天津市五区县2015年高三质量调查试卷(一)理数

天津市五区县2015年高三质量调查试卷（一）
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题:
1-4 ACBD 5-8 ADBC
二、填空题:
9.3 10.
83 11. 6043 12. 3 13. 14. 5(1,)4
三、解答题:
15.（本小题满分13分）
解:（I ）)62sin(2cos 212sin 2321cos cos sin 3)(2π-=-=+-=
x x x x x x x f ……4分 由226222π
ππ
π
π+≤-≤-k x k 得36π
ππ
π+≤≤-k x k ，
所以函数)(x f 的单调递增区间为]3,6[π
ππ
π+-k k （k ∈Z ）………………6分
（Ⅱ）函数)(x f 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的二倍，再向右平移
6π个单位， 得)3sin()(π
-=x x g ， ………………8分
因为],0[π∈x 得：2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以]1,23[)3sin(-∈-πx …………10分 所以当0=x 时，)3sin()(π
-
=x x g 有最小值23-， 当65π=
x 时，)3
sin()(π-=x x g 有最大值1. ………………13分
16.（本小题满分13分） 解：（I ）总的事件空间所包含的基本事件数为2232
424214C C C A +=,…………2分
评委甲去A 班听课所包含的基本事件数为012333++=7C C C ， …………4分
设事件A 为评委甲去A 班听课，则71().142
P A == …………6分 （II ）由题意ξ所有可能的值为1,2,3. …………7分
142(=1)=147C P ξ=;243(=2)=147
C P ξ=;342(=3)=147C P ξ=; …………10分 所以ξ的分布列为
所以所求数学期望为=1+2+3=2777
E ξ⨯
⨯⨯
. …………13分
17.（本小题满分13分） 解：（I ）如图取AB 中点O ，连结DO ，SO ，则SO AB ⊥，……………1分
，2DO CB ==，……………2分
故222SD SO OD =+,SO OD ∴⊥，又因为AB
OD O =,故SO ⊥平面ABCD ， SO ⊂平面SAB ，故平面SAB ⊥平面ABCD .……………4分
（II ）由题意知四边形BCDO 为矩形，CD OD ⊥，因为
//AB CD ，又SO AB ⊥，且OD AB ⊥，所以可建立如图空间
直角坐标系O xyz -.则：
(1,0,0)B ,(1,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,3),(A 所以DC ，(1AS =，
(2,2,0)AC =,(0,2,0)BC =uu u r ………6分
设平面SBC 的法向量111(,,)x y z =m ，平面ASC 的法向量222(,,)x y z =n ，
00
SB BC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩m m uu r uu u r ，即 令11z =，于是
又00
AS AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu r uuu r ，即
令21z =，于是(=n 分 故二面角B SC A --的余弦值为分 （III ）因为12SE ED =，所以12(0,,)333
SE SD ==-，………10分
(1BE BS SE =+=-+2(0,,)33-=2(1,,33
-，………11分 设BE 与平面SBC 所成角为α，3sin cos ,BE m α==
.………13分
18．（本小题满分12分）
解：（I ）易知1(1,0)F -，因为MN 是2F P 的垂直平分线，所以2MP MF =，故
1211MF MF MF MP F P +=+==；2(1,0)F ，则122F F =， 根据椭圆的定义，点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，
且1a c ==，其方程为2
212
x y +=. ………5分
（II ）设1122(,),(,)F x y H x y ，将y kx =0k >）代入2
212x y +=可得
222(21)420k x k +++=，280k ∆=>，
2
12122212k x x x x k
+==+； ………7分
又2212121212(1))1OF OH x x y y k x x x x k ⋅=+=+++++，
整理得22121
k OF OH k +⋅=+， ………9分
从而222133214k k +≤≤+，解得2112k ≤≤，又0k >1k ≤≤.………13分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为对任意正整数n ，有4(21)1n n S n a =++，
所以当1n =时，有111421a a a =++，解得11a =.………………………………2分
当2n ≥时，有()1112112144
n n n n n n n n a a na a a S S ----++++=-=-， …………4分 整理得12123
n n a n a n --=-.………………………………………………………………7分 所以1211212123312123251
n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----=⋅⋅=⋅⋅=---. ………………7分 当1n =时，11a =，符合21n a n =-，所以对任意正整数n ，有21n a n =-.……8分
（Ⅱ）()()121212112n n n n b n n n ⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
.…………………………9分 即()()23111111135232122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，则()()23411111111352321222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，两式相减可得 ()231111111221222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()2111111222212212n n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+-- ⎪⎝⎭-
()1312322n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ………………………………………………11分
所以()13232n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
.………………………………………………………12分
()()1111251112325230222222n n n n n n n T T n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以{}n T 为递增数列，所以当1n =时，n T 最小，最小值为
12. 所以
132
n T ≤<. ……………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由()e ax f x x =-得()e 1 ax f x a ¢=-. ①当0a ≤时，()0f x '≤恒成立， ()f x 单调递减. ………………2分
②当0a >时，由()0f x '=，得ln a x a =-
. 令()0f x '<，得ln a x a <-，()f x 单调递减；令()0f x '>，得ln a x a
>-，()f x 单调递增. 综上：0a ≤时，函数()f x 的单调减区间为(,)-∞+∞，无单调增区间；
0a >时，函数()f x 的单调减区间为ln (,)a a -∞-，单调增区间为ln (,)a a
-+∞. ……………………4分
（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立,则e ax x ³恒成立.
因为e 0ax >，所以0x ≤时，不等式恒成立. ………………5分
当0x >时，e ax x ³等价于ln ax x ≥，即ln x a x ≥
恒成立. 令ln ()x h x x =，则2
1ln ()x h x x -'=.令()0h x '=，得=e x . ………………7分 令()0h x '>，得0e x <<，()h x 单调递增；令()0h x '<，得e x >，()h x 单调递减.
所以=e x 时，max 1()(e)e h x h ==.所以1e a ≥. 即实数a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知1e a =
时，e ax x ³在0x >时恒成立， …………………10分 所以0x >时，e e x
x ³恒成立，即e e x x ³.
所以1e 2e 3e e e 1,e 2,e 3,
,e n n 吵吵，n *∈N . …………………12分 各式左右两边分别相乘得123e e e e e e e e 123n n 鬃
鬃匙鬃 ，n *∈N . 所以123e e (123)n n ++++炒创 ，所以(1)e 2e (!)n n n +³，
即n *∈N 时，(1)e (!)n n n +≥. ……………………14分。