可以分段求解.

第六章离散型优化问题

6.1线性整数规划

背包问题有一只背包（泛指仓库、船仓、卫星仓等），最大装载重量为w 单位，现有k种物品，每种物品的数量无限.第i种物品每件质量为w i，价值为v i.每种物品各取多少个装入背包，使其中的物品价值最高.

设取第i种物品x i件(i=1,2,…,k),则

max z=v1x1+v2x2+…+v k x k,

s.t. w1x1+w2x2+…+w k x k≤w,

x i≥0，且为整数，i=1,2,,…,k.

线性整数规划的求解，很容易就想到先不考虑取整数的要求而用线性规划的办法求解，若求得最优解恰好取整数，也自然也即为线性整数规划的解，若不是整数，则凑成整数作为整数规划的近似解.这当然不失为一种办法，但在很多情况下，这样凑整的解或是不可行的、或是距真正的最优解很远.