密码学数学基础第三讲 同余式(2)
数论算法讲义 3章(同余方程)
第 3 章 同余方程（一） 内容：● 同余方程概念● 解同余方程● 解同余方程组（二） 重点● 解同余方程（三） 应用● 密码学，公钥密码学3.1 基本概念及一次同余方程(一) 同余方程（1） 同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则f (x)≡0（mod m ） （1） 叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。
（2） 同余方程的解若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。
（3） 同余方程的解数若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。
即剩余类a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）}中的每个剩余都是解。
故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x ≡a （mod m ）当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。
显然()m f T ;≤m（4） 同余方程的解法一：穷举法任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。
【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程15++x x ≡0（mod 7）的不同的解，故该方程的解数为2。
50＋0＋1＝1≡3 mod 751＋1＋1＝3≡3 mod 752＋2＋1＝35≡0 mod 753＋3＋1＝247≡2 mod 754＋4＋1＝1029≡0 mod 755＋5＋1＝3131≡2 mod 756＋6＋1＝7783≡6 mod 7【例2】求同余方程122742-+x x ≡0（mod 15）的解。
数论中的同余定理与同余方程的解法
数论中的同余定理与同余方程的解法数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支。
同余定理和同余方程是数论中重要的概念和工具。
本文将介绍同余定理的基本思想和应用，以及解决同余方程的常见方法。
一、同余定理同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等。
同余定理是数论中的一个基本理论，用于刻画整数之间的关系。
设a、b和n都是整数，n>0，我们称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)，当且仅当n|(a-b)。
同余定理可以分为以下几条：1. 同余的基本性质（1）自反性：a≡a(mod n)（2）对称性：若a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)（3）传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)2. 同余的运算性质（1）加法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)（2）减法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a-c≡b-d(mod n)（3）乘法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a*c≡b*d(mod n)3. 同余的整除性质若a≡b(mod n)，则m|a的充分必要条件是m|b。
同余定理不仅在数论中有重要应用，还广泛用于密码学、计算机科学等领域。
二、同余方程的解法同余方程是形如ax≡b(mod n)的方程，其中a、b和n为已知整数，x 为未知整数。
解同余方程可以通过以下几种方法：1. 借助同余定理直接解法：若gcd(a,n)|b，方程ax≡b(mod n)存在解。
具体解法为，求出gcd(a,n)的一个解d，然后将方程两边同时除以d，得到新方程a'x≡b' (mod n')，其中a'、b'和n'为新方程的系数，满足gcd(a',n')=1，然后再求解新方程，最后合并得到原方程的所有解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是解决同余方程组的一种有效方法。
密码学——第3章 数学基础
第三章 数学基础近代密码学用到数学之多，遍及许多数学分支，如概率统计、信息论、数论、有限域理论、复杂性理论，甚至于代数、几何等都在近代密码学中扮演重要角色。
所以，数学是近代密码学不可或缺的工具。
3.1 数论3.1.1 数的m 进制表示1. 十进制表示十进制是最方便的一种整数表示法。
例： 7108109101198723+∙+∙+∙=110210710310553721234+∙+∙+∙+∙=2. m 进制表示实际上，使用任何进制表示一个数都是可以的。
定理 设m 是大于的正整数，则每一个正整数n 可唯一地表示为0111c m c m c m c n k k k k ++++=--其中),,2,1,0(k j c j =是整数，且0,0≠<≤k j c m c 。
记作：m k k c c c c n )(011 -=。
3. m 进制表示的具体做法将一个正整数n 表示成m 进制时，主要是要确定k k c c c c ，，，，110- 。
若用⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n 表示n 除以m 后，取其整数部分（也就是比m n 小的最大整数），确定k k c c c c ，，，，110- 的方法如下：1. 令01c r =，n n =0，则有1221101c m c m c m c m n n k k k k ++++=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=---2. 令12c r =，则有2331212c m c m c m c m n n k k k k ++++=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=---3. 令23c r =， ……4. 若m n i >，令 ,2,1,0,1==+i c r i i122111++-----+++++=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=i i i k k i k k i i c m c m c m c m n n5. 直到110++==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=k k k k r c m n n ， 即m n k <为止。
4. 举例例 5389==m n ， 解 令 3890==n n则有34342323121201013 0 5350 3 55152 15577547753895c r n n c r n n c r n n c r n n ===⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢====⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢====⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢====⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=，，，，故5123)4203(4525053389=+∙+∙+∙=例 2389==m n ， 解 令 3890==n n⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1 12121 12320 32620 621220 1222420 42 24821 84 29720 97219421 19423892889778667556445334223112001====================================c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n ，，，，，，，，， 故2278)101000011(1222389=+++=第六次课截止于此3.1.2 数的因数分解素数 只能被1和其自身除尽的正整数称为素数（1,2,3,5,7, 11,13,17,…）。
同余运算原理
同余运算原理同余运算原理是数论中一个重要的概念，它描述了两个整数之间的一种等价关系。
在数学中，同余运算是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
这个概念在密码学、计算机科学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将从同余运算的定义、性质、应用以及相关定理等方面进行介绍。
同余运算的定义很简单，对于给定的整数a、b和正整数m，如果a和b除以m所得的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，则称a与b在模m下同余，记作a ≡ b (mod m)。
其中mod是取模运算的符号，表示取余数的操作。
同余运算可以理解为将整数集合划分为若干个等价类，每个等价类中的整数与模m下的余数相等。
同余运算具有以下几个重要的性质：传递性、反射性、对称性和合并性。
传递性指如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)。
反射性指a ≡ a (mod m)，即任意整数与自身在模m下同余。
对称性指如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)。
合并性指如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和a - c ≡ b - d (mod m)。
同余运算在密码学中有广泛的应用，特别是在公钥密码学中。
RSA 加密算法就是基于同余运算原理设计的一种非对称加密算法。
在该算法中，两个大质数的乘积被用作模数m，并选择一个与欧拉函数值互质的整数作为加密密钥e。
通过对明文进行加密运算得到密文，密文再通过解密运算得到原始的明文。
RSA算法的安全性基于大整数分解的困难性，即将大整数因式分解的难题。
除了密码学，同余运算还在计算机科学中起到重要的作用。
在计算机中，同余运算常常用于计算哈希函数的值。
哈希函数将任意长度的输入数据映射为固定长度的哈希值，而同余运算可以将哈希值映射到一个较小的范围内。
这在数据索引、数据校验和数据完整性验证等方面都具有重要的应用。
揭开密码的神秘面纱——同余运算PartIII
揭开密码的神秘面纱——同余运算PartIII [遇见数学] 核心成员: 蘑菇长颈鹿一枚数学系的大学生，喜欢数学文化的小视频，翻译中如有问题，请多指正~密码学中的同余运算 III欧几里得算法(Euclidean algorithm)，又称辗转相除法，是求最大公约数的算法。
它最早出现在欧几里得的《几何原本》中，而在我国可以追溯至东汉出现的《九章算术》。
欧几里得算法根据明确定义的规则来执行计算过程，是最常用的最古老算法之一。
欧几里得算法我们先来回忆一个刚才我们提到的数论中的重要概念——最大公约数(Greatest Common Divisor ())，它是表示可以同时整除两个整数和的最大整数。
由于在确定逆的存在性时常常会用到 ,下面我们来探索一种算法来帮助我们快速的找到。
欧几里得算法(The Euclidean Algorithm)就为我们提供了一种快速找到两个整数之间的方法。
具体方法如下：•若，那么，同理，若，那么。
•将写成带余除法形式。
•由于，利用欧几里得算法找到即为所求。
•若仍不容易得到，则循环第三步至得出所求。
下面我们通过一个简单的例子来进一步的理解欧几里得算法。
假设我们要寻找与之间的。
令 , 由于 , 且 ,而后我们有因此，。
也可以观看下面图像演示的过程：两条线段长分别可表示和，则其中每一小分段长代表最大公约数。
如动画所示，只要辗转地从大数中减去小数，直到其中一段的长度为，此时剩下的一条线段的长度就是和的最大公因数。
欧几里得算法处理大数时非常高效，如果用除法而不是减法实现，它需要的步骤不会超过较小数的位数的五倍。
法国数学家加布里埃尔·拉梅于 1844 年证明了这点，同时这也标志着计算复杂性理论的开端。
通过上面的例子我们可以看出，欧几里得算法主要是应用了以下几个性质：•及。
•若 ,并且 ,那么这里为整数，为到之间的整数。
其中，第一个性质告诉我们当其中一个数是时怎样找，而第二个性质则告诉我们如何将数字大、计算困难的，转化为数字小，简单的来计算。
同余方程x2=a(modp2)的公式解法
同余方程x2=a(modp2)的公式解法
模恰好计算机有着许多简单的求解方法，其中一种求解方法就是求解同余方程。
同余方程是一类常见的代数方程，它是模糊性数学中最有用的工具，广泛应用于密码学和信息安全领域。
特别是对于二次模方程x^2=a(mod p^2),其为特殊的二次模同余方程。
我们可以使用以下步骤来求解二次模方程：
1）首先找出与所要求的模(即p2)互素的质数p1，且p1满足
p1=1(mod 4)
2）设a=b2 mod p2其中b2 mod p2的平方根为b1，那么
b2=b12(mod p2)和b2=b12(mod p1)
3）将幂p1记为P，b12=b1P (mod p2)
4）用欧拉函数找到一个整数x，使得xP=1 (mod p1), 那么假设记b12= c，则c1/x就是x2=a (mod p2)的一个解
上述就是求解同余方程x2=a(modp2)的公式解法，它提供了一种有效的方法来求解二次模方程。
通过求解该同余方程，我们可以实现多种复杂的计算，如生成指定长度的随机整数和求解特定长度密码中所存在的运算问题等。
由此可见，求解同余方程可以大大提高计算机的效率，节省算力，也大大方便了计算机科学家们开展相关研究。
因此，在计算机科学领域，求解同余方程扮演着重要的角色。
第2章 同余
2.1同余的概念及一次同余式
证明 1 自反性,显然m|a-a ,故a≡a(mod m); 2 对称性 如果a≡b(mod m); 即m|a-b ,从而 m|b-a 因此, b≡a(mod m); 3 传递性 如果a≡b(mod m); b≡c(mod m); 则m|a-b,m|b-c 从而,m|(a-b+b-c), 也就是 m|a-c ,及a≡c(mod m);
2.2剩余类及完全剩余系
定理3 若a0,a1,…,am-1是模m的一完全剩余系,a和c是任意 二整数且(a,m)=1, 则aa0+c, aa1+c, …,aam-1+c也 是模m的一完全剩余系. 证明:由定理2,只需证明当a0,a1,…,am-1是模m的一 完全剩余系时, aa0+c, aa1+c, …,aam-1+c两两模m 不同余就可以了 采用反正法,假设,存在ai和ak(i≠k),使得 aai+c≡ aak+c(modm) ⇒m|a(ai-ak) , 又(a,m)=1 从而 m|ai-ak ,即ai和ak同余,矛盾
背包公钥密码（续）
加密过程 取正整数u,m，使得a1+a2 +…+an-1 +an <m, (u,m)=1,u,m作为密钥，只有接收方知道； bi ≡ uai (mod m). b1 , b2 … bn为公钥 （ m1, m2, L, mn ）为明文 s=a1x1 + a2x2 + L + anxn
2.2剩余类及完全剩余系
定义1 给定正整数m，对于任意整数a，称集 合 Ca = { c；a ≡ c (mod m)，c∈Z }是模m的一 个剩余类。 一个剩余类中的任一数叫做该类 的剩余或者代表元。若r0，r1,…, rm-1是m个整 数,并且其中任何两个数都不在剩余类里,则 r0，r1,…, rm-1 称为模m的一个完全剩余 从定义可以看出,模m的剩余类有m个 C0, C1,…, Cm-1,
同余定理及其应用
同余定理及其应用同余定理是数论中的一个重要定理，广泛应用于代数、密码学、编码理论等领域。
它的核心思想是两个整数除以一个正整数所得的余数相同，则这两个整数被称为同余数。
本文将深入探讨同余定理的理论基础以及在实际应用中的具体应用案例。
一、同余定理的理论基础同余定理的理论基础建立在欧拉定理的基础之上。
欧拉定理表明，若a和n互质（即a与n没有公共因子），则a的φ(n)次方与1模n同余，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。
而同余定理则扩展了欧拉定理的应用范围，使得即使a与n不互质，也可以进行同余运算。
同余定理可以形式化地表示为：若两个整数a和b满足a ≡ b (mod n)，其中n为正整数，则a与b除以n所得的余数相同。
二、同余定理的应用案例1. 哈希函数在密码学和信息安全领域，哈希函数被广泛用于将任意长度的输入映射为固定长度的输出。
同余定理可以用于设计哈希函数的压缩函数，通过对输入取模的方式生成哈希值。
同余定理保证了不同输入产生的哈希值在模运算下具有统一的分布特征，从而提高了哈希函数的均匀性和唯一性。
2. 线性同余发生器线性同余发生器是一种常见的伪随机数发生器，通过递推公式生成伪随机数序列。
递推公式的关键就是同余定理。
通过不断对前一项取模，可以生成满足特定分布特征的伪随机数序列。
线性同余发生器被广泛应用于模拟实验、密码学算法以及其他需要随机数的场景。
3. 错误检测与纠正码在编码理论中，同余定理可以用于错误检测与纠正码的设计。
通过巧妙地选择同余定理中的模数，并进行恰当的编码映射，可以实现对输入码字的差错检测和纠正。
这种应用广泛应用于数据传输和存储中，提高了数据的可靠性和完整性。
4. 中国剩余定理同余定理的一个重要应用是中国剩余定理。
中国剩余定理是一种用于求解一组同余方程的方法，即给定一组同余方程，通过对同余定理的灵活应用，可以找到满足全部方程的最小正整数解。
中国剩余定理在数学研究中有广泛的应用，同时也在信息安全和密码学中发挥着重要作用。
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x 2(mod 9) （2） 3 x 4(mod 5) 4 x 3(mod 7)
定理2.13 设m1，m2为整数，(m1, m2)=1，则同余方程
f ( x ) 0(m od m 1 m 2 )
的解数为二方程
f ( x ) 0(m od m1 ) f ( x ) 0(m od m 2 )
R上的线性方程组解法可以直接用在Zm上，不同的是 求解逆的时候，所处的代数结构不同。
例：
2 x 3 y z 4(mod11) x 2 y 4 z 5(mod11) 3x 8 y 2 z 13(mod11) 4 x y 9 z 6(mod11)
r=0 ? N Y b=1 ? Y 回答：d-1(mod n) 不存在，结束。 v0 ? N vn+v 输出：v=d-1(modn) Y
可以证明，上述算法的输 出v必然满足：0v<n 。
应用：仿射密码 例：已知加密变换c≡7m＋10(mod26)，对明文money 加密，并写出解密变换。 答案： 明文m：money 密文c：qexmw 解密变换为 Dk(c)=15(c－10) ≡15c＋6(mod26)
于是，可设ai=uin+vid，i=1,,k。 由辗转相除过程可知，ak=(d,n)。如果(d,n)=1，则 ukn+vkd=1，由此即得 vkd 1(mod n) 因此，d-1(mod n)=vk(mod n)。 例：7-1mod26=-11mod26=15。
方法2 推导出求{vi}的递推关系： 注意到ai+1= ui+1n+vi+1d，又 ai+1=ai-1-qiai=(ui-1-qiui)n+(vi-1-qivi)d 可见 vi+1=vi-1-qivi，
2 3 1 9 3 8 4 10
1 4 4 6 9 2 9 5
1 0 0 0
1 1 1 2 0 0 0 0 0 0
0
2
例：Hill体制（C=MKmod26），设M的长度为2,密 钥为
（1）若明文为DO，试确定密文。 （2）若密文为CF，试确定该加密的明文。 练习：解同余方程组
（1）
记
x1 x2 X x n
b1 b2 b b m
则有矩阵形式
AX b
●Zm上线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 (mod m) a x a x a x b (mod m) 21 1 22 2 2n n 2 （2） am1 x1 am 2 x2 amn xn bm (mod m)
乘法逆元的定义及性质 1) 逆元：设a是模n的剩余类环Zn中的一个元素，即a∈Zn, 如果存在x∈Zn使得ax≡1 (mod n), 那么我们就说a是可逆的， 称x为a的模n的乘法逆元，简称逆元。 例1：1模26的逆元还是1。 例2：9是3模26的逆元。 2) 逆元是相互的，x是a的逆元，则a也是x的逆元。 例： 9是3模26的逆元，则3也是9模26的逆元。 3) 模n的剩余类环Zn中的任意元素a是可逆的充要条件是a 与n互素，即 (a,n)=1。 例3：Z26中的可逆元有1、3、5、7、9、11、15、17、 19、21、23、25。
m xi x 0 i (mod m), i 0,1,2, , ( a, m) 1. ( a, m) a 1 b m x0 ( ) ( )(mod ) 其中 (a, m) ( a, m) (a, m)
例
求解同余式组
4 x 1(mod11) （1） 8 x 3(mod 9)
3x 5 y 38(mod 47) x y 10(mod 47)
作业
课后习题1、13、14、16
解数之积。 例
4 x 6(mod12) 3 x 9(mod15)
三、线性方程组求解
●R上线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm a11 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
u 89 39 11 6 5 1 1 0 v 0 1 -2 7 -9 16 2 3 1 1 q
且必要的初值是： v0=0,v1=1。 例：求39-1mod89。 39-1mod89≡16
求d-1(mod n) 的算法框图：
输入：n,d 初始化 an,bd,t0,v1
用带余除法计算：a=qb+r（0r<b) N 修改 ab,br wv,vt-qv,tw
二、一次同余式求解
求解一次同余式： (1) 5x≡4(mod10) ； (2) 3x≡6(mod9) ； (3) 9x≡6(mod15) 。
| a ，模m的一次同余式ax b (mod m ) 有解的 定理1 设 m 充要条件是(a，m)|b。在有解时，它的解数等于(a，m)，若x0是 它的一个解，则它的(a，m)个解为
第三讲 同余式（2）
教师：李艳俊 联系方式：13810350384
本讲内容
一 d-1(mod n)的解法
二 一次同余式求解 三 线性方程组求解
一、d-1(mod n)的解法
一次同余式
ax b mod n ax 1mod n
x a 1 mod n
首先考虑b=1的情形，即
x是Zn中与a互逆的值，记为
ai
不难看出
ai 1
ai
ai 1 ai 1
1 0 1 0 1 0 ui ai ai 2 ai 1 n d 1 qi 1 qi 1 1 qi vi
4) 如果a是可逆的,则其逆元是唯一的,记为a–1。 5) Zn中共有Φ(n)个可逆元。 练习：试求Z18中的可逆元个数。 Zn中元素逆元的求法： 回忆 辗转相除法： 设a0=n,a1=d，辗转做带余除法得 ai-1=qiai+ai+1，i=1,,k 其中k使0=ak+1<ak<<a1。
方法1 推导出求递推矩阵：