2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.3
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
解答.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
7
8
8.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量
的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理
学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W= |F||s|cos θ (θ
即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 5.
-28考点1
考点2
考点3
解题心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
b+|b|2,把向量的模
的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作
出向量,再利用余弦定理等方法求解.
为( B )
5
A.-8
1
B.8
1
C.4
11
D. 8
-16考点1
考点2
考点3
(2)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分
7
点, ·=4, · =-1,则 ·的值是
.
8
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
cos∠ABC=
= 1×1
||||
=
3
,
2
关闭
所以∠ABC=30°,故选 A.
A
解析
答案
-13知识梳理
1
双基自测
2
(通用版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算实用课件理
(3)若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定不可能都是零 向量． ( √ )
2．填空题 (1)给出下列命题： ①若 a ＝b ，b ＝c，则 a ＝c； ―→ ―→ ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且 a ∥b ； 其中正确命题的序号是________．
B．若|a |>|b |，则 a >b D．若|a |＝0，则 a ＝0
[解析]
(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量， 故 A 不正
确； 方向相同或相反的非零向量叫做共线向量， 但共线向量不一定在 ―→ ―→ ―→ 同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当 AB ∥ CD 时， AB 所 ―→ 在的直线与 CD 所在的直线可能重合，故 D 不正确． (2)对于 A，当|a |＝|b |，即向量 a ，b 的模相等时，方向不一定相 同，故 a ＝b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但向量 不可以比较大小，故 B 不正确；C 显然正确；对于 D，若|a |＝0，则 a ＝0，故 D 不正确，故选 C.
答案：C
1 3.如图，△ABC 和△A′B′C′是在各边的 3 处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC a 的边长为 a ，图中列出了长度均为 的若干个 3 向量，则 ―→ (1)与向量 GH 相等的向量有________； ―→ (2)与向量 GH 共线，且模相等的向量有________； ―→ (3)与向量 EA 共线，且模相等的向量有________．
(
)
C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相 反的向量 D．共线向量就是相等向量
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：5-3 平面向量的数量积 含答案 精品
§5.3 平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . 知识拓展1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (6)若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．[P105例4]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．[P106T3]已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 题组三 易错自纠4．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于________． 答案 52解析 a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 答案322解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，由定义知，AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B. 15 C ．9 D ．6 答案 C解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，故选C. 2．(2018届“超级全能生”全国联考)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( ) A ．16 B ．12 C ．8 D ．－4答案 A解析 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4,0)，B (0,0)，C (0,6)，D (2,3)，设E (0，t )，BD →·AE →＝(2,3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，t ＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0,6)＝16.故选A. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模典例 (1)(2018届广州海珠区综合测试)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|a －2b |＝2，则|b |等于( ) A ．4 B ．2 C. 2 D ．1答案 D解析 由|a －2b |＝2，得(a －2b )2＝|a |2－4a·b ＋4|b |2＝4， 即|a |2－4|a||b |cos 60°＋4|b |2＝4，则|b |2－|b |＝0，解得|b |＝0(舍去)或|b |＝1，故选D.(2)(2017·衡水调研)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案 5解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )． 所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )． 当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min ＝5.命题点2 求向量的夹角典例 (1)(2017·山西四校联考)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______． 答案2π3解析 ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a·b －b 2＝6， 又|a |＝2，|b |＝1，∴a·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.(2)(2018届吉林百校联盟联考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为π3，向量e 1＋2e 2与2e 1＋λe 2的夹角为2π3，则λ等于( )A ．－23B ．－3C ．－23或－3D ．－1答案 B解析 依题意可得|e 1＋2e 2|＝(e 1)2＋4e 1·e 2＋(2e 2)2＝7， 同理，|2e 1＋λe 2|＝4＋2λ＋λ2， 而(e 1＋2e 2)·(2e 1＋λe 2)＝4＋52λ，又向量e 1＋2e 2与2e 1＋λe 2的夹角为2π3，可知(e 1＋2e 2)·(2e 1＋λe 2)|e 1＋2e 2||2e 1＋λe 2|＝4＋52λ7×4＋2λ＋λ2＝－12，由此解得λ＝－23或－3，又4＋52λ<0，∴λ＝－3.思维升华 (1)求解平面向量模的方法①写出有关向量的坐标，利用公式|a |＝x 2＋y 2即可．②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a |＝a 2. (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，注意θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ， 如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是____________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22 ＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33.题型三 平面向量与三角函数典例 (2017·广州海珠区摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 跟踪训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件． 错解展示：现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.2．(2018届河北武邑中学调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,3)，则向量2a －b 与a 的夹角为( ) A ．135° B ．60° C ．45° D ．30°答案 C解析 由题意可得2a －b ＝2(2,1)－(1,3)＝(3，－1)， 则|2a －b |＝32＋(－1)2＝10，|a |＝22＋12＝5， 且(2a －b )·a ＝(3，－1)·(2,1)＝6－1＝5，设所求向量的夹角为θ，由题意可得cos θ＝(2a －b )·a |2a －b ||a |＝510×5＝22，则向量2a －b 与a 的夹角为45°.3．(2017·豫南九校联考)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2 D.54答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)， a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5， |2a －b |＝5，∴|2a －b |a·(a ＋b )＝55＝1，故选B.4．(2018·乐山质检)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32答案 D解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.5．(2017·沈阳质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.269解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6．(2017·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.7．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m ,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m ,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.8．(2018·银川质检)已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________.答案 6解析 a·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝6. 9．(2018届吉林长春普通高中一模)已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________.解析 因为平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以由题意可知，a ，b ，c 的夹角为120°，又|a |＝|b |＝1，|c |＝3，所以a·b ＝－12，a·c ＝b·c ＝－32，|a ＋b ＋c |＝1＋1＋9＋2×⎝⎛⎭⎫－12＋2×⎝⎛⎭⎫－32＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝2. 10．(2017·巢湖质检)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0， 解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 11．(2018·贵阳质检)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61， 所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 12．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且OA →＋AB →＋AC →＝0，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( ) A ．3 B. 3 C ．－3 D ．－ 3答案 B解析 △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且OA →＋AB →＋AC →＝0， ∴OB →＝CA →，∴四边形OBAC 为平行四边形．∵△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，∴|OA →|＝|AB →|＝|OB →|，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形，且∠ABO ＝∠ACO ＝60°，因此，∠ACB ＝12∠ACO ＝30°，∴向量CA →在CB →方向上的投影为|AC →|×cos ∠ACB ＝2cos 30°＝3，故选B.14．(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则B (0,0)，A (0,2)，C (2,0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)． 设M (a,2－a )，N (a ＋1,1－a )(由题意可知0<a <1)， ∴BM →＝(a,2－a )，BN →＝(a ＋1,1－a )， ∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a ) ＝2a 2－2a ＋2＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋32， ∵0<a <1，∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎡⎭⎫32，2.15．(2018届河北武邑中学调研)设a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1答案 A解析 由题意结合a ⊥b ，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )， 则由|c －(a ＋b )|＝|a －b |， 得|(x ，y )－(1,1)|＝|(1，－1)|， 由此可得(x －1)2＋(y －1)2＝2，即c 对应的点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，如图所示．∵圆过原点，∴|c |的最大值为圆的直径22，故选A.16．(2017·河北衡水模拟)已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______．答案 ±4 3解析 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →， ∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点， ∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2.∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2，∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.。
高考数学大一轮(人教A版文科)复习课件：第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5-3
知识梳理 知识梳理 双基自测 自测点评
-5-
1 2 3 4 5 6 7 8
3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律). (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律).
知识梳理 知识梳理 双基自测 自测点评
-6-
5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围 是 .
关闭
知识梳理 知识梳理 双基自测 自测点评
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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ= x1x2+y1y2 .
2 2 (2)模:|a|= ������· ������ = ������1 + ������1 . (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离
-12-
1 2 3 4 5
2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( A.-8 B.-6 C.6 D.8
)
关闭
D 答案
知识梳理 知识梳理 双基自测 自测点评
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1 2 3 4 5
1 3 3 1
3.(2016 全国丙卷,文 3)已知向量������������ = 2 , 2 , ������������ = 2 , 2 ,则 ∠ABC=( )
(6)若������������ ∥ ������������ ,则 A,B,C 三点共线. (
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第5章 平面向量及其应用、复数 第4节 复数
B.-1
C.1
D.2
(2)(2021 新高考Ⅰ,2)已知 z=2-i,则 z(+i)=(
)
A.6-2i
B.4-2i
C.6+2i
D.4+2i
(3)(2022 山西临汾三模)在复平面内,复数 z 的对应点的坐标为(1,-1),则
1+i
=(
A.i
)
B.-1
C.1+i
D.1-i
答案:(1)D (2)C
1-2i
3
B.
5
)
1
C.5
(2)(2022 全国甲,文 3)若 z=1+i,则|iz+3|=(
A.4 5
B.4 2
C.2 5
3
D.5
)
D.2 2
(3)(2022全国乙,文2)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(
A.a=1,b=-1
B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1
D.a=-1,b=-1
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
答案:(1)A (2)C
解析:(1)∵z(1+i)=|2- 5i|+2i= 4 + 5+2i=3+2i,
3+2i
∴z= 1+i
=
i-1
(2) i
(i-1)i
=
i
(3+2i)(1-i)
(1+i)(1-i)
2
=
=
5
1
−
i,∴
2
2
=
5
1
5 1
2019届一轮复习人教A版(文科数学)第5章第2讲平面向量的数量积及应用课件
3.平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a,b的夹角,则|b|cos θ叫作向量b在向量a的方向上的投影,|a|cos θ叫作
向量a在向量b的方向上的投影.
(2)a· b的几何意义
数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
文科数学 第五章：平面向量
考点4 平面向量应用举例
考点1 平面向量的数量积（重点）
文科数学 第五章：平面向量
文科数学 第五章：平面向量
2.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积,
记作a· b,即a· b=|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为零.
长、夹角问题,平行和垂直问题,有时也会与三角函数、平面几何、解析几 何进行交汇命题,主要以小题的形式出现,分值5分,难度不大. 2.学科素养 本讲主要考查考生的数学运算能力和对数形结合思想的应用.
考点1 平面向量的数量积 A考点帮•知识全通关 考点2 数量积的性质和运算律 考点3 平面向量数量积的坐标表示
命题规律
核心考点 考题取样 2015全国Ⅱ,T4 2014全国Ⅱ,T4 2013全国Ⅱ,T14 1.数量积的定义及模长、夹角问题 2017全国Ⅰ,T13 2017全国Ⅲ,T13 2016全国Ⅰ,T13 考查内容（对应考法）
求平面向量的数量积(考法1) 数量积的性质的应用,坐标运算,向量垂直 (考法1) 求平面向量的夹角(考法2)
考法1 平面向量的数量积运算 考法2 平面向量的夹角、模长的计算 B考法帮•题型全突破 考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应 用
考法4 向量在物理中的应用பைடு நூலகம்
2019届一轮复习人教A版(文科数学)第5章第1讲 平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标运算课件
数乘
(1)|λa|=|λ||a|. 求实数λ与向量 (2)当λ>0时,λa与a的方向相同; 当λ<0时,λa与a的方向相反;当 a的积的运算 λ=0时,λa=0.
文科数学 第五章：平面向量
名师提醒
对于任意两个向量a,b,都有:
①||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
②|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
考点4 平面向量基本定理（重点） 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这 一平面内所有向量的一组基底. 名师提醒 (1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; ������1 = ������1 , (3)如果对于一组基底e1,e2,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则可以得到 ������2 = ������2 .
文科数学 第五章：平面向量
名师提醒：
(1)向量不同于数量,向量不仅有大小,而且还有方向.
(2)任意向量a的模都是非负实数,即|a|≥0.
(3)向量不能比较大小,但|a|是实数(正数或0),所以向量的模可以比较大小.
文科数学 第五章：平面向量
2.几种特殊向量
特殊向量 零向量 单位向量 长度为0的向量 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量(也叫 共线向量) 长度相等且方向相同的向量 定义 备注 零向量记作0,其方向是任意的.
B考法帮•题型全突破 考法1 平面向量的线性运算 考法2 共线向量定理、用
高考数学一轮总复习 第五章 平面向量课件 理
1.(2015 年宁德一模)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,
则������������+������������=( ).
A.������������
B.1 ���Biblioteka ��������2C.1 ������������
2
D.������������
【答案】A
2.(2015 年新课标全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点,������������=3������������,
第4题
考查了向量平行的条件,只要熟悉两个向量 a(a≠0)与 b 共线的 充要条件是存在唯一一个实数λ,使 b=λa.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫作向量
的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量 平行包含两个向量所在的直线共线,但两条直线平行不包含两条直 线重合;
(3)平行向量无传递性(因为有 0).
2.(1)对于两个向量和的运算,分清“平行四边形法则”与“三
角形法则”的区别; (2)对于两个向量差的运算,一方面两个向量应该移成同一起点,
的关键是“首尾相连,指向终点”,可推广为多个向量相加的“多边
形法则”;④向量减法的三角形法则的关键是“共起点,指向被减向 量”.
(2015 年北京卷)在△ABC 中,点 M,N 满足
������������=2������������,������������=������������.若������������=x������������+y������������,则 x=
高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习 课件 第五章 平面向量 第4讲精选ppt版本
c，设向量 m＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin
A)，若 m∥n，则角 B 的大小为________.
解析 (1)由 m⊥n 得 m·n＝0，即 3cos A－sin A＝0， 即 2cosA＋π6＝0，∵π6<A＋π6<76π，∴A＋π6＝π2，即 A＝π3. 又 acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A ＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C，且 acos B＋bcos A＝csin C， ∴c＝csin C，所以 sin C＝1，又 C∈(0，π)，∴C＝π2， 所以 B＝π－π3－π2＝π6.
又|m|＝1，所以 2m·n＋|m|＝ 2sinA－π4＝ 22，
即 sinA－π4＝12.因为 0＜A＜π，所以－π4＜A－π4＜34π，
所以 A－π4＝π6，即 A＝51π2.
(2)cos A＝cos
51π2＝cosπ6＋π4＝cos
π 6cos
π4－sin
2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，
C(－1，－4)，则这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析 ∵A→B＝(2，－2)，C→B＝(6，6)，
∴A→B·C→B＝12－12＝0，
∴A→B⊥C→B，∴△ABC 为直角三角形. 答案 B
3.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐 标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标 问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相 关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
高考数学一轮复习 5-4 平面向量的应用课件 新人教A版
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_⇔_x_1_x_2_＋__y1_y_2_＝__0_(a，b均为非零向量)．
ppt精选
2
课堂总结
(3)求夹角问题，利用夹角公式
比为35，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.
答案
3 5
ppt精选
9
课堂总结
ห้องสมุดไป่ตู้
5．(人教 A 必修 4 P120B8 改编)在△ABC 中，若O→A·O→B＝
O→B·O→C＝O→C·O→A，则点 O 是△ABC 的________(填“重
心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．
解析 ∵O→A·O→B＝O→B·O→C，
E 为 CD 的中点．若A→C·B→E＝1，则 AB 的长为________．
(2)(2014·天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝ 120°，点 E，F 分别在 边 BC，DC 上，BE＝λBC，
DF＝μDC.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F ＝－23，则 λ＋μ＝
()
A.12
∴O→B·(O→A－O→C)＝0，
∴O→B·C→A＝0，
∴OB⊥CA，即 OB 为△ABC 底边 CA 上的高所在直线．
同理O→A·B→C＝0，O→C·A→B＝0，故 O 为△ABC 的垂心．
答案 垂心
ppt精选
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课堂总结
考点一 平面向量在平面几何中的应用
【例 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°，
一点，且满足 5A→M＝A→B＋3A→C，则△ABM 与△ABC 的面
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∵a⊥b,∴a· b=(-2,3)· (3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2.
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பைடு நூலகம்
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解析 答案
-15知识梳理 双基自测 自测点评
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5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围 是 .
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由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 由 a∥b,得 6=-λ,即 λ=-6.
-10知识梳理 双基自测 自测点评
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8.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量 的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理 学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积, 即W= |F||s|cos θ (θ为F与s的夹角).
-11知识梳理 双基自测 自测点评
|AB|=|������������|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 . (4)夹角:cos
������· ������ θ= |������||������|
=
������1 ������2 +������1 ������2
2 2 2 ������2 1 +������1 · ������2 +������2
(6)若������������ ∥ ������������ ,则 A,B,C 三点共线. (
) )
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(7)在△ABC 中,若������������ ·������������<0,则△ABC 为钝角三角形. (
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
答案
-12知识梳理 双基自测 自测点评
-5知识梳理 双基自测 自测点评
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3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律). (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律).
-6知识梳理 双基自测 自测点评
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4.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)· (a-b)=a2-b2. (2)(a±b)2=a2±2a· b+b2.
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-4知识梳理 双基自测 自测点评
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(5)已知两非零向量a与 x1x2+y1y2=0 ;a∥b⇔a· b,a⊥b⇔a· b=0⇔ b=±|a||b|. (6)|a· b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立),即
2 2 2 2 |x1x2+y1y2|≤ ������1 + ������1 · ������2 + ������2 .
������· ������
-8知识梳理 双基自测 自测点评
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6.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行 转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.
-9知识梳理 双基自测 自测点评
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7.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件, 通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来 解答.
-3知识梳理 双基自测 自测点评
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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ= x1x2+y1y2 .
2 2 (2)模:|a|= ������· ������ = ������1 + ������1 . (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离
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5.向量在平面几何中的应用 (1)要证 AB=CD,可转化为证明������������2 = ������������2 或|������������|=|������������|. (2)要证两线段 AB,CD 平行,只要证存在唯一实数 λ≠0,使等式 ������������=λ������������成立即可. (3)要证两线段 AB,CD 垂直,只需证������������ ·������������=0. (4)求夹角问题,利用夹角公式 cos θ=|������||������|.
5.3 平面向量的数量积与平 面向量的应用
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1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos |a||b|cos θ ,规定 θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a· b , 即a · b= 零向量与任一向量的数量积为0,即0· a=0. (2)几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ的乘积.
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2.(2016 全国丙卷,文 3)已知向量������������ = ABC=(
A.30°
1 3 , 2 2
, ������������ =
3 1 , 2 2
,则∠
)
B.45° C.60°D.120°
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A
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-13知识梳理 双基自测 自测点评
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3.(2017全国Ⅰ,文13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂 直,则m= .
3 因此 λ< ,且 2 3 (-∞,-6)∪ -6, 2
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1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负. ( ) (2)若a· b>0,则a和b的夹角为锐角;若a· b<0,则a和b的夹角为钝角. ( ) (3)若a· b=0,则必有a⊥b. ( ) (4)(a· b)· c=a· (b · c). ( ) (5)若a· b=a· c(a≠0),则b=c. ( )
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因为a=(-1,2),b=(m,1), 所以a+b=(m-1,3).
因为a+b与a垂直,
所以(a+b)· a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得m=7. 7
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答案
-14知识梳理 双基自测 自测点评
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4.(2017全国Ⅲ,文13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则 m= .