2-6-1 谱理论

例4、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。 解： (2) 考虑方程 u(t) – tu(t) = v(t)， a.e. t [0，1]。 同例3，当 >1或 (3) < 0 时，h(t) = ( - t)-1 连续，
1
从而 h X。
因此，方程 (3) 有解 u(t) = h(t)v(t)。
r(A)
= [0，1] ，
(A) = R\[0，1]。
例4、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。 解：A 是有界线性算子，由无限维情形的分 类可知只需要讨论 (1) I – A 是否为单射；以及
1
(2) I – A 的值域与 X 的关系。
y( t )
t
(A)。并且有
(t s)
t s
e
(t
)
x( )d
e
(t
)
x( )d
0
e
x(t
)d
(3) 命题：设 A 为 Banach 空间 X 上的线性算 子，满足 (A) 非空，则 A 为闭算子。 证明：设 xn → x，Axn = yn → y。 目标：Ax = y。设 (A)，则
-1
xn – Axn → x – y
R( I A) X ，剩余谱 单，
r(A) p(A) c(A)
。
无限维情形
例1、设 X = BUC(R，C)，即全体从 R 到 C
的有界一致连续函数按照上确界范数构成的
Banach 空间。设A为微分算子，即
A : x( t ) x (t )，
p(A)
则 A 为闭算子，且 (A) =
= iR。
目标分三部分： 证明对任何 b R，ib
2
其中
M max
n Z
|
1 (2n )2 |2
例5、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → u”(t)，其中 D(A) = {u C2[0，1]：u(0) = u(1)，u’(0) = u’(1)}。 则 A 是闭算子。讨论 A 的谱集。
2
2
结论： (A) =
p(A)
xn → ( I – A) ( x – y)
x = ( I – A)-1( x – y)
x – Ax = x – y
Ax = y 。
例2、设 X = l 。 设 A 为右移位算子，则 0 设 B 为左移位算子，则 0
r(A)； p(B)。
2
证明：(1) 令 M = span{e1}，e1 = (1，0，
2
是 X 的一组正交规范基。并且
Aen en
2 (2n ) 由此可知：-
(2n )2 en
p(A)。
例5、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → u”(t)，其中 D(A) = {u C2[0，1]：u(0) = u(1)，u’(0) = u’(1)}。 则 A 是闭算子。讨论 A 的谱集。 解： -(2n )2时，考虑方程
射。由此可知点谱为空集。
例3、设 X = C[0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。 解： (2) 任取 v(t) X，考虑方程 u(t) – tu(t) = v(t)， 当 > 1 或者 t [0，1]。 (2) < 0 时，h(t) = ( - t)-1 X。
子的谱的结构不同。
例5、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → u”(t)，其中 D(A) = {u C2[0，1]：u(0) = u(1)，u’(0) = u’(1)}。 则 A 是闭算子。讨论 A 的谱集。 解：由无限维情形的分类可知只需要讨论
2
(1) I – A 是否为单射；以及
此时，R( I – A) = X，可知
(A)。
例4、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。 解： (2) 考虑方程 u(t) – tu(t) = v(t)， a.e. t [0，1]。 若 [0，1]，令 v = 1，则
-1
1
(3)
u(t) = ( - t) ，
a.e. t [0，1]。
显然 u X，即 R( I - A) ≠ X。
因此，
(A)。
例4、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。 解： (2) 考虑方程 u(t) – tu(t) = v(t)， a.e. t [0，1]。 另一
un(t) – tun(t) = vn(t)， a.e. t [0，1]。
c(A)。
因此， R( I A) ，即 X
例4、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。
1
结论： (A) =
c(A)
= [0，1]，
(A) = R\[0，1] 。 可见，在不同的函数空间里面，形式相同的算
[
n
2
(2n ) ]( u，en )en
n
2
(v，en )en
(5)
在(5)中对比 en 之前的系数可得 (v，en ) ( u，en ) (2n )2
例5、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → u”(t)，其中 D(A) = {u C2[0，1]：u(0) = u(1)，u’(0) = u’(1)}。 则 A 是闭算子。讨论 A 的谱集。 (v，en ) e D ( A) ， 解：直接验证可知 u 2 n (2n ) n 并且 2 | (v，en ) | 2 2 || u || M || v || 2 2 | (2n ) | n
2
u(t) – u”(t) = v(t)。
(4)
由于 {en：n 为整数} 是 X 的正交规范基，可得
u
n
( u，en )en，v
n
(v，en )en
例5、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → u”(t)，其中 D(A) = {u C2[0，1]：u(0) = u(1)，u’(0) = u’(1)}。 则 A 是闭算子。讨论 A 的谱集。 解：于是可得
p(A)；
证明若 a ≠ 0，则 a+ib 证明 A 为闭算子。
(A)；
(1) ib
p(A)，即方程
(ib - A)x = 0 有非 0 解，
ibt ( ) x ( t ) = e 令 直接解微分方程 ，则
(Ax)(t) = ibeibt = ibx(t)，
即 Ax = ibx，ib 为点谱，x为对应特征向量。
= {-(2n ) ：n 为整数}，
(A) = C\{-(2n )2：n 为整数} 。
A 是闭算子由 (A) 非空即得。
例4、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。 解： (1) 考虑方程 u(t) – tu(t) = 0， a.e. t [0，1]， 函数 f(t) = – t 最多只有一个零点，可知
1
u(t) = 0，
a.e. t [0，1]。
即 I - A为单射，由此可知点谱为空集。
线性算子的谱理论
谱理论的重要性
1、考虑线性常微分方程组：
x ( t ) Ax( t )。
一方面，求方程的解只需要求出矩阵 A 的特 征值即得解为 x(t) = eAtx0；另一方面，解的 稳定性等价于矩阵 A 的特征值实部为负。 2、特征子空间是不变子空间，在更小的空间 讨论算子的性质往往要方便些……
若 y(t) 有界，令 s + ，则 t y( t ) e ( t ) x( )d e
0
(2) 由于 a > 0，可知积分 y(t) 收敛，并且 | y(t)| ≤ a-1|| x ||， t R。
由 x 一致连续，知 y 一致连续。从而，y X。 因此， ( I - A)y = x 有解，即 ||( I - A)-1|| ≤ a-1。 若 a < 0，在 y(t ) y( s )e 令s - ，类似地讨论
因此，方程 (2) 有解 u(t) = h(t)v(t)。
此时，R( I – A) = X，而在 (1) 中已经证明了
I – A 是单射，因此
(A)。
例3、设 X = C[0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。 解： (2) 任取 v(t) X，考虑方程 u(t) – tu(t) = v(t)， 当 t [0，1]。 (2)
(2) I – A 的值域与 X 的关系。
例5、设 X = L [0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → u”(t)，其中 D(A) = {u C2[0，1]：u(0) = u(1)，u’(0) = u’(1)}。 则 A 是闭算子。讨论 A 的谱集。 解：由例1.6.26，令en = e2n it，则 {en：n 为整数}
[0，1]时，只有当 v( ) = 0 时方程 (2) 才可
解。否则令 t =
上式即矛盾。
显然，非 0 常数函数不能由这一类函数逼近，
即 R( I A) X ，从而，
r(A)。
例3、设 X = C[0，1]，定义 X 上的线性算子 A：u(t) → tu(t)。讨论 A 的谱集。
结论： (A) =
(2) 证明若 a ≠ 0，则 = a+ib 设 a > 0，对 x X，证明
(A)。
y X，使得
( I - A) y = x， 即如下常微分方程在 X 中有解