线性代数期末复习资料.ppt
即使是大量出现的非线性问题有时也会转换 成线性问题进行处理，如高等数学中的微分 等.
三. 矩阵和向量是重要的代数工具. 在一定的意义上，它们以及其上的一些
运算本身就构成线性空间.
线性代数的主要内容分别是线性方程组、 矩阵代数、向量空间、以及与线性变换 密切相关的方阵的特征值和二次型这种 线性空间之间特殊的双线性函数等(See below).
本书介绍了使用MATLAB求解线性代数 问题的一些常见命令，希望能引起大家 学习兴趣，较早进入MATLAB世界.
九. 每章都有精选习题，有些选自历年 的研究生入学考试线性代数题目.
线性代数参考书
魏战线,工程数学《线性代数》(第2版)， 辽宁大学出版社,2000 (全国高等教育自学考试教材) (有同步辅导/同步训练配套教材)
线性代数 Linear Algebra
任课教师:
<<线性代数>> Linear Algebra 同济大学数学系(第五版) {高等数学、线性代数、概率与数理统计}
高等教育出版社, 2007
前言
一.代数最早就是求解方程或方程组. 线 性代数需要解决的第一个问题就是求解 线性方程组.
代数就是在所考虑的对象之间规定一些 运算后得到的一种数学结构.
运算
运算
运算
运算
二. 线性代数的研究对象是线性空间, 包括其 上的线性变换
线性代数涉及的运算主要是称为加减和数乘 的线性运算，这些线性运算须满足一定的性 质进而构成线性空间.
线性运算
线性运算
线性运算
线性运算 Linear Space
从广义的角度看，线性代数研究的是“线性 问题”.
直观地讲，对所考虑的变量是一次的问题就 是线性问题.
– 在高等数学、微分方程、离散数学、算法分析与 设计、计算机图形图像处理等课程中矩阵、向量、 线性变换是经常要用的知识.
– 随着计算机的普及，线性代数在理论和实际应用 中的重要性更加突出，这使得诸如计算机专业、 电子信息专业、自动控制专业以及经济管理专业 等对线性代数内容从深度和广度方面都提出了更 高的要求.
在讨论n元线性方程组的有关问题时，
矩阵是一个很方便的工具. 3阶幻方:
6 1 8 6 1 8 7 5 3 7 5 3 2 9 4 2 9 4
4阶幻方?
5阶幻方?
16 3 2 13
5 10 11 8
9 4
6 15
7 14
12 1
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
以线性方程组为主线、以矩阵和向量为
工具.
行列式
Hale Waihona Puke 线性方程组 代数矩阵 向量
特征值 特征向量
二次型
几何
四. 线性代数的特点是内容较抽象、概 念和定理较多，前后联系紧密，环环相 扣，相互渗透.
五. 为何学习线性代数.
– 线性化是重要的数学方法，在高等数学特别是优 化问题的讨论中会用到.
– 在计算机程序设计语言特别是MATLAB中，矩阵是 最基本的数据结构.
17
5
13 21
9
10 18 1 14 22
23
6
19
2
15
矩阵就是由一些数，也可以是一些表示 数的符号，按一定顺序排成若干行和若
干列的一个表格.
第1章 线性方程组
线性方程组是线性代数的基本内容,是贯 穿线性代数的一条主线. (线性代数最早 的重点内容就是求解线性方程组.)
学习线性方程组的重要性.
线性方程组消元法
行列式
矩阵
向量空间
1.1 线性方程组与矩阵的有 关概念
1.1.1 线性方程组的有关概念
x y 1 2x y 5
x 2 y 5z 19 2x 8y 3z 22 x 3y 2z 11
六. 学习线性代数要达到的目的.
通过线性代数的学习，一方面可以进一 步培养抽象思维能力和严密的逻辑推理 能力，为进一步学习和研究打下坚实的 基础，另一方面为立志报考研究生的同 学提供必要的线性代数理论知识、解题 技巧和方法.
七.线性代数的主要内容 Chapter 1 线性方程组 Chapter 2 矩阵代数 Chapter 3 向量空间 Chapter 4 特征值与特征向量 Chapter 5 二次型
八. MATLAB程序设计语言 MATLAB: matrix laboratory.
MATLAB(1)强大的数值计算和(2)符号计 算功能、(3)卓越的数据可视化能力和(4) 适用于各行各业的不同的工具箱.
基本教学工具. 是攻读学位的理工科, 甚至文科大学生、
硕士生和博士生必须掌握的基本技能.
– m > n (超定线性方程组: overdetermined equations).
– m < n (欠定线性方程组: underdetermined equations).
对于n元线性方程组，应该讨论:
(1)解的存在性性.
(2)求出其所有解，包括讨论解的个数.
1.1.2 矩阵的有关概念 1、矩阵
n元线性方程组的一般形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1 a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2x2 amn xn bm
m n线性方程组. aij系数与bi常数.
m和n是任意正整数，其关系可能为下
列三种情况之一:
– m = n (恰定线性方程组: properly determined equations).
3x2 sin y 2z
在高等数学中，对于未知函数y(x)以及 未知函数y(x)的导数来说，最高是一次 的微分方程称为线性微分方程.
y'' P(x) y' Q(x) y f (x)
3y' y f (x)
每个方程均是线性方程的方程组称为线 性方程组(system of linear equations).
abcd 0
d 0.25
abcd 1
8a 4b 2c d 1
对所考虑的未知量来说，和式中每项次 数最高是一次的方程称为线性方程 (linear equation)，否则称为非线性方 程(nonlinear equation).
对于未知量x, y, z:
3xy y 2z 5
√ 2x 3y 4z 5 ey xye 0
三. 矩阵和向量是重要的代数工具. 在一定的意义上，它们以及其上的一些
运算本身就构成线性空间.
线性代数的主要内容分别是线性方程组、 矩阵代数、向量空间、以及与线性变换 密切相关的方阵的特征值和二次型这种 线性空间之间特殊的双线性函数等(See below).
本书介绍了使用MATLAB求解线性代数 问题的一些常见命令，希望能引起大家 学习兴趣，较早进入MATLAB世界.
九. 每章都有精选习题，有些选自历年 的研究生入学考试线性代数题目.
线性代数参考书
魏战线,工程数学《线性代数》(第2版)， 辽宁大学出版社,2000 (全国高等教育自学考试教材) (有同步辅导/同步训练配套教材)
线性代数 Linear Algebra
任课教师:
<<线性代数>> Linear Algebra 同济大学数学系(第五版) {高等数学、线性代数、概率与数理统计}
高等教育出版社, 2007
前言
一.代数最早就是求解方程或方程组. 线 性代数需要解决的第一个问题就是求解 线性方程组.
代数就是在所考虑的对象之间规定一些 运算后得到的一种数学结构.
运算
运算
运算
运算
二. 线性代数的研究对象是线性空间, 包括其 上的线性变换
线性代数涉及的运算主要是称为加减和数乘 的线性运算，这些线性运算须满足一定的性 质进而构成线性空间.
线性运算
线性运算
线性运算
线性运算 Linear Space
从广义的角度看，线性代数研究的是“线性 问题”.
直观地讲，对所考虑的变量是一次的问题就 是线性问题.
– 在高等数学、微分方程、离散数学、算法分析与 设计、计算机图形图像处理等课程中矩阵、向量、 线性变换是经常要用的知识.
– 随着计算机的普及，线性代数在理论和实际应用 中的重要性更加突出，这使得诸如计算机专业、 电子信息专业、自动控制专业以及经济管理专业 等对线性代数内容从深度和广度方面都提出了更 高的要求.
在讨论n元线性方程组的有关问题时，
矩阵是一个很方便的工具. 3阶幻方:
6 1 8 6 1 8 7 5 3 7 5 3 2 9 4 2 9 4
4阶幻方?
5阶幻方?
16 3 2 13
5 10 11 8
9 4
6 15
7 14
12 1
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
以线性方程组为主线、以矩阵和向量为
工具.
行列式
Hale Waihona Puke 线性方程组 代数矩阵 向量
特征值 特征向量
二次型
几何
四. 线性代数的特点是内容较抽象、概 念和定理较多，前后联系紧密，环环相 扣，相互渗透.
五. 为何学习线性代数.
– 线性化是重要的数学方法，在高等数学特别是优 化问题的讨论中会用到.
– 在计算机程序设计语言特别是MATLAB中，矩阵是 最基本的数据结构.
17
5
13 21
9
10 18 1 14 22
23
6
19
2
15
矩阵就是由一些数，也可以是一些表示 数的符号，按一定顺序排成若干行和若
干列的一个表格.
第1章 线性方程组
线性方程组是线性代数的基本内容,是贯 穿线性代数的一条主线. (线性代数最早 的重点内容就是求解线性方程组.)
学习线性方程组的重要性.
线性方程组消元法
行列式
矩阵
向量空间
1.1 线性方程组与矩阵的有 关概念
1.1.1 线性方程组的有关概念
x y 1 2x y 5
x 2 y 5z 19 2x 8y 3z 22 x 3y 2z 11
六. 学习线性代数要达到的目的.
通过线性代数的学习，一方面可以进一 步培养抽象思维能力和严密的逻辑推理 能力，为进一步学习和研究打下坚实的 基础，另一方面为立志报考研究生的同 学提供必要的线性代数理论知识、解题 技巧和方法.
七.线性代数的主要内容 Chapter 1 线性方程组 Chapter 2 矩阵代数 Chapter 3 向量空间 Chapter 4 特征值与特征向量 Chapter 5 二次型
八. MATLAB程序设计语言 MATLAB: matrix laboratory.
MATLAB(1)强大的数值计算和(2)符号计 算功能、(3)卓越的数据可视化能力和(4) 适用于各行各业的不同的工具箱.
基本教学工具. 是攻读学位的理工科, 甚至文科大学生、
硕士生和博士生必须掌握的基本技能.
– m > n (超定线性方程组: overdetermined equations).
– m < n (欠定线性方程组: underdetermined equations).
对于n元线性方程组，应该讨论:
(1)解的存在性性.
(2)求出其所有解，包括讨论解的个数.
1.1.2 矩阵的有关概念 1、矩阵
n元线性方程组的一般形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1 a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2x2 amn xn bm
m n线性方程组. aij系数与bi常数.
m和n是任意正整数，其关系可能为下
列三种情况之一:
– m = n (恰定线性方程组: properly determined equations).
3x2 sin y 2z
在高等数学中，对于未知函数y(x)以及 未知函数y(x)的导数来说，最高是一次 的微分方程称为线性微分方程.
y'' P(x) y' Q(x) y f (x)
3y' y f (x)
每个方程均是线性方程的方程组称为线 性方程组(system of linear equations).
abcd 0
d 0.25
abcd 1
8a 4b 2c d 1
对所考虑的未知量来说，和式中每项次 数最高是一次的方程称为线性方程 (linear equation)，否则称为非线性方 程(nonlinear equation).
对于未知量x, y, z:
3xy y 2z 5
√ 2x 3y 4z 5 ey xye 0
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《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数总复习讲义
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线性代数总复习
r(A) r(A,b)无解
r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
克拉默法则， xj
Dj D
Ax=b
b=0 b≠0
d1 d 2 d n T 初等变换，
齐次方程的基础解系
r(A)=r(A,b)<n 有无穷多解
非齐次方程的一个特解
非齐次方程的通解
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0 1 1
1 1 0 0 0 0
r3 r2 r4 3r1
0 1 1 2 r4 r3 0 0 0 0 2 4 2 2
0 1 1
1 ( 1) ( 2) ( 2) 4
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线性代数总复习
(2) 利用行列式展开计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
r2 5r3
32 2 1 0 10 1 3 r2 （ 2） 3 5 3 5 1 A 1 3 3 . 0 0 2 2 2 r3 （ 1） 2 11 1 0 0 11 1
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线性代数总复习
r1 r2
r3 r2
r1 2r3
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r 2 （ 2） 0 2 0 3 6 5 （ 1） 0 0 1 1 1 1 r3
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线性代数总复习
2、n阶行列式的计算 (1) 利用行列式的性质计算 （化为三角形） 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
线性代数总复习
r(A) r(A,b)无解
r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
克拉默法则， xj
Dj D
Ax=b
b=0 b≠0
d1 d 2 d n T 初等变换，
齐次方程的基础解系
r(A)=r(A,b)<n 有无穷多解
非齐次方程的一个特解
非齐次方程的通解
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0 1 1
1 1 0 0 0 0
r3 r2 r4 3r1
0 1 1 2 r4 r3 0 0 0 0 2 4 2 2
0 1 1
1 ( 1) ( 2) ( 2) 4
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(2) 利用行列式展开计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
r2 5r3
32 2 1 0 10 1 3 r2 （ 2） 3 5 3 5 1 A 1 3 3 . 0 0 2 2 2 r3 （ 1） 2 11 1 0 0 11 1
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线性代数总复习
r1 r2
r3 r2
r1 2r3
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r 2 （ 2） 0 2 0 3 6 5 （ 1） 0 0 1 1 1 1 r3
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线性代数总复习
2、n阶行列式的计算 (1) 利用行列式的性质计算 （化为三角形） 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
线性代数 线代复习ppt课件
解
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
26
定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
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定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法
线性代数总复习PPT 很全!.ppt
m
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
线性代数期末复习课件(超全)
形式 0是Ax b的一个特解，则方程组的全部解为：
x 0 k11 k22 knr nr , k1, k2， , knr R.
线性方程组解的结构
例
求
x1 2x2 4x3 3x4 1, 3x1 5x2 6x3 4x4 0,
的所有解.
4x1 5x2 2x3 3x4 －5.
,
b22
,
,
b2nr
,
xr br1 br2 brnr
线性方程组解的结构
b11
b12
1
r r 1
n
r 1
b21
br1
1 0
0
r2
b22
br
2
0 1
0
b1nr
b2nr
r 2
（II）向
量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示.
(即再添加任何一个向量都线性相关)
则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.
定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量 个数称为向量组的秩.
推论 两个等价的向量组有相同的秩.
向量组的秩
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：
向量组与矩
a11
Amn
线性相关性.
1 7 0 3 2
1
所以
A
4
0 0 0
3
0
0
2 3
1
0 1 0
1
1
0
1
3
2
1
0
0
3
0
0 0
0
1 0 0
0
2 3
1 3
01 3
1 3
11
0
0 0 0
线性组合系
x 0 k11 k22 knr nr , k1, k2， , knr R.
线性方程组解的结构
例
求
x1 2x2 4x3 3x4 1, 3x1 5x2 6x3 4x4 0,
的所有解.
4x1 5x2 2x3 3x4 －5.
,
b22
,
,
b2nr
,
xr br1 br2 brnr
线性方程组解的结构
b11
b12
1
r r 1
n
r 1
b21
br1
1 0
0
r2
b22
br
2
0 1
0
b1nr
b2nr
r 2
（II）向
量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示.
(即再添加任何一个向量都线性相关)
则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.
定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量 个数称为向量组的秩.
推论 两个等价的向量组有相同的秩.
向量组的秩
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：
向量组与矩
a11
Amn
线性相关性.
1 7 0 3 2
1
所以
A
4
0 0 0
3
0
0
2 3
1
0 1 0
1
1
0
1
3
2
1
0
0
3
0
0 0
0
1 0 0
0
2 3
1 3
01 3
1 3
11
0
0 0 0
线性组合系
线性代数期末总复习(PPT)
反对称矩阵: AT = －A
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Am s , Bsn ,C mn
k 1 n
AT: AT 的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA , A必须是方阵.
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A+B=B+A; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。 (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (4) AO =OA = O.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
n
i j i j i j i j
●定义法
●递推法
计 算
●加边法
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Am s , Bsn ,C mn
k 1 n
AT: AT 的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA , A必须是方阵.
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A+B=B+A; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。 (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (4) AO =OA = O.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
n
i j i j i j i j
●定义法
●递推法
计 算
●加边法
线性代数知识点全面总结PPT课件
量 组 的
维 向 量 线性相关
判定 概念 判定
充要条件
线
概念
充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件 充分条件
关 性
概念
向
极大无关组 求法
量
概念
空
向量空间的基
间
线 Ax = b
解
有解判定R(A)≠R(B)无解 的
性 方 程 组
初行变换等阶梯形
R(A)=R(B)有解 结
构
R(A)=n仅有零解 基
Ax = 0
2、矩阵的乘法
(1)(AB)C = A ( BC ) ;
(2) A ( B + C ) =
(3) (kA)(lB) = (kl)AB;
(4) AO =OA = O.
3、矩阵的转置
(1)(AT)T = A; (3)(kA)T =kAT;
(2) (A+B)T = AT+BT; (4) (AB)T = BTAT.
A
A12
A22
An1
An2
A1n A2n
Ann
概 如果AB=BA=E,则A可逆， 念 B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩求
用伴随矩阵 A1 1 A
A
阵
法
分块对 A
角矩阵
0
0 1 A1
B
0
0 0
B1
B
A1 0
0
A1
B1
0
|A| ≠ 0 , A
证 法
可|A逆| =.0 , A不可 逆AB .= E , A与B互逆.
总 有 解R(A)<n有非零解
A+B = ( aij + biAj与) B同型
线性代数总复习
2) 每个矩阵都可以通过初等行变换化成等价 的阶梯形和简化阶梯形，加上初等列变换 可以化成由其秩决定的唯一的标准型。
3) 向量组是矩阵的内部结构，将矩阵按行 或列划分，就得到行或列向量组；合之 则得到矩阵。它是矩阵的质的刻画。向 量组的线性相关性由它所组成的矩阵的 秩来刻画。
4) 线性方程组是矩阵的一次方程AX=b，解线性 方程组的本质是将增广矩阵通过初等行变换化 成简化阶梯形。
5) 矩阵的相似变换是一种特殊的初等变换，其 核心问题是判断矩阵何时相似于对角形，怎 样将可以对角化的矩阵化成对角阵。 6) 二次型等价于对称阵，其核心问题是将对 称阵通过合同变换这种特殊的初等变换化 成对角形。
矩阵作为核心内容，其发挥作用的关键在于矩 阵的等价分类。
具体地说，就是将要考虑的所有矩阵通过某种 方式按类进行划分，使得同一类中的矩阵具有 等价关系（自反性，对称性，传递性），并且 具有某些相同的性质（如秩，特征值，正惯性 指数等）。然后挑出每个等价类中形式最简单 的矩阵，根据最简单的矩阵的性质解决特定的 矩阵问题。
2) 利用初等变换求矩阵的逆；利用初等变换求 矩阵的秩；掌握初等矩阵与一般矩阵相乘的 意义。
3) 判断向量组的线性相关性；能把向量表示成 一组向量的线性组合。
4) 求向量组的一个极大无关组和秩。
5) 求一个向量在一组基下的坐标；求一组基到 另一组基的过渡矩阵和坐标变换公式。
6) 求已知齐次线性方程组的基础解系。求已知 非齐次线性方程组的通解；判断带参数的线 性方程组的解的个数以及在有解时的通解。
本课程中对矩阵进行分类的方式是借助矩阵的 初等变换，即给定某种形式的初等变换，矩阵 A与矩阵B在一个等价类中当且仅当A能通过给 定的初等变换化成B。
本课程中给定的初等变换有三类，即两个矩阵 的等价关系有三种。
线性代数总复习讲义PPT课件
在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益 率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
《线性代数总复习》PPT课件_OK
aA 0或B 0 bBA 0 c A 0或 B 0 d A可逆时, B 0
e如果 A 0,则B 0 f 秩A 秩B n g如果秩A n,则B 0
消去律一般不成立
AB不一定等于BA A B AB O 0
B A1 AB A10
此时A可逆
有秩的结论
此时A可逆
2021/8/31
-7-
例5 2）设A、B都是n阶方阵，则 e
a( A B)2 A2 2AB B2 b A B B A c If A 1,then : A 1
当AB BA时,成立
A B 1n B A
A 1A 1n A
d A2 B2 ( A B)( A B) 当AB BA时,成立
(1) 对齐次线性方程组AX=0来说,以下哪个结论正确?
1当m n时, AX 0仅有零解;
2当m n时, AX 0必有非零解;
2)
3当m n时, AX 0必有惟一解;
41,2,3都不对. (2) 对非齐次线性方程组AX=来说,以下哪个结论正确?
1当m n时, AX 必无解; 2当m n时, AX 必有无穷多解; 3当m n时, AX 必有惟一解;
的根为 2,3,4
1 2 22 23 解： 1 3 32 33 2( x 2)( x 3)( x 4)
1 4 42 43 1 x x2 x3
2021/8/31
-5-
例3. 设 A,B为三阶矩阵，且 A 3, B 2, A1 B 2, 求： A B1 解： A( A1 B ) E AB
a22 x2
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
的非零 解向量, 试判断 1,2 ,,r , 的线性相关性?