北京市朝阳区人大附中朝阳分校2023届高一数学第一学期期末经典试题含解析
2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题合集2套(含答案)
2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}220A x x x =--≤，{}lg 0B x x =>，则A B = （）A ．{}12x x -≤≤B ．{}12x x <≤C ．{}12x x <<D ．{}1x x ≥-【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.【详解】由220x x --≤解得12x -≤≤，所以{}12A x x =-≤≤，由lg 0x >解得1x >，所以{}1B x x =>，所以{}12A B x x ⋂=<≤，故选:B.2．已知{|02}A x x =，{|12}B y y =，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】A.其值域为[0,2]，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.【详解】解：A 是函数图象，其值域为[0,2]，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；C 是函数图象，值域为{1,2}，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；D 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.故选：B3．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．,221⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意得5π6ππ23QOx ∠=+=，从而得到π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合诱导公式求出答案.【详解】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，所以5π6ππ23QOx ∠=+=，所以π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中25coscos cos 6611π6πππ⎛⎫=-=- ⎭=⎪⎝，25s s 1in sin in 66ππ611ππ⎛⎫=-= ⎭=⎪⎝，即Q 点的坐标为：21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．4．不等式21216x +>的解集为（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．53,,22⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭D ．52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,【答案】B【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.【详解】不等式21216x +>，∴21422x +>，即214x +>．∴214x +<-或214x +>，解得：52x <-或32x >，∴解集是53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B ．5．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．120【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步，3081202S ⨯==（平方步），设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A6．设a =0.80.9b =，0.9log 0.8c =，则（）A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．c b a>>【答案】A【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.12a =<=<=，0.800.90.91b =<=，0.90.9log 0.8log 0.812c =>=，所以c a b >>．故选：A7．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的减区间是（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(5,)+∞D ．(,1)-∞-【答案】C【解析】先求得()f x 的定义域，然后根据复合函数同增异减确定()f x 的减区间.【详解】由()()245510x x x x --=-+>解得1x <-或5x >，所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞ .函数245y x x =--的开口向上，对称轴为2x =，函数12log y x =在()0,∞+上递减，根据复合函数单调性同增异减可知函数()f x 的减区间是()5,+∞.故选：C8．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（）A ．21B ．25C ．29D ．33【答案】A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立，∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭，由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()11212122242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+ ⎪+--+⎝⎭，当且仅当21x y +=-时，即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21．故选：A 二、多选题9．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）A ．x ∃∈R ，0x ≤B ．存在x ∈R ，使得210x x ++=C ．至少有一个无理数x ，使得3x 是有理数D ．有的有理数没有倒数【答案】ACD【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以0x ∃=，使0x =，所以A 是真命题，故A 正确；对于B ．对应方程210x x ++=，30∆=-<，方程无解，故B 错误；对于C ．命题是存在量词命题，x ∃=33=是有理数，所以C 是真命题；对于D ．有理数0没有倒数，故D 正确；故选:ACD ．10．下列说法正确的是（）A ．若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30-︒C ．终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30︒的扇形，则该扇形面积为23πcm 2【答案】BC【分析】A 选项，根据sin ,cos αα同号，确定角所在象限；B 选项，顺时针转动了30°，故B 正确；C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D 选项，由扇形面积公式进行求解.【详解】A 选项，若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角或第三象限角，故A 错误；B 选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是30-︒，故B 正确；C 选项，终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在直线y x =上，故角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，C正确；D 选项，扇形面积为22211π3π3cm 2264S R α==⨯⨯=，故D 错误．故选：BC ．11．已知函数()12f x x =-，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增C ．()f x 的值域为RD ．当()2,2x ∈-时，()f x 有最大值【答案】ABD【分析】A 选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A 正确；B 选项，先求出()12f x x =-在()2,+∞上均单调递减，结合奇偶性得到B 正确；C 选项，由()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上的单调性结合奇偶性得到()f x 的值域，C 错误；D 选项，根据()f x 在()2,2x ∈-上的单调性得到最大值.【详解】对于A ，由20x -≠得函数()f x 定义域为{}2x x ≠±，所以()()122f x x x =≠±-．由()()1122f x f x x x -===---，可得函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-，该函数图象可由函数1y x=图象向右平移2个单位得到，所以函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，由偶函数性质，可知()f x 在(),2-∞-上单调递增，故B 正确；对于C ，由B 可得，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，所以该函数在()()0,22,+∞U 的值域为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；又因为函数()f x 为偶函数，且()102f =-，所以()f x 在其定义域上的值域为()1,0,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ，故C 错误；对于D ，当()2,2x ∈-时，函数()f x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 有最大值为()102f =-，故D 正确．故选：ABD ．12．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，O 为AD 的中点，点P 沿着A B C D →→→的方向运动，设AOP ∠为x ，射线OP 扫过的阴影部分的面积为()f x ，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数B ．π142f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()()π4f x f x +-=D ．()f x 图象的对称轴是π2x =【答案】BC【分析】当点P 在AB 的中点时，此时π4AOP ∠=，即可判断B ，根据阴影部分的面积变化可知()f x 的单调性，进而可判断A ，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD.【详解】对于A 选项，取BC 的中点为G ，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,点P 在GCD 之间运动时，阴影部分的面积增加，所以()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 选项错误；对于B 选项，当点P 在AB 的中点时，此时π4AOP ∠=，所以，()11111222f x OA AP =⋅=⨯⨯=，故B正确，对于C 选项，取BC 的中点G ，连接OG ，作点P 关于直线OG 的对称点F ，则FOD x ∠=，所以πAOF x ∠=-，OF 绕O 点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD 的面积为S ，由对称性可知()S f x =，因为()π4S f x +-=，即()()π4f x f x +-=，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，()()π4f x f x +-=，则π3π+=444f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以，3ππ7π44424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于直线π2x =对称，D 选项错误．故选：BC 三、填空题13．求值：26π17πsin cos()34+-=__________．【分析】利用终边相同的角同名三角函数值相等和诱导公式即可求解【详解】26π2π2πsinsin(8π)sin 3332=+==，17πππcos cos 4πcos cos 44442π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以226π17πsincos()34-=+.14．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．15．若“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]1,3【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.【详解】由于“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，所以{}13x x <<{}22x a x a -<<+则2123a a -≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取得，解得13a ≤≤，经检验1a =和3a =均符合要求，故a 的取值范围是[]1,3．故答案为：[]1,316．已知函数()()25,2lg 2,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若方程()1f x =的实根在区间()(),1Z k k k +∈上，则k 的所有可能值是______．【答案】－3，－2或1【分析】先由()2512x x -=≤-求出x =3k =-，再变形得到()1lg 2(2)x x x+=>-，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在()2,1--与()1,2内，从而确定k 的所有可能值.【详解】①由方程()2512x x -=≤-，解得：x =因为()3,2--，故3k =-；②由于方程()lg 21(2)x x x +=>-即方程()1lg 2(2)x x x+=>-，分别作出左右两边函数的图象，从图象上可得出：方程()1lg 2x x+=在区间()2,1--内有一个实根．故方程()lg 21x x +=在区间()2,1--内有且仅有一个实根．此时2k =-，下面证明：方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有一个实根，⇔函数()()lg 21f x x x =+-，在区间()2,1--和()1,2内各有一个零点，因为()1,2x ∈时，()lg 20x +>，故函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2是增函数，又()1lg310f =-<，()22lg410f =->，即()()120f f <，由零点存在性定理知，函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2内仅有一个零点，即方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有且仅有一个实根，此时1k =.故答案为：－3，－2或1．四、解答题17．（1）计算240.53064812222716--⎫⎛⎫⎛⎫⨯÷+⨯-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）计算3log 4622713log 832log log 81log 232++⋅．【答案】（1）0；（2）3.【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；（2）利用对数运算法则及性质进行计算.【详解】（1）2040.53648122()()2716--⨯÷+⨯-2323234649499992()2(222032716348164--⎡⎤⎛⎫=÷+⨯=⨯+⨯-=+⨯-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）3log4622713log832log log81log232++-⋅3462311log24log log3log232=++-⨯662323log24log2log3log=++-⨯66log2log234++=-6log6421423=+-=+-=.18．已知集合{}22A x a x a=-≤≤+，{|1B x x=≤或}4x≥．（1）当3a=时，求A B⋂；（2）“x A∈”是“Rx B∈ð”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）{|11A B x x⋂=-≤≤或}45x≤≤；（2）{}|1a a<【分析】（1）先求出集合{}15A x x=-≤≤，再求A B⋂；（2）先求出{}|14RB x x=<<ð，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）当3a=时，{}15A x x=-≤≤.因为{|1B x x=≤或}4x≥，所以{|11A B x x⋂=-≤≤或}45x≤≤；（2）因为{|1B x x=≤或}4x≥，所以{}|14RB x x=<<ð.因为“x A∈”是“Rx B∈ð”的充分不必要条件，所以A B Rð.当A=∅时，符合题意，此时有22a a+<-，解得：a<0.当A≠∅时，要使A B Rð，只需222421a aaa+≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩，解得：01a≤<综上：a<1.即实数a 的取值范围{}|1a a <.19．已知α是第四象限角．(1)若cos α=()()π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值；(2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．【答案】(1)15-(2)12-或13-【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，求出tan α的值.【详解】（1）∵α是第四象限角，cos 5α==，所以sin 5α=-，∴sin tan 2cos ααα==-，∴()()π3πcos sin sin cos tan 11222sin πcos 2π2sin cos 2tan 15αααααααααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===-++--+-+．（2）∵21sin sin cos 5ααα+=-，∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，∴1tan 2α=-或1tan 3α=-．20．已知函数()3131-=+x x f x ．(1)证明函数()f x 为奇函数；(2)解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．【答案】(1)证明见解析(2)12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()11311331311313xxx xxxf x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数；（2）由()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++，由于31x y =+为定义域内的单调递增函数且310x y =+>，所以131x y =+单调递减，因此函数()f x 是定义域为R 的增函数，而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--，再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，所以312t t -<-，解得21t <-，故不等式的解集为12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk ，治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4711≈）【答案】(1)选择模型(0,1)=>>xy ka k a 符合要求；该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，112x ≤≤，*N x ∈；(2)六月份.【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)=>>x y ka k a ，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*N x ∈，解出6x ≥，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)=>>xy ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快，而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求．根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，∴232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故该函数模型的解析式为323()32xy =⋅，112x ≤≤，*N x ∈；（2）当0x =时，323y =，元旦治愈效果的普姆克系数是32pmk 3，由32332()10323x ⋅>⨯，得3()102x >，∴32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，∵*N x ∈，∴6x ≥，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．22．已知函数()f x 对任意实数m 、n 都满足等式()()()2f m n f m n f m -++=，当0x >时，()0f x <，且()24f =-．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 的单调性，求()f x 在区间[]3,5-上的最大值；(3)是否存在实数a ，对于任意的[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-，使得不等式()222f x a ab <-+恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)奇函数；(2)()f x 为R 上的减函数；()f x 在[]3,5-上的最大值为6；(3)存在，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．【分析】（1）赋值法得到()00f =，()()f x f x -=-，得到函数的奇偶性；（2）先由0x >时，()0f x <利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到()36f -=，从而得到()f x 在区间[]3,5-上的最大值；（3）先根据单调性得到()()()112f x f f ≤-=-=，问题转化为220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令()22g b ab a =-+，为一次函数，得到不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）取0m n ==，则()()020f f =，∴()00f =，取0m =，n x =，则()()()00f x f x f +-==，∴()()f x f x -=-对任意x ∈R 恒成立，∴()f x 为奇函数；（2）任取()12,,x x ∈-∞+∞且21x x <，则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，故()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22x xm n x ==-，则有()11111222222x x xx f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()1212f x f x f x x -=-，∵0x >时，()0f x <，故120x x ->时，()120f x x -<，∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <．故()f x 为R 上的减函数．∴[]3,5x ∈-，()()3f x f ≤-，∵()()()2f m n f m n f m -++=，()24f =-，令1,0==m n ，则()()()1124f f f +==-，故()12f =-，因为令1,2m n ==，则()()()12122f f f -++=，即()()()1324f f f -+==-，由（1）知：()f x 为奇函数，故()()112f f -=-=，故()234f +=-，解得：()36f =-，故()()336f f -=-=，故()f x 在[]3,5-上的最大值为6；（3）∵()f x 在[]1,1-上是减函数，∴()()()112f x f f ≤-=-=，∵()222f x a ab <-+，对所有[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立．∴2222a ab -+>，[]1,1b ∀∈-恒成立；即220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令()22g b ab a =-+，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，即222020a a a a ⎧+>⎨-+>⎩，解得：2a >或2a <-．∴实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，则A B = （）A ．{0,1,2}B ．{1,2,3}C ．{1,3}-D ．{1,0,1,2,3}-【答案】A【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，所以{}0,1,2A B = .故选：A2．不等式220x x -->的解集是（）A ．{2xx <-∣或1}x >-B ．{1xx <-∣或2}x >C ．{12}x x -<<∣D ．{21}xx -<<∣【答案】B【分析】直接解出不等式即可.【详解】220x x -->，解得2x >或1x <-，故解集为{1xx <-∣或2}x >，故选：B.3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．y =B ．ln y x=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A 选项y =在(0,)+∞单调递增，故A 错误，对D 选项3y x =在(0,)+∞单调性递增，故D 错误，根据指数函数图像与性质可知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，故C 正确，根据对数函数图像与性质可知ln y x =在(0,)+∞单调性递增.故选：C.4．命题“00,10x x ∃∈->R ”的否定是（）A ．,10x x ∀∈-≤RB ．00,10x x ∃∈-≤R C ．,10x x ∀∈-<R D ．00,10x x ∃∈-<R 【答案】A【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，故其否定为,10x x ∀∈-≤R .故选：A.5．已知0a >，则41a a++的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为0a >，所以4115a a ++≥+=.当且仅当4a a=，即2a =时等号成立.所以41a a++的最小值为5.6．函数3()f x x x =+的图象关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y x =对称【答案】C【分析】求出()()3f x x x -=-+，可知()()f x f x -=-，可得函数为奇函数，进而得到答案.【详解】函数3()f x x x =+的定义域为R ，()()()33()f x x x x x -=-+-=-+，所以有()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称.故选：C.7．“sin sin A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.【详解】sin sin A B = 推不出A B =（举例，5sin sin66ππ=），而sin sin A B A B =⇒=,∴“sin sin A B =”是“A B =”的必要不充分条件，故选：B8．已知函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，则下面结论一定正确的是（）A ．0a b +=B ．1ab =C ．0ab a b --=D ．0ab a b ++=【答案】D【分析】由对数函数的运算性质可知()()lg 1lg 1a b -+=+移项化简即可得.【详解】因为函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，所以()()lg 1lg 1a b -+=+，则()()lg 1lg 10a b +++=所以()()lg 110a b ⎡⎤++=⎣⎦，即()()111a b ++=，解得0ab a b ++=9．记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量2324π(kg)R M GT =.已知32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）A ．30210kg ⨯B ．292g10k ⨯C ．30310kg⨯D ．29310kg⨯【答案】A【分析】利用对数运算性质计算即可.【详解】因为32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，所以由2324πR M GT =得：2332224πlg lg lg 4l lg πg R R M GT GT ⎭+⎛⎫==+ ⎪⎝322lg 22lg π20.320.528.730.3lg R GT =≈+⨯+=++⨯，即30.3300.30.330lg 30.310101010M M +≈⇒≈==⨯，又0.3lg 20.3102≈⇒≈，所以30210kg M ≈⨯.故选：A.10．已知实数12101210,,,,,,,a a a b b b 互不相同，对(1,2,,10)i a i ∀= 满足()()()12102023i i i a b a b a b +++= ，则对()()()1210(1,2,,10),i i i i b i a b a b a b ∀=+++= （）A ．2022B ．2022-C ．2023D ．2023-【答案】D【分析】根据代数基本定理进行求解即可..【详解】国为(1,2,,10)i a i ∀= 满足()()()12102023i i i a b a b a b +++= ，所以(1,2,,10)i a i = 可以看成方程()()()121020230x b x b x b +++-= 的10个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数x 都有以下恒等式，()()()1210123102023()()()()x b x b x b x a x a x a x a +++-=---- ，令12310,,,,x b b b b =---- ，于是有1112131102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，111213110()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，2122232102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，212223210()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- 3132333102023()()()()b a b a b a b a -=-------- 313233310()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，L 10110210310102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，1011021031010()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，所以()()()1210(1,2,,10),2023i i i i b i a b a b a b ∀=+++=- ，故选：D【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.二、填空题11．函数()()ln 12f x x =-的定义域是__________.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由120x ->得：12x <，()f x \的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.12．221log 42-⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】6【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.【详解】222221()log 42log 24262-+=+=+=.故答案为：613．若1cos 3θ=，()0,πθ∈，则tan θ=______．【答案】【分析】由()0,πθ∈，可知sin 0θ>，再结合22sin 1cos θθ=-，及sin tan cos θθθ=，可求出答案.【详解】因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，所以sin 3θ===，sin 3tan 1cos 3θθθ===故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、双空题14．如图，单位圆被点1212,,,A A A 分为12等份，其中1(1,0)A .角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则cos α=__________；若πsin sin 3αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则角α的终边与单位圆交于点__________.（从1212,,,A A A中选择，写出所有满足要求的点）【答案】12-39,A A 【分析】求出终边经过i A 则对应的角α和i 的关系.【详解】2ππ126=，所以终边经过i A 则()()π1112,Z 6i i iα=-＃角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则2π3α=，所以2ππ1cos coscos 332α==-=-πππsin sin sin sin cos cos sin 333ααααα⎛⎫=+∴=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，即1πsin sin cos tan 23ααααα=⋅+==或4π3α=即()()ππ1112,Z 336i i i i =-＃蝄=或()()4ππ1112,Z 936i i i i =-＃蝄=经过点39,A A故答案为：12-；39,A A 15．已知函数22,()22,x x x x af x x a ⎧-≥=⎨-<⎩,①当1a =时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为__________；②若()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1-；0a ≤或12a <≤．【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；②结合函数22y x x =-和22x y =-的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．【详解】①1a =，1x ≥时，2()2f x x x =-是增函数，min ()(1)1f x f ==-，01x <<时，()22x f x =-是增函数，因此0()221f x >-=-，所以,()0x ∈+∞时，()f x 的最小值是1-；②作出函数22y x x =-和22x y =-的图象，它们与x 轴共有三个交点(0,0)，(1,0)，(2,0)，由图象知()f x 有2个零点，则0a ≤或12a <≤．故答案为：1-；0a ≤或12a <≤．四、解答题16．已知函数π()sin cos 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)当π2π33x -≤≤时，求()f x 的值域.【答案】(2)[]1,2-.【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求()f x 的值域.【详解】（1）因为π()sin cos 2cos 2f x x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以ππ2cos 66f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（2）由(1)()2cos f x x =，又π2π33x -≤≤，所以1cos 12x -≤≤，所以12cos 2x -≤≤，故当π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,2-.17．已知关于x 的不等式2(1)(2)288a x x x x -->-+的解集为A .(1)当1a =时，求集合A ；(2)若集合(,1)(2,)A =-∞-+∞ ，求a 的值；(3)若3A ∉，直接写出a 的取值范围.【答案】(1)(2,3)A =；(2)3a =；(3)1a ≤．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由题意得1,2-是方程2(1)(2)288a x x x x --=-+的根，代入后可得a 值；（3）3x =代入后不等式不成立可得．【详解】（1）1a =时，不等式为2(1)(2)288x x x x -->-+，即2560x x -+<，23x <<，∴(2,3)A =；（2）原不等式化为2(2)(38)280a x a x a ---+->，由题意(2)(38)2804(2)2(38)280a a a a a a -+-+-=⎧⎨---+-=⎩，解得3a =，3a =时原不等式化为220x x -->，1x <-或2x >，满足题意．所以3a =；（3）3A ∉，则218248a ≤-+，解得1a ≤．18．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若对任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+.(1)若(1)0f >，证明：(2)0f >；(2)若对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数；(3)若(1)0f =，直接写出一个满足已知条件的()f x 的解析式.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)()e e xf x =-，()0,x ∈+∞（答案不唯一）【分析】（1）赋值法得到()(2)210f f >>；（2）赋值法，令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，从而得到1212()()()0f x f x f x x ->->，证明出函数的单调性；（3）从任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明【详解】（1）令1s t ==，则()(2)(1)(1)21f f f f >+=，因为(1)0f >，所以()(2)210f f >>；（2）令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，则()120,t x x =-∈+∞，所以212212()()()f x x x f x f x x +->+-，故1212()()()f x f x f x x ->-，因为对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，所以()120f x x ->，故1212()()()0f x f x f x x ->->，即12()()f x f x >，()f x 在(0,)+∞上为增函数；（3）构造()e e xf x =-，()0,x ∈+∞，满足()10f =，且满足对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+，理由如下：()()e e e e e e e e e e e 1e 1e 1()()()s t s t s t s t s t f s t f s f t +++--===--+-+--+--+-，因为,(0,)s t ∈+∞，故e 10,e 10s t ->->，()()0()()()e 1e 1e 1s tf s t f s f t --++--->=，故对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+.19．已知函数()22(0)x x f x a a -=+⋅≠.(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a 的值构成集合A ，若A ≠∅，求A .条件①：()f x 是增函数；条件②：对于,()0x f x ∀∈>R 恒成立；条件③：0[1,1]x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】(1)1a =；(2)选①②，不存在A ；选①③，(,0)A =-∞；选②③，(0,4]A =．【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）选①②，a<0时，由复合函数单调性得()f x 是增函数，0a >时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在a<0时，由()0f x =有解，说明不满足②a 不存在；选①③，同选①②，由单调性得a<0，然后则函数的最大值不大于4得a 的范围，综合后得结论；选②③，先确定()0f x >恒成立时a 的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．【详解】（1）()f x 是偶函数，则()22()22x x x x f x a f x a --=+⋅==+⋅，(1)(220x x a ---=）恒成立，∴10a -=，即1a =；（2）若选①②，()22x xaf x =+（0a ≠），若a<0，则()f x 是增函数，由202xx a+=得4log ()x a =-，因此()0f x >不恒成立，不合题意，若0a >，设2x t =，则0t >，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；若选①③，若a<0，则()22xxaf x =+是增函数，若0a >，设2x t =，则0t >，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；要满足①，则a<0，所以[1,1]x ∈-时，max ()(1)22af x f ==+，由242a +≤得4a ≤，综上，a<0；所以(,0)A =-∞．若选②③，若a<0，则由4()20log ()2xxaf x x a =+=⇔=-，()0f x >不恒成立，只有0a >时，()202xx af x =+>恒成立，设2x t =，则0t >，又0a >时，[1,1]x ∈-⇒12[,2]2xt =∈，()()a f x g t t t ==+，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，a 取任意正数时，()g t 的最大值是1()2g 或(2)g ，要满足③，则11(2422g a =+≤或(2)242a g =+≤，74a ≤或4a ≤，所以04a <≤，所以(0,4]A =．20．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为A T M m =-，若集合A 中只有一个元素，则0A T =.(1)若{2,3,4,5}A =，求A T ；(2)若{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，求123A A A T T T ++的最大值，并写出取最大值时的一组123,,A A A ；(3)若集合*N 的非空真子集123,,,,n A A A A L 两两元素个数均不相同，且12355n A A A A T T T T ++++= ，求n 的最大值.【答案】(1)3A T =(2)123A A A T T T ++的最大值为18，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ ，123A A A A = 且要使得123A A A T T T ++取到最大，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合123,,,,n A A A A L 中元素分析列出方程解出即可.【详解】（1）由集合{2,3,4,5}A =知，5,2M m ==，所以523A T M m =-=-=.（2）因为{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，由此可知集合123,,A A A 中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让123A A A T T T ++取到最大值，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以123A A A T T T ++的最大值为78912318++---=，所以有一组{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===满足题意，（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2 ，，因为123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设1A 是集合*N 中只有一个元素的非空真子集，此时10A T =，例如1{1}A =,则2A 是集合*N 中有两个元素的非空真子集，且21A T =，例如2{1,2}A =，同理3A 是集合*N 中有三个元素的非空真子集，且32A T =，例如3{1,2,3}A =，n A 是集合*N 中有n 个元素的非空真子集，且1nA T n =-，例如{1,2,3,,}n A n = ，所以123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()1552n n -==，解得11n =或10n =-（舍去），所以n 的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
北京朝阳0203年上学期高一数学期末统一考试答案
北京朝阳02-03年上学期高一数学期末统一考试答案一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A二、填空题：（11）3；（12）a n =⎩⎨⎧≥--)2()1(142n n n ；（13）①，②；（14）y=221+⎪⎭⎫ ⎝⎛x 三、解答题：（15）（Ⅰ） A=｛x │－1≤x ≤3｝C R A=｛x │x ＜-1，或x ＞3＝（Ⅱ）C R B=｛x │x ≥1｝A ∩（C RB ）=｛x │1≤x ≤3｝（16）（Ⅰ）d=2 a n =2n+3（Ⅱ）依条件得20＜2n+3＜50,∵n ∈N °,∴n=9，10，11，…，23，∴共有 23-8=5项这些项的和为 S 23-S 8=525.（或求出a 9=21,再求和）（17）证：设任意x 1、x 2∈[)+∞,1，且x 1＜x 2∵f （x 1）-f （x 2）=x 31+11x -x 3２-21x=（x 1-x 2）(x 21+x 2２+2122211x x x x -)(*) ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1-x 2＜0，且x 21x 2２-1＞0.∴x 21+x 2２+2122211x x x x -＞0. ∴(*)＜0. ∴f （x 1）＜f （x 2），即f （x ）=x 3+x 1在[)+∞,1.（18）（Ⅰ）依条件有：过1年住房总面积为1.1a-x过2年住房总面积为1.1（1.1a-x ）-x=1.12a-1.1x-x………………………………过10住房总面积为1.1a-1.19x-1.18x-…-1.1x-x=1.110a-(1.19+1.18+…+1.1+1)x=1.110a-1.11)1.11(110--⋅x=2.6a-16x 依题意有2.6a-16x=2a ，∴x=a 803（m 2）（Ⅱ）g(x)=[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≤--⇔≥-k x x k x x x f kx 110)2(0)(3 (*) ① 当k-2＞0，即k ＞2时，-k1＜0，（*）⇔0≤x ≤k -2 ② 当k-2=0，即k=2时，（*）⇔x=0③ 当k-2＜0，即32≤k ＜2时，-32≤-k 1＜-21，且-21≤k -2＜0 ∴（*）⇔k -2≤x ≤0.综上，当k ＜2时，x 的取值范围是[]2,0-k ;当k =2时，x 的取值范围是｛0｝； 当23≤k ＜2时，x 的取值范围是[]0,2-k ； （普通）（Ⅰ），（Ⅱ）同重点校.（Ⅲ）由（Ⅱ）得g 213=⎪⎭⎫ ⎝⎛kx log 2(kx +1). 当k =0时，对任何x ∈R 都有21log 2(kx +1)=21log 21=0； 当k ＞0时，有kx +1≥1⇔kx ≥0⇔x ≥0综上，当`k =0时x 的取值范围是R ；当k ＞0时，x 的取值范围是[)+∞,0.（如有不同解法，请参考评分标准酌情给分.）四、。
2023-2024学年北京人大附中数学高一上期末综合测试试题含解析
故选 B
点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程的应用，即根据所给的或者是做出的线性回归方程，预报 y 的值，这是
一些解答题 7、A
【解析】转化为当
x
0,
1 2
时，函数
y
4x
3 2
的图象不在
y
loga
x
的图象的上方，根据图象列式可解得结果.
【详解】由题意知关于
x
的不等式
4x
3 2
loga
x
在
x
向左平移 个单位长度，得到函数
，即可求出最小正周期，把
看成是整体，分别求 的单
调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案.
【详解】由于函数
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为
，再将所得图象向左平移 个单位长度，
.
，故 A 错误；
的单调减区间为
，故 在区间 内不单调递减；
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， f (x) f (x 4) ，且 f (1) 1，则 f (2020) f (2021) （ ）
A. 1
Hale Waihona Puke B. 0C.1D. 2
2．若直线 l : x 3y n 0 与圆 x2 y2 2x 4 y 0 交于 A, B 两点，A, B 关于直线 3x y m 0 对称，则实数 m 的
2023-2024 学年北京人大附中数学高一上期末综合测试试题
注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
北京市人大附中2023届数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析
7、C
【解析】由平行线的传递性可判断 A；由线面垂直的定义可判断 B；由线面平行的定义可判断 C；由线面平行的性质
和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断 D.
【详解】解：由平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故 A 正确；
由线面垂直的定义可得，若直线 m 垂直于平面 内的任意一条直线，则直线 m 垂直于平面 ，故 B 正确；
4
4
2
对于④，x 代入到 y＝sin（2x 5 π）得到 sin（2 5 π）＝sin 3 1，故命题④正确；
8
4
84
2
对于⑤，x
5 3
代入到
y
tan
x 2
6
得到
tan（
5 3 2
6
）＝0，故命题⑤正确.
故答案为④⑤
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与求值问题，是综合性题目
【解析】设幂函数为
f
x
xa
，代入点
2,
1 4
，得到
f
x
x2
，判断函数的奇偶性和值域得到答案.
【详解】设幂函数为
f
x
xa
，代入点
2,
1 4
，即 2a
1a 4
2 ，
f
x
x2
定义域为 ,0 0, ，为偶函数且 f x x2 0,
故选： A
【点睛】本题考查了幂函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
2
14．若命题“ x R, x2 2mx m 2 0 ”为真命题，则 m 的取值范围是______
x2 2x, x 0
15．函数
朝阳区高一上学期数学期末考试试卷及答案
朝阳区高一上学期数学期末考试试卷及答案朝阳区高一上学期数学期末考试试卷及答案经过一个学期的学习，大家肯定想知道自己的数学学科学得怎么样?下面店铺为大家带来一份朝阳区高一上学期数学的期末考试试卷，文末附有答案，有需要的同学可以看一看，更多内容欢迎关注应届毕业生网!第一部分(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是(A) ，(B) ，(C) ，(D) ，(2)若，，则下列不等式中成立的是(A) (B) (C) (D)(3)函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根(精确度 )为(A) (B) (C) (D)(4)某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为(A) ? (B) ?(C) ? (D) ?(5)给定函数① ，② ，③ ，④ ，其中在区间上单调递减的函数序号是(A)①④ (B)②④ (C)②③ (D)①③(6)已知，，，则，，三者的大小关系是(A) (B)(C) (D)(7)函数 ( )的图象的大致形状是(8)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数，和方差进行比较，下面结论正确的是(A) > ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定(B) < ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定(C) < ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定(D) > ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定(9)右图是王老师锻炼时所走的离家距离( )与行走时间( )之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是(10)已知函数，，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是(A) (B)(C) (D)第二部分(非选择题共70分)二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.(11)已知函数则的值是________.(12)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知 .若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 .(13)设，则函数的最大值为 .(14)如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米.(用分数作答)(15)若函数的图象关于轴对称，则 .(16)关于函数有以下四个命题：①对于任意的，都有 ;②函数是偶函数;③若为一个非零有理数，则对任意恒成立;④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形.其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共4小题，共40分.(17)(本题满分9分)已知函数的定义域为集合，函数的`定义域为集合 .(Ⅰ)当时，求 ;(Ⅱ)若，求实数的值.(18)(本题满分9分)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，表示空气污染越严重：PM2.5日均浓度0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 >250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2013年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：(Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率;(Ⅱ)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.(19)(本题满分10分)已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时， .(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的解析式;(Ⅲ)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.(20)(本题满分12分)定义在上的函数，如果对任意，都有 ( )成立，则称为阶伸缩函数.(Ⅰ)若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求的值;(Ⅱ)若函数为三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点;(Ⅲ)若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在 ( )上的取值范围.数学试题答案及评分标准第一部分(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C A B A D B C C二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.题号 11 12 13 14 15 16答案①②③④注：(12)题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共4小题，共40分.(17)解:(Ⅰ)由的定义域得 .当时，，则 .所以. ……………………………… 6分(Ⅱ)因为，，所以有 .解得 .此时，符合题意.所以. ……………………………… 9分(18)解:(Ⅰ)由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量为良的概率为; ………3分(Ⅱ)样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为，，， ; 样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为，，则基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15个.其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：，，，，，，，，共9个.所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为. ……………9分(19)解:(Ⅰ)因为定义域为的函数是奇函数，所以. ……………………………………2分(Ⅱ)因为当时，，所以 .又因为函数是奇函数，所以 .所以 .综上，……………………………………6分(Ⅲ)由得 .因为是奇函数，所以 .又在上是减函数，所以 .即对任意恒成立.【方法一】令，则 .由，解得 .【方法二】即对任意恒成立. 令，则故实数的取值范围为. ……………………………………10分(20)解:(Ⅰ)由题设，当时，，所以 .因为函数为二阶伸缩函数，所以对任意，都有 .所以. ……………………………4分(Ⅱ)当 ( )时， .由为三阶伸缩函数，有 .注意到时， .所以 .令，解得或，它们均不在内. ……7分所以函数在上无零点. ……………………………8分(Ⅲ) 由题设，若函数为阶伸缩函数，有，且当时，的取值范围是 .所以当时， .因为，所以 .所以当时， .当时，即，则使，，即，.又，，即 .因为，所以在 ( )上的取值范围是.……………12分【朝阳区高一上学期数学期末考试试卷及答案】。
北京朝阳0203年上学期高一数学期末统一考试
北京朝阳0203年上学期高一数学期末统一考试（考试时刻100分钟 满分100分）一、 选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内（1） 函数y=log 2(2－x)的定义域是（A ）（2，+∞） （B ）（0，2） （C ）（－∞，2） （D ）（－2，2）（2） 下列各组函数中，图象相同的是（A ）y=x 和y=2x （B ）y=1和y=(x-1)0（C ）y=│x-1│和y=122+-x x （D ）y=x x 2和y=x （3） 在等差数列｛a n ｝中，已知a 4+a 6=8,a 2=3,则a 8=(A)9 （B ）15 （C ）17 （D ）21（4） 已知P ：│x-2│≤3，q ：x ≥－1或x ≤5，则p 是q 的（A ）充分不必要条件（5） 不等式)2)(1(1-+-x x x ＞0的解集是 （A ）｛x │x ＜－1，或1＜x ＜2 (B)｛x │－1＜x ＜1，或x ＞1＝（C ）｛x │－1＜x ＜1，或x ＞2 (D)｛x │x ＞2｝（6） 函数y=ax+b 与y=log b x 在同一坐标系内的图象是（7） 已知数列｛a n ｝的通项公式a n =22n-1，S n 表示｛a n ｝的前n 项和，则S 4等于（A ）682 （B ）170 （C ）85 （D ）42（8） 已知f(x)是R 上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时f （x ）=x （1+x ），则当x ∈（－∞，0）时，f （x ）的解析式为（Ａ）－x （1－x ） （Ｂ）x （1－x ） （Ｃ）－x （1+x ） （Ｄ）x （1+x ）（9） 函数f （x ）=a -│x │(a ＞)的值域是（A ）（0，+∞） （Ｂ）[)+∞,1 （Ｃ）(]1,0 （Ｄ）（０，１）（10） 已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =n －22+n （n ∈N *），则数列｛a n ｝（A ）有最小项 （Ｂ）有最大项 （Ｃ）无最小项 （Ｄ）有两项值相同二、 填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在题中横线上。
北京市朝阳区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题含答案
北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末质量检测高一数学（答案在最后）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}{}2,1,2,3,2,Z A B x x k k =-==∈∣，则A B = （）A.{2,1}-B.{2,2}- C.{1,2}D.{2,3}【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解.【详解】由集合{}{}2,1,2,3,2,Z A B xx k k =-==∈∣，集合B 由，所有偶数构成，集合A 中只有-2,2两个偶数，故{2,2}A B =- .故选：B.2.命题“x ∀∈R ，都有||0x x +≥”的否定为（）A.x ∃∈R ，使得||0x x +<B.x ∃∈R ，使得||0x x +≥C.x ∀∈R ，都有||0x x +≤D.x ∀∈R ，都有||0x x +<【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定知识即可求解.【详解】由“x ∀∈R ，使得0x x +≥”的否定为“x ∃∈R ，使得0x x +<”，故A 正确.故选：A.3.已知,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.22a b >B.ac bc> C.22a b> D.11a b<【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及特例法，结合指数函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22a b <，所以A 错误；对于B 中，当0c =时，ac bc =，所以B 不正确；对于C 中，由指数函数2x y =为单调递增函数，因为a b >，可得22a b >，所以C 正确；对于D 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但11a b>，所以D 不正确.故选：C.4.设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由1x >可得21x >成立，反之不成立，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.已知0x 是函数3()e x f x x =+的一个零点，且()()00,,,0a x b x ∈-∞∈，则（）A.()0,()0f a f b <<B.()0,()0f a f b >> C.()0,()0f a f b >< D.()0,()0f a f b <>【答案】D 【解析】【分析】判断出()f x 的单调性，根据0x 是函数()f x 的一个零点求出()f x 的值域可得答案.【详解】因为3e ,x y y x ==为x ∈R 上的单调递增函数，所以3()e x f x x =+为x ∈R 上的单调递增函数，又因为0x 是函数3()e x f x x =+的一个零点，所以()0,x x ∈-∞时()0f x <，()0,x x ∈+∞时()0f x >，若()()00,,,0a x b x ∈-∞∈，则()0,()0f a f b <>.故选：D.6.已知112223211,,log 332a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c <<B.c a b<< C.b a c<< D.c b a<<【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数和对数函数的单调性比较大小即可.【详解】因为幂函数12y x =在[)0,∞+上单调递增，12133<<，所以112212133⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1b a <<，因为对数函数23log y x =在()0,∞+单调递减，1223<，所以223312log log 123>=，即1c >，所以b a c <<，故选：C.7.已知函数ππ()2sin()0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.π1,4ωϕ==- B.π1,4ωϕ==C.π2,4ωϕ==-D.π2,4ωϕ==【答案】B 【解析】【分析】结合三角函数的周期性求ω，利用特殊点的相位求ϕ的值.【详解】由图可知：7π3ππ244T =-=⇒2πT =，由2π2πω=⇒1ω=.由3ππ4ϕ+=⇒3πππ44ϕ=-=.故选：B8.函数()|sin |cos f x x x =+是（）A.奇函数，且最小值为 B.C.偶函数，且最小值为 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A 、B 不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数()f x 的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数()|sin |cos f x x x =+，可得其定义域x ∈R ，关于原点对称，且()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，因为()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π为()y f x =的一个周期，不妨设[0,2π]x ∈，若[0,π]x ∈时，可得π()sin cos )4f x x x x =+=+，因为[0,π]x ∈，可得ππ5π[,]444x +∈，当ππ42x +=时，即π4x =时，可得max ()f x =；当π5π44x +=时，即πx =时，可得min ()1f x =-；若[]π,2πx ∈，可得π()sin cos )4f x x x x =-+=+，因为[π,2π]x ∈，可得π5π9π[,]444x +∈，当π2π4x +=时，即7π4x =时，可得max ()f x =；当π5π44x +=时，即πx =时，可得()min 1f x =-，综上可得，函数()f x ，最小值为1-.故选：D.9.已知函数()f x 的图象是在R 上连续不断的曲线，()f x 在区间项[1,)+∞上单调递增，且满足()()20f x f x -+=，()23f =，则不等式3(1)3f x -<+<的解集为（）A.(2,2)- B.(1,1)- C.(0,2)D.(1,3)【答案】B 【解析】【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解.【详解】由()()2f x f x -=-得：()f x 的图象关于点()1,0对称；()23f =⇒()03f =-；又()f x 在R 上连续不断，且在[)1,+∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增.()313f x -<+<⇒012x <+<⇒11x -<<.故选：B10.在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c 随时间t （单位：min ）的变化规律可以用函数模型0etc c δλ-=+近似表达．在该通风条件下测得当0,5,10t t t ===时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当15t =时c 的值约为（）t 0510c0.15%0.09%0.07%A.0.04%B.0.05%C.006%.D.0.07%【答案】C 【解析】【分析】根据题意知建立方程组分别求出51e3δ-=，0.09%λ=，从而可求解.【详解】由题意得：当0t =时，0000.15%c c ec δλλ-=+=+=①，当5t =时，5e0.09%c c δλ-=+=②，当10t =时，10e0.07%c c δλ-=+=③，由-①②得51e 0.06%δλ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭④，由-②③得55e1e 0.02%δδλ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤，由⑤④得51e 3δ-=⑥，所以00.09%3c c λ=+=⑦，由-①⑦得20.06%3λ=，解得0.09%λ=，所以当15t =时，315555001e eee0.15%0.09%0.09%0.0633%3c c c δδδδλλ----⎛⎫=+=+⨯⨯=-+⨯≈ ⎪⎝⎭，故C 正确.故选：C.第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.函数()()lg 1f x x =+的定义域为_________________.【答案】()1-+∝，【解析】【分析】根据对数的真数大于零，列出不等式解出即可.【详解】由10x +>得1x >-，则函数()()lg 1f x x =+的定义域为()1-+∝，.故答案为:()1-+∝，12.若1x >，则11x x +-的最小值是_____．【答案】3【解析】【分析】111111x x x x +=-++--，利用基本不等式可得最值．【详解】∵1x >，∴11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当111x x -=-即2x =时取等号，∴2x =时11x x +-取得最小值3.故答案为：3．13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，若角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，角β的终边与角α的终边关于原点对称，则sin α=__________，cos β=__________．【答案】①.35②.45【解析】【分析】根据角α终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可求出sin α，cos α，再根据角β的终边与角α的终边关于原点对称，从而可求解cos β.【详解】对空①：由点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在角α的终边上，所以445cos 5α-=-，335sin 5α==.对空②：由角β的终边与角α的终边关于原点对称，所以4cos cos 5a β=-=.故答案为：35；45.14.已知函数()21x f x a =⋅-的图象过原点，则=a __________；若对x ∀∈R ，都有()f x m >，则m 的最大值为__________．【答案】①.1②.1-【解析】【分析】根据函数()f x 过原点，从而求出a 的值；对于()f x m >，只需求出()min f x m >，从而可求解.【详解】对空①：由函数()·21xf x a =-过原点，即()00·210f a =-=，得1a =；对空②：由函数()21xf x =-在定义域上单调递增，且()211xf x =->-恒成立，所以m 的最大值为1-.故答案为：1；1-.15.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的一个取值为__________．【答案】π4（答案不唯一）【解析】【分析】根据图象平移变换得到()g x 的解析式，结合图象关于y 轴对称，令()01g =±，求出ϕ的值.【详解】函数()sin 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()()sin 2g x x ϕ=+，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，则()()0sin 201g ϕ=+=±，即sin 21ϕ=±，所以π2π2k ϕ=+，即π1π42k ϕ=+，N k ∈，所以ϕ的一个取值为π4,故答案为：π4（答案不唯一）.16.已知函数()2f x x b =+，()g x 为偶函数，且当0x ≥时，2()4g x x x =-，记函数()()()()()()(),,f x f x g x T x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，给出下列四个结论：①当0b =时，()T x 在区间[2,)-+∞上单调递增；②当8b =-时，()T x 是偶函数；③当0b <时，()T x 有3个零点；④当8b ≥时，对任意x ∈R ，都有()0T x >．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，结合函数()(),f x g x 的解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的定义，逐项判定，即可求解.【详解】因为()g x 为偶函数，且当0x ≥时，2()4g x x x =-，当0x <时，可得()2()4g x g x x x =-=+，所以224,0()4,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，对于①中，当0b =时，()2f x x =，令()()f x g x =，解得0,2,6x x x ==-=，如图所示，()224,22,224,2x x x T x x x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，结合图象，可得函数()T x 在区间[2,)-+∞上单调递增，所以①正确；对于②中，当8b =-时，可得()28f x x =-，令2428x x x -=-，即2680x x -+=，解得2x =或4x =，当2x <时，可得()()T x g x =；当24x ≤≤时，可得()()T x f x =；当4x >时，可得()()T x g x =，即2224,04,02()28,244,4x x x x x x T x x x x x x ⎧+<⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪-≥⎩，其中()()33,32f f -=-=-，所以()()33f f -≠，所以当8b =-时，函数()T x 不是偶函数，所以②不正确；对于③中，当0b <时，令()0f x =，即20x b +=，解得02bx =->，当0x <时，令()0g x =，即240x x +=，解得4x =-，当0x ≥时，令()0g x =，即240x x -=，解得0x =或4x =，若042b <-<时，函数()T x 有三个零点，分别为4x =-，0x =和2b x =-；若42b-=时，即8b =-时，函数()T x 有三个零点，分别为4x =-，0x =和4x =；若42b->时，即8b <-时，函数()T x 有三个零点，分别为4x =-，0x =和4x =；综上可得，当0b <时，函数()T x 有三个零点，所以③正确；对于④中，当0x <时，令()0g x =，即240x x +=，解得4x =-，将点(4,0)-代入函数()y f x =，可得2(4)0b ⨯-+=，解得8b =，如图所示，当8b ≥时，函数()0T x ≥，所以④不正确.故答案为：①③.三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知集合{}2340,{0}A xx x B x x a =--≤=->∣∣．（1）当4a =时，求A B ⋃；（2）若()A B =∅R ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}1A B x x ⋃=≥-（2）1a <-【解析】【分析】（1）化简集合,A B ，直接利用并集运算求解即可；（2）化简集合，根据交集运算结果求解参数.【小问1详解】由题知，{}{}234014A xx x x x =--≤=-≤≤∣，{}{0}B x x a x x a =->=>∣，因为4a =，所以{}4B x x =>，所以{}1A B x x ⋃=≥-.【小问2详解】因为()A B =∅R ð，且{}14A x x =-≤≤，{}R B x x a =≤ð，所以1a <-.18.已知,αβ为锐角，21sin ,tan()102ααβ=+=．（1）求tan α和tan β的值；（2）求2αβ+的值．【答案】（1）1tan 7α=，1tan 3β=（2）π4【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出cos α，再根据商数关系和两角和正切公式化简得结果；（2）根据二倍角公式得sin 2,cos 2ββ，，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.【小问1详解】因为,αβ为锐角，2sin 10α=，所以cos 10α==，所以2sin 110tan cos 77210ααα==，又因为tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，所以1tan 3β=，【小问2详解】因为,αβ为锐角，1tan 3β=，所以22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 10cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin 22sin cos 3101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=，所以()43cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，又因为,αβ为锐角，所以3π022αβ<+<，所以π24αβ+=.19.设函数()2()log 4(1)x f x m m =+>-．（1）当0m =时，求(1)f 的值；（2）判断()f x 在区间[0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（3）当[0,)x ∈+∞时，()f x 的最小值为3，求m 的值．【答案】（1）2（2）()f x 在区间[0,)+∞上的单调递增，证明见解析（3）7【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的解析式，进而求出(1)f 的值；（2）利用函数单调性的定义证明单调性；（3）由（2）的单调性，可得()()min 03f x f ==，求出m 的值.【小问1详解】当0m =时，222()log 4log 22x x f x x ===，所以(1)2f =.【小问2详解】()f x 在区间[0,)+∞上的单调递增，证明如下：在[0,)+∞上任取12,x x ，且12x x <，则()()()()1122122224log 4log 4log 4x x x x m m m m f x f x =++--+=+，因为120x x ≤<，1m >-，所以12144x x ≤<，所以12044x x m m <+<+，即121440x x m m <+<+，所以12204log 4x x m m++<，即()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，即()f x 在区间[0,)+∞上的单调递增.【小问3详解】[0,)x ∈+∞时，由（2）可得()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()()()022min 0log 4log 13f x f m m ==+=+=，所以3217m =-=.20.设函数2()2cos cos (0)f x x x x m ωωωω=++>，且(0)1f =．（1）求m 的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求ω的值及()f x 的零点．条件①：()f x 是奇函数；条件②：()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π；条件③：()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）1m =-（2）选择①，不存在；选择②，12ω=，ππ,Z 6k k -+∈；选择③，1ω=，ππ,Z 122k k -+∈【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据(0)1f =，即可求解；（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【小问1详解】2()2cos cos f x x x x mωωω=++πcos 212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，又1(0)2112f m =⨯++=，所以1m =-.【小问2详解】由（1）知，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，选择①：因为()f x 是奇函数，所以()00f =与已知矛盾，所以不存在()f x .选择②：因为()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π，所以π2T =，2πT =，2π21Tω==，12ω=则()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得ππ,Z 6k x k -+∈=.即()f x 零点为ππ,Z 6k k -+∈.选择③：对于()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω>，令πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈，ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈，ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈，即()f x 增区间为ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 减区间为ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以0k =时符合，即()f x 在ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π2π,63ωω⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，所以π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩且2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1ω=，则()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以令()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得ππ,Z 122k x k =-+∈，即()f x 零点为ππ,Z 122k k -+∈.21.已知集合{}12,,,n A a a a = ，其中*n ∈N 且*4,(1,2,,)i n a i n ≥∈=N ，非空集合B A ⊆，记()T B 为集合B 中所有元素之和，并规定当B 中只有一个元素b 时，()T B b =．（1）若{1,2,5,6,7,8},()8A T B ==，写出所有可能的集合B ；（2）若{}{}1233,4,5,9,10,11,,,A B b b b ==，且()T B 是12的倍数，求集合B 的个数；（3）若{1,2,3,,21}(1,2,,)i a n i n ∈-=L L ，证明：存在非空集合B A ⊆，使得()T B 是2n 的倍数．【答案】21.{}8，{}1,7，{}2,6，{}1,2,522.423.证明见详解【解析】【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的B ；对（3），分情况讨论，寻找使()T B 是2n 倍数的集合B .【小问1详解】所有可能的集合B 为：{}8，{}1,7，{}2,6，{}1,2,5.【小问2详解】不妨设：123b b b <<，由于123311b b b ≤<<≤，且123,,b b b A ∈，所以()123345123091011T B b b b ++=≤=++≤=++.由题意，()T B 是12的倍数时，()12T B =或()24T B =.当()12T B =时，因为12334512b b b ++≥++=，所以当且仅当{}3,4,5B =时，()12T B =成立，故{}3,4,5B =符合题意.当()24T B =时，若311b =，则1213b b +=，故{}3,10,11B =或{}4,9,11B =符合题意；若310b =，则1214b b +=，故{}5,9,10B =符合题意；若39b =，则12345918b b b ++≤++=，无解.综上，所有可能的集合B 为{}3,4,5，{}3,10,11，{}4,9,11，{}5,9,10.故满足条件的集合B 的个数为4.【小问3详解】（1）当n A ∉时，设12···n a a a <<<，则1212,,···,,2,2,···,2n n a a a n a n a n a ---∈{}1,2,3,···,1,1,···,21n n n -+-，这2n 个数取22n -个值，故其中有两个数相等.又因为12···n a a a <<<，于是1222···2n n a n a n a ->->>-，从而12,,···,n a a a 互不相等，122,2,···,2n n a n a n a ---互不相等，所以存在μ，ν{}1,2,···,n ∈使得2a n a μν=-.又因a n μ≠，a n ν≠故μν≠.则{},B a a μν=，则()2T B a a n μν=+=，结论成立.（2）当n A ∈时，不妨设n a n =，则121,,···,n a a a -（4n ≥），在这1n -个数中任取3个数，i j k a a a <<.若j i a a -与k j a a -都是n 的倍数，()()2k i k j j i a a a a a a n -=-+-≥，这与(],,0,21i j k a a a n ∈-矛盾.则,,i j k a a a 至少有2个数，它们之差不是n 的倍数，不妨设()2121a a a a ->不是n 的倍数.考虑这n 个数：1a ，2a ，12a a +，123a a a ++，···，121···n a a a -+++.①若这n 个数除以n 的余数两两不同，则其中必有一个是n 的倍数，又1a ，22a n <且均不为n ，故存在21r n ≤≤-，使得()12···N*r a a a pn n +++=∈.若p 为偶数，取{}12,,···,r B a a a =，则()T B pn =，结论成立；若p 为奇数，取{}12,,···,,r n B a a a a =，则()()1T B pn n p n =+=+，结论成立.②若这n 个数除以n 的余数中有两个相同，则它们之差是n 的倍数，又21a a -，1a 均不是n 的倍数，故存在21s t n ≤<≤-，使得()()()1212······N*t s a a a a a a qn q +++-+++=∈.若q 为偶数，取{}12,,···,s s t B a a a ++=，则()T B qn =，结论成立；若q 为奇数，取{}12,,···,,s s t n B a a a a ++=，则()()1T B qn n q n =+=+，结论成立.综上，存在非空集合B A ⊆，使得()T B 是2n 的倍数.T B是2n的倍数是问题的关键.【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合B，使得()。
北京市中国人民大学附属中学2023届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析
【解析】由图象平移写出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求对称轴方程.
【详解】 ，
令 ， ，则 且 .
故选：A.
8、A
【解析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为 ，可得 ，且函数在 上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为 ，
且函数在 上递增，
要使得存在 满足 ，
则 ，
解得 ．故m的取值范围为
【点睛】本题考查了三角函数的解析式，存在问题，计算函数的值域是解题的关键.
20、（1） ；
（2） .
【解析】(1)由题可得 ，利用基本不等式可求函数 的值域；
(2)由题可求函数 在 上的值域，由题可知函数 在 上的值域包含于函数 在 上的值域，由此可求正实数a的取值范围
而 且 ，不合题意，
当 ，即 时，函数 在 上递减，
则 ，即 ，满足条件的a不存在，
综上，
21、（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）过点 作 ，交 于点 ，证明出 ，从而得出 ，然后利用向量加法的三角形法则可将 和 用 、 表示；
（Ⅱ）计算出 、 和 的值，由 得出 ，且有 ，然后利用向量数量积的运算律将 表示为以 为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出 的最小值.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
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【详解】（1）原式=
（2）原式=
=
20、（1） ；
（2） ；
（3）投入A商品4万元，B商品1万元，最大收益12万元.
【解析】（1）根据 直接计算即可.
（2）依据题意直接列出式子
（3）使用还原并结合二次函数性质可得结果.
【小问1详解】
由题可知：
【小问2详解】
10、C
【解析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系.
【详解】对于A， ，所以A错误；
对于B， 不是整数，所以 ，所以B错误；
对于C， ，所以C正确；
对于D，因为 不含任何元素，则 ，所以D错误.
故选：C.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、5
【解析】 ， ， 三点共线， ，即 ，解得 ，故答案为 .
【详解】(1).设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，
∵函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，
f(x＋1)－f(x)= - =2ax+a+b=2x
，解得 ．且f（0）＝1． c=1
∴f（x）＝x2﹣x+1
(2)不等式f（x）＞2x+5，即x2﹣x+1＞2x+5，化为x2﹣3x﹣4＞0
化为（x﹣4）（x+1）＞0，解得x＞4或x＜﹣1
则 的根为
由图可知当 时，方程 有2个实数根
当 时，方程 有4个实数根，此时满足条件.
当 时，设
由 ，则 ，即
综上所述：满足条件的实数a的取值范围是 或 或
故答案为： 或 或
【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程 的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.
，
令 ，解得 ，
所以函数的单调递减区间是 .
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，又 有解，
所以m的取值范围
18、（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由已知可得 ， ，即可证明结论；
（Ⅱ） 底面 ， ，根据已知条件求出梯形 面积，即可求解.
【详解】（Ⅰ）证明：因为 底面 ， 平面 ，
所以 .因为 ， ，
所以 .又 ，
∴ ，∴约增加了30%.
故选：B
5、A
【解析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】因为 为角 终边上的一点，
所以 ， ， ，
所以
故选：A
6、A
【解析】由线面垂直的性质定理知①正确；②中直线 可能在平面 内，故②错误； ，则 内一定有直线 // ， ，则有 ，所以 ，③正确；④中 可能平行，相交，异面，故④错误，故选A
故选：C.
【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题．
9、D
【解析】由已知可得 ，结合 ，得到 （ ），再由 是 的一个单调区间，可得 T，即 ，进一步得到 ，然后对 逐一取值，分类求解得答案
【详解】由题意，得 ，∴ ，
又 ，∴ （ ）
∵ 是 一个单调区间，∴ T，即 ，
∵ ，∴ ，即
①当 ，即 时， ， ，∴ ， ，
1．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若 ，则不等式 解集为
A. B.
C. D.
2．已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ，都有 ，当 时， ，则
A. B.
C.1D.
3．圆 的圆心到直线 的距离是（）
A. B.
C.1D.
4．中国 5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至8000，则C大约增加了( )（）
（3）如果该商人准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值.
21．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＞2x＋5.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
14、
【解析】先由 的最小正周期，求出 的值，再由 的最小正周期公式求 的最小正周期.
【详解】 的最小正周期为 ，即 ，则
所以 的最小正周期为
故答案为：
15、
【解析】用诱导公式计算
【详解】 ， ，
故答案为：
16、②③④
【解析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.
【详解】①例如 ，定义域为 ，存在 ，对于任意 ，都有 ，但 在 上不单调递增，①错误；
④函数 不 “T—单调增函数”
其中，所有正确的结论序号是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若关于 的方程 有解，求 的取值范围
18．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，点 在线段 上，且 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
3、A
【解析】根据圆的方程得出圆心坐标（1，0），直接依据点到直线的距离公式可以得出答案.
【详解】圆 的圆心坐标为（1，0），
∴圆心到直线 的距离为 .
故选：A.
【点睛】本题考查点到直线 距离公式，属于基础题型.
4、B
【解析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；
【详解】解：当 时， ，当 时， ，
7、D
【解析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式： ，并求出 和 ，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出 的表达式，由诱导公式求出 的值
【详解】解： 函数
（其中 ，
8、C
【解析】
由命题的否定的概念判断．否定结论，存在量词与全称量词互换．
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“ ”的否定是“ ”
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9．已知函数 ， 是函数的一个零点，且 是其图象的一条对称轴.若 是 的一个单调区间，则 的最大值为
A.18B.17
C.15D.13
10．下列关系中，正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若 ， ， 三点共线，则实数 的值是__________
A.10%B.30%
C.60%D.90%
5．已知 是角 的终边上的点，则 （）
A. B.
C. D.
6． 为空间中不重合的两条直线， 为空间中不重合的两个平面，则
①若 ；② ；
③ ；④
上述说法正确的是
A.①③B.②③
C.①②D.③④
7．设当 时，函数 取得最大值，则 （）
A. B.
C. D.
8．全称量词命题“ ， ”的否定为（）
（Ⅱ）若 ， ， ， ，求四棱锥 的体积.
19．计算：（1） ；
（2）
20．某商人计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为 万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别是 ， ，已知投资额为0时，收益为0.
（1）求a，b 值;
（2）若该商人投入 万元经营这两种商品，试建立该商人所获收益的函数模型；
∵ ，∴ ，此时 在 上不单调，
∴ 不符合题意；
②当 ，即 时， ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，此时 在 上不单调，
∴ 不符合题意；
③当 ，即 时， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，此时 在 上单调递增，
∴ 符合题意，故选D
【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性， 对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.
12．设函数 （e为自然对数的底数，a为常数），若 为偶函数，则实数 ______；若对 ， 恒成立，则实数a的取值范围是______
13．设函数 ，若关于x 方程 有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是_______.
14．若 的最小正周期为 ，则 的最小正周期为______
15．已知 ，则 的值为______.
12、①.1②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由 ，即 ， 关于 恒成立，故
恒成立，等价于 恒成立
令 ， ， ，故a的取值范围是
故答案为：1，
13、 或 或
【解析】作出函数 的图象，设 ，分关于 有两个不同的实数根 、 ，和两相等实数根进行讨论，当方程 有两个相等的实数根 时， 再检验，当方程 有两个不同的实数根 、 时， 或 ，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.
16．设函数 的定义域为D，若存在实数 ，使得对于任意 ，都有 ，则称 为“T—单调增函数”
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：