语文版中职数学基础模块上册6.3《平面向量的坐标表示》ppt课件3
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《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
平面向量的坐标表示ppt课件
成 xi 与 y j 。由向量加法的平行四边形法则可
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
7
我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫 做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
16
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x x 41 0 x 2;
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
23
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
7
我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫 做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
16
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x x 41 0 x 2;
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
23
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
6.3.3平面向量的加减运算的坐标表示课件共12张PPT
A O
C D
x
而 OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
达标检测
1．点 A(1，－3)，A→B的坐标为(3，7)，则点 B 的坐标为( A )
A．(4，4)
B．(－2，4)
C．(2，10)
D．(－2，－10)
【解析】 设点 B 的坐标为(x，y)，由A→B＝(3，7)＝(x，y)－(1，
【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
3．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x
轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D
的坐标.
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，
(1, 2) = (3 - x, 4 - y)
y B
A O
C D
x
1= 3-x 2= 4-y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y B
解法2：由平行四边形法则可得
BD = BA + BC = (-2 - (-1),1 - 3) + (3 - (-1), 4 - 3) = (3, -1)
O
x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别 是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y）
AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) 且AB = DC
中职数学平面向量的概念ppt课件
中职数学平面向量的概念ppt 课件
目录
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算规则 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积概念及性质 • 平面向量应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
平面向量基本概念
向量定义及表示方法
01
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量 ，通常用有向线段表示。
02
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字 母加箭头表示，如$vec{a}$或 $overset{longrightarrow}{AB
}$。
03
向量的模
向量的大小称为向量的模，记 作$|vec{a}|$，模长是一个非负
实数。
向量模长与方向角
03
向量的模长
方向角
向量的模长等于有向线段的长度，可以通 过勾股定理或三角函数计算。
与零向量的数量积
任何向量与零向量的数 量积都是0。
夹角余弦值计算
夹角余弦公式
两向量的夹角余弦值可以通过它们的 数量积和模长来计算，即 cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
夹角范围
夹角θ的取值范围为[0,π]，当θ=0时 ，两向量同向；当θ=π时，两向量反 向。
垂直条件判断
两向量垂直的充要条件是它们 的数量积为0，即a·b=0。
结合律
三个或三个以上的向量进行加法或乘法运算时，改变它们 的结合方式，结果不变。
分配律
一个实数与两个向量的和相乘等于该实数分别与这两个向 量相乘后再相加；两个实数的和与一个向量相乘等于这两 个实数分别与这个向量相乘后再相加。
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
确定坐标原点O和x、y轴
在平面上选取一点作为坐标原点，并通过该点作两条互相垂直的数轴，分别称为 x轴和y轴。
目录
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算规则 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积概念及性质 • 平面向量应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
平面向量基本概念
向量定义及表示方法
01
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量 ，通常用有向线段表示。
02
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字 母加箭头表示，如$vec{a}$或 $overset{longrightarrow}{AB
}$。
03
向量的模
向量的大小称为向量的模，记 作$|vec{a}|$，模长是一个非负
实数。
向量模长与方向角
03
向量的模长
方向角
向量的模长等于有向线段的长度，可以通 过勾股定理或三角函数计算。
与零向量的数量积
任何向量与零向量的数 量积都是0。
夹角余弦值计算
夹角余弦公式
两向量的夹角余弦值可以通过它们的 数量积和模长来计算，即 cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
夹角范围
夹角θ的取值范围为[0,π]，当θ=0时 ，两向量同向；当θ=π时，两向量反 向。
垂直条件判断
两向量垂直的充要条件是它们 的数量积为0，即a·b=0。
结合律
三个或三个以上的向量进行加法或乘法运算时，改变它们 的结合方式，结果不变。
分配律
一个实数与两个向量的和相乘等于该实数分别与这两个向 量相乘后再相加；两个实数的和与一个向量相乘等于这两 个实数分别与这个向量相乘后再相加。
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
确定坐标原点O和x、y轴
在平面上选取一点作为坐标原点，并通过该点作两条互相垂直的数轴，分别称为 x轴和y轴。
【】《平面向量的坐标表示》-完整版PPT课件
1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)
[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
平面向量的坐标表示 ppt课件
坐
标
1 ,33, 1
运
2,2
算 所以顶点D的坐标为（2，2）
C D
x
例2：已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)， 求顶点D的坐标。
思考：若已知平面上三个点A、B、C 的坐标分
别为(－2，1）,（－1，3）,（3，4）,求第四个 点的坐标,使这四个点构成一个平行四边形的四 个顶点.
－1
x
运
算 AB 的坐标可能－为2
(3,－1）
（x结向2－线论段：x1的一, 终个y2点向－的量y坐的1－－)34标坐减标去等始于点表的示坐此标向量。的返有回
对应练习：
1、教材100页第3题；
平
面
向 2、 (1)已知 AB(1,3)，A(1,5)，求B点 的坐标；
量 （2）已A知B(2， 5)，B(3,7)，求A点 的坐标；
的
坐 （3）已A知 (1,1),B(1,5),AC1AB,求点 C的坐标。
标
2
运
算
例2：已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
平
面 标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
向 量
求顶点D的坐标。
的
坐
标
运
算
例2： 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
对应练习：
算
6,19
教材100页
练习题1、2
探究二 ： 若已知 （（x42，，y22）），如何求
点A、B的坐标分别为（（x11，，3y）1），
AB 的坐标呢？
y
平
4 A（（1x，1，3y）1）
《平面向量的坐标》课件
03
平面向量的数量积
数量积的定义：数量积是两个平面向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的点乘，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$，其值为两个向量的长度之积和它们的夹角余弦的乘积，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \times |\overset{\longrightarrow}{b}| \times \cos\theta$，其中$\theta$是$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角。
总结词
混合积可以用向量的坐标来表示，遵循一定的代数规则。
总结词
设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)$, $mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)$, 和 $mathbf{C} = (c_1, c_2, c_3)$，则混合积$mathbf{A} cdot mathbf{B} cdot mathbf{C} = a_1b_1c_1 + a_2b_2c_2 + a_3b_3c_3$。
平面向量的坐标
目录
平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的数量积平面向量的向量积平面向量的混合积
01
平面向量的概念
平面向量是一种具有大小和方向的量，表示为有向线段。
平面向量通常用实数轴上的有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。向量的大小或模表示为线段的长度，方向由箭头的指向决定。
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调用几何画板
Y
4
i
3
j 叫做X，Y轴方向的基底向量
D
E
2
C
1
P
B
F
j
-2
O i
-1 -2
2
A
4
6
OP CD AB 2i j (2,1) EF OP 2i j (2,1)
几何画板作图
-3
探索3：相等、相反向量坐标之间的关系
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), a b 则x1 x2 , y1 y2 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), a b 则x1 x2 , y1 y2
A
OP 3i 2 j (3, 2)
几何画板作图
-3
向量的坐标表示
4 3
点P的坐标与向量a 的坐标的关系？
两者相同
2
P（x，y）
yj
1
j
-2
O
-1 -2
2
i
xi
4
6
OP xi y j ( x, y)
向量
-3
OP
一一对应
P（x ，y）
调用几何画板
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
a AA1 AA2 2i 3 j
A
a (2,3)
同理， b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
A1
d 2i 3 j (2,3)
平面向量可以用坐标表示，相等 探索3： 向量、相反向量，平行向量坐标 之间有什么关系呢？
y a
o
x
调用几何画板
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处.
A a a x o
y
调用几何画板
向量
a xi y j
a x y
2 2
的模
a
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 A2 求它们的坐标． 解：由图可知
(1)a / / b (b 0) a b ; (2)a / / b ( a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0) x1 y1 x2 y2
定义：
归纳总结
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a，把始点移到原点，终点坐标为（ x ， y ） ，则有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. ← 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
= 0
(0,0)
6、
调用几何画板
习
题
1. 已知
a (4,2),
b (6, y),且a // b , 求y
2. 已知 A(1 ,1), B(1,3), C (2,5),
求证: A、B、C 三点共线。 3.课本上
课本—
欢迎指导
ห้องสมุดไป่ตู้
B （-4,1）
-4 -3 -2 -1
·
2 1
·
4
横坐轴 写在前面 5 x 横轴
0 -1 -2 -3 -4
1
2
3
探索1:
以O为起点，P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
y
o
P a
x
调用几何画板
i
4 3
j 叫做X，Y轴方向的基底向量
B
2
（3， 2） P
2j
1
j
-2
O i
-1 -2
2
4
6
3i
平面向量的坐标表 示
背景介绍
笛卡尔 ，法国著名哲学家，数学家。 1596年出生于法国拉镇，法国巴黎 普瓦捷大学毕业，获法律学位。 数学方面的主要成就： 哲学专著《方法论》一书中的《几何 学》，第一次将x看作点的横坐标， 把y看作是点的纵坐标，将平面内的 点与一种坐标对应起来。
复习回顾：如何用平面直角坐标系来表示已知点 的位置呢？ A的横坐标为4 纵轴 y 5 A的纵坐标为2 有序数对(4, 2)就叫做A的坐标 4 记作：A（4,2） 3 A
相等向量对应坐标相等 相反向量对应坐标相反
调用几何画板
i
4 3
j 叫做X，Y轴方向的基底向量
（3， 2） P
2
2j
1
Q(1.5 , 1)
j
-2
O i
-1 -2
2
4
6
3i
OQ 1.5i j (1.5,1)
OP 3i 2 j (3, 2)
几何画板作图
-3
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
5、
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), a b 则x1 x2 , y1 y2 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), a b 则x1 x2 , y1 y2
( 1) a // b (b 0) a b ; ( 2) a // b ( a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y 2 ), b 0) x1 y 2 x2 y1 0