高中数学(五)选择题五法教师版

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高中数学必修五选择题435题(附答案)

必修5选择题435题一、选择题1、已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．42、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶23、若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 34、在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形5、在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定6、在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( )A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135°7、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°8、在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9、在△ABC 中，若acos A ＝bcos B ＝ccos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形10、在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，40311、在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°12、在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶613、在中，若，则等于（）A. B. C. 或 D. 或14、在中，已知，则等于（）A. B. C. D.15、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）A. ，有两解B. ,有一解C. ，有两解D. ，无解16、在中，已知，，则的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形17、在中，,，则（）ABC ∆A b a sin 23=B 30 60 30 150 60120ABC ∆ 45,1,2===B c b a 226-226+12+23-30,14,7===A b a150,25,30===A b a45,9,6===A b a60,10,9===A c b ABC ∆B a b sin 323=C B cos cos =ABC ∆ABC ∆60=A 3=a =++++CB A cb a sin sin sinA. B. C. D.18、在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形19、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°20、在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形21、△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形22、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定23、如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定24、已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π325、在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°338339233263226、甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟27、从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( )A ．α>βB ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90°28、设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.152 3 m ，2033 m29、如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．30＋30 3 mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m30、从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米31、在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m32、平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( )A．16 B．17.5 C．18 D．18.5333、台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时34、如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(6＋2) 海里/小时B．20(6－2) 海里/小时C．20(6＋3) 海里/小时D．20(6－3) 海里/小时35、如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m36、海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A 岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．10 3 n mile B.1063n mileC．5 2 n mile D．5 6 n mile37、已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km38、若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的()A．南偏西45°10′B．南偏西44°50′C ．南偏东45°10′D ．南偏东44°50′39、在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= ，则·等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.3240、如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)41、若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．242、已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )A. 3B. 2 C ．±3 D ．±243、已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是( )A ．a n ＋a n ＋3<a n ＋1＋a n ＋2B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2C ．a n ＋a n ＋3>a n ＋1＋a n ＋2D ．不确定的，与公比有关44、在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．115°45、如果不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)46、在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．21047、在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．25648、在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3449、在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3250、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )A ．91B ．152C ．218D ．27951、在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形52、设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.1253、△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.5654、等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )A ．－9B ．－15C ．15D ．±1555、在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对56、根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解57、△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 258、在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形59、已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 360、在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( )A.π12B.π6C.π4D.π361、△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 C ．6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋3 D ．6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋362、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π363、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π364、若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形65、在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( )A.21B.106C.69D.15466、在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155D ．6 367、已知ABC △中，a =b =60B = ，那么角A 等于（）A ．135B ．90C ．45D ．3068、△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°69、在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则AB BC ∙的值为（）A 、19B 、-14C 、-18D 、-1970、钝角ABC ∆的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A ．1、2、3、B ．2、3、4C ．3、4、5D ．4、5、671、在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是( )A ．－14 B.14 C ．－23 D.2372、在ABC ∆中，已知,,8,45,60D BC AD BC c B 于⊥=== 则AD 长为（）A ．1)34-（B ．1)34+（C ．3)34+（D ．)334-（73、. 若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形74、在ABC ∆中，若2=a ，22=b ，26+=c ，则A ∠的度数是（）A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒7575、在ABC ∆中，已知角,334,22,45===b c B 则角A 的值是（） A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15°76、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（） A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45°77、下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解78、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B．b ＝5，c ＝42，B ＝45°C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60°D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30°79、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶280、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°81、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a82、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B之间的相距（）A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km)83、已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°84、在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是( ) A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰或直角三角形D 、钝角三角形85、在 ABC △中，角C 为最大角，且0222>-+c b a ，则ABC △是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．形状不确定α86、在ABC ∆中，若bBa A cos sin =，则B 的值为（） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 9087、在△ABC 中，一定成立的等式是 ( ) A. a sinA=b sinB B. a cosA=b cosB C. a sinB=b sinA D .a cosB=b cosA88、在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对89、在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( )A ．25B ．51C ．49 3D ．4990、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°91、在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形92、如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin (α－β)B.a sin αsin βcos (α－β)C.a sin αcos βsin (α－β)D.a cos αcos βcos (α－β)93、在△ABC 中，已知||＝4，||＝1，S △ABC ＝3，则·等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±294、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 295、在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.3596、已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 597、在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223C ．－63 D.6398、已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞99、数列满足且，则此数列第5项是（）A. 15B. 255C. 16D. 63100、下列说法正确的是（）A. 数列1，3，5，7可表示为B. 数列1，0，与数列是相同的数列C. 数列的第项是D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集的函数101、数列中，由给出的数之间的关系可知的值是（）A. 12B. 15C. 17D. 18{}n a 341+=-n n a a 01=a {}7,5,3,12,1--1,0,1,2--⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1k k 11+*N ,28,21,,10,6,3,1x x102、设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2103、已知数列的通项公式为，则3 （）A. 不是数列中的项B. 只是数列中的第2项C. 只是数列中的第6项D. 是数列中的第2项或第6项104、数列的通项公式为，则数列各项中最小项是（）A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项105、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0106、已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30107、数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2 D ．a n ＝n 2＋1108、已知，则数列是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列1582+-=n n a n {}n a {}n a {}n a {}n a {}n a n n a n 2832-={}n a 031=--+n n a a {}n a109、已知数列，它的第5项的值为（）A. B. C. D.110、已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定111、数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2112、已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58113、数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则：a 3＋a 5等于( )A.259B.2516 C.6116 D.3115114、已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( )A.67B.57C.37D.17115、数列的一个通项公式是（）A. B. C. D.() ,11,,91,41,12nn ---5151-251251- ,1,0,1,0,1()2111+--=n n a ()2111+-+=n n a ()211--=nna ()211nn a ---=116、数列中第8项是（）A. B. C. D.117、已知数列满足且，则（） A. B. C. D.118、数列中，已知，则（）A. 1B.C.D. 2119、已知数列，则是它的（）A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项120、若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1]B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)]C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1]121、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项122、数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n123、已知，则（） ,9910,638,356,154,3219514255163231839920{}n a ()nn n n a a a 111-+=--11=a =35a a 15163415838{}n a ()*1221,2,1N n a a a a a n n n ∈-===++=2002a 1-2- ,12,,7,5,3,1-n 53()*1133,21N n a a a a n n n ∈+==+=n aA. B. C. D.124、设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．6125、如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35126、若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q2127、在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )A ．18B ．9C ．12D ．15128、已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3129、△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°130、一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23131、已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4132、等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)52+n 42+n 53+n 43+nB ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *)133、下面四个不等式：(1)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；(2)a (1－a )≤14；(3)b a ＋a b ≥2； (4)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个134、一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定135、在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52136、若a 、b 、c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件137、在等差数列中，已知则等于（）A 10B 42 C43 D45138、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（）A 第13项B 第14项C 第15项D 第16项139、设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－82140、已知，则的等差中项为（）{}n a ,13,2321=+=a a a 654a a a ++231,231-=+=b a b a ,A B C D141、已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3142、设0＜x ＜1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．a B ．bC ．cD ．不能确定143、某同学证明不等式7－1＞11－5的过程如下：要证7－1＞11－5，只需证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1，即证35＞11，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法C ．综合法，分析法结合使用D ．其他证法144、已知等差数列{a n }中，a 5＋a 11＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64145、下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个146、在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10147、2000是等差数列4，6，8…的（）323121A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项148、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63149、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12150、设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值151、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1152、数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1153、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．6154、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19155、等差数列的前n 项和为（）A. B. C. D.156、一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1,4,1,2-()4321-n n ()7321-n n ()4321+n n ()7321+n n157、现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29158、已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且An B n＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5159、已知等差数列满足，则（）A. B. C. D.160、数列是等差数列，它的前项和可以表示为（）A. B.C. D.161、在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663162、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27163、已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15164、等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4{}n a 099321=++++a a a a 0991>+a a 0991<+a a 0991=+a a 5050=a {}n a n C Bn An S n ++=2Bn An S n +=2C Bn An S n ++=2()0≠a Bn An S n +=2()0≠a165、等差数列中，，则等于（）A. 11B. 9C. 9或18D. 18166、设数列是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A. 1B. 2C. 4D. 8167、在等差数列中，，则等于（）A. 5或7B. 3或5C. 7或D. 3或168、设是公差为的等差数列，若，则的值为（） A. 78 B. 82 C. 148 D. 182169、在等差数列中，已知，那么它的前8项之和等于（）A. 12B. 24C. 36D. 48170、一个三角形的三个内角的度数成等差数列，则的度数为（）A. B. C. D.171、在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81172、在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a5a7等于( )A.56B.65C.23D.32173、和的等比中项是（）A. 1B.C.D. 2{}n a 162,16,1041===n S a a n {}n a {}n a 35,2,11===n n S d a 1a 1-1-{}n a 25097741=++++a a a a 99963a a a a ++++ {}n a 1254=+a a 8S C B A ,,B 30 45 609032+32-1-1±174、在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为（） A. B. C. D.175、在等比数列中，且，则的值为（）A. 16B. 27C. 36D. 81176、已知公比为的等比数列，若，则数列是（）A. 公比为的等比数列B. 公比为的等比数列C. 公差为的等差数列D. 公差为的等差数列177、若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4178、已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243179、在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为（）A. 32B. 256C.D. 64180、在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12181、已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2182、若成等差数列，而和都分别成等比数列，则的值为（）227445225447{}n a 0>n a 34129,1a a a a -=-=54a a +q {}n a *2,2N n a a b n n n ∈+=+{}n b q 2q q q {}n a 991,a a 016102=+-x x 605040a a a 64±c b a ,,c b a ,,1+2,,+c b a bA ．16B ．15C ．14D ．12183、已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2184、在等比数列中，已知，则= （）A. 8B. －8C.D. 16185、若正数组成等比数列，则一定是（）A. 等差数列B.既是等差数列有是等比数列C. 等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列186、在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343187、如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9188、已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2 D ．3－2 2189、一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.12190、若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( ) A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定{}n a 30,341515=-=+a a a a 3a 8±c b a ,,c b a 222log ,log ,log191、若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋cn ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1192、在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189193、某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1)194、一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米195、在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30196、某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元197、已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158198、在等比数列中，，则公比等于（）A. 4B. 2C.D. 或4199、已知公比为的等比数列的前项和为，则数列的前项和为（）{}n a 55,551==S a q 2-2-q ()1≠q {}n a n n S ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1nA. B. C. D.200、一张报纸，其厚度为，面积为，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（） A. B. C. D.201、等比数列前项和为54，前项和为60，则前项和为（）A. 54B. 64C.D.202、已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前项和为（）A. B. C.D.203、某工厂去年产值为，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值为（）A. B. C. D.204、在等比数列中，，则（） A. B. C. D.205、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11206、设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314n n S q n n q S 11-n n q S 121-n n q a S a b b a 81,8b a 641,64b a 1281,128b a 2561,256n n 2n 332663260{}n a 132-⨯=n n a n 13-n ()133-n ()1941-n ()1943-n a a 41.1a 51.1()a 11.1105-()a 11.1115-3,6432321-=++=++a a a a a a =++++76543a a a a a 81116198943C.334D.172207、若等比数列的前项和，则（）A. 2B. 1C. 0D.208、设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172209、在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2210、在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510211、记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33212、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶3213、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．2214、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6215、在等差数列{a n }中，a 3＝2，则{a n }的前5项和为( )A ．6B ．10C ．16D ．32{}n a n r S n n +=2=r 1-216、已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项217、设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )218、已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.1516219、在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 10－12a 12的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13220、等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ．8B ．－8C ．±8D ．以上都不对221、数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在222、若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A ．1或2B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－2223、等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220224、在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1225、等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192226、已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18227、已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7)228、在等差数列{}n a 中，若45076543=++++a a a a a ，则82a a +的值为（）（A ）90（B ）100（C ）180（D ）200229、在等比数列{}n a 中，且a 1+a 4 =45，a 2+a 5 =15，则a 3+a 6的值是（）（A ）-15（B ）3（C ）5（D ）30230、若{}n a 是等差数列，2211=S ,则6a 的值为（）（A ）4 （B ）2 （C ）6 （D ）8231、若{}n a 是等比数列，n a >0，且252645342=++a a a a a a ，那么53a a +的值为（）（A ）5 （B ）-5 （C ）-5或5 （D ）25232、在数列中，，则的值为（）（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）52233、若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++= ( ) （A ）2(21)n -（B ）21(21)3n -（C ）41n-（D ）1(41)3n -234、某细菌每20分钟分裂一次（1个分裂为2个），那么经过3小时可以由一个可分裂成（）（A ）511个（B ）512个（C ）1023个（D ）1024个235、数列{}n a 的前n 项和为s n =n 2+2n-1，则25531a a a a ++++ 的值为 ( )（A ）350 （B ）351 （C ）337 （D ）338236、已知-1，1a ，2a ，-4成等差数列，且-1，b 1,b 2,b 3,-4成等比数列，则212b a a -的值为（）（A ）21（B ）—21（C ）21或—21（D ）41237、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n238、等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝24－n B ．a n ＝2n －4 C ．a n ＝2n－3D ．a n ＝23－n239、已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2240、已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64241、数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12nB.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n )242、数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121243、数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130244、a 1，a 2，a 3，a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则a 1d的值为( )A ．－4或1B ．1C ．4D ．4或－1245、将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2 010位于第( )组．A ．30B ．31C ．32D ．33246、已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |等于( )A ．1 B.32 C.52 D.92247、已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和．若S 16>0，且S 17<0，则当S n 最大时n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．16248、已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29249、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27250、已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( )A ．8B ．12C ．16D ．24251、数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A ．2n －1B ．2n －1－1 C ．2n ＋1 D ．4n －1252、在等差数列{}n a中，41=a且1a 5a 13a成等比数列，则{}n a的通项公式为（）A. B. C.D.13+=n a n 3+=n a n 13+=n a n 或4=n a 3+=n a n 或4=n a253、下列命题中是真命题的是（）A ．数列{}n a是等差数列的充要条件是q pn a n +=0≠pB ．已知一个数列{}n a的前 n 项和为a bn an S n ++=2如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C ．数列{}n a是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a的前。

高中数学必修5 知识点梳理及经典例题和答案详解 (教师用书word版)

1．1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理授课提示：对应学生用书第1页[基础认识]知识点一正弦定理预习教材P 2－3，思考并完成以下问题在任意三角形中，有大边对大角，小边对小角，能否得到这个边角关系的准确量化？ (1)如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C 分别等于什么？三者有什么关系？提示：要联系正弦函数的定义．(a sin A ＝c ，b sin B ＝c ，csinC＝c ，三者相等)． (2)在一般锐角三角形中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？提示：成立．(3)如图，△ABC 的角B 为钝角，如何验证a sin A ，b sin B ，csin C 的关系？提示：要构造直角三角形．设AB 边上的高为CD ，如图．根据三角函数的定义有， CD ＝a sin(π－B )＝a sin B ， CD ＝b sin A ，所以a sin B ＝b sin A . 得到a sin A ＝b sin B .同理得到b sin B ＝csin C ，故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 知识梳理 (正弦定理law of sines)设△ABC 的外接圆的半径为R . (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)． (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．(4)三角形的边长之比等于其对角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (5)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C . (6)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B ．思考正弦定理对任意三角形都适用吗？提示：适合于任意三角形．知识点二解三角形知识梳理一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考任意给出三角形的三个元素，用正弦定理都能求出其他元素吗？提示：不一定，如已知三角形三个角A 、B 、C ，则不能确定其各边的大小．[自我检测]1．在△ABC 中，C ＝90°，a ＝12c ，则sin A ＝________.答案：122．在△ABC 中，C ＝120°，A ＝45°，c ＝2，则a ＝________. 答案：2633．在△ABC 中，若B ＝30°，b ＝2，则asin A＝________. 答案：4授课提示：对应学生用书第2页探究一已知两角及一边解三角形[阅读教材P 3例1及解答]在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9 cm ，解三角形．题型：已知两角及一边方法步骤：(1)根据A ＋B ＋C ＝180°求角C . (2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B 求边b .(3)根据正弦定理a sin A ＝csin C求边c .[例1] 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解这个三角形． [解析] 由三角形内角和定理知A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由a sin A ＝csin C，得 c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin B sin A ＝5sin 45°sin 30°＝5 2.[例2] 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4，求AB 的长．[解析] 因为B 为三角形的内角且cos B ＝45，所以sin B ＝35，因为AB sin C ＝ACsin B ，所以AB 22＝635⇒AB ＝5 2.方法技巧解决已知两角及一边类型的解题方法(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．延伸探究 1.将例1中的“C ＝105°”改为“A ＝105°”，解这个三角形．解析：由三角形内角和定理知C ＝30°. 又sin A ＝sin 105°＝6＋24，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5×226＋24＝5(3－1)．同理，c ＝a sin Csin A ＝5×126＋24＝5(6－2)2.2．若例2条件不变，求BC 的长．解析：由cos B ＝45，知sin B ＝35，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝35×22＋45×22＝7210. 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，∴BC ＝AC ·sin Asin B ＝6×721035＝7 2.探究二已知两边及一边的对角解三角形[阅读教材P 4例2]在△ABC 中，已知a ＝20 cm ，b ＝28 cm ，A ＝40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)．题型：已知两边及一边的对角方法步骤：(1)根据正弦定理求sinB ．(2)判断角B 解的情况(本题两解)． (3)讨论角B ，求解角C 和c .[例3] (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6 C.π4D .π3 [解析] 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝csin C 得2sin3π4＝2sin C ，即sin C ＝12，得C ＝π6. [答案] B(2)在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，C ＝π3，求A ，B ，b .[解析] 因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22.因为c ＞a ，所以C ＞A ，所以A ＝π4.所以B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C＝6·sin 5π12sinπ3＝3＋1.延伸探究 3.若把本例(2)中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B ，b .解析：因为c ·sin A ＝6×22＝3＜2，所以6sin π4＜2＜6，即c ·sin A ＜a ＜c ，所以本题有两解．因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1.方法技巧1．已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．2．已知两边及一边对角的三角形解的个数 (1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin Aa.①若b sin A a ＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．②若b sin A a ＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．③若b sin A a ＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解D ．无法确定解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝25×sin 150°30＝512，又a ＞b ，所以B 为锐角，角B 有唯一的解．进一步，可以求角C 和边c ，都是唯一的．答案：A2．已知△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解析：由正弦定理，可得a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又0°＜B ＜180°，所以B ＝60°或120°. ①当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝90°，此时c ＝a 2＋b 2＝(23)2＋62＝43，②当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，此时c ＝a ＝2 3.探究三判断三角形的形状[教材P 10习题1.1 B 组第2题]在△ABC 中，如果有性质a cos A ＝b cos B ，试问这个三角形的形状具有什么特点？解析：设△ABC 的外接圆的半径为R ，由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴由a cos A ＝b cos B 得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 由于A 、B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，故A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[例4] 在△ABC 中，已知a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状． [解析] 由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，因为A ，B 为△ABC 的内角，故A －B ＝0，A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．延伸探究 4.将例4中的条件改为“sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ”，判断三角形的形状．解析：由正弦定理得 sin A a ＝sin B b ＝sin Cc ，又sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，两式相除得1＝tan B ＝tan C ，又0＜B ＜π，0＜C ＜π，所以B ＝C ＝π4，所以A ＝π2.所以△ABC 为等腰直角三角形．5．将例4中的条件改为“a 2tan B ＝b 2tan A ”，判断三角形的形状．解析：设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ，所以a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，即4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A ，因为0＜A ＜π，0＜B ＜π，所以sin A ≠0，sin B ≠0，可得sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法技巧1．判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 2．用正弦定理进行边角互化的两种方法授课提示：对应学生用书第4页[课后小结]对正弦定理的认识(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)正弦定理与三角形的外接圆的半径结合起来，可实现三角形的边与角的互化． (5)正弦定理可用于求解两类三角形：一是已知三角形的两角(或其三角函数值)和一边；二是已知三角形两边及一边的对角(或其三角函数值)．第一种三角形只有一解，第二类三角形可能一解、两解或无解．[素养培优]1．不理解三角形解的情况与条件的关系在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜433D ．2＜x ≤433易错分析对两组解存在的条件理解不清，只认为a ＜b 即可或理解“反”，即a ＞b ，考查逻辑推理、数学运算的学科素养．自我纠正当a sin B ＜b ＜a 时，△ABC 有两组解，已知b ＝2，B ＝60°，a ＝x ，如果△ABC 有两组解，那么x 应满足x sin 60°＜2＜x ，即2＜x ＜43 3.答案：C2．忽视边或角的大小关系在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝π6，a ＝3，b ＝1，则A ＝( )A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6易错分析忽视条件a 与b 的大小关系和作用，只盲目得一种结果，错选A 或B.考查数学运算及分类讨论思想．自我纠正在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝3sin π61＝32，因为b ＜a ，所以A ＞B ＝π6，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3或2π3.答案：C3．解答不完备，题意审不清在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．易错分析将此题的两个条件割裂开应用，致题意审不清，解答不完备或混淆概念．考查数学运算、逻辑推理的学科素养及基本知识的综合应用能力．自我纠正法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°， ∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1， ∴sin B ＝22. ∵0°＜B ＜90°，∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0. 又－90°＜B －C ＜90°， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．单独成册：对应学生用书第79页[A 组学业达标]1．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是( ) A.75 B.57 C.712D.512解析：由正弦定理得sin A ∶sin C ＝a ∶c ＝7∶5. 答案：A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝( )A.22B ．1 C. 2D ．2解析：根据三角形内角和定理得C ＝30°，根据正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin Csin B ＝22×1222＝2.答案：D3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝45°，a ＝32，则b ＝( )A.32B ． 3C ．2 3D ．4 3解析：由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝32sin 45°sin 60°＝32×2232＝2 3.答案：C4．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A. 2 B ．3－ 3 C ．2D ．3＋ 3解析：由正弦定理得 BC ＝AB sin A sin C ＝3×sin 45°sin 75°＝3×2222×32＋22×12＝266＋2＝3－ 3.答案：B5．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．答案：B6．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝1，A ＝45°，则C 的大小为________．解析：sin B ＝b sin A a ＝1×222＝12. ∵a ＞b ，∴B ＝30°， ∴C ＝180°－30°－45°＝105°. 答案：105°7．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________.解析：sin B ＝b ·sin Aa ＝3×3233＝12.a ＞b ，∴B ＝π6.C ＝π2.答案：π28．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝________.解析：∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 答案：79．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ．求角C 的大小．解析：由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，从而sin C ＝cos C ．又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.10.如图所示，AB ⊥BC ，CD ＝33，∠ACB ＝30°，∠BCD ＝75°，∠BDC＝45°，求AB 的长．解析：在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知：33sin 60°＝BC sin 45°，求得BC ＝11 6.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝116×tan 30°＝11 2.[B 组能力提升]11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin B ＝sin B ＋2sin B cos C ，即sin A cos C ＝2sin B cos C ，由于△ABC 为锐角三角形，所以cos C ≠0，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得a ＝2b .答案：A12．在△ABC 中，A ＝23π，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( )A.85 B ．58C.53D.35解析：由正弦定理得BC sin A ＝ABsin C，所以sin C ＝AB sin ABC ＝5×sin 23π7＝5314.又因为A ＝23π，所以C ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×1114＋⎝⎛⎭⎫－12×5314＝3314，所以sin B sin C ＝33145314＝35.答案：D13．在△ABC 中，已知B ＝45°，b ＝2，若用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是________．解析：因为a sin A ＝b sin B ＝222＝22，所以a ＝22sin A ，A ＋C ＝180°－45°＝135°，由A 有两个值，得到这两个值互补，若A ≤45°，则互补的角大于等于135°，这样A ＋B ≥180°.不成立，所以45°＜A ＜135°，又若A ＝90°，这样补角也是90°，一解，所以22＜sin A ＜1，又a ＝22sin A ，所以2＜a ＜2 2.答案：(2,22)14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________.解析：由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. 因为sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. 因为sin C ＞0，所以3sin B －cos B －1＝0，所以2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.答案：π315．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C . (1)求B 的范围； (2)试求ab的范围．解析：(1)在锐角三角形ABC 中，0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，0＜C ＜π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜B ＜π2，0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2解得π6＜B ＜π4.(2)由正弦定理知a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故ab 的范围是(2，3)．16．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，判断△ABC 的形状．解析：因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cosB ．由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．1.2 余弦定理授课提示：对应学生用书第4页[基础认识]知识点余弦定理预习教材P 5－7，思考并完成以下问题(1)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角(如已知a ，b 及角C )，这个三角形大小、形状完全确定吗？可以用a ，b 及C 表示边c 吗？提示：完全确定三角形，可以用a 、b 及C 表示c . (2)如果C ＝90°，边c 如何表示？提示：c 2＝a 2＋b 2.(3)如果C 是任意角，C ∈(0，π)，如图．设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如何运用向量求|AB →|?提示：c ＝a －b ，|c |2＝(a －b )2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab.思考 (1)勾股定理c 2＝a 2＋b 2与余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 有什么关系提示：前者是后者的特例(C ＝90°)．(2)△ABC 中，B ＝60°，a ＝12c ，△ABC 一定是直角三角形吗？提示：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝14c 2＋c 2－2×12c 2×12＝34c 2.∴a 2＋b 2＝14c 2＋34c 2＝c 2，故C ＝90°，△ABC 为直角三角形．[自我检测]1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．62 D ．219 答案：D2．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________. 答案：12授课提示：对应学生用书第5页探究一已知两边及夹角解三角形[阅读教材P 7例3]方法步骤： (1)先用余弦定理求a 2. (2)用正弦定理求较小的角C . (3)由A ＋B ＋C ＝180°求角B .[例1] (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A . [解析] ∵cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°.(2)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A ，C 和a .[解析] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3或a ＝6.当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.方法技巧已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出第三边，其他角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求解；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解． (2)若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好．跟踪探究 1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( )A ．4 B.15 C ．3 D.17答案：D2．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：∵b ＋c ＝7，∴c ＝7－b .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，解得b ＝4. 答案：4探究二已知三边解三角形[阅读教材P 7例4]方法步骤： (1)用余弦定理变式求某角的余弦值． (2)用余弦定理变式求另一角的余弦值． (3)结合A ＋B ＋C ＝180°，求第三个角．[例2] △ABC 中，a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，解该三角形． [解析] 法一：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝8＋8＋43－122×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋8＋43－843(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝75°. 法二：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋8＋43－122×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22×3223＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°， ∴A ＝60°，B ＝45°，C ＝75°.延伸探究 1.将本例改为：若三角形三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶2∶ 3D.2∶3∶2解析：设三角形三边长分别为m ，3m,2m (m ＞0)，最大角为A ，则cos A ＝m 2＋(3m )2－(2m )22m ·3m ＝0，∴A ＝90°. 设最小角为B ，则cos B ＝(2m )2＋(3m )2－m 22·2m ·3m ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3. 答案：A方法技巧已知三边解三角形的方法及注意事项(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值非负，角为锐角或直角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．探究三已知三边关系解三角形[教材练习P 25B 组3题]研究一下，一个三角形能否具有以下两个性质： (1)三边是连续的三个自然数； (2)最大角是最小角的2倍．解析：设△ABC 的三边分别为a ＝n －1，b ＝n ，c ＝n ＋1(n ≥2，且n ∈N )，同时C ＝2A . 由sin C sin A ＝n ＋1n －1得2cos A ＝n ＋1n －1. 又∵cos A ＝(n ＋1)2＋n 2－(n －1)22n (n ＋1)＝n ＋42(n ＋1)，∴2×n ＋42(n ＋1)＝n ＋1n －1，∴n ＝5适合题意．故存在这个三角形，三边分别为4,5,6.[例3] 在△ABC 中，已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，且sin A ∶sin C ＝(3＋1)∶2，求角C . [解析] ∵a 2＋c 2＝b 2＋ac ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ． ∴2ac cos B ＝ac ，∴cos B ＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵sin A sin C ＝3＋12，∴2sin A ＝(3＋1)sin C .∴2sin(120°－C )＝(3＋1)sin C .∴2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＝(3＋1)sin C ， ∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.延伸探究 2.将本例条件变为：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为a 2＝b 2－c 2＋2ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝2ac 2ac ＝22，又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°. 答案：A3．将本例条件改为：“在△ABC 中，sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ”，求角C . 解析：由sin 2A －sin 2C ＝sin A ·sin B －sin 2B ，结合正弦定理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，∴C ＝π3.方法技巧在三角形的边角关系中，含有a 2，b 2，c 2或ab ，bc ，ca 等形式的等式条件，可以变形为余弦定理的形式，求角或求边．探究四用余弦定理判定三角形的形状[教材P 10B 组第2题]在△ABC 中，如果有性质a cos A ＝b cos B ，试问这个三角形的形状具有什么特点？用余弦定理如何判定？解析：由于cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)[c 2－(a 2＋b 2)]＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[例4] 在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．[解析] 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 和a cos A＋b cos B ＝c cos C 得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab ，∴(a 2－b 2－c 2)(a 2－b 2＋c 2)＝0， ∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. ∴△ABC 是直角三角形．方法技巧判断三角形形状的基本思想和两条思路跟踪探究 3.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，原式变为a 2＋b 2＜c 2，又结合余弦定理变形得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．答案：A授课提示：对应学生用书第6页[课后小结]余弦定理的特点(1)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．(2)适用的三角形的条件：主要适用于已知三角形的两边及一角或三边． ①已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．②已知三边解三角形的方法：先用余弦定理的变式求两个内角的余弦值，再求角，最后用内角和为180°求第三角． (3)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.[素养培优]忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形ABC 中，a ＝1，b ＝2，求边c 的取值范围．易错分析此题易出现两个错误：一是只考虑了角C 是钝角的情况，事实上角B 也可能是钝角；二是没有考虑到在三角形中“两边之和大于第三边”的隐含条件．考查了分类讨论思想、逻辑推理、数学运算、直观想象的学科素养．自我纠正因为a ＝1，b ＝2，所以1＜c ＜3. 若角B 是钝角，则cos B ＜0，即12＋c 2－222×1·c ＜0，解得1＜c ＜3；若角C 是钝角，则cos C ＜0，即12＋22－c 22×1×2＜0，解得5＜c ＜3.综上，边c 的取值范围是(1，3)∪(5，3)．单独成册：对应学生用书第81页[A 组学业达标]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441 B.45 C.425D.44141解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，所以b ＝5.cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－35， sin C ＝1－cos 2C ＝45.答案：B2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：设长为7的边所对的角为θ，由已知条件可知角θ为中间角．因为cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，所以θ＝60°，所以最大角与最小角的和为120°. 答案：B3．在△ABC 中，若a ＜b ＜c ，且c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不存在解析：因为c 2＜a 2＋b 2，所以C 为锐角，因为a ＜b ＜c ，所以C 为最大角，所以△ABC 为锐角三角形．答案：B4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B ．34C.32D.78解析：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a .设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a＝78.答案：D5．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误．答案：A6．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最小内角的余弦值等于________．解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以a ＝3b 5，c ＝7b5，A 为三角形的最小内角，所以由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋49b 225－9b 2252×b ×7b 5＝1314.答案：13147．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________.解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，即c 2＝a 2＋b 2－ab .①又因为(a ＋b )2－c 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②比较①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：438．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：349．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解析：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. a ＋c ＝8，ac ＝15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac .求角B 的值．解析：因为(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝3cos B 2sin B ，即cos B ＝3cos B 2sin B ，所以sin B ＝32，又因为B ∈(0，π)，所以B 为π3或2π3.[B 组能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：由余弦定理得cos ∠ABC ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ＝72＋52－822×7×5＝17，因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5. 答案：D12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2a －b ＝2c cos B ，则角C 的大小为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入已知条件得：2a －b ＝a 2＋c 2－b 2a，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.答案：B13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝12a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．解析：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案：3414．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·(－12)，整理得2c 2＝b 2＋bc .∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2，得2＝b 2c 2＋bc c 2，即2＝(b c )2＋b c.令t ＝bc (t ＞0)，有2＝t 2＋t ，即t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2(舍去)，故bc ＝1.答案：115．在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC的形状．解析：法一：在△ABC 中，由cos 2A2＝b ＋c2c，得1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴cos A ＝bc .根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c .∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．法二：在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，由正弦定理，得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 由cos 2A 2＝b ＋c 2c 知，cos A ＝bc .∴cos A ＝sin B sin C ，即sin B ＝sin C cos A .∵B ＝π－(A ＋C )， ∴sin(A ＋C )＝sin C cos A ， ∴sin A cos C ＝0.∵A ，C 都是△ABC 的内角，∴A ≠0，A ≠π. ∴cos C ＝0，∴C ＝π2.∴△ABC 是直角三角形．16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝52，b ＝6，4a －36cosA ＝0.(1)求a 的值；(2)若B ＝λA ，求λ的值．解析：(1)因为4a －36cos A ＝0，故4a ＝36cos A ，所以4a ＝36×b 2＋c 2－a 22bc ，因为c ＝52，b ＝6，所以12a 2＋80a －147＝0，解得a ＝32或a ＝－496(舍去)，故a ＝32.(2)由(1)可知cos A ＝436×32＝63，所以sin A ＝33，故cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝13.因为a ＝32，c ＝52，b ＝6，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，所以cos 2A ＝cos B ，因为在△ABC 中，c ＞b ＞a ，故B ＝2A ，即λ的值为2.1．2 应用举例第1课时距离测量问题授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]预习教材P 11－12，思考并完成以下问题知识点基线的概念与选择原则图1(1)如何测量一个可到达的点到另一个不可到达点之间的距离？如图1，测量AB的距离．图2提示：测出AC与∠BAC和∠ACB.(2)如何测量两个不可到达点之间的距离？如图2，测量AB的距离．提示：测出DC及∠ADB，∠BDC，∠DCA，∠ACB.知识梳理(1)基线的定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段．(2)选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高．[自我检测]1．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则14时两船之间的距离是() A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile答案：B2．A，B两点间有一小山，先选定能直接到达点A，B的点C，并测得AC＝60 m，BC ＝160 m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为________．答案：140 m授课提示：对应学生用书第7页探究一测量一个不可到达点的距离[阅读教材P11例1]测量器材：米尺、测角仪方法步骤：(1)在河的一岸选基线AC . (2)测出基线长AC .(3)测量角度∠BAC 和∠ACB . (4)利用正弦定理计算AB .[例1] 如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在A 处，经观察，在河的对岸有一参照物C ，与学生前进方向成30°角，学生前进200 m 后到达点B ，测得该参照物与前进方向成75°角．求点A 与参照物C 的距离．[解析] 由题意得AB ＝200 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°. 由正弦定理得AB sin 45°＝ACsin 105°，∴AC ＝AB ·sin 105°sin 45°＝200×2＋6422＝100(1＋3)，即A 与C 的距离为100(1＋3) m.延伸探究如果本例条件不变，求河的宽度．解析：作CD ⊥AB 于D 点(图略)，由于∠CAB ＝30°，∴CD ＝12AC ＝50(1＋3)(m)．即河的宽度为50(1＋3) m.方法技巧测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决．探究二测量不可到达的两点间的距离[阅读教材P 11例1]测量器材：米尺、测角仪方法步骤：(1)选基线CD ，并测量长度．(2)测角度∠BCA ，∠ACD ，∠CDB ，∠BDA . (3)用正弦定理计算AC ，BC . (4)用余弦定理计算AB .[例2] 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距32a km 的军事基地C 和D 处测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离．[解析] ∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝60°. ∵∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AD ＝CD ＝32a km. 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC，得BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC ＝32a ·6＋2422＝3＋34a (km)．在△ADB 中，由余弦定理得 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB＝34a 2＋(3＋34a )2－2·3＋34a ·32a ·32＝38a 2， ∴AB ＝64a km. 故蓝方这两支精锐部队间的距离为64a km. 方法技巧测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，最后运用正弦定理解决问题．其实质是综合应用正、余弦定理求解边长．跟踪探究 1．如图，对于河对岸A 、B 两点，给出不同于本例题解法的另外一种测量方法．解析：测量者可以在河岸边选定点E ，C ，D ，使A ，E ，C 及D ，E ，B 三点共线，测得EC ＝a ，ED ＝b ，并且分别测得∠BEC ＝∠AED ＝α，∠BCA ＝β，∠ADB ＝γ，在△AED 和△BEC 中，应用正弦定理得 AE ＝b sin γsin[π－(α＋γ)]＝b sin γsin (α＋γ)，BE ＝a sin βsin[π－(α＋β)]＝a sin βsin (α＋β).在△ABE 中，应用余弦定理计算出A ，B 两点间的距离 AB ＝AE 2＋BE 2＋2AE ×BE cos α.探究三测量不通、不可视的两点间的距离[阅读教材P 24 A 组第3题]如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向．已测得隧道两端的两点A ，B 到某一点C 的距离a ，b 及∠ACB ＝α，求A ，B 两点的距离，以及∠ABC ，∠BAC . 解析：AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α，cos ∠ABC ＝a 2＋AB 2－b 22a ·AB ＝2a 2－2ab cos α2a a 2＋b 2－2ab cos α＝a －b cos αa 2＋b 2－2ab cos α，从而确定∠ABC 的大小．则∠BAC ＝π－α－∠ABC .[例3] 如图所示，为了开凿隧道，要测量隧道上DE 间的距离，为此在山的一侧选取适当的点C ，测量AC ＝400 m ，BC ＝600 m ，∠ACB ＝60°，又测得A ，B 两点到隧道口的距离AD ＝80 m ，BE ＝40 m(点A ，D ，E ，B 在同一直线上)，试计算隧道DE 的长(精确到1 m)．[解析] 在△ABC 中，由余弦定理可得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝4002＋6002－2×400×600×12＝280 000，∴AB ＝2007，∴DE ＝AB －AD －EB ＝2007－80－40≈409(m)．方法技巧此类问题是已知三角形的两边及夹角求第三边问题，故直接用余弦定理．跟踪探究 2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )①测量A ，B ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a . 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：①AB ＝b sin (A ＋B )sin B ；②AB ＝a 2＋b 2－2ab cos C ；③AB ＝a sin (A ＋B )sin A .答案：A探究四海平面上两点间的距离[阅读教材P19习题A 组第1题] 如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿着方位角为148°的方向航行．为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126°，航行半小时后到达C 点，观察灯塔A 的方位角是78°.求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离．解析：在△ABC 中，∠ABC ＝148°－126°＝22°， ∠BAC ＝126°－78°＝48°， BC ＝352.由正弦定理BC sin 48°＝AC sin 22°，故AC ＝35sin 22°2sin 48°.[例4] 一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A 处获悉后，即测出该商船在方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为45°距离10海里的C 处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救并在B 处追上商船．求“黄山”舰追上商船所需要的最短时间及所经过的路程．[解析] 如图所示，A ，B ，C 构成一个三角形．。

高中数学必修5复习题及答案(A组)免费范文

篇一：高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4） 1、（1）a?14，b?19，B?105?；（2）a?18cm，b?15cm，C?75?. 2、（1）A?65?，C?85?，c?22；或A?115?，C?35?，c?13；（2）B?41?，A?24?，a?24. 练习（P8） 1、（1）A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm；（2）B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?；（2）A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?. 习题1.1 A组（P10） 1、（1）a?38cm,b?39cm,B?80?；（2）a?38cm,b?56cm,C?90? 2、（1）A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm（2）B?35?,C?85?,c?17cm；（3）A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm； 3、（1）A?49?,B?24?,c?62cm；（2）A?59?,C?55?,b?62cm；（3）B?36?,C?38?,a?62cm；4、（1）A?36?,B?40?,C?104?；（2）A?48?,B?93?,C?39?；习题1.1 A组（P10）1、证明：如图1，设?ABC的外接圆的半径是R，①当?ABC时直角三角形时，?C?90?时，?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.BCAC在Rt?ABC中，?sinA，?sinBABABab即?sinA，?sinB 2R2R所以a?2RsinA，b?2RsinB 又c?2R?2R?sin902RsinC （第1题图1）所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC②当?ABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O在三角形内（图2），作过O、B的直径A1B，连接AC， 1?90?，?BACBAC则?A1BC直角三角形，?ACB. 11在Rt?A1BC中，即BC?sin?BAC1， A1Ba?sin?BAC?sinA， 12R所以a?2RsinA，同理：b?2RsinB，c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时，不妨假设?A为钝角，它的外接圆的圆心O 在?ABC外（图3）（第1题图2）作过O、B的直径A1B，连接AC.1则?A1BC直角三角形，且?ACB?90?，?BAC?180?11在Rt?A1BC中，BC?2Rsin?BAC， 1即a?2Rsin(180?BAC)即a?2RsinA同理：b?2RsinB，c?2RsinC综上，对任意三角形?ABC，如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB，所以sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?，（第1题图3）所以2A?2B，或2A?2B，或2A?22B. 即A?B或A?B?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后，也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.?2，或A?B?0即A?B??2，或A?B，得到问题的结论.1．2应用举例练习（P13）1、在?ABS中，AB?32.2?0.5?16.1 n mile，?ABS?115?，根据正弦定理，得AS?ASAB?sin?ABSsin(6520?)?AB?sin?ABS16.1?sin115sin(6520?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin2016.1?sin115sin207.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15）1、在?ABP中，?ABP?180?，?BPA?180(?)ABP?180(?)?(180?)在?ABP中，根据正弦定理，APAB?sin?ABPsin?APBAPa?sin(180?)sin(?)a?sin(?)AP?sin(?)asin?sin(?)所以，山高为h?APsinsin(?)2、在?ABC中，AC?65.3m，?BAC?25?2517?387?47??ABC?909025?2564?35?ACBC?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m 9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习（P16） 1、约63.77?. 练习（P18） 1、（1）约168.52 cm2；（2）约121.75 cm2；（3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a习题1.2 A组（P19）1、在?ABC中，BC?35?0.5?17.5 n mile，?ABC?14812622?根据正弦定理，14?8)?，1BAC?1801102248ACB?78(180ACBC?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC?8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?BCD中，?BCD?301040?，?BDC?180?ADB?1804510125?1CD?3010 n mile3CDBD根据正弦定理， ?sin?CBDsin?BCD10BD?sin?(18040125?)sin40?根据正弦定理，10?sin?40sin1?5在?ABD中，?ADB?451055?，?BAD?1806010110??ABD?1801105515?ADBDABADBDAB根据正弦定理，，即sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5?10s?in40?6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70BD?sin5?5?10sin40?sin55n mile 21.6 5sin1?10sin15?sin70如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0?60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m5、在?ABD中，AB?700 km，?ACB?1802135124?700ACBC根据正弦定理，sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?，BC?sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsin1?24si?n124所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx? 根据正弦定理，sin(8118.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan8114721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81sin(8118.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中，?ATB?21.418.62.8?，?ABT?9018.6?，AB?15 mABAT15?cos18.6?根据正弦定理，，即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT?sin21.4?sin21.4106.19 msin2.8?326?189、AE97.8 km 60在?ACD中，根据余弦定理：AB?AC??101.235 根据正弦定理，（第9题）?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD?0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?13330.9?6?10 2?在?ABC中，根据余弦定理：AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC?0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在?ACE中，根据余弦定理：CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC?0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0AEC?(1?8?0?7?5?)?7564.8?2 18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km.10、如图，在?ABCAC??37515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200?0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448，2 ?BAC?9043.?8 ?BAC?133.? 2所以，仰角为43.82?1111、（1）S?acsinB28?33?sin45326.68 cm222aca36（2）根据正弦定理：，c?sinCsin66.5?sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5?S?acsinB362sin(32.866.5?)?1082.58 cm222sin32.8?2（3）约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]222（第13题）篇二：人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由a1?1，d?3确定的等差数列?an?，当an?298时，序号n等于（）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.?ABC中，若a?1,c?2,B?60?，则?ABC的面积为（） A．12B．2 C.1 D.3.在数列{an}中，a1=1，an?1?an?2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 101 4.已知x?0，函数y?4x?x的最小值是（） A．5 B．4C．8 D．6 5.在等比数列中，a11?2，q?12，a1n?32，则项数n为（） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为R，那么（）A. a?0,0B. a?0,0C. a?0,0D. a?0,0?x?y?17.设x,y满足约束条件??y?x,则z?3x?y的最大值为（）y2A． 5B. 3C. 7 D. -88.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是（）A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于（）A.23 B.-2113 C.-3D.-410.一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ A、63B、108 C、75 D、83）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在?ABC中，B?450,c?b?A＝_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为a?1,a?1,2a?3，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(12分) 已知等比数列?an?中，a1?a3?10,a4?a6?16(14分)(1) 求不等式的解集：?x(2)求函数的定义域：y?17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2?0的两个根，且2cos(A?B)?1。

(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试(有答案解析)

一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（） A ．122a b c +=B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =3．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．64．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭5．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（） A ．33B ．72C ．84D ．1896．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．47．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--9．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（） A ．11B ．10C ．9D ．810．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或11．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，则n a =______. 15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()n 1n a ,a +均在l 上，若2a 6=，则3a 的值为______．16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________． 17．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.18．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3n n a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 19．若数列{}n a 满足12a =，141n n a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______.20．若数列}{n a2*3()n n n N =+∈，则n a =_______．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n S n n =+，数列{}n b 是公比为正数的等比数列，满足14b =，351024b b =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}2log n b 的首项为1，公差为1，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .23．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比1q ≠且653222b b b b -=-，430T =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记1122n n n Q a b a b a b =++⋯+，是否存在正整数,(1)m k m k <<，使得m Q 是13Q 与k Q 的等差中项？若存在，求出所有m ，k 的值；若不存在，请说明理由.24．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式；（2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <． 25．已知数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥满足：①11a =；②()121,2,,1k ka k n a +==-.记()12n n S A a a a =+++.（1）直接写出()3S A 的所有可能值；（2）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >；（3）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.26．在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．C解析：C 【分析】根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案. 【详解】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列， 23(1)31n a n n =+-=-，数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误；对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误；对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解．【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =，故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.5．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.6．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<，由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =．故选：C ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．8．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =，当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.9．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值10．B解析：B 【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可．【详解】48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论．【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=，由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ．【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94，当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936，……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-，由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥，所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列解析：121n - 【分析】对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.14．【分析】构造求出由题意可得利用等差数列的通项公式可得利用累加法即可求得【详解】构造则由题意可得故数列是以4为首项2为公差的等差数列故所以以上n-1个式子相加可得解得故答案为：【点睛】本题考查等差数列解析：()()*1n n n N+∈【分析】构造1n n n b a a +=-，求出1b ，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=，利用等差数列的通项公式可得n b ，利用累加法即可求得n a . 【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=，故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列，故()*142(1)22n n n b a a n n n N +=-=+-=+∈，所以21324314,6,8,2n n a a a a a a a a n --=-=-=-=，以上n -1个式子相加可得1(1)(42)2n n n a a -+-=，解得()*(1)n a n n n N =+∈，故答案为：()()*1n n n N +∈【点睛】本题考查等差数列，累加法求数列通项公式，属于基础题.15．-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q 为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析：-2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．【详解】直线经过坐标原点，()n 3,1=是l 的一个法向量，可得直线l 的斜率为3-，即有直线l 的方程为y 3x =-，点()n 1n a ,a +均在l 上，可得n n 1a 3a +=-，即有n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，可得321a a q 623⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为2-．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．16．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最解析：①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.17．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果. 【详解】解：等比数列{a n }的各项均为正数，且224314a a a ==，∴312a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.18．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n n nc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<；若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=，利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.19．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关解析：11【分析】根据递推关系式可证得数列}1，代入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】()21411n n a a +=+=，1=，)121=，∴数列}111=为首项，2为公比的等比数列， )1112n -+=⨯，)1121n -=⨯-，由22020n a ≥2020≥，即)1220211837n -≥=⨯≈，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.20．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题解析：()241n +【分析】有已知条件可得出116a =，2n ≥时()()2*131()n n n N =-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出()241n a n =+，且当1n =时也成立．【详解】数列}{n a2*3()n n n N =+∈4=，即116a =2n ≥()()2*131()n n n N =-+-∈22n =+，所以()241n a n =+（2n ≥ ）当1n =时，116a =适合上式，所以()241n a n =+ 【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．三、解答题21．（1）2n a n =，12n n b +=；（2）()41n nT n =+.【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，由已知条件计算出等比数列{}n b 的公比，进而可求得等比数列{}n b 的通项公式；（2）计算得出11141n c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和法可求得n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.12a =满足2n a n =，所以，对任意的n *∈N ，2n a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >，262635141024b b b q q ∴==⨯=，解得2q，1111422n n n n b b q --+∴==⨯=；（2）()()111111112214141n n n c a a n n n n n n +⎛⎫===⋅=- ⎪⨯+++⎝⎭， ()121111111111422314141n n n T c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.22．（1）21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-⨯+.【分析】（1）由等差数列的前n 项和公式，等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组，解方程组后可得通项公式n a ；（2）由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ，然后由错位相减法求得和n T ．【详解】（1）设{}n a 公差为d ，则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. （2）由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=，2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯，（1）()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯，（2）（1）－（2）得：2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-，()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．23．（1）21n a n =-，2nn b =；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.利用已知条件求得1,b q ，由此求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得n Q ，利用123m k Q Q Q =+列方程，化简后判断不存在符合题意的,m k . 【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，等式也成立，所以，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．在等比数列{}n b 中，653222b b b b -=-，即()32(2)10b q q --=，又20b ≠且1q ≠，2q ∴=，()414123012b T -∴==-，12b ∴=，112n n n b b q -∴==．（2）23123252(21)2nn Q n =⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅ ①，①×2得：23412123252(23)2(21)2n n n Q n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅ ②，-②①得：2312222222(21)2n n n Q n +=--⨯-⨯-⋯-⨯+-⋅1(23)26n n +=-⋅+，13326Q =⨯=，1(23)26k k Q k +=-⋅+，1(23)26m m Q m +=-⋅+，若123m k Q Q Q =+，即112(23)2126(23)26m k m k ++-⋅+=+-⋅+，112(23)2(23)2m k m k ++∴-⋅=-⋅，46223k m m k +-∴=- ③，又1m k <<，22k m -∴≥，464622323m k k k --<=--， ∴③式不成立，故不存在这样的正整数m ，k 使m Q 是13Q 与k Q 的等差中项．【点睛】如果已知条件是有关n S 与n 的关系式，可利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列的通项公式.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列构成，则利用错位相减求和法进行求和. 24．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析．【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩当1n =时，1151224b =≤显然成立．当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+；故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.25．（1）所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7；（2）证明见解析；（3）222n -.【分析】（1）根据递推关系式以及求和式子即可得出结果.（2）充分性：求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n 和公式可证；必要性：利用反证法即可证明.（3）列出n A 中的项，得出数列的规律：每一个数列前1n -项与之对应项是相反数的数列，即可求解. 【详解】解：（1）()3S A 的所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7. （2）充分性：若0n a >，即12n n a .所以满足12n na ，且前n 项和最小的数列是1-，2-，4-，…，22n --，12n -.所以()211212422n n n a a a --++⋅⋅⋅+≥-+++⋅⋅⋅++211222112n n ---⋅=-+=-.所以()0n S A >.必要性：若()0n S A >，即120n a a a ++⋅⋅⋅+>.假设0n a <，即12n n a -=-.所以()()21121242210n n n n S A a a a --=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+-=-<，与已知()0n S A >矛盾.所以()0n S A >.综上所述，()0n S A >的充要条件是0n a >. （3）由（2）知，()0n S A >可得0n a >.所以12n na .因为数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥中1a 有1-，1两种，2a 有2-，2两种，3a 有4-，4两种，…，1n a -有22n --，22n -两种，n a 有12n -一种，所以数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥有12n -个，且在这12n -个数列中，每一个数列都可以找到前1n -项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n 项和是122n -⨯. 所以这12n -个数列的前n 项和是1122122222n n n ---⨯⨯⨯=. 所以()n S A 的所有可能值的和是222n -. 【点睛】关键点点睛：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，解题的关键是根据递推关系式得出数列n A 的通项公式，注意讨论，此题也考查了数列不等式、反证法在数列中的应用. 26．见解析【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T . 【详解】若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =，故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=，所以()()2212n n n S n n +==+，所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++，故11111111131=231223341131n nn T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②，由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，同①可得131nn T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =，而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =，同①可得131nn T n =-+. 【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。

高中数学教资试题及答案

高中数学教资试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = 2x + 3在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 5D. 33. 等差数列{an}的前三项为1, 2, 3，其通项公式为：A. an = nB. an = n + 1C. an = 2n - 1D. an = 2n4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}6. 若矩阵A = \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，则矩阵A的行列式值为：A. 2B. -2C. 5D. -57. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 等比数列{bn}的首项为2，公比为3，其第五项为：A. 162B. 486C. 729D. 2439. 直线y = 2x + 1与x轴的交点坐标是：A. (0, 1)B. (-1/2, 0)C. (1/2, 0)D. (0, -1)10. 函数y = ln(x)的定义域是：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值为______。

2. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是______。

3. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标为______。

4. 函数f(x) = 3x - 2的反函数为______。

高中数学教学中促进学习迁移的“五法”

高中数学教学中促进学习迁移的“五法闫㊀安(江苏省沭阳如东中学ꎬ江苏㊀宿迁㊀２２３６００)摘㊀要:数学是学生在高中阶段学习的一门重要学科ꎬ但是由于高中数学对学生的理性思维要求很高ꎬ这为教师的教学平添了很多的阻力ꎬ而学习迁移可以对学生进行更好的逻辑思维训练ꎬ这对学生数学能力提升是有所帮助的.对此在本文中笔者将提出以下高中数学教学促进学习迁移的五法策略ꎬ以不断地提高学生的数学学习能力ꎬ实现学生长远发展.关键词:高中数学ꎻ学习迁移ꎻ五法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ｂ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１７)２１－００２２－０２收稿日期:２０１７－０６－０１作者简介:闫安(１９８１.０９－)ꎬ男ꎬ江苏沭阳人ꎬ本科ꎬ中学一级ꎬ从事高中数学教学.㊀㊀学习迁移就是指一种学习对另外一种学习的影响ꎬ同时也是一种逻辑思维训练方式ꎬ可以让学生从一种知识中向其他知识迁移过渡ꎬ进而实现数学能力以及情感态度上的提升.在高中数学教学中ꎬ运用学习迁移五法去对学生进行训练教学ꎬ是一种行之有效的教学方式.㊀㊀一㊁理解教材ꎬ科学组织教学在进行高中数学教学时ꎬ学习迁移也可以被理解为学生认识结构的重建ꎬ但是这种能力往往是从教材知识结构之中转化而来的ꎬ因此在教学过程中ꎬ教师可以科学地组织教学ꎬ从而通过教材知识的简化与理解ꎬ让学生进行新知识重组ꎬ这就是一种学习迁移.在这里笔者举这样的一个例子ꎬ如在进行三角函数这节课程教学时ꎬ为了能够更好地让学生理解角与三角函数值之间的对应关系ꎬ教师可以从基础初等函数出发ꎬ如指数函数或者对数函数ꎬ从而加深学生对三角函数的理解ꎬ这就可以让学生实现更好的学习迁移.而为了实现这一目标ꎬ教师就应该对教材进行深入的研究ꎬ从教学大纲出发ꎬ对教材内容的结构㊁系统㊁难点㊁重点进行分析ꎬ并且考虑到学生在学习过程中所展现出的个性差异ꎬ从而有针对性㊁放矢有度地对学生进行科学组织教学ꎬ这样才能促进学生学习迁移ꎬ是学习迁移的五法的第一步.㊀㊀二㊁理解原理ꎬ实现原理到法则迁移在进行高中数学教学时ꎬ之所以学生会感知到学习过程中的困难ꎬ就是因为在教学过程中会有很多相似的原理与法则ꎬ这些知识内容易于混淆ꎬ并且相互影响ꎬ这为教学增添了阻力ꎬ为此在学习迁移的五法中ꎬ提倡在教学过程中从理解基本原理出发ꎬ从而实现原理到法则之间的过渡.如在学习空间几何体的结构这一知识时ꎬ学生可以理解这一节课程中的原理ꎬ那么就是为今后学习空间几何体表面积和体积这一节课程中的运算法则学习打下基础ꎬ这就是利用基本原理与法则ꎬ实现高水平概括经验的学习迁移依据.对此美国著名的心理学家奥苏贝尔曾经做过一个关于学生学习迁移当面的实验ꎬ通过实验发现ꎬ学习者若是不能充分地掌握原理与法则ꎬ那么学习迁移的效果就会下降ꎬ因此在未来的教学中ꎬ教师可以从学习迁移的五法出发ꎬ加深学生对于一些易于混淆的数学概念的理解ꎬ从而防止学生出现负迁移现象ꎬ是有助于学生数学能力提升的.㊀㊀三㊁掌握基础知识ꎬ促进新旧知识同化在高中数学教学中ꎬ新旧知识是存在一定联系的ꎬ而著名的教育学家布鲁姆曾经提出ꎬ当学生对以往知识能够掌握到６０％~９０％时ꎬ才能开始新的知识学习ꎬ这强调了原有知识巩固的一种重要性ꎬ而除了学者布鲁姆外ꎬ心理学家曼德勒也认为基础知识与知识迁移是存在一定正比关系的ꎬ通过这些前人学者宝贵的教学经验ꎬ会发现学生以往知识巩固加深十分重要ꎬ这从某种程度可以促进新旧知识同化.如在学习微积分这节课程时ꎬ教师可以从以往学习的变化率与导数知识出发ꎬ可以加快学生对微积分知识的理解ꎬ因此教师在进行高中数学教学２２中ꎬ可以以原有知识为基础ꎬ对学生进行更有针对性的教学ꎬ这可以帮助学生加快学习迁移ꎬ而这也是学习迁移的五法的重要体现.㊀㊀四㊁加强指导ꎬ加快知识经验迁移在进行高中数学教学过程中会发现ꎬ学生的知识经验一方面来自于自身对于知识的理解ꎬ另外一方面就是来源于教师的有效教导ꎬ而教师的有效指导无疑更加重要一些.对此中国有一句古话ꎬ叫做授人以鱼不如授人以渔ꎬ因此在教学过程中ꎬ若是想让学生实现更快速的学习转移ꎬ能够对学生进行更为有效的指导是十分必要的.而在现代教学之中ꎬ更为强调学生的主体作用ꎬ因此教师可以采用研讨会或者报告会的方式ꎬ从而加快学生之间的交流ꎬ并在其中进行指导ꎬ这有助于加快学生知识经验迁移.㊀㊀五㊁创建相似教学情境ꎬ实现基本概念迁移在高中数学学习过程中ꎬ学生的学习迁移有时是需要特定学习情境的ꎬ尤其是知识与现实生活情境的一种转化ꎬ这可以加深学生对于数学知识的亲切感ꎬ从而提升学生对数学知识的理解能力ꎬ进而达到知识迁移的目的.在这里笔者举这样的一个例子ꎬ如在学习集合这节课程时ꎬ教师就可以为学生创设一个军训是集合报道的情境ꎬ从而让学生在这个真实的情境之中去理解集合的含义ꎬ这是有利于学生学习迁移的ꎬ同时通过近几年的高考考试方向分析也可以发现ꎬ关于数学知识与实际联系的问题越来越多ꎬ因此在教学中ꎬ教师可以采用相似教学情境创设的方式ꎬ可以帮助学生实现数学基本概念迁移.学习迁移是学生数学学习能力的一种体现ꎬ并有助于加快学生数学学习成长ꎬ因此在今后的教学中ꎬ教师能够掌握学习迁移的五法策略ꎬ加快学生学习迁移是一种可行的教学策略ꎬ从而实现学生数学学习的不断进步.㊀㊀参考文献:[１]刘文云.学习迁移理论在高中数学教学中的应用分析[Ｊ].才智ꎬ２０１５(１４):４５.[２]林清霞.学习迁移理论在高中数学教学中的应用研究[Ｊ].开封教育学院学报ꎬ２０１４(０２):２２３－２２４.[３]薛文静.学习迁移理论在高中数学教学中的应用研究[Ｊ].成功(教育)ꎬ２０１３(２４):４２.[责任编辑:杨惠民]高中数学教学中培养学生解题能力的方法探析张成花(江苏省宿城区实验高中ꎬ江苏㊀宿迁㊀２２３８００)摘㊀要:数学知识的学习是为了运用ꎬ而在学生的学习生活中ꎬ数学知识的运用就是在解题的过程当中ꎬ并且ꎬ学生各方面的能力也能够在解题的过程中得到体现ꎬ所以提高学生数学水平的根本ꎬ就是提高学生的解题能力ꎬ让学生更加自如地运用所学习到的知识去解决数学问题ꎬ也在解题的同时加强对于知识的理解和运用能力ꎬ也体会到学习数学的价值和乐趣ꎬ让数学成为一种能力而不是简单的一个工具.本文围绕高中数学教学中培养学生解题能力的方法探析这一主题展开探讨.关键词:高中数学ꎻ解题能力ꎻ培养策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ｂ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１７)２１－００２３－０２收稿日期:２０１７－０６－０１作者简介:张成花(１９７８.６－)ꎬ女江苏新沂人ꎬ中教一级ꎬ本科ꎬ从事高中数学教学.㊀㊀高中生处于思维逻辑的成熟时期ꎬ基本上来说ꎬ他们在这一时期所表现出来的能力会极大程度影响他们今后的学习生活.按照我国的教育体制ꎬ高中之后的大学期间ꎬ学生的发展基本上是自由的ꎬ学生个人能力的提升是由学生自己支配的ꎬ所以为了给未来发展打下一个良好的基础ꎬ在高中教育中ꎬ必须从根本上帮助学生树立正确的观念ꎬ提高自身的能力ꎬ让他们在未来的发展中能够独立自主ꎬ求变求新ꎬ在高中数学教学中ꎬ教学内容的加深３２。

2023年人教版高中数学第五章三角函数名师选题

(名师选题)2023年人教版高中数学第五章三角函数名师选题单选题1、函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[—π，π]的图像大致为A．B．C．D．答案：D分析：先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．由f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx−xcosx+x2=−f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又f(π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π−1+π2>0．故选D．小提示：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．2、已知函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx−cos2x，x∈R，则（）A．f(x)的最大值为1B．f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C．f(x)的最小正周期为π2D．x=π3为f(x)图象的一条对称轴答案：D分析：首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；解：函数f (x )=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x =√3sin2x −cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)，可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T =2π2=π，故A 、C 错误；由f(x)=0可得2x −π6=kπ,k ∈Z ，即x =kπ2+π12,k ∈Z ，可知f (x )在区间(0,π)上的零点为π12,7π12，故B 错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可知x =π3为f (x )图象的一条对称轴，故D 正确．故选：D3、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（）A ．35B ．−12C ．12D ．13 答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7)) =sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12 故选：C4、已知A 为三角形的内角，且sinA +cosA =713，则tanA =（） A ．−125B ．−512C ．512D ．125答案：A分析：根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.∵sinA +cosA =713∴(sinA +cosA )2=(713)2计算得2sinAcosA =−120169<0，所以sinA >0，cosA <0，从而可计算的(sinA −cosA )2=1−2sinAcosA =289169∴sinA −cosA =1713，∴sinA =1213，cosA =−513∴tanA =sinAcosA =−125,选项A 正确，选项BCD 错误. 故选：A.5、要得到函数y =3sin(2x +π4)的图象，只需将函数y =3sin2x 的图象（）. A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案：C分析：根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可. 将y =3sin2x 向左移动π8个单位长度有y =3sin2(x +π8)=3sin(2x +π4)，∴只需将函数y =3sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，即可得y =3sin(2x +π4)的图象.故选：C6、若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 答案：D分析：由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 方法一：由α为第四象限角，可得3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k ∈Z ，所以3π+4kπ<2α<4π+4kπ,k ∈Z此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin2α<0 故选：D.方法二：当α=−π6时，cos2α=cos(−π3)>0，选项B 错误；当α=−π3时，cos2α=cos(−2π3)<0，选项A 错误；由α在第四象限可得：sinα<0,cosα>0，则sin2α=2sinαcosα<0，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.小提示：本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα，则tanα=（）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153答案：A分析：由二倍角公式可得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α，再结合已知可求得sinα=14，利用同角三角函数的基本关系即可求解.∵tan2α=cosα2−sinα∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin 2α=12−sinα，解得sinα=14，∴cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=√1515. 故选：A.小提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sinα. 8、下列函数中为周期是π的偶函数是（） A ．y =|sinx |B ．y =sin|x| C ．y =−sinx D ．y =sinx +1 答案：A分析：根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解. 对于A ，y =|sinx |为偶函数,且最小正周期为π,所以A 正确; 对于B ，y =sin |x |为偶函数,但不具有周期性,所以B 错误; 对于C ，y =−sinx 为奇函数，所以C 错误;对于D, y =sinx +1为非奇非偶函数,所以D 错误. 综上可知,正确的为A 故选:A9、为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度 C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度答案：D分析：根据三角函数图象的变换法则即可求出．因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．故选：D.10、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π 答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3 ⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a 的最大值为π3. 故选：A.11、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4m ，肩宽约为π8m ，“弓”所在圆的半径约为54m ，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）（）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m 答案：B分析：由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB⌢ 的长l =π4+π4+π8=5π8，其所对圆心角α=5π854=π2，则两手之间的距离|AB |=2|AD |=2×54×sin π4≈1.768(m )．故选：B ．12、已知角α的终边经过点P (−3,4)，则sinα−cosα−11+tanα的值为（）A ．−65B ．1C ．2D ．3 答案：A分析：由三角函数的定义可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将其代入即可求解.由√(−3)2+42=5，得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，代入原式得=45−(−35)−11+(−43)=−65．故选：A 双空题13、两角和与差的正弦公式的推导sin(α+β)=cos [π2−(α+β)]=cos [(π2−α)−β]=cos (π2−α)cosβ+sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，即_____________(S α+β)，以−β代β得___________(S α−β)．答案： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ 分析：由两角和与差的正弦公式的推导直接可得sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，以−β代β计算得sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．两角和与差的正弦公式的推导sin (α+β)=cos [π2−(α+β)]=cos [(π2−α)−β]=cos (π2−α)cosβ+sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，即sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ (S α+β)；以−β代β得sin (α−β)=cos [π2−(α−β)]=cos [(π2−α)+β]=cos (π2−α)cos (−β)−sin (π2−α)sinβ=sinαcosβ−cosαsinβ，得sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ(Sα−β)．所以答案是：①sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；②sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ14、若f(x)是定义在R上的奇函数，且此函数是以5为周期的周期函数，f(1)=2，则f(5)=________，f(−1996)=_______________.答案： 0 −2分析：（1）利用奇函数和周期性把f(5)转化为f(0)即可计算；（2）利用奇函数和周期性把f(−1996)转化为−f(1)即可计算.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又f(x)是以5为周期的周期函数，所以f(5)=f(0+5)=f(0)=0；f(−1996)=−f(1996)=−f(1+5×399)=−f(1)=−2.所以答案是：0；-2.15、若α是第三象限角，sinα=−13，则cosα=_________；tanα=________.答案：−23√2√24分析：利用sin2α+cos2α=1及tanα=sinαcosα计算即可得到答案.因为α是第三象限角，则cosα<0，所以cosα=−√1−sin2α=−√1−19=−2√23，tanα=sinαcosα=−13−2√23=√24.所以答案是：−23√2；√24小提示：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.16、函数f(x)=√3cosx−sinx，x∈(0,π)的值域为_________，若f(x)=−√2，x∈(0,π)，则cos2x=_________．答案：[−2,√3)−√32分析：先把f(x)化简，利用换元法借助于y=sinx的性质求出值域；由f(x)=−√2，求出x=7π12，代入cos2x即可.f (x )=√3cosx −sinx =2(√32cosx −12sinx)=−2sin (x −π3) x ∈(0,π) ∵x ∈(0,π)，∴x −π3∈(−π3,2π3)，令t =x −π3,t ∈(−π3,2π3)∴y =−2sint,t ∈(−π3,2π3)，∴y min =−2sin π2=−2，y <−2sin (−π3)=√3， ∴值域为：[−2,√3)；当f (x )=−√2，x ∈(0,π)，即−2sin (x −π3) =−√2，可解得：x =7π12，所以，此时cos2x = cos2(7π12)=cos7π6=−√32. 所以答案是：[−2,√3)；−√32 小提示：三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于y =sinx 或y =cosx 的性质解题. 17、已知角α的终边过点P (35,−45)，则sinα=________，tanα=________. 答案： −45 −43分析：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．解：∵角α的终边过点P (35,−45)，则sinα=−45，cosα=35，tanα=−4535=−43，所以答案是：−45；−43．小提示：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．解答题18、求证：tanθ⋅sinθtanθ−sinθ＝1+cosθsinθ.答案：证明见解析分析：从左边，先利用商数关系化简，再利用平方关系化简得到右边即可.证明：左边＝sinθcosθ⋅sinθsinθcosθ−sinθ，=sin 2θsinθ−cosθ⋅sinθ，=(1−cosθ)(1+cosθ)sinθ(1−cosθ)， =1+cosθsinθ=右边，所以原等式成立．19、已知函数f (x )=2sin (2x +π6)+2. (1)若f (α)=3，且α∈(0,π)，求α的值；(2)若对任意的x ∈[π4,π2]，不等式f (x )>m −3恒成立，求实数m 的取值范围. 答案：(1)π3 (2)(−∞,4)分析：（1）根据已知条件求得sin (2α+π6)=12，结合α∈(0,π)即可求解；（2）根据x 的范围求得f (x )的范围，只需f (x )min >m −3即可求解. (1)因为f (α)=3，所以2sin (2α+π6)+2=3，即sin (2α+π6)=12，又由α∈(0,π)，得π6<2α+π6<13π6，所以2α+π6=5π6，解得α=π3. (2)对x ∈[π4,π2]，有2π3≤2x +π6≤7π6，所以−12≤sin (2α+π6)≤√32，可得1≤f (x )≤2+√3，所以要使f (x )>m −3对任意的x ∈[π4,π2]恒成立，只需f(x)min>m−3，所以m−3<1，解得：m<4.故所求实数m的取值范围为(−∞,4).20、已知函数f(x)=sin4x+cos4x+√32sin2xcos2x，f(x)的图像先向右平移π6，再纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图像.(1)求f(x)的对称中心；(2)当x∈[−π6,π3]时，求g(x)的取值范围答案：(1)(k4π−π24,34)(k∈Z)(2)[14,1]分析：（1）由f(x)=12sin(4x+π6)+34，令4x+π6=kπ,k∈Z求解；（2）由g(x)=12sin(2x−π2)+34=−12cos2x+34，利用余弦函数的性质求解.（1）解：f(x)=（sin2x+cos2x）2−2sin2xcos2x+√34sin4x，=1−12sin22x+√34sin4x=1−14（1−cos4x）+√34sin4x，=14cos4x+√34sin4x+34=12sin(4x+π6)+34，令4x+π6=kπ，x=k4π−π24(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为(k4π−π24,34)(k∈Z).（2）g(x)=12sin(2x−π2)+34=−12cos2x+34，因为x∈[−π6，π3]，所以2x∈[−π3，2π3]，,1]，故cos2x∈[−12,1]. g(x)的取值范围为[14。

(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（）A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010112．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，n *∈N ，若数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，则下列说法不正确的是（） A ．{}n n a S +是等差数列 B ．{}n n a S ⋅是等差数列 C ．{}2na 是等比数列D ．{}2nS 是等比数列4．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（） A ．1008B ．2016C ．2018D ．20205．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫⎪⎝⎭C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．167,73⎛⎫⎪⎝⎭6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13297．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（）A ．2B ．3C ．269D ．2598．已知数列{}n a的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（） A ．42B ．43C ．44D ．459．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（） A ．2B ．3C ．4D ．511．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan9θ=，则点A 的坐标为________． 15．数列{}n a 的通项()sin2n n a n n N π*=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=______16．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈，且11a =，则n a =_____．17．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且133,12n n a S a λ++==，则实数λ的值为_____18．已知数列{}n a 满足112a =，()*112n n a a n +=∈N .设2n n n b a λ-=，*n ∈N ，且数列{}n b 是递增数列，则实数λ的取值范围是________.19．若数列}{n a2*3()n n n N =+∈，则n a =_______．20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________．三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值；（2）求{}n b 的通项公式.22．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 23．已知数列{}n a 满足：121(21)n n n a q ---=，224224231(N )22n n n n n a a a *++⋅⋅⋅+=+∈．（Ⅰ）求2n a ；（Ⅱ）若7553q <<，求数列{}n a 的最小项． 24．已知正项等比数列{}n a ，24a =， 1232a a a +=；数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.（Ⅰ）求n a ，n b ；（Ⅱ）证明：312412233412n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<. 25．己知数列{}n a 中，11a =，点1(,)n n P a a +，n *∈N 在直线10x y -+=上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n nb a =，S n 为数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立，若存在，写出()g n 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.26．在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列，有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.2．C解析：C 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为2132123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=, ()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n nS n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=⎪++⎝⎭，由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭的n 的最大值为5.故选：C. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.3．D解析：D 【分析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可. 【详解】因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2n S 不是等比数列. 故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列.4．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈；7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===，所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项.5．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+，可得数列{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，可得：660a t -≥，770a t -≤，即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤，解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，6．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 7．C解析：C【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-，所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=，解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数．【详解】解：由题意，可知：n a ====． 12n n S a a a ∴=++⋯+1=11n =-+． 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．9．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增，先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =，即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.10．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34，则a 1=2. 本题选择A 选项.11．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94，当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936， ……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-，由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥，所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得解析：26【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和．【详解】解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++，由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为26．【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．5【分析】利用的周期性求解即可【详解】的周期当时的值为10-10则前10项的和故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和属于基础题解析：5 【分析】利用()sin2n n N π*∈的周期性求解即可. 【详解】()sin 2n n N π*∈的周期2=42T ππ=，当1,2,3,4n =时sin 2n π的值为1,0，-1,0,则前10项的和123101+0305070905a a a a ++++=-+++-+++=，故答案为：5 【点睛】本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.16．【分析】由两本同除以可构造是等差数列由此可求出再利用即可求得【详解】由得是以为首相1为公差的等差数列当时故答案为：【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式求数列的通项公式是常考题型属于中档题解析：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【分析】由11n n n n S S S S ++=⋅-，两本同除以1n n S S +⋅，可构造1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此可求出a 1n S n =，再利用1n n n a S S -=-，即可求得n a 【详解】由11n n n n S S S S ++=⋅-，得1111n nS S +-= ()n N *∈ 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111S a ==为首相，1为公差的等差数列，11(1)1nn n S ∴=+-⨯=， 1n S n∴=，当2n ≥ 时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---， 1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩故答案为：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题.17．【分析】首先利用与的关系式得到求得公比首项和第二项再通过赋值求的值【详解】当时两式相减得即并且数列是等比数列所以当时解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列和的关系式求数列的通项解析：34-【分析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和第二项，再通过赋值2n =求λ的值. 【详解】当2n ≥时，1133n nnn a S a S λλ+-+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列，所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==，当2n =时，()321233a S a a λ+==+，解得34λ=-. 故答案为：34- 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列n a 和n S 的关系式，求数列的通项.18．【分析】根据题意可得数列的通项公式代入表示根据数列是递增数列所以得恒成立参变分离以后计算【详解】由可得数列是首项和公比均为的等比数列所以则又因为是递增数列所以恒成立即恒成立所以所以故答案为：【点睛】解析：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得数列{}n a 的通项公式，代入表示n b ，根据数列{}n b 是递增数列，所以得10n n b b +->恒成立，参变分离以后计算.【详解】由()*112n n a a n +=∈N 可得，数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，所以12n n a =，则()222n n nn b n a λλ-==-，又因为{}n b 是递增数列，所以()()()11122222220n n n n n b b n n n λλλ++=+---=+->-恒成立，即220n λ+->恒成立，所以()min 223n λ<+=，所以32λ<. 故答案为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算1n n a a +-判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解min ()a f n <或者max ()a f n >.19．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题解析：()241n +【分析】有已知条件可得出116a =，2n ≥时()()2*131()n n n N =-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出()241n a n =+，且当1n =时也成立．【详解】数列}{n a2*3()n n n N =+∈4=，即116a =2n ≥()()2*131()n n n N =-+-∈22n =+，所以()241n a n =+（2n ≥ ）当1n =时，116a =适合上式，所以()241n a n =+ 【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ；（2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥， ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式，故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法． 22．（1）21n a n =-；（2）1011. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得答案；（2）求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】（1）111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 符合上式，所以21n a n =-．（2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+， ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++，令120201212021n ->+，解得1010n >，所以最小正整数n 为1011. 【点睛】数列求和的方法技巧：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.23．（Ⅰ）2231n n a n =-；（Ⅱ）25q . 【分析】（Ⅰ）设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，利用122n n nn S S a -=-可求2n a . （2）讨论{}2-1n a 的单调性后可求数列{}21n a -的最小项，结合223n a >可求数列{}n a 的最小项．【详解】解：（Ⅰ）设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，即23122nS n n =+， ∴2131(1)(1)22n S n n -=-+-．则12231(2)n n nn S S n n a -=-=-≥，故()22231n na n n =≥-，当1n =，21a =，也符合此式， ∴2231n na n =-．（Ⅱ）222223313313n n a n n ==+>--．考虑奇数项，∵12121n n q a n --=-，∴[]112121(21)(21)2121(21)(21)n n n n n q q n n q q a a n n n n --+---+-=-=+-+-()()()111121(21)(21)(21)(21)2222n n q n q q q q q n n n q n n --⎡⎤-+----==+⎢⎥-⎡⎤⎣⎦+⎦-⎣-，又()1112121q q q +=+--，∵7553q <<，得()112,321q +∈-，而220q ->， ∴当2n ≤时，2121n n a a +-<，当3n ≥时，2121n n a a +->，即奇数项中5a 最小．而25252593n q a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为255q a =．【点睛】思路点睛：数列的最大项最小项，一般根据数列的单调性来处理，如果数列是分段数列，则可以分别讨论各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小项.24．（Ⅰ）2nn a =；()112n n b n -=+⋅；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题设求出数列{}n a 的基本量，即可确定n a ；再由1n n n b S S -=-确定n b ；（2）用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由1232a a a +=，得22q q +=解得2q 或1q =-（舍）又242nn a a =⇒=由n n S na =，得12b =2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅则()112n n b n -=+⋅（2）()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：当数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列时，数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法.25．（1）n a n =；（2）存在，()g n n =，证明见解析. 【分析】（1）根据点1(,)n n P a a +在直线10x y -+=上，将点坐标代入方程，可得1n a +与n a 的关系，根据等差数列的定义，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b ，进而可求得n S 的表示式，化简整理，可得11(1)1n n n nS n S S ----=+，利用累加法，即可求得121n S S S -++的表达式，结合题意，即可得答案. 【详解】（1）因为点1(,)n n P a a +，n *∈N 在直线10x y -+=上，所以110n n a a +-+=，即11n n a a +-=，且11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)1,()n a n n n *=+-⨯=∈N ；（2）11n n b a n ==，所以111123n S n=+++⋅⋅⋅+，所以11111111(1)(1)(2)23231n n S S n n n n--=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=≥-，即11n n nS nS --=，所以11(1)1n n n nS n S S ----=+，(2)n ≥122(1)(2)1n n n n S n S S ------=+， 233(2)(3)1n n n n S n S S ------=+⋅⋅⋅21121S S S -=+所以112311n n nS S S S S S n --=+++⋅⋅⋅++-所以1231(1)(2)n n n S S S S nS n n S n -+++⋅⋅⋅+=-=-≥，根据题意121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立，所以()g n n =，所以存在关于n 的整式()g n n =，使得121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立，【点睛】解题的关键是根据n S 表达式，整理得n nS 与1(1)n n S --的关系，再利用累加法求解，若出现1()n n a a f n +-=（关于n 的表达式）时，采用累加法求通项，若出现1()n na f n a +=（关于n 的表达式）时，采用累乘法求通项，考查计算化简的能力，属中档题.26．见解析【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T .【详解】若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =，故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=，所以()()2212n n n S n n +==+，所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯ 故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++，故11111111131=231223341131n n n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②，由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，同①可得131n n T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =，而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =，同①可得131n n T n =-+. 【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。

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第一讲选择题解题5技法高考数学选择题主要考查考生对基础知识的理解程度、基本技能的熟练程度以及基本运算的准确程度等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查考生灵活应用基础知识解决数学问题的能力．选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理；先间接后直接，先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．解答选择题的常用方法主要是直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．总的来说，选择题属于小题，解题的常用原则是：小题巧解．在解答某些选择题时，可以根据选项的特征，通过灵活赋值，利用一些特殊的对象，如数、点等代入选项进行验证，根据选择题的特征——只有一个选项符合题目要求这一信息，可以间接地得到符合题目要求的选项．[例1] 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |2<x <4}，那么集合B ∩(∁U A )＝( ) A ．{x |－1≤x ≤4} B ．{x |2<x ≤3}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |－1<x <4} [思维流程][解析] 选项A 与选项D 的不同之处在于元素－1、4是否属于该集合；选项B 与选项C 的区别在于2与3是否属于该集合；选项A 、D 与选项B 、C 的区别可通过检验0是否属于该集合来判断．因为0∉B ，所以0∉B ∩(∁U A )，故可排除A 、D ；因为2∉B ，所以2∉B ∩(∁U A )，故可排除C.[答案] B—————————规律·总结———————————————————————排除法的使用技巧排除法适用于不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除(如本例通过二次取值排除)，直到得出正确的选项．1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ． (－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 取a ＝2验证满足题意，排除A 、D ；取a ＝－2验证不满足题意，排除B. 2.函数y ＝f (x )的图像如图所示，给出以下命题： ①函数y ＝f (x )的定义域是[－1,5]； ②函数y ＝f (x )的值域是(－∞，0]∪[2,4]； ③函数y ＝f (x )在定义域内是增函数； ④函数y ＝f (x )在定义域内的导数f ′(x )>0. 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④解析：选A y ＝f (x )的定义域中含有x ＝3，①②正确；函数y ＝f (x )在定义域内不是增函数，③④错误．特值法(也称特例法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确选择的方法，常用的特值法有：特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角和特殊位置等．[例2]若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图像是( )[思维流程][解析] 由f (x )－2＝0，得f (x )＝2.由图像可知对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立；对于B ，当f (x )＝2时，无解；对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立．[答案] D——————————规律·总结————————————————————用特值法解题应注意三点（1）所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；（2）特殊只能否定一般，不能肯定一般；（3）当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到找到正确选项为止．3．若a <0,0<b <1，则( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a 解析：选B 令a ＝－2，b ＝12，则ab ＝－1，ab 2＝－12.故ab 2>ab >a .4．设ƒ(x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数(ƒ∘g )(x )和(ƒ·g )(x )．对任意 x ∈R ，(ƒ∘g )(x )＝ƒ(g (x ))，(ƒ·g )(x )＝ƒ(x )g (x )，则下列等式恒成立的是( )A ．((ƒ∘g )·h )(x )＝((ƒ·h )∘(g ·h ))(x )B ．((ƒ·g )∘h )(x )＝((ƒ∘h )·(g ∘h ))(x )C ．((ƒ∘g )∘h )(x )＝((ƒ∘h )∘(g ∘h ))(x )D ．((ƒ·g )·h )(x )＝((ƒ·h )·(g ·h ))(x ) 解析：选B 取ƒ(x )＝－x ，g (x )＝x 2，h (x )＝x ，则((ƒ∘g )·h )(x )＝(－x 2)·(x )＝－x 3，((ƒ·h )∘(g ·h ))(x )＝(－x 2)∘(x 3)＝－x 6，A 错；((ƒ·g )∘h )(x )＝(－x 3)∘(x )＝－x 3，((ƒ∘h )·(g ∘h ))(x )＝(－x )·(x 2)＝－x 3，B 对；同理可验证C 、D 错．图解法就是将所研究的问题转化为函数的图像或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，综合几何图形的直观特征得到正确选项的一种解题方法，其实质就是数形结合思想的运用．[例3] 若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 [思维流程][解析] 根据题意，将函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图像绕原点旋转180°后，得到的图像所对应的解析式为y ＝x 2－4x (x ≥0)，再作出函数y ＝log 2x (x >0)的图像，如图所示．由题意，知函数y ＝x 2－4x (x >0)的图像与函数f (x )＝log 2x (x >0)的图像的交点个数即为“友好点对”的对数．由图可知它们的图像交点有2个，所以此函数的“友好点对”有2对．[答案] C——————————规律·总结————————————————————用图解法解题应注意的问题图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过运用图解法解题一定要对有关的函数图像、几何图形较熟悉，否则错误的图像反而会导致错误的选择．在本例中，如果不能准确画出分段函数的图像，那么就很难直接根据函数的图像判断出“友好点对”的对数．5．已知实数a ，b 满足等式2 011a ＝2 012b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 设2 011a ＝2 012b ＝t ，如图所示，由函数图像，可得 (1)若t >1，则有a >b >0； (2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0； (3)若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．6．函数y ＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值是( )A ．2 B ．32 C ．3 D ．34解析：选D 作出函数y ＝|log 12x |的图像，如图所示，由y ＝0，解得x＝1，由y ＝2，解得x ＝4或x ＝14.所以区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为1－14＝34.在解选择题时，有时从正面求解比较困难，可以转化为其反面的问题来解决，即将问题转化为其对立事件来解决，实际上就是补集思想的应用．[例4] 若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1) [思维流程][解析] y ′＝(e x ＋mx )′＝e x ＋m ，函数y ＝e x ＋mx 没有极值的充要条件是函数在R 上为单调函数，即y ′＝e x ＋m ≥0(或≤0)恒成立，而e x ≥0，故当m ≥0时，函数y ＝e x ＋mx 在R 上为单调递增函数，不存在极值，所以函数存在极值的条件是m <0.[答案] B——————————规律·总结———————————————————利用正难则反法解决问题的关键应用正难则反法解决问题的关键在于准确转化．在本例中，根据函数有极值得到函数不单调，但从正面无法直接判断，所以可以考虑其反面，即函数在R 上单调，其导函数的值恒大于0或恒小于0.7．设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |0<a <6} B ．{a |a <2或a >4} C ．{a |a ≤0或a ≥6} D ．{a |2≤a ≤4}解析：选A 当A ∩B ＝∅时，由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.故当A ∩B ≠∅时，0<a <6.由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．[例5] 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2＝( ) A ．m －39－m B．m －3|9－m | C ．－15 D ．5[思维流程][解析] 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，进而推知tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1.[答案] D——————————规律·总结———————————————————————估算法的应用技巧估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图像的变化等问题，常用此种方法确定选项．8．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A ．34B ．1C ．74D ．2解析：选C 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S △OAB＝12×2×2＝2小，故选C 项．1．选择题设置特点精巧易错近年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，考查学生观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，试题具有设置精巧、运算量不大、试题破解时易错的特点，着力考查学生的解题能力．2．选择题的解题策略灵活多变选择题的解题策略需要因题而变，对于容易题和大部分中等难度的题，可采取直接法；与几何图形有关的题，尽可能先画出图形，用数形结合的方法或者几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采用非常规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．3．选择题的破解技巧多样简捷选择题的解题方法较多，解答选择题的首要标准是准确，其次要求是快速，力求做到又准又快．解数学选择题有两类基本技巧：一是直接法；二是间接法．直接法：指充分利用题干和选项两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略；间接法：解选择题时通过注意到通常各类常规题的解题思想来指导选择题的解答，或根据选择题的特殊性，寻找存在着若干异于常规题的特殊解法．一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其它方法，充分利用题干和选项两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略．[选择题技法专练]1．(2013·成都模拟)对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 解析：选B 当a ·b ＝0时，a 与b 也可能垂直，故选项A 是假命题；当a 2＝b 2时，|a |＝|b |，故选项C 是假命题；当a ·b ＝a ·c 时，b 与c 也可能垂直，故选项D 是假命题． 2．(2013·重庆高考)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B ．92 C ．3 D ．322解析：选B 法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．法二：(3－a )(a ＋6)＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 3．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：选B 因为m ⊂α，l 1⊂β，若α∥β，则有m ∥β且l 1∥α，故α∥β的一个必要条件是m ∥β且l 1∥α，排除A ；因为m ，n ⊂α，l 1，l 2⊂β且l 1与l 2相交，若m ∥l 1且n ∥l 2，则m 与n 也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m 与直线l 1可能为异面直线，故α∥β的一个充分不必要条件是m ∥l 1且n ∥l 2.4．已知0<a <1,0<x ≤y <1，且log a x ·log a y ＝1，那么xy 的取值范围是( )A ．(0，a 2]B ．(0，a ]C ．⎝⎛⎦⎤0，1aD ．⎝⎛⎦⎤0，1a 2 解析：选A ∵0<a <1,0<x ≤y <1，∴xy >0，log a x >0，log a y >0，∴log a xy ＝log a x ＋log a y ≥2log a x ·log a y ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧log a x ＝log a y ，log a x ·log a y ＝1，即x ＝y ＝a 时取等号，∴0<xy ≤a 2.5．(2013·深圳模拟)设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3 B ．1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0解析：选D 对于A ，构造幂函数y ＝x 3，其在R 上为单调递增函数，因为0<a <b <1，根据其单调性可知a 3<b 3，故A 错误；对于B ，1a －1b ＝b －a ab ，因为0<a <b <1，所以ab >0，b －a >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b ，故B 错误；对于C ，构造指数函数y ＝a x ，因为0<a <b <1，所以a b <1，故C 错误；对于D ，构造对数函数y ＝lg x ，因为0<a <b <1，所以0<b －a <1，故lg(b －a )<0，故D 正确．6．函数f (x )＝|sin x －cos x |＋sin x ＋cos x (x ∈R )的最小值为( ) A ．0 B ．－22C ．－ 2D ．－2 解析：选C 依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥cos x ，2cos x ，sin x <cos x ，根据函数解析式，作出一个周期内的函数图像观察即可得到函数f (x )的最小值为－ 2.7．(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]解析：选D 取特殊值进行判断．当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故B 错；当x ＝1.1，y ＝1.9时，[x ＋y ]＝3，[x ]＋[y ]＝2，故C 错．8．函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C 方程f (x )·2x ＝1可化为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像，如图所示．可以发现其图像有两个交点，因此方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 有两个实数根．9．若0≤α<β≤π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2解析：选A 当α＝0时，a ＝sin 0＋cos 0＝1；当β＝π4时，b ＝sin π4＋cos π4＝2，从而b >a ，而1<ab＝2<2，所以排除B 、C 、D 只有A 正确．10．已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，则f ′(x )的图像是()A B C D解析：选A f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫14x 2＋cos x ′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－⎝⎛⎭⎫12x －sin x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项．法一：当x ＝π2时，g ⎝⎛⎭⎫π2＝12×π2－sin π2＝π4－1<0，故排除C. 法二：g ′(x )＝12－cos x ，显然当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，g ′(x )<0，g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减，故排除C. 11．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图像上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图像大致为()A B C D解析：选A 由题意可得y ′＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0，由于它是奇函数，所以排除B ，C ；又在y 轴附近g (x 0)为增函数，所以排除D.12．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝( ) A ．－32 B ．－16 C ．16 D ．32解析：选D 由题意知，点A 为(4,0)，根据三角函数的图像，知点B 、C 关于点A 对称，设B (x 1，y 1)，则C (8－x 1，－y 1)，(OB ＋OC )·OA ＝8×4＝32.13．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图像交于P 、Q 两点，则线段PQ 长度的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 由题意知P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限内的点，则m >0，n >0，n ＝2m，所以|PQ |2＝|2OP |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝⎛⎫m 2＋4m 2≥16⎝⎛⎭⎫当且仅当m 2＝4m 2，即m ＝2时取等号，故线段PQ 长度的最小值是4.14．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝S MB ．P >S MC ．P 2＝⎝⎛⎭⎫S M nD ．P 2>⎝⎛⎭⎫S M n解析：选C 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >SM 和P 2>⎝⎛⎭⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n2，这时有P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n ，而P ≠S M，所以选项A 不正确． 15．(2013·海淀模拟)若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n ＋T ＝a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T .已知数列{a n }满足a 1＝m (m >0)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －1，a n >1，1a n，0<a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A ．若m ＝45，则a 5＝3 B ．若a 3＝2，则m 可以取3个不同的值C ．若m ＝2，则数列{a n }是周期为3的数列D ．存在m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列解析：选D 对于A ，当a 1＝m ＝45时，a 2＝54，a 3＝a 2－1＝14，a 4＝4，a 5＝3，因此选项A 正确；对于B ，当a 3＝2时，若a 2>1，则a 3＝a 2－1＝2，a 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m －1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1，1m＝3，由此解得m ＝4或m ＝13；若0<a 2≤1，则a 3＝1a 2＝2，a 2＝12，⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m －1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1，1m ＝12，由此解得m ＝32，因此m 的可能值是13，32，4，选项B 正确；对于C ，当m ＝2时，a 1＝2，a 2＝2－1，a 3＝2＋1，a 4＝2，a 5＝2－1，a 6＝2＋1，…，此时数列{a n }是以3为周期的数列，因此选项C 正确．16．已知函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程f (x )＝kx ＋k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤14，13 B ．⎝⎛⎦⎤－1，－12∪⎣⎡⎭⎫14，13 C ．⎣⎡⎭⎫－13，－14∪⎝⎛⎦⎤12，1 D ．⎝⎛⎦⎤－13，－14∪⎣⎡⎭⎫12，1 解析：选B f (x ＋1)＝(x ＋1)－[x ＋1]＝(x ＋1)－([x ]＋1)＝x －[x ]＝f (x )，即f (x )是以1为周期的函数．当0≤x <1时，f (x )＝x －0＝x ，要使方程f (x )＝k (x ＋1)有三个不同的实根，则需函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝k (x ＋1)(y ＝k (x＋1)是过点(－1,0)，斜率为k 的直线)的图像有三个交点，如图所示，满足题意的直线l 应位于直线l 1，l 2之间，或位于直线l 3，l 4之间(其中包括直线l 1，l 4，不包括直线l 2，l 3)，结合图像可知，实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，－12∪⎣⎡⎭⎫14，13.。