相关指数,残差分析
高效处理时间序列数据的技巧和方法
高效处理时间序列数据的技巧和方法时间序列数据是一种按时间顺序排列的数据，通常是用来描述某一现象在不同时间点上的变化情况。
时间序列数据在很多领域都有着重要的作用，比如金融、经济学、气象学、医学等领域都广泛使用时间序列数据进行分析和预测。
处理时间序列数据需要掌握一些高效的技巧和方法，本文将介绍一些处理时间序列数据的技巧和方法，以及它们在实际应用中的作用。
一、数据预处理在处理时间序列数据之前，首先要对原始数据进行预处理，以确保数据的准确性和可靠性。
数据预处理的步骤包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理和数据重采样等。
1.数据清洗数据清洗是指对原始数据进行筛选和处理，去除不需要的数据或者错误的数据。
在处理时间序列数据时，数据清洗的过程包括去除重复数据、去除不必要的字段、对数据进行格式转换等。
清洗后的数据能够更好地反映原始数据的特征，同时也减少了数据处理的难度。
2.缺失值处理时间序列数据中经常会出现缺失值，这些缺失值可能是由于数据采集的问题或者数据损坏等原因造成的。
处理缺失值的方法包括删除缺失值、插值处理和填充处理等。
不同的处理方法会对后续的数据分析和建模产生不同的影响，因此需要根据实际情况选择合适的处理方法。
3.异常值处理异常值是指与其他数据明显不同的数值，可能是由于数据采集错误或者异常事件引起的。
处理异常值的方法包括删除异常值、替换异常值和转换异常值等。
对异常值进行处理可以减少对数据分析的干扰，使得分析结果更加准确。
4.数据重采样数据重采样是指将原始数据的时间间隔进行调整，使得数据变得更加平滑或者更加精细。
数据重采样的方法包括向前采样、向后采样、插值重采样和汇总重采样等。
选择合适的重采样方法可以更好地反映数据的变化趋势，提高数据分析的准确性。
二、特征提取在进行时间序列数据分析之前，需要对数据进行特征提取，以提取出数据的关键特征，为后续的建模和预测提供支持。
特征提取的方法包括统计特征提取、时域特征提取和频域特征提取等。
回归分析的基本思想及其应用(三)
第42课时 回归分析基本思想及其初步应用（ 三）学习目标：1、掌握线性回归模型与线性回归方程的关系及其参数、变量的意义；2、了解将非线性回归问题转化为线性回归问题的方法； 教学重点；非线性回归问题转化为线性回归问题的方法 教学难点：非线性回归问题转化为线性回归问题 教学工具：Powerpoint 、Excel 教学过程：（一） 复习引入1、（1）)(∧∧+-=-=a x b y y y e i i i i i (i =1,2,……,n )称为相应于点（x i ,y i ）的残差（residual ）,它是随机误差e i =y i -(bx i +a ) (i =1,2,……,n )的估计值. （2）回归模型拟合效果评价①残差分析法：残差点比较均均地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较适合. 这样的带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.②相关指数法：定义相关指数∑∑==∧---=ni i ni i i y y y y R 12122)()(1, 其表示解释变量对预报变量变化的贡献率,R 2越接近1,表示回归效果越好.（二） 推进新课例1为了研究某种细菌随时间x （天）变化繁殖的个数,收集数据如右：（1）用天数作解释变量,繁殖个数为预报变量,作出这些数据的散点图； （2）描述解释变量与预报变量之间的关系,试建立y 关于x 回归方程. 解：根据收集的数据作出散点图.在散点图中,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系,不能直接利用线性回归模型来刻画两个变量之间的关系.根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线xc ec y 21=的周围,其中21c c 和是待定参数.或者也可以认为样本点集中某二次曲线423c xc y +=的附近,其中43c c 和是待定参数.（方案一）若用xc ec y21=模型拟合，则令abx z c b c a y z+====时，21,ln ,ln 为线性直线的附近,因此可以且线性回归方程来拟合.由上表中的数据,用计算器或Excel 得到线性回归方程为：116.16902.0+=∧x z ,因此细菌繁殖个数关于天数的非线性回归方程为：116.16902.0+∧=x ey（方案二）若用423c xc y+=模型拟合,令2xt=,则43c t c y+=为线性回归模型,下面是布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程来拟合它,即不宜用二次函数423c xc y +=来拟合y 和x 之间的关系.当然对于上表中的数据用计算器或Excel 也可以得到“线性回归”方程为：46.14096.5-='∧t y ,因此细菌繁殖个数关于天数的另一个非线性回归方程为：46.14096.52-='∧xy思考：怎样评价以上两个模型的拟合效果？其中∧e ＝116.16902.0+∧-=-x ey y y,)46.14096.5(2--='-='∧∧xy y y e从表中的残差∧e 、∧'e 可以看出,指数函数模型的|∧e |显然要比二次函数模型的|∧'e |小,因此指数函数模型拟合效果比二次函数模型的拟合效果好. 方法二：相关指数法下面给出两个回归模型的相关指数22,R R '计算由上面的残差分析法易知：54.6)(261612=-=∑∑=∧=∧i i i i i y y e ,73.1403)(261612='-='∑∑=∧=∧i i i i i y y e又因83.24642)(261=-∑=i i y y , 所以2R=9997.083.2464254.61=-,2R '=94304.083.2464273.14031=-显然22R R '>,因此指数函数模型拟合效果比二次函数模型的拟合效果好.知识形成:1、两个非线性相关回归模型确定 (1)画散点图;(2)观察图并根据经验判断适合何种模型; (3)恰当变换,转化成线性回归模型;(4)检验模型的拟合效果.（根据相关指数R 2越大,模型拟合精度越高来优选.）（三）典例分析1、对于下列非线性回归模型相应的回归方程,请做适当的变换,使成为线性回归方程；（1）y =cx 2+d ,令t =x 2,可得dct y+=∧；（2）,c xk y +=令xt 1=,可得ckt y+=∧；（3）,ln d x c y +=令x t ln =,可得dct y+=∧；（4）)0(>=c ceydx,令ytln =,可得cdx tln +=∧；2、已知两个变量的非线性回归方程为xy22.1⨯=∧,则样本点（1,4）的残差为 1.6 .3、已知样本点（1,2.25）、(2,1.85)、(3,1.64)、(4,1.46)满足的回归模型,c xk y+=则通过变换变成线性回归模型后新的样本点的中心为（ D ）A （0.50,1.72）B (0.50,1.74)C (0.54,1.76)D (0.52,1.80) 4、如果用指数函数模型xc ec y 21=拟合原始模型,设yzln =,且（z x ,）为（165.25,3.99）,则回归方程为（ C ）A 712.85849.0-=x e y B712.85849.0--=x ey C3295.10161.0+=x ey D3295.10161.0+-=x ey5、已知两相关变量 x ,y 的三组观测值如下表： 根据经验知y 对x 的回归模型为abxy+=2,试求出该回归方程.解：令t =x 2,则y 与t 的回归方程为y =bt +a . 相关数据为：则30431=∑=i i i y t ,338,667.7,667.8612===∑=i it y t所以有929.033261231≈-⨯-=∑∑==∧tt yt y t b i ii i ixb y a ∧∧-==-0.385,所以y 与t 的回归方程为385.0929.0-='∧t y ,由t =x 2得y 与x 的回归方程为385.0929.02-='∧x y（四）巩固练习P 导航66页T 1-4 （五）课时小结1非线性回归模型求解及拟合效果检验；2常见非线性回归模型变换为线性回归模型 （六）作业P 教材90页,T 2。
对回归分析的认识、体会和思考
对回归分析的认识、体会和思考海口市第一中学潘峰一、教材分析1．内容编排散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回归分析的部分内容在《数学3（必修）》中已经出现过。
在此基础上，本章通过现实生活中遇到的问题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型。
教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相关指数的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。
从残差分析的角度研究所选用的回归模型是否合适，引导学生初步体会检验模型的思想。
为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生思考），总结建立回归模型的基本步骤。
作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非线性相关关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。
这里所涉及的非线性相关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。
这个例子没有增加难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。
2．学习价值：⑴．数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息；⑵．现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一个人成功必备的素质。
3．教材处理的优点：⑴．总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情；⑵．以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是一种帮助）⑶．螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；⑷．对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数学思维能力，培育理性精神。
8.2 一元线性回归模型及其应用教案
8.2 一元线性回归模型及其应用一、教学目标知识与技能从相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤．过程与方法在发现直接求回归直线方程存在缺陷的基础上，引导学生去发现解决问题的新思路——进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R2来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．情感、态度与价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，掌握处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神．培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．教学中适当地利用学生的合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性．二、教学重难点教学重点：从残差分析、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；教学难点：了解评价回归效果的两个统计量：相关指数、残差和残差平方和．三、教学过程（一）新课导入(幻灯片)上表是上一节课我们从某大学选取8名女大学生其身高和体重数据组成的数据表，在上一节课中我们通过数据建立了回归直线方程，并根据方程预测了身高为172 cm的女大学生的体重．当时，我们提到根据回归直线方程求得的体重数据，仅是一个估计值，其与真实值之间存在着误差，为了综合分析身高和体重的关系，我们引入了线性回归模型y＝bx＋a＋e 来表示两变量之间的关系，其中e为随机变量，又称随机误差．线性回归模型y＝bx＋a＋e 增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定．假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上．但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上．这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了，即自变量x 只能解释部分y 的变化． 同学们考虑一下，随机变量e 的均值是多少？方差又是多少？ 活动设计：学生思考回答问题．设计意图：说明研究随机误差e 的必要性，通过研究随机误差e 可以分析预报值的可信度． 提出问题：既然可以用随机变量e 的方差来衡量随机误差的大小，即通过方差σ2来刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与随机误差有关，那么如何获得方差σ2呢？ 活动结果：可以采用抽样统计的思想，通过随机变量e 的样本来估计σ2的大小． 设计目的：复习抽样统计思想，以便通过随机变量e 的样本来估计总体．探究新知提出问题：既然e 表示了除解释变量以外其他各种影响预报值的因素带来的误差，那么如何获得e 的样本来计算σ2呢？ 学生活动：分组合作讨论交流．学情预测：由函数模型y ^＝b ^x ＋a ^和回归模型y ＝bx ＋a ＋e 可知e ＝y －y ^，这样根据图表中女大学生的身高求出预报值，再与真实值作差，即可求得e 的一个估计值．教师：由于在计算回归直线方程时，利用公式求得的b ^和a ^为斜率和截距的估计值，它们与真实值a 和b 之间存在误差，因此y ^是估计值，所以e ^＝y －y ^也是一个估计值． 由上可知，对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1,2，…n ，称其估计值e ^i ＝y i －y ^i 为相应于点(x i ，y i )的残差．将所有残差的平方加起来，这个和称作残差平方和． 类比样本方差估计总体方差的思想，可以用 作为σ2的估计量，通常，σ^2越小，预报精度越高．这样，当我们求得回归直线方程后，可以通过残差来判断模型拟合程度的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析． 设计目的：通过问题诱思，引入残差概念．（二）探索新知提出问题：对照女大学生的身高和体重的原始数据，结合求出的回归直线方程，求出相应的残差数据． 活动结果：提出问题：根据表格中的数据，以样本编号为横坐标，残差值为纵坐标，做出散点图(这样的散点图称作残差图)．学生活动：分组合作，共同完成． 活动结果：残差图提出问题：观察上面的残差图，你认为哪几个样本点在采集时可能存在人为的错误？为什么？学生活动：分组讨论．活动结果：第一个和第六个样本点在采集过程中可能存在错误，因为其他的样本点基本都集中在一个区域内，只有这两个样本点的残差比较大，相对其他样本点来说，分布得较为分散． 提出问题：如何从残差图来判断模型的拟合程度？ 学生活动：独立思考也可相互讨论． 活动结果：因为σ^2越小，预报精度越高，即模型的拟合程度越高，而σ^ 2越小，e ^的取值越集中，故若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，且带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，回归直线的预报精度越高．教师：在统计学上，人们经常用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：相关指数提出问题：分析上面计算相关指数R 2的公式，如何根据R 2来判断模型的拟合效果？22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．活动结果：R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．提出问题：在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近1，表示回归的效果越好，即解释变量和预报变量的线性相关性越强，试计算关于女大学生身高与体重问题中的相关指数R2.提出问题：结合我们刚学习的概念，现在能否将建立回归模型的步骤补充完整？学生活动：讨论交流，合作完成．活动结果：一般地，建立回归模型的基本步骤为：(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．设计意图：设计问题，让学生讨论分析，得出使用回归方程进行预报需注意的问题，并让学生完善建立回归模型的步骤．在这个过程中，教师不宜做太多引导，要放手给学生，让学生讨论，充分参与进来．运用新知例1 一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：(1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差；(2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？解：(1)根据表中数据作出散点图如下：散点图由散点图可知变量之间具有线性相关关系，可以通过求线性回归方程来拟合数据． 根据公式可求得加工时间对零件数的线性回归方程为y ^＝0.668x ＋54.96. 残差数据如下表：(2)画出残差图残差图由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好，但需注意，由残差图也可以看出，第4个样本点和第5个样本点残差较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．点评：由散点图判断两个变量的线性相关关系，误差较大，利用残差图可以较好地评价模型的拟合程度，并能发现样本点中的可疑数据． 变练演编例2 在一段时间内，某种商品的价格x (元)和需求量y (件)之间的一组数据为：求出y 对x 的回归方程，并说明拟合效果的好坏． 解：作出散点图：从作出的散点图可以看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．由数据可得x ＝18，y ＝45.4，由计算公式得b ^＝－2.35，a ^＝y －b ^x ＝87.7. 故y 对x 的回归方程为y ^＝－2.35x ＋87.7，列表：y i －y ^i 1.2 －0.1 －2.4 0.3 1 y i －y10.64.6－2.4－4.4－8.4相关指数R 2≈0.946.因为0.964很接近1，所以该模型的拟合效果很好．变式1：若要分析是否在上述样本的采集过程中存在可疑数据，应如何分析？ 活动设计：学生分组讨论，回顾课本解答问题． 活动成果：可以画出残差图来进行分析．变式2：既然利用残差图和相关指数都能够评价回归模型的拟合效果，能否总结一下两种方法各自的特点？活动成果：利用残差图可以直观展示拟合的效果，而且还可以发现样本数据中的可疑数据；而相关指数是把对拟合效果的评价转换为数值大小的判断，易于量化处理，并能在数量上表现解释变量对于预报变量变化的贡献率．设计意图：进一步熟悉判断拟合效果的方法以及各自的特点． 非线性回归分析2．现收集了一只红铃虫的产卵数y 和温度xoC 之间的7组观测数据列于下表：1）试建立产卵数y 与温度x 之间的回归方程；并预测温度为28oC 时产卵数目。
高考复习资料：回归模型的残差分析
回归模型的残差分析山东胡大波判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。
下面具体分析残差分析的途径及具体例子。
一、残差分析的两种方法1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
2、可以进一步通过相关指数∑∑==---=niiniiiyyyyR1212^2)()(1来衡量回归模型的拟合效果，一般规律是2R越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。
二、典例分析：例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数/x 30 33 35 37 39 44 46 50成绩/y 30 34 37 39 42 46 48 51试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。
解答：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。
次数ix成绩iy2ix2iyixiy30 30 900 900 90033 34 1089 1156 112235 37 1225 1369 129537 39 1369 1521 144339 42 1521 1764 163844 46 1936 2116 202446 48 2116 2304 220850 51 2500 26012550由上表可求得875.40,25.39==y x ，12656812=∑=i ix，13731812=∑=i i y ，1318081=∑=ii i yx ，所以∑∑==---=81281)())((i ii i ix xy y x xβ.0415.18812281≈--=∑∑==i ii ii xxy x yx00302.0-≈-=x y βα，所以回归直线方程为.00302.00415.1^-=x y（3）计算相关系数将上述数据代入∑∑∑===---=8181222281)8)(8(8i i i i i ii y y x x yx yx r 得992704.0=r ，查表可知707.005.0=r ，而05.0r r >，故y 与x 之间存在显著的相关关系。
11线性回归方程的求法
根据最小二乘法估计a 和 b就是未知参数a和b的最好估计，
i xi 1 2 y i x i2
2 ， x i i=1 n
x
， y
， xi yi
i=1
n
.
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
1 编号 身高/cm 165 体重/kg 48
2 3 4 5 6 7 8 165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 ( x, y)称为 172cm的女大学生的体重。
n
样本点的中心 根据最小二乘法估计a 和 b就是未知参数 a和b的最好估计，
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
1 编号 身高/cm 165 体重/kg 48
2 3 4 5 6 7 8 165 157 170 175 165 155 170 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
施化肥量x 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10
405 445
450 455
散点图
水稻产量
··
20
·
·
· · ·
施化肥量
30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？ 发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
如何用残差分析的方法判断回归模型的拟合效果
如何用残差分析的方法判断回归模型的拟合效果中图分类号：G635.1文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2019）04-079-02如何判断回归模型的拟合效果好坏是回归分析的重要内容，在回归分析中通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果一：残差分析的方法1.残差图（1）残差：对于样本点，它们的随机误差为，，其估计值，，称为相应于点的残差，即=真实值—预报值（2）残差图：纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号或其他相关数据。
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型拟合效果好，带状区域宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的精度越高。
（3）残差平方和：越小拟合效果越好2.相关系数：（1）（2）时线性相关性越强，越弱（3）时认为两个变量有很强的相关关系3相关指数（1）（2）越大，说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，，模型拟合效果差（3）与相关系数作用相同（4）实际应用中，应选用大的回归模型二.典例分析例.某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数x3033353739444650成绩y3034373942464851试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。
解：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。
图1（2）列表计算：次数成绩30309009009003334108911561122353712251369129537391369152114433942152117641638444619362116202446482116230422085051250026012550由上表可求得，，，所以所以回归直线方程为（3）计算相关系数将上述数据代入得，查表可知，而，故y与x 之间存在显著的相关关系。
（4）残差分析：作残差图如图，由图知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适。
计算残差的方差得，说明预报的精度较高。
线性回归方程.附答案docx
线性回归方程一、考点、热点回顾一、相关关系：1、⎩⎨⎧<=1||1||r r 不确定关系：相关关系确定关系：函数关系2、相关系数：∑∑∑===-⋅---=ni ini ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，其中：（1）⎩⎨⎧<>负相关正相关00r r ；（2）相关性很弱；相关性很强；3.0||75.0||<>r r3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。
二、线性回归方程：1、回归方程：a x b yˆˆˆ+= 其中2121121)())((ˆxn x yx n yx x x y yx x bn i i ni ii n i i ni ii--=---=∑∑∑∑====，x b y aˆˆ-=（代入样本点的中心） 2、残差：（1）残差图：横坐标为样本编号，纵坐标为每个编号样本对应的残差。
（2）残差图呈带状分布在横轴附近，越窄模型拟合精度越高。
（3）残差平方和∑=-ni i iyy12)ˆ(越小，模型拟合精度越高。
3、相关指数：∑∑==---=n i ini i iy yyyR 12122)()ˆ(1（1）其中：∑=-ni i iyy12)ˆ(为残差平方和；∑=-ni i y y 12)(为总偏差平方和。
（2）)1,0(2∈R ，越大模型拟合精度越高。
二、典型例题+拓展训练典型例题1：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ≥的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i =都在直线121+-=x y 上，则样本相关系数为（ ） 21.21.1.1.--D C B A典型例题2：设某大学的女生体重)(kg y 与身高)(cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数据)2,1)(,(n i y x i i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则不正确的是（ ）A.y 与x 具有正的线性相关关系；B.回归直线过样本点的中心),(y xC.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg扩展2.一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？典型例题3.为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.52211521()155110.8451000()i i i ii y y R yy ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()ii i ii yy y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.扩展1.下列说法正确的是（ ）（1）残差平方和越小，相关指数2R 越小，模型拟合效果越差； （2）残差平方和越大，相关指数2R 越大，模型拟合效果越好； （3）残差平方和越小，相关指数2R 越大，模型拟合效果越好； （4）残差平方和越大，相关指数2R 越小，模型拟合效果越差；A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（4）D.（2）（3）扩展2.关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有下表所示的资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，求：（1）线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中的回归系数b a ˆ,ˆ； （2）残差平方和与相关指数2R ，作出残差图，并对该回归模型的拟合精度作出适当判断； （3）使用年限为10年时，维修费用大约是多少？三、典型例题4.非线性回归模型：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
相关系数与残差r的平方
相关系数与残差r的平方
相关系数和残差r的平方都是用于评估线性回归模型的拟合程度和预测能力的指标，但是它们具有不同的含义和用途。
相关系数表示两个变量之间的线性相关程度，取值范围在-1到1之间。
相关系数越接近1或-1，表示两个变量之间的线性相关性越强，相关系数越接近0，表示两个变量之间的线性相关性越弱。
在线性回归中，相关系数可以用来评估自变量与因变量之间的线性相关程度，从而判断模型是否合适。
如果相关系数接近1或-1，说明模型的预测能力较强，如果相关系数接近0，说明模型的预测能力较弱。
而残差r的平方表示真实值与预测值之间的差异程度，它用于评估模型的拟合程度。
残差指的是每个样本点的预测值与真实值之间的差异，残差r的平方表示所有样本点预测值与真实值之间差异的平方和。
在线性回归中，如果残差r的平方较小，说明模型的预测效果较好，否则说明模型的预测效果较差。
总的来说，相关系数和残差r的平方都是用于评估线性回归模型的性能指标，但是它们侧重点不同，相关系数用于评估自变量与因变量之间的关系质量，残差r 的平方用于评估模型的预测性能。
人教版A版高中数学选修2-3：3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
假设线性回归方程为 ：yˆ bˆx aˆ
由计算器得：线性回归方程为
yˆ 19.87x 463.73
线性模型
7
Q(aˆ,bˆ) ( yi yˆi ) 2 19818.9
残差
i1
yˆ 19.87x 463.73 100
就转换为z=bx+a
21
23
25
27
29
32
35
z=lgy
0.85 1.04 1.32 1.38 1.82 2.06 2.51
产卵数y/个
7
11
21
24
66
115 325
7
7
x 27.42 z 1.569 xi zi 318.58
xi2 5414
i 1
i 1
由计算器得：
zˆ关于x的线性回归方程为 zˆ 0.118x 1.665 ，
线性回归分析
其回归直线方程 y bx a 的截距和斜
率的最小二乘法估计公式：
n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
i=1 n
=
(xi - x)2
xi
- nxy
i
i=1
n xi2 - nx2
,
i=1
i=1
aˆ = y - bˆx
2.残差eˆ
残差平方和越
对于样本点（xi,yi）的随机误差 小精确度越高
学习目标
1、了解回归模型的选择，进一步理解非线性 模型通过变换转化为线性回归模型的方法；
2、会用残差及相关系数分析回归模型， 体会不同模型拟合数据的效果；
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相关指数及残差分析
年级 高二 课时 1
1. 会根据相关指数及残差概念进行求解并对回归模型拟合度经行评价； 2. 会说出回归分析的基本步骤并解决简单的线性回归分析问题； 3. 会解决简单的非线性回归分析问题。
学习过程 自 主 学 习 知识点整理： 1.对于样本点 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),,( xn , yn ) 而言，它们的随机误差为
1. 在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是
( ) A.总偏差平方和 B.残差平方和 2 C.回归平方和 D.相关指数 R 2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) (A)预报变量在 x 轴上，解释变量在 y 轴上 (B)解释变量在 x 轴上，预报变量在 y 轴上 (C)可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 (D)可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上
（2）写出此例中把指数关系变为线性关系的变换。
（2） 怎么判别非线性回归模型所选函数方程是否理想？
1.调查某市出租车使用年限 x 和该年支出维Βιβλιοθήκη 费用 y （万元） ，得到数据如下：
使用年限 x 维修费用 y 2 2．2 3 3．8 4 5．5 5 6．5 6 7．0
（1） 求线性回归方程；
合 作 探 究 （2） 由（1）中结论预测第 10 年所支出的维修费用．
2
2. 若一组观测值 1,y1） x2,y2） （xn,yn） （x （ … 之间满足 yi=bxi+a+ei (i=1、 …n) 2.
若 ei 恒为 0，则 R 为_____
4
5
探究任务二（针对学习目标 2 会说出回归分析的基本步骤并解决简单的线性回归 分析问题） 自 主 探 究
7
1．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利 y（元） ，与该周每天销售这种 服装件数 x 之间的一组数据关系见表： x y
7
3 66
4 69
7
5 73
6 81
7 89
8 90
9 91
已知 xi2 280 ， yi2 45309 ， xi yi 3487 ． i 1 i 1 i 1 （1）求 x， ； y
3. 在分析两个分类变量之间是否有关系时，常用到的图表有
．
1
自 主 学 习
一般地，建立回归模型的基本步骤为： （1）确定研究对象，明确哪个变量是 ，哪个变量是 （2）画出 ，观察它们之间的关系。 （3）由经验确定回归方程的类型。 （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法） （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈 现不随机的规律性，等等） ，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否 合适等。
（2）画出散点图；
（3）判断纯利 y 与每天销售件数 x 之间是否线性相关，如果线性相关，求出 回归方程．
2
自 主 学 习
探究任务三（针对学习目标 3 会解决简单的非线性回归分析问题） 当回归方程不是形如 y=bx+a 时，我们称之为非线性回归方程. 阅读课本例 2，回答下列问题： （1） 非线性回归模型如何求其回归方程？
B．身高超过 146.00cm D．身高在 145.83cm 左右 ．
2. 在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数 R 2 的值分别约
1. 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为（4，5） ，则回归直
线方程为（ ） Ｂ． 1.23x 5 y Ｄ． 0.08x 1.23 y Ａ． 1.23x 4 y Ｃ． 1.23x 0.08 y
（3）求相关指数 R ，并说明其含义。
2
3
A组
1. 一位母亲记录了儿子 3～9 岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线
ˆ 方程为 y 7.19 x 73.93 ，据此可以预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的
叙述是（ ） A．身高一定是 145.83cm C．身高低于 145.00cm 作 业 设 计 B组 为 0.96 和 0.85，则拟合效果好的模型是
ei yi bxi a, i 1, 2,3, n, 其估计值为
相应于点 ( xi , yi ) 的 2.残差图：作图时纵坐标为 3.相关指数：计算公式是 R
2
， ei 称为
。 ，横坐标可以选为
2
。
。显然， R 的值越大，说明
2
残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。所以 R 越接近 1，表示回归的 效果越好（因为 R2 越接近 1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强） 。 探究任务一（针对学习目标 1 会根据相关指数及残差概念进行求解并对回归模型 自 主 探 究 拟合度经行评价）