(完整word版)江苏高考平面向量专项训练
江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量(教师版)
．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）如图,已知正方形 的边长为3, 为 的中点, 与 交于点 .则 __________.
【答案】 .
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知向量 , 满足 , ,且对一切实数 , 恒成立,则 与 的夹角大小为______.
．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）已知向量 与 的夹角为 , ,则 在 方向上的投影为____________.
【答案】
．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）△ABC中, , , ,则 ____.
【答案】5
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知平面上的向量 . 满足 , ,设向量 ,则 的最小值是________________.
(3)∵ = , cos ·sin θ-cos(10- ) ·sin[(10- ) ]
=cos ·sin -cos( - )·sin( - )
=cos ·sin -sin ·cos =0,
∴ ∥
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））如图,已知 的长为 ,求GA、GC的长.
江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量
填空题
．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB , ,CD .
若 ,则 的值为______.
【答案】
．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）△ABC外接圆的半径为 ,圆心 为 ,且 , ,则 的值是______.
【答案】
．（2013江苏高考数学）设 分别是 的边 上的点, , ,若 ( 为实数),则 的值为__________.
最新高考单招数学复习专题4——复数与平面向量(概念)1.27
江苏高考单招数学复习专题4——复数与平面向量 姓名__________一、考点及要求： 1.复数的概念 B ； 2.复数的四则运算 B ； 3.复数的几何意义 A二、基础知识与方法：（一）复数有关概念：1．定义：形如(),a bi a b R +∈的数叫做复数，记作z a bi =+，其中i 是虚数单位，21i =-； a 与b 分别叫做复数z a bi =+的________和_______．2．分类：复数(),z a bi a b R =+∈可分为实数、虚数和纯虚数；它们各自满足的条件分别是________、_________和 _______________.3.两个复数a bi +与c di +相等的充要条件是__________________.4．复数z a bi =+的模记作z ，即z a bi =+=__________.5．复数z a bi =+的共轭复数记作z ，即z a bi =+=________.6.几何意义：复数z a bi =+←−→复平面上的点(),Z a b ←−→平面向量OZ uuu v ； 121221z z OZ OZ Z Z -=-=u u u u r u u u v u u u u v .（二）复数的四则运算：设复数()()122,0z a bi z c di z a b c d R =+=+≠∈、、、，则()()a bi c di +±+=____________________；()()a bi c di ++=_______________________； a bi c di+=+_______________________．（三）复数常用的结论① ()4414243*1,,1,,k k k k i i i i i i k N +++===-=-∈，123n n n n i ii i ++++++=_______()*n N ∈． ② ()21i +=______，()21i -=_______.三、例试题讲练1.（江苏15）已知i 为虚数单位，i i bi a )2(-=+，R b a ∈,，则ab 的值为（ ）A.1-；B.2；C.1-；D.12.（江苏16）已知复数z 满足1)2(=+i z （i 是虚数单位），则z 的虚部是（ ）A.1；B.1-；C.2-；D.i --2.3.（江苏13）i 是虚数单位，=+i i )2(（ ）A.i 21--B. i 21-C. i 21+-D. i 21+4.（江苏18）i 是虚数单位，若()17,2i a bi a b R i+=+∈-,则乘积ab 的值是（ ） A.15- B.3- C.3 D.155.（江苏17）已知i a i i +=-）（21（i 为虚数单位），则实数a 的值为 .6.设a 为实数,若复数()()ai i ++121 是纯虚数,则=a .7.设i 是虚数单位,复数aii -+21为实数,则=a .8.（江苏14）已知i 是虚数单位，复数()21z i =-，则z =_______.9.在复平面内,复数z 满足()i iz +=-42(i 为虚数单位),则复数z 的模为 .10.已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 .11.复数()i i z -=1(i 为虚数单位)的共轭复数为 .12.已知复数ii z 23-=(i 是虚数单位),那么复数z 所对应的点位于复平面的第 象限.13.计算：（1）23201i i i i +++++=L（2）2310i i i i ⋅⋅⋅⋅=L（3）()()=++-4411i i江苏高考单招数学复习专题4——平面向量1（概念与线性运算） 姓名__________一、考点及要求: 1.平面向量的概念 B 2.平面向量的加法、减法及数乘运算 B二、基础知识与方法 （一）向量的有关概念1．向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或模)．向量的表法：①字母表法：；②几何表法：；③坐标表法：(),x y R ∈2．零向量： 的向量叫做零向量，记为，其方向是_______的．3．单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量，与同向的单位向量为________.a r AB u u u r (),OA xi y j x y =+=u u u r r r 0ra r4．相等向量：长度且方向的向量；相反向量：长度且方向的向量．5.平行向量：若向量,a br r的方向，则向量,a br r叫做平行向量（或共线向量），记作a br r∥；规定：与任一向量．（二）向量的线性运算：1．加减法——三角形法则或平行四边形法则；（1）定义：在平面内，作则叫做与的和，记作；此法称为三角形法则. （2）运算性质：向量加法满足交换律、结合律：2.实数与向量的积（1）定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作aλr；它的长度规定为：①|aλr|＝；它的方向规定为：②当0λ>（0λ<），aλr与的方向（）；当λ＝0，aλr＝______. （2）运算律：设,Rλμ∈,则：()aλμ=r；()aλμ+=r；()a bλ+=r r. 注：若0λ≠，则aλr与的方向相同或相反，即aλr与是共线向量.故有a b⇔r r∥()0b a aλ=≠r r r r3.平面向量基本定理：若12,e e是同一平面内的两个不共线的向量，则对于这一平面内任一向量ar，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e eλλ=+r. 其中不共线向量12,e e叫做这一平面内的一组基底；若向量12,e e所在直线互相垂直，则向量12,e e叫做平面向量的正交基底.通常用与x轴和y轴同方向的两个单位向量,i jr r（正交基底）表示平面上的任意向量.三、例试题讲练r,,OA a AB b==u u u r r u u u r rOBuuu rarbra b+r rarararar1.若非零向量b a ,是互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ） A.a ∥b ； B.b a ≠； C.b a ≠； D.a b -=.2.化简下列各式：（1）OA OB OC CO -+--u u u r u u u r u u u r u u u r（2）()()AB CD BC AD ++-u u u r u u u r u u u r u u u r （3）若,,a b c 分别表示向量，则()()22633342a b c a b c +---+-=3.已知向量b a ,满足()()()04223=+---++b a x a x a x ，求向量x .4.（江苏17）已知向量122AB e e =-u u u r ，123BC e e =+u u u r ，则用向量1e ，2e 表示向量AC uuu r 为 ( )A.2123e e +B.214e e -C.214e e +-D.2123e e --5.（江苏12）已知12,e e u r u r 是两个不共线的向量，设向量1212,2,a ke e b e e =+=-r u r u r r u r u r 其中k 是实数，则//a b r r 的充要条件是（ ）A. 2k =-B. 12k =-C. 12k = D. 2k = 6.在ABC ∆中，若AB AC AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ,则BAC ∠=______.7.已知向量21,e e 不共线，若向量21e ke +与12e ke +共线，求实数k 的值.8. 设O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，M 分别是BC 的中点，N 是DC 的三等分点，用,a AB b AD ==r u u u r r u u u r 作为基底表示：（1）BD =u u u r （2）AO =u u u r（3）AM =u u u u r （4）AN =u u u r9.已知,OA OB u u u r u u u r 不共线，设(),OP mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，若1m n +=，证明,,A B P 三点共线.10.在ABC ∆中，::1:2CD DA AE EB ==,设,a BC b CA ==r u u u r r u u r若DE ma nb =+u u u r r r ，则m n +=______.江苏高考单招数学复习专题4——平面向量2（数量积、坐标表示及运算）姓名__________一、考点及要求：3.平面向量的坐标表示 B 4.平面向量的数量积 C二、基础知识与方法 （一）向量的数量积1.向量的夹角：设非零向量,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则()0180AOB θθ∠=≤≤o o 叫做向量与的夹角.2.向量数量积的定义：设非零向量和，其夹角为，则 称为和的数量积，记为；即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.3.定义的推论： （1）在定义中，是在上的投影，即OD =.（2）若向量b a =r r ，则()22cos0a a a a a a ==⨯=r r r r r r g 记作，即；（3）向量和的夹角公式：； a r b ra rb r θcos a b θr r a r b r a b r r g cos a b a b θ=r r r r gcos b θr b r a r cos b θr 22a a =r r 2a a =r r a r b r cos a b a bθ=r r g r r（4）向量和，. （二）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，设,i j r r 分别是与x 轴和y 轴同方向的两个单位向量，则向量a xi y j =+r r r ，其中(),x y 叫做向量a r 的坐标，记作(),a x y =r .即设点(),A x y ，则a OA =r u u u r .（三）向量的坐标运算及位置关系：设 ，则 ， ， ， . 12211122,0a b x y x y a b x y x y ⇔=⊥⇔+=r r r r ∥三、例试题讲练 1.若()()3,2,5,6A B --，则线段AB 的中点坐标为___________；2.与向量()4,3=平行的单位向量为（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53； B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53； C.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53； D.⎪⎭⎫ ⎝⎛±±54,53． 3.设()()()4,1,,,3,2-===n m ，则=DA （ ）A.()n m ++7,1；B.()n m ----7,1；C.()n m --7,1；D.()n m +-+-7,1． 4.已知()()2,3,2,1B A ,向量()43,3--+=y x x a 与相等，则=x ______；=y _______．5.已知()()2,1,5,7A B ，若3AB AC =u u u r u u u r ,则点C 的坐标为__________．6.设向量()()2,,3,1a k b k =-=-r r ，若a b r r ∥，则实数k =______；若a b ⊥r r ，则实数k =______．a rb r 0a b a b ⊥⇔=r r r r g1122(,),(,),a x y b x y R λ==∈r r 1212(,)a b x x y y +=++r r 1212(,)a b x x y y -=--r r 11(,)a x y λλλ=r 1212a b x x y y =+r r g7.若()()()1,2,3,4,2,5A B C x x +三点在同一条直线上，求实数x 的值.8.已知()()()2,2,2,1,1,6A B C --，则AB AC ⋅=u u u r u u u r _________；cos ABC ∠=_________.9.设()()1,1,3,2a b =-=r r ，则()a b a ⋅-=r r r ______；若a kb -r r 与2a b +r r 共线，则实数k =______．10.若()()2,1,3,1a b =-=r r ，求：（1）向量a r 的单位向量；（2）向量,a b r r 夹角的大小；（3）()()32a b a b --r r r r g11.已知4,3,,a b a b ==r r 的夹角θ为120o ，求：（1）a b ⋅r r ；（2）()()22a b a b +⋅-r r r r ； （3）a b -r r .。
(完整版)学院附中高一数学平面向量专题复习一及答案
平面向量专题复习一★知识梳理 ★1.平面向量基本定理和平面向量的坐标表示 (1) 平面向量基本定理：假如e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ， λ，使 a ＝ λe ＋ λe121 12 2此中，不共线向量e 1 ， e 2 叫做表示这一平面内全部向量 的一组基底．(2) 平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，则a ＋b ＝ (x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)， a － b ＝ (x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa ＝ (λx 1， λy 1， | a | ＝ 22 1＋ 1 [根源 学&科&网 ]) x y .(3) 平面向量共线的坐标表示设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，此中 b ≠ 0. a ∥ b ? x 1 y 2－ x 2y 1＝ 0.3.平面向量的数目积 (1) 定义 ：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数目 |a ||b |cos θ叫做 向量 a 和 b 的数目积，记作 a ·b ＝ | a || b |cos θ. 规定：零向量与任一直量的数目积为 0.（ 2））向量数目积的几何意义：| b |cos θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影 ( θ是向量 a 与 b 的夹角 )．a ·b 的几何意义是：数目 a ·b 等于 ．（2）数目积的坐标表示：设向量 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，则 a ·b ＝ x 1x 2＋ y 1y 2 ，一 基础再现考点 1. 平面向量的相关观点1.假如实数 p 和非零向量 a 与 b 知足 pa ( p 1)b0 ，则向量 a 和 b ▲．（填“共线”或“不共线” ）． 考点 2 ：平面向量的线性运算2（. 2014 高考福建卷改编） 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCDuuur uuur uuur uuur所在平面内随意一点，则 OA OB OC OD 等于(1)OM ; ( 2)2OM ; (3)3OM ; (4) 4OM考点 3：平面向量的坐标表示r rrr考点 4：平面向量的的数目积r r r r 3 r r4. 已知向量 a 和 b 的夹角为 1200 ， | a | 1,| b | ，则 | 5a b |．考点 5：平面向量的平行与垂直r r r rr5.已知平面向量 a =（ 1，－ 3）， b =（4，－ 2）， a b 与 a 垂直，则 =6. 设向量 a (1，2)， b (2，3) ，若向量 ab 与向量c ( 4， 7) 共线，则．考点 6：平面向量的应用7．已知 a ，b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量 c 知足 (a － c) ·(b － c)＝ 0，则 |c|的最大值是()2 A ． 1B ． 2C ． 2D ． 21.答案：共线2.答案： 4OM分析：由已知 OAOM1CA,OB OM1DB, OC OM1AC,OD1222OMOBOC 0D4OMBD , 于是 OA2 rrrr2,13,522,1345 27 33.答案：∵ a3,5 ,b∴a 2b，，r r 2r r 2 r 2 r rr 2 12 10 1 31 32 49 ， 4.答案： 5a b5ab25 a10a ?b b = 252r r5a b 7评析：向量的模、向量的数目积的运算是常常考察的内容，难度不大，只需仔细，运算不要出现错误即可r r4, 3 r1, 3 , r r r 5.答案：因为 a b2 , a a b a∴ 4 3 3 2 0 ，即 10 10 01.6.答 案 ：a b ＝ (2,23) 则 向 量 a b 与 向 量 c( 4， 7) 共 线2 4 22377.解： 2.二 典范分析1 2 例 1(1)(2013 ·江苏高考 )设 D ， E 分别是△ ABC 的边 AB ，BC 上的点， AD ＝ AB ， BE ＝ BC.23uuur uuuruuur1若 DE ＝ λ1AB ＋λ2AC 1212(λ， λ为实数 )，则 λ＋λ的值为 ________．2uuur uuur(2) 如图，在△ ABC 中，设 AB ＝ a ， AC ＝b ，AP 的中点为 Q ，BQ 的中uuur点为 R ，CR 的中点恰为 P ，则 AP 等于 ________________ ．答案：27a ＋ 47b.uuuruuuruuur uuur例 2 (2014 ·济南调研 )如图，在△ ABC 中， AN ＝ 31NC ，P 是 BN 上的一点， 若 AP ＝m AB ＋2 uuur311 AC ，则实数 m 的值为 ________．11例 3． (2014 ·天津高考 )已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 120°，点 E ， F 分别在边 BC ，uuur uuur uuur uuur ＝－ 2，则 λ＋ μ＝ ( C )DC 上， BE ＝ λ BC ， DF ＝μ DC.若 AE ·AF ＝1， CE ·CF3A ． 1B ． 2 2357 C ．6D ． 12例 4．已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8， a 与 b 的夹角是 120°.(1)计算：① |a ＋ b|，② |4a －2b|；(2)当 k 为什么值时， (a ＋ 2b)⊥ (ka － b)?1解： 由已知得， a ·b ＝ 4× 8× － 2 ＝－ 16.(1)①∵|a ＋ b|2＝ a 2＋ 2a ·b ＋ b 2＝ 16＋ 2× (－ 16)＋64＝ 48，∴|a ＋ b|＝ 43.②∵|4a － 2b|2 ＝16a 2－ 16a ·b ＋ 4b 2 ＝16× 16－16× (－ 16)＋ 4× 64＝ 768，∴|4a － 2b|＝ 16 3.(2)∵(a ＋ 2b)⊥ (ka － b)， ∴(a ＋ 2b) ·(ka － b)＝ 0，∴ka 2＋ (2k － 1)a ·b － 2b 2＝ 0，即 16k －16(2k － 1)－ 2×64＝ 0.∴k ＝－ 7.即 k ＝－ 7 时， a ＋ 2b 与 ka －b 垂直．ururur =1，urur ur例 5. 若平面向量， 知足1 | ，且以向量， 为邻边的平行四边形的面积为1urur的范围是 ________．，则与 的夹角 2uur uuur分析：如图，作 OA ＝ α， OB ＝β，此中，点 A 在单位圆上，点1B 在单位圆内，由已知获得△ ABO 的面积为 4，故点 B 在如图所示的线段上，线段与所在的直线间的距离为1，CDCDOA2则∠ AOC ＝ π，∠ AOD ＝5π，所以， α 与 β 的夹角 θ 的范6 6π5π围是 6 ， 6 .三 稳固训练1．已知向量 a( 1 ,3), b( 3 , 1) ，则以下关系正确的选项是 ( )2 22 2A 、 a bB、 ( a b) (a b) C 、 a ( a b ) D 、 a ( a b )2．若 | a b | | a b | 2 | a |，则向量 ab 与 a 的夹角为（）A ．B．6C．2D．533 63．在 ABC中， AB 2， BC3 ABC 60 ， AD 为 BC 边上的高， O 为 AD 的中，uuuruuur uuur点，若 AOAB BC ，则的值为（ ）A.2B. 3C. 5D. 134uuur6uuurr uuur uuur4．已知 O 为 ABC 内一点，知足 uuurOA OB OC 0 , AB AC 2 , 且 BAC, 则3OBC 的面积为（）- 12 -A ．1B．3 C．3 D．223235．对随意愿量 r ra, b ，以下关系式中不恒成立的是（）r r r r Br r r r A ． | a b | | a || b |． | a b | || a | | b ||r rr rrr r r r 2 r 2 C ． ( a b) 2 | a b |2D．(a b)( a b)abuuur uuur uuur 1 uuur t ， 若 P 点 是 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且6 ． 已 知 AB AC , AB t , ACuuuruuuruuuruuur uuurAB4 AC 的最大值等于（）APuuuruuur ，则 PB PCABACA ．21B．19C ．15D ．13r r r7. 向量 a,b, c 在正方形网格中的地点以下图，r r r , R ，则=.若 ca br1, r2,r r 8．已知 a2 ，b，且 a 与 b 的夹角为锐角， 则实数 的取值范围是.9．如图，在平行四边形 ABCD 中， AP ⊥ BD ，垂足为 P ，AP=3，点 Q 是△BCD 内 ( 包含界限 ) 的动点，则 uur uur . 的取值范围是AP AQ10．设 A 是平面向量的会合， a 是定向量，对 xA ，定义 f (x)x2(a x) a ．现给出以下四个向量：① a (0 , 0) ，② a2 , 2，③ a 2 ,2，④ a 1 ,3 ．442222那么关于随意x 、 y A ，使 f ( x) f ( y)x y 恒成立的向量 a 的序号是（写出知足条件的全部向量 a 的序号）．11．已知平面上三个向量 a , b ,c ，此中 a (1, 2) ，（1）若 c 2 5 ，且 a ∥ c ，求 c 的坐标；（2）若 b5，且 ( a2b) (2a b) ，求 a 与 b 夹角的余弦值 .212 ．ABC 是 边 长 为 3 的 等 边 三 角 形 ，uuur uuuruuur uuur 1 1) ,连接 EF 交 AC 于点 D ．BE 2 BA , BFBC( 2（1）当 2 uuuruuur uuur时，设 BAa, BCb ，用向量 a,b 表示 EF ；3uuur uuur（2）当为什么值时， AE FC 获得最大值，并求出最大值 .r r13．已知向量 a, b 不共线， t 为实数．uuurr uuur r uuur 1 r r（Ⅰ）若 OA a ， OB tb ， OC 3 (a b) ，当 t 为什么值时， A, B,C 三点共线；r r r rrr（Ⅱ） 若 | a | | b | 1，且 a 与 b 的夹角为 120o ，实数 x [ 1, 1 ] ，求 | axb | 的取值范围．2平面向量单元测试参照答案1． Br ( 1 , r( 3 , 1) 【分析】 Q a 3 ) ， b2 2 2 2r r3 , 3 1) ，r r3 , 3 1)a b (1a b (12222r rr r13 1 3 3 1 3 1 1 3 3 1( ab) ( ab)222244r r r r ( a b)( a b)应选 B【考点】平面向量的数目积.2． A 【分析】r rr r r r r r r试题分析： Q a b a b a, b 组成矩形两临边 Q a b 2 a 所以矩形对角线长是一边长的 2 倍，联合图形可知 a b 与 a 的夹角为3考点：向量的平行四边形法例 3． A 【分析】试题分析：∵在ABC 中， AB 2 ， BC 3， ABC 60 ， AD 为 BC 边上的高，∴BDAB sin 60 o1 uuur1 uuur, 又 O 为 AD，∴ BDBC 的 中 点 ， ∴1 uuur31 uuuruuur1 uuur uuur1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 12 AOAD( AB BD )2 ( AB BC )2 AB6 BC , ∴2 6，故2 233选 A考点：此题考察了向量的运算评论：平面向量不单有数的特点还有形的特点，所以能够利用平面向量的几何意义或许数形联合能够求解某些问题4． B 【分析】uuur uuur uuur r uuur uuur试 题 分 析 ： OA OB OC 0 O 为 三 角 形 的 重 心 ， 由 AB AC 2 得 bc 4 S ABC13bc sin A ，2所以OBC 的面积为33考点：向量运算与解三角形5． B【分析】因为 r r r r r r r rr ra b a b cos a, b a b ，所以选项 A 正确；当 a 与 b 方向相反时，r r r r不可立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 Ca b a b 正确； r r r r r 2 r 2，所以选项 D 正确．应选 B ．a b a ba b 【考点定位】 1、向量的模； 2、向量的数目积．【名师点晴】 此题主要考察的是向量的模和向量的数目积， 属于简单题． 解题时必定要抓住重要字眼“不” ，不然很简单出现错误．解此题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数目rrr rrrr 2 r2积，即 a b a b cos a, b ， aa ．6． D【分析】以 A 为坐标原点，成立平面直角坐标系，以下图，则B(1,0) ， C (0, t ) ，uuurtuuur（ ， 0)+4(0,1)=(1,4)，即 P （1， 4) ，所以 =（ 1 ， -4) uuurAP PB ， PC =（ 1， t-4) ，11tuuur uuur14t 16 17 1 1 1 uuur uuur的最大值等于1 ( 4t) ，因为4t2 4t 4 ，所以PB PC t t t t13 ，当1 14t ，即 t 时取等号．t 2yCPB xA【考点】 1、平面向量数目积；2、基本不等式．【名师点睛】此题考察平面向量线性运算和数目积运算，经过建立直角坐标系，使得向量运算完整代数化，实现了数形的密切联合，同时将数目积的最大值问题转变为函数的最大值问uuurAB题，此题简单犯错的地方是对uuur 的理解不到位，进而致使解题失败．AB7． 4【分析】以向量 a，b 的交点为原点，成立直角坐标系，则 a=(-1,1) ，b=(6,2) ，c= (-1,-3) ，由 c=λa＋μ b，得1, 36 1,2, 1 ，1,16,2 ，即解得2 3, 24.yOx【考点定位】本小题考察了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理. 8． 1 且 4 .【分析】试题分析：因为r r r r a b 0a 1, 2 ，b 2, ，且 a 与 b 的夹角为锐角，所以，a与b不平行2 20即，解得 1 且 4 .4考点：平面向量的夹角.9．[9,18] .【分析】uur uur uur uur试题分析：由数目积的定义，有，（此中为两向量的夹角），AP AQ | AP|| AQ| cosθ| AP | uur AQ AP而 3 , | AQ|cosθ在向量上的投影，由点Q 是△ BCD内 ( 包含界限 )为向量的动点且 AP⊥ BD，所以AQ在向量AP上的投影最小时即为| AP |，此时uur uur uur uur9 ，AQ在向量AP上的投影最大时如图为| AM | （Q AP AQ | AP|| AQ| cosθ 3 3落在 C 上），由三角形AOP与三角形ACM相像且 O 为 AC中点易知| AM | 2| AP | 6 ，uur uur uur uur3 6 18 ，故填 [9,18] .此时 AP AQ | AP|| AQ|cosθuur考点：数目积的定义及| AQ|cosθ的几何意义.10．①③④【分析】试题分析：① a (0 , 0) 时， f ( x ) x ，知足 f ( x) f ( y) x y ；当a 0时，f ( x) f ( y)(x 2(a x) a) ( y 2(a y) a)x y 4( a x)( a y) 4(a2x)(a y)a要知足 f (x)f ( y)x y ，需知足 4( a x)( a y)4(a x)(a 2，所以 a2y)a 1 ，关于2 , 2，④ a1 , 32③ a， a 1 ，故答案为①③④2222考点：向量的数目积的运算律．11．（ 1） c ( 2, 4) ，或 c( 2, 4) 。
《平面向量》测试题及答案
《平面向量》测试题一、选择题１．若三点P （1，1），Ａ(2,-4),B （x,-9）共线,则（ )Ａ．x=-1ﻩ ﻩＢ．ｘ=3ﻩ ﻩC.x=29ﻩﻩ D.ｘ=51２.与向量ａ＝(-5,4)平行的向量是( ）A.(-５k,４k)ﻩB.(－k 5,-k 4)ﻩ Ｃ.(-1０,2)ﻩ D ．（5k,４k)3．若点P 分AB 所成的比为43，则Ａ分BP 所成的比是( ) A.73ﻩ ﻩB. 37C.－ 37 ﻩﻩＤ.-734.已知向量a 、b ，ａ·b=-40，|a|＝10，|b|=8，则向量a 与ｂ的夹角为( )A.6０°ﻩﻩﻩＢ．-６0°ﻩﻩﻩC ．１２0° D.-１20°5.若|a-b|=32041 ，|a|＝４,|b|＝５,则向量a ·ｂ=( )A.１03 ﻩB.－103 ﻩ C ．１02 ﻩ D.１06.(浙江)已知向量a =(1,2)，b =(２，－3)．若向量c 满足（ｃ+ａ)∥b ，c ⊥(a +b )，则c ＝（ )A ．错误! B.错误! C ．错误! D ．错误!7．已知向量a ＝(3,4）,b=(2,-１）,如果向量(ａ+ｘ)·b 与b 垂直，则x 的值为( )Ａ.323ﻩﻩﻩB.233ﻩ Ｃ.2 D.-52８.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点Ｐ在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是(） A.（-∞,-１) B.(－1，０）ﻩ C.(－∞，０)ﻩ D.（-∞,-21)9．设四边形ABCD 中,有=21，且||=||，则这个四边形是（ )A.平行四边形ﻩ Ｂ．矩形 Ｃ.等腰梯形 D ．菱形１0．将ｙ=x+2的图像C 按a=（６,-２)平移后得Ｃ′的解析式为（ ）A ．y ＝x+10 B.ｙ=x-6 C.y=x+6 D.y=x －101１.将函数y ＝x ２+4x+５的图像按向量a 经过一次平移后,得到y ＝x 2的图像,则a 等于( )A ．(2,-1)ﻩﻩﻩB.(-2,１)ﻩﻩ C.（-2,－１)ﻩ D.（2,1)１２.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(－b,a),Ｃ（0,０)，则它的第4个顶点Ｄ的坐标是（）A.(2a,b)ﻩﻩﻩB.(a-b,a+b)ﻩﻩC ．（a+b,b －a) D ．(a-b,b-a ）二、填空题13.设向量a=(2,-1),向量b 与a 共线且ｂ与ａ同向，ｂ的模为25，则b= 。
高中全程训练计划·数学(理)天天练20 平面向量的数量积及其应用 Word版含解析
10．2
解析：因为|a－2b|＝2 ，所以a2－4a·b＋4b2＝12，即4－4×2|b|cos ＋4|b|2＝12，解得|b|＝2.
11．(0,12)
解析：∵B＝ ，△ABC是锐角三角形，∴A＋C＝ ，∴ ＜A＜ ，∵| － |＝2，∴| － |＝a＝2，∵ ＝ ＝ ，∴b＝ ，c＝ ，∴ · ＝c·bcosA＝ cosA＝ ＋ ＝( ＋ )2－ ，∴ ∈(0,3)，∴ · ∈(0,12)．
A．3 B．4
C．5 D．6
8．(2017·长沙一模)若同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于()
A．2 B．5 C．2ຫໍສະໝຸດ 5 D. 或二、填空题9．(2016·课标全国Ⅰ，13)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝__________.
10．(2017·广州二测)已知平面向量a与b的夹角为 ，a＝(1， )，|a－2b|＝2 ，则|b|＝__________.
11．(2017·太原一模)在锐角△ABC中，已知B＝ ，| － |＝2，则 · 的取值范围是__________．
三、解答题
12．(2017·河南适应性测试)在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosB,2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
4．B由题意可得m·n＝sinθ－2cosθ＝0，则tanθ＝2，所以sin2θ＋6cos2θ＝ ＝ ＝2.故选B.
5．C由( ＋ －2 )·( － )＝0得( ＋ )·( － )＝0，∴ 2－ 2＝0，即| |＝| |，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形．
2017-2018学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(十七) 平面向量基本定理 Word版含答案
课下能力提升(十七) 平面向量基本定理一、填空题1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD 与AB；②DA 与BC；③CA 与DC ；④OD 与OB .其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．2．已知向量a 和b 不共线，实数x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．3．已知▱ABCD 中，BP ＝23BC ，若AB ＝a ，BC ＝b ，则PD＝________.4．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM ＝34AB ＋14AC，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．5．在平行四边形ABCD 中，AE ＝13AB ，AF ＝14AD ，CE 与BF 相交于G 点．若AB＝a ，AD＝b ，则AG ＝________(用a ，b 表示)．二、解答题6．△ABC 中，AE ＝15AB ，EF ∥BC ，交AC 于点F .设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示BF.7.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝23，OC＝λOA ＋μOB(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．8．以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作平行四边形OADB ，C 为AB 与OD 的交点，BM ＝13BC，CN ＝13CD ，以a ，b 为基底表示MN .答 案1．解析：如图所示，AD 与AB为不共线向量，可以作为基底．CA 与DC 为不共线向量，可以作为基底．DA 与BC，OD 与OB 均为共线向量，不能作为基底．答案：①③2．解析：由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴x ＋y ＝1.答案：13．解析：如图所示，PD ＝PC ＋CD ＝13BC ＋CD ＝13b －AB ＝13b －a .答案：13b －a4.解析：如图，分别在AB ，AC上取点E ，F ，使AE ＝34AB ，AF ＝14AC，在BC 上取点G ，使BG ＝14BC ，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG ＝AE ＋AF ＝AM ，∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 答案：145．解析：如图所示，∵B ，G ，F 三点共线，∴AG ＝λAF ＋(1－λ)AB ＝14λb ＋(1－λ)a .∵E ，G ，C 三点共线，∴AG ＝μAE＋(1－μ)AC ＝13μ a ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎪⎨⎪⎧ λ4＝1－μ，1－λ＝1－23μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47，μ＝67，∴AG ＝37a ＋17b .答案：37a ＋17b6．解：依题意作图，如图所示．因为AE ＝15AB，EF ∥BC ，所以EF ＝15BC.所以BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋15BC ＝－45AB＋15(AC －AB )＝－AB ＋15AC ＝－a ＋15b .7.解：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC ＝OD ＋OE .在Rt △OCD 中，∵|OC |＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD |＝4，|CD|＝2，故OD ＝4OA ，OE ＝2 OB ，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.8．解：如图所示，CD ＝12OD ＝12(a ＋b )，CN ＝13CD ＝13×12(a ＋b )＝16(a ＋b )，BC ＝12BA ＝12(a －b )，MC ＝23BC ＝13(a －b )，在△MNC 中，MN ＝MC ＋CN ＝13(a －b )＋16(a ＋b )＝12a －16b .。
《平面向量》测试题及答案
《平面向量》测试题一、选择题1。
若三点P （1，1），A （2，—4）,B （x ，-9）共线，则( ）A 。
x=-1B 。
x=3 C.x=29D.x=512。
与向量a=（-5,4)平行的向量是（ )A.（-5k,4k) B 。
（-k 5,—k 4) C.（—10,2) D 。
(5k,4k ）3。
若点P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比是( ）A 。
73 B. 37 C.- 37 D 。
—734。
已知向量a 、b ，a ·b=-40,|a ｜=10，｜b ｜=8，则向量a 与b 的夹角为（ ）A 。
60° B.—60° C.120° D 。
—120°5.若|a-b ｜=32041 ，|a|=4，|b|=5,则向量a ·b=（ ）A 。
103B 。
-103C 。
102 D.106．（浙江）已知向量a ＝(1,2），b ＝(2，－3)．若向量c 满足（c ＋a ）∥b ，c ⊥（a ＋b ），则c ＝() A.错误! B 。
错误! C.错误! D.错误!7。
已知向量a=(3，4），b=(2，—1),如果向量（a+x)·b 与b 垂直，则x 的值为（ )A 。
323B 。
233C 。
2D 。
—528。
设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞，—1） B 。
（-1,0) C.(-∞,0） D 。
(—∞,-21）9.设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且｜AD ｜=|BC |，则这个四边形是（ ）A 。
平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10。
将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ）A 。
y=x+10 B.y=x-6 C 。
y=x+6 D 。
y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后,得到y=x 2的图像，则a 等于（ ）A 。
备战高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量专题一 平面向量的线性运算 Word版含解析
．题源探究·黄金母题【例】如图，已知四边形错误！未指定书签。
是等腰梯形，错误！未指定书签。
分别是错误！未指定书签。
的中点，错误！未指定书签。
是线段错误！未指定书签。
上的两个点，且错误！未指定书签。
，下底是上底的倍，若错误！未指定书签。
，错误！未指定书签。
，求错误！未指定书签。
．【解析】错误！未指定书签。
，∴错误！未指定书签。
．又错误！未指定书签。
，∴错误！未指定书签。
，所以错误！未指定书签。
．考场精彩·真题回放【例】【全国新课标Ⅰ卷】设错误！未指定书签。
为错误！未指定书签。
所在平面内一点错误！未指定书签。
，则（）．错误！未指定书签。
．错误！未指定书签。
．错误！未指定书签。
．错误！未指定书签。
【答案】【解析】由题知错误！未指定书签。
＝错误！未指定书签。
＝错误！未指定书签。
，故选．【例】【（北京高考卷】在错误！未指定书签。
中，点错误！未指定书签。
，错误！未指定书签。
满足错误！未指定书签。
，错误！未指定书签。
．若错误！未指定书签。
，则错误！未指定书签。
；错误！未指定书签。
．【答案】错误！未指定书签。
【例】【全国新课标Ⅰ卷】设错误！未指定书签。
分别为错误！未指定书签。
的三边错误！未指定书签。
的中点，则错误！未指定书签。
（）．错误！未指定书签。
.．错误！未指定书签。
．错误！未指定书签。
．错误！未指定书签。
【答案】【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在错误！未指定书签。
中，错误！未指定书签。
，同理错误！未指定书签。
，则错误！未指定书签。
＝错误！未指定书签。
＝错误！未指定书签。
＝错误！未指定书签。
．【例】【高考广东卷】设错误！未指定书签。
是已知的平面向量且错误！未指定书签。
,关于向量错误！未指定书签。
的分解,有如下四个命题：①给定向量错误！未指定书签。
,总存在向量错误！未指定书签。
,使错误！未指定书签。
；②给定向量错误！未指定书签。
和错误！未指定书签。
,总存在实数错误！未指定书签。
高考数学复习空间几何体立体几何中的向量方法模拟专题训练100题WORD版含答案
高考数学复习空间几何体立体几何中的向量方法模拟专题训练100题WORD 版含答案一、选择题1.已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是（ ）A ．OAB ．OB C.OCD ．OA 或OB 2.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,=,CA a CB b CC c ==，则1A B =（ ）A ．a b c +-B ．a b c -+C ．a b c -++D ．a b c -+- 3.已知四棱锥P ABCD -中， ()4,2,3AB =-， ()4,1,0AD =-， ()6,2,8AP =--，则点P 到底面ABCD 的距离为（ ）C. 1D. 2 4.已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( ) A. (1,－4,2) B.11(,1,)42- C. 11(,1,)42-- D. (0,－1,1) 5.下列说法中不正确的是（ ）A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果、与平面α共面且⊥，⊥，那么就是平面α的一个法向量 6.已知梯形CEPD 如图（1）所示，其中PD=8，CE=6，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体．已知当点F 满足=（0＜λ＜1）时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 7.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各棱长均为1，棱BB 1所在直线上的动点M 满足，AM 与侧面BB 1C 1C 所成的角为θ，若λ∈[]，则θ的取值范围是（ ）A ．[，] B ．[] C ．[，] D ．[，]8.若A （1，﹣2，1），B （4，2，3），C （6，﹣1，4），则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 9.已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于 ( )A ．34B ．35C D 10.若A 、B 两点的坐标分别是A （3cosa ，3sina ，1），B （2cosb ，2sinb ，1），则||的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（1，5）D ．11.如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①；②∠BAC=60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④12.已知正方体ABCD 一A1B1C1D1，，下列命题：③向量1AD 与向量1A B 的夹角为600④正方体ABCD 一A1B1C1D1的体积为1||AB AA AD ，其中正确命题序号是A.①③B.①②③C.①④D.①②④． 13.若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线14.已知平面α内有一点)2,1,1(-M ，平面α的一个法向量为)6,3,6(-=n ，则下列点P 中，在平面α内的是（ ）A. )3,3,2(PB. )1,0,2(-PC.)0,4,4(-PD.)4,3,3(-P15.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）16.（理科）已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0PA PB ⋅=，0PB PC ⋅=，0PC PA ⋅=,则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．4 17.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是(1,01),(0,1,1)a b ==那么这条斜线与平面所成的角是A 、090 B 、 060 C 、045 D 、03018.已知()0,12,1--=t t ，()t t ,,2=-的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. 5 D. 3 19.设平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若//αβ，则k ＝ （ ） A ．2B ． 4C ．－2D ．－420.空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直21.空间中有四点(3,4,4)A -，(4,5,4)B -，(2,3,4)C ，(3,3,3)D ，则两直线,AB CD 的夹角是（ ）A. 60B. 120C. 30D. 15022.直线l 的方向向量(1,3,5)a =-，平面α的法向量(1,3,5)n =--，则有（ ）A. l ∥αB. l ⊥αC. l 与α斜交D. l α⊂或l ∥α二、填空题23.已知直线l 的方向向量为(1,1,2)e =-，平面α的法向量为1(,,1)(R)2n λλ=-∈ 若l α⊥，则实数λ的值为 ▲ ．24.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，11114A E AC =uuu r uuu u r，异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值是 ；若1BE xAB yAD zAA =++u u r u u u r u u u r u u u r，则x = ．25.已知向量，分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos ＜，＞=﹣，则l 与α所成的角为 ． 26.在空间直角坐标系中，已知=（2，2，﹣1），=（﹣1，3，1），则、夹角的余弦值是 ． 27.已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内接于球O ，底面ABCD 是正方形，E 为AA 1的中点，OA ⊥平面BDE ，则= ．28.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为 ． 29.已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，(3,6,)n z =-，则z =__________．30.设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l 1，l 2所成角的大小为 ． 31.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为 ． 32.在ABC ∆中，10BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，将直线BC 绕AC 旋转得到1B C ，直线AC 绕AB旋转得到1AC ，则在所有旋转过程中，直线1B C 与直线1AC 所成角的取值范围为 ． 33.在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为________．34.在空间坐标系中，已知三点A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），则平面ABC 的单位法向量是 _________ ．35.在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的最小值为 。
2020届高考数学(文)二轮高分冲刺专题五：平面向量(4)平面向量的基本定理及坐标运算(A)+Word版含答案
平面向量（4）平面向量的基本定理及坐标运算（A ） 1、已知向量,a b r r 满足3,23a b ==r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则b r 在a r 方向上的投影为( )A.3B.-3C. 33-D. 3322、在ABC △中，π,2,3,23A AB AC CM MB ====u u u u r u u u r ,则AM BC ⋅=u u u u r u u u r ( ) A. 113-B. 43-C. 43D. 1133、已知向量a r 与b r 的夹角是120︒，且||5a =r ，||4b =r ，则a b ⋅=r r （ ）A.20B.10C.-10D.-20 4、已知两个单位向量,a b r r 的夹角为π3，(1)c ta t b =+-r r r ，若0b c ⋅=r r ，则t =（ ） A.2 B.3 C.23 D.32 5、在边长为3的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于F ，13AE AD =u u u r u u u r ,则EF BD ⋅=u u u r u u u r ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.36、已知菱形ABCD 的边长为a ，满足60,ABC ∠=︒则向量BD CD ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．232a -B ．234a - C.234a D.232a 7、已知向量||3,||6ab ==r r ，若,a b r r 间的夹角为3π4，则|2|a b ⋅=r r （ ） A ．30 B ．61 C ．78 D ．85 8、在Rt ABC △中，90C ∠︒＝，3AC ＝，则AB AC ⋅u 等于( ) A.－3 B.－6 C.9 D.69、如图，已知四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点,,E F G 分別是,,AB AD DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是( )A.2BA AC ⋅u u u r u u u rB.2AD DB ⋅u u u r u u u rC .2FG AC ⋅u u u r u u u r D.2EF CB ⋅u u u r u u u r10、已知球O 的半径长为1,,A B 是球面上的两点，且AB =.若点P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的取值范围是（ ） A.31[,]22- B.13[,]22- C.1[0,]2 D.3[0,]211、已知直线:4l y x =-+与圆22:(2)(1)1C x y -+-=相交于,P Q 两点，则CP CQ ⋅=u u u r u u u r _______．12、在ABC △中， 已知 2,190AB AC BAC ==∠=︒,,D E , 分别为,BC AD 的中点，过点 E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q,则BQ CP ⋅u u u r u u r 的最大值为___________13、已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，()()PA PB PC PD +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为____________14、在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅u u u r u u u r 的值为___________15、已知向量(1,),(,1)a x b x x →→==+则a b →→⋅的最小值为________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：解：∵()a a b ⊥+r r r∴()0a a b ⋅+=r r r 即：2()0a a b ⋅+=r r∴9a b ⋅=-∴b r 在a r 方向上的投影为：3a b a⋅=-r r r .2答案及解析：答案：C 解析：因为11()33AM AB BM AB BC AB AC AB =+=+=+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u u r u u u r ，所以21()33AM BC AB AC ⋅=+u u u u r u u u r u u u r u u u r 22211()333AC AB AB AC AB AC ⋅-=-++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22211π42323cos 33333=-⨯+⨯+⨯⨯⨯=,故选C.3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：A解析：|||a b ==r r ∵,a b r r 的夹角为3π4，|2|a b -==r r ∴==8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：C 解析：由条件可知22,BA AC a ⋅=-u u u r u u u r A 错误;22,AD DB a ⋅=-u u u r u u u r B 错误;212,2EF CB a ⋅=-u u u r u u u r D 错误.故选C.10答案及解析：答案：B解析：设OA OB +u u u r u u u r 与OP uuu r 的夹角为,[0,]θθ∈π.由球O 的半径长 为1,,A B 是球面上的两点，且AB =,可得211,1,322AOB OA OB π∠=⋅=⨯1⨯(-)=-u u u r u u u r ∴ ||1,OA OB +=u u u r u u u r ∴ 2()()()PA PB OA OP OB OP OA OB OA OB OP OP ⋅=-⋅-=⋅-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1113||||cos cos [,]2222OA OB OP θθ=-+⋅=-∈-u u u r u u u r u u u r ,故选B.11答案及解析：答案：0解析：12答案及解析： 答案：94- 解析：以AC 为x 轴，AB 为y 轴，建立直角坐标系，那么()()0,2,1,0B C ,并且E 点的坐标为11,42⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线PQ 的方程为11()42y k x =-+， 所以有11120,,,0624423k P Q k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≤≤- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11125151||921,624224342242||24k k k BQ CP k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-----≤≤-=-++≤--=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，uu u r uu r13答案及解析：答案：-4解析：由题意，以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为2，所以可得(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，设(,)P x y ，则(,),(2,),(2,2),(,2)PA x y PB x y PC x y PD x y =--=--=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以(22,2)PA PB x y +=--u u u r u u u r ，(22,42)PC PD x y +=--u u u r u u u r ，因此222()()4(1)4(2)4(1)4(1)44PA PB PC PD x y y x y +⋅+=---=-+--≥-u u u r u u u r u u u r u u u r ，当且仅当1x y ==时，取最小值.故答案为-414答案及解析：答案：10解析：15答案及解析：答案：-1 解析：。
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平面向量专项训练一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y =2x 上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则点A 的横坐标为________． 2．在ΔABC 中，AB =5,AC =4,且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12，设P 是平面ABC 上的一点，则PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC⃑⃑⃑⃑⃑ )的最小值是__________． 3．在ΔABC 中，已知AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +2BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则cosC 的最小值是________． 4．在ΔABC 中，AH 是底边BC 上的高，点G 是三角形的重心，若AB =2，AC =4，∠BAH =30°，则(AH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅AG⃑⃑⃑⃑⃑ =__________． 5．已知向量a ， b ， c 满足a +b +c =0，且a 与b 的夹角的正切值为−12，b 与c 的夹角的正切值为−13，|b |=1，则a ⋅c 的值为____． 6．如图，在扇形AOB 中，OA=4，∠AOB=120,P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C,若OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =8，则OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为______.7．已知等边ΔABC 的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2λ+1=0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是__________．8．在平面四边形ABCD 中，若E 为BC 的中点，AE =2,DE =3,则AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB⃑⃑⃑⃑⃑ +DC⃑⃑⃑⃑⃑ )=______.9．在ΔABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3，|CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4，∠ACB =2π3，则CP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA⃑⃑⃑⃑⃑ =__________． 10．在平面四边形ABCD 中，若E 为BC 的中点，AE ＝2，DE ＝3，则AD ⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑ ) ＝_______．11．如下图，在ABC ∆中， ．若，则CE AB ⋅=u u u v u u u v __________．12．已知两个单位向量a ，b ⃑ 的夹角为60°，c =ta +(1−t )b ⃑ ，若b ⃑ ⋅c =0，则实数t 的值为______．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O:x 2+y 2=r 2(r >0)与圆M:(x −2)2+(y −2√3)2=4相交于A,B 两点，若在直线AB 上存在一点P ，使PO⃑⃑⃑⃑⃑ •PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ≤0成立，则r 的取值范围为________.14．在ΔABC 中，AB =3,AC =2,D 为边BC 上一点．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =5,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23，则AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为_________． 15．如图，在半径为2的扇形AOB 中， 90AOB ∠=o ， P 为AB u u u r上的一点，若2OP OA ⋅=u u u v u u u v ，则OP AB ⋅u u u v u u u v 的值为______．16．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为____．17．如图，在ΔABC 中，已知AB =3,AC =2,∠BAC =1200,D 为边BC 的中点.若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·EC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为____________.18．如图，在△ABC 中，已知AB =3，AC =2，∠BAC =120°，D 为边BC 的中点．若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB ·EC 的值为__．19．如图所示，在平行四边形ABCD 中， AP BD ⊥，垂足为P ，且1AP =，则AP AC ⋅u u u r u u u r =_________.20．如图，在四边形ABCD 中，A ＝π3，AB ＝2，AD ＝3，分别延长CB 、CD 至点E 、F ，使得CE ⃑⃑⃑⃑ =λCB ⃑⃑⃑⃑ ，CF ⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑ ，其中λ＞0，若EF ⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑ =15，则λ的值为_______．21．设m,n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a =(m,n ),b⃑ =(1,−1)，则向量a ,b⃑ 的夹角为锐角的概率是___________． 22．在ABC ∆中， 5AB =， 7AC =， 3BC =， P 为ABC ∆内一点（含边界），，则BA BP ⋅u u u v u u u v 的取值范围为________． 23．在平行四边形ABCD 中，, M 为DC 的中点， N 为平面ABCD 内一点，若，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v __________. 24．在ΔABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =2π3，则AB⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为__________． 25．设向量a ，b ⃑ ，c 均为单位向量，且2a =b ⃑ −√3c ，则向量a ，b ⃑ 的夹角等于_______． 26．在平行四边形ABCD中，则四边形ABCD 的面积为_______. 27．在平行四边形ABCD 中，4AD =,,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅u u u r u u u r，则AB 的长为 ．28．扇形AOB 中，弦2AB C =，为劣弧AB u u u r上的动点， AB 与OC 交于点P ，则·OP BP u u u v u u u v的最小值是_____________________．29．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，A ＝π3，点D 为BC 上一点，若AB ⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑ =2AC⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑ ，则AD ＝_______．30．已知e 1，e 2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b 满足|b|＝2，b·e 1＝1，b·e 2＝1，则对于任意x ，y∈R，|b －(xe 1＋ye 2)|的最小值为________.31．,a b r r 的夹角为0120， 1,3a b ==r r ，则5a b -=r r ．32．如图，在三角形ABC 中，点D 是边AB 上一点，且2DB AD =u u u r u u u r，点F 是边BC 的中点，过A 作CD 的垂线，垂足为E ，若4AE =，则AE AF ⋅=u u u r u u u r __________．33．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u ur u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r 的值为 ．34．已知点P 为矩形ABCD35．已知,B D 是以AC 为直径的圆上的两点，且2,5AB AD ==,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为__________．36．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒， BM BC λ=u u u u v u u u v ．若则实数λ的值为______．37．已知圆心角为120︒的扇形AOB 的半径为1， C 为AB u u u r 的中点，点D 、E 分别在半径OA 、OB 上.，则OD OE +的最大值是__________． 38．已知△ABC 中，4AB =，2AC =，|(22)|AB AC λλ+-u u u r u u u r （R λ∈）的最小值为23，若P 为边AB 上任意一点，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最小值是 ． 39．已知向量a =(2,1),b ⃑ =(0,−1)．若(a +λb ⃑ )⊥a ，则实数λ=________．40．在△ABC 中， ∠ABC ＝120︒，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD BE ⋅u u u v u u u v的值为_____．41．如图，在ABC ∆中， D 是BC 的中点， E ， F 是AD 上的两个三等分点． 2BE CE ⋅=u u u r u u u r ， 2BC =，则BF CF ⋅=u u u r u u u r______．42．已知单位向量a v ， b v 的夹角为120︒，那么2a xb -v v （x R ∈）的最小值是__________．43．在ABC ∆中，、分别是、的中点，是直线上的动点.若ABC ∆的面积为2，则2MB MC BC ⋅+u u u r u u u u r u u u r 的最小值为__________.44．如图，在直角梯形ABCD 中， 0//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =u u u vu u u v ，则·AE BC =u u u vu u u v _______________．45．若向量a =(x,−1),b =(1,2),且|2a +b|=|2a −b|,则|a +xb|=___________．46．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是 . 47．在△ABC 中，已知AB =1,AC =2,∠A =60∘，若点P 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，且BP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CP⃑⃑⃑⃑⃑ =1，则实数λ的值为______________． 48．已知|a |=1,|b ⃑ |=2,a +b ⃑ =(1,√2),则向量a ,b⃑ 的夹角为_______． 49．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则的最大值为______.50．如图，在ABC ∆中， D 是BC 的中点， ,E F 是AD 上两个三等分点， ·2BE CE =u u u v u u u v ， ·1BF CF =-u u u vu u u v ，则·BACA =u u u v u u u v __________．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。