云南省昭通市巧家县一中2023届高一上数学期末综合测试试题含解析

所以边 所在直线 点斜式方程为 ；
当点 在直线 下方时，由题得直线 的斜率为 ，
所以边 所在直线的点斜式方程为 .
综合得直线 的方程为 或 .
22、（1） ；（2）0.
【解析】 进行分数指数幂和根式的运算即可；
进行对数的运算即可
【详解】 原式 ；
原式
【点睛】本题考查分数指数幂、根式和对数的运算，以及对数的换底公式，属于基础题
（1）当 时，判断函数 在 上是否“友好”；
（2）若关于x的方程 的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围
20．已知 ，函数 .
（1）若关于 的不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若关于 的方程 有两个不同实数根，求 的取值范围.
21．已知 在第一象限，若 ， ， ，求：
（1）边 所在直线的方程；
12、D
【解析】由正弦函数的性质即可求得 的最小值和最小正周期
【详解】解：∵ ，
∴当 ＝﹣1时，f（x）取得最小值，
即f（x）min ；
又其最小正周期T π，
∴f（x） 的最小值和最小正周期分别是： ，π
故选D
【点睛】本题考查正弦函数的周期性与最值，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题关键，属于中档题
16．命题“ ， ”的否定是_________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17． (1)试证明差角的余弦公式 ： ；
(2)利用公式 推导：
①和角的余弦公式 ，正弦公式 ，正切公式 ；
②倍角公式 ， ， .
18．已知函数 ，
（1）求 的单调递增区间；
又 ，则 ，D正确
故选：A
2、D
【解析】由对数函数的单调性判断出 ，再根据幂函数 在 上单调递减判断出 ，即可确定大小关系.
【详解】因为 ， ，所以
故选：D
【点睛】本题考查利用对数函数及幂函数的单调性比较数的大小，属于基础题.
3、D
【解析】因为E是DC的中点，所以 ，∴ ，
∴ ，
考点：平面向量的几何运算
（2）令函数 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 在区间 上的最大值及取得最大值时 的值
条件①： ；条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
19．对于在区间 上有意义的函数 ，若满足对任意的 ， ，有 恒成立，则称 在 上是“友好”的，否则就称 在 上是“不友好”的．现有函数 .
【小问1详解】
函数 的单调增区间为 （ ）
由 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调增区间为 ，
【小问2详解】
选择条件①：
令 ，
因为 ，
所以
所以
所以 ，
因为 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最大值
所以当 时， 取得最大值
选择条件②：
令 ，
因为 ，
所以
所以当 时，即 时， 取得最大值
19、（1）当 时，函数 在 ， 上是“友好”的
7．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.108cm3B.100cm3
C.92cm3D.84cm3
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）
A.4B.
C. D.2
9．为了得到函数 的图象，只需将 的图象上的所有点
A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
15、
【解析】由题得 ，解不等式得不等式的解集.
【详解】由题得 ，
所以 .
所以不等式的解集为 .
故答案为
【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，考查三角不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
16、 ， ##
【解析】根据全称量词命题的否定即可得出结果.
【详解】由题意知，
命题“ ”的否定为：
C.1和 πD.0和π
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数 ，则满足 的 的取值范围是___________.
14．已知 在 上的最大值和最小值分别为 和 ，则 的最小值为__________
15． 的解集为_____________________________________
.
故答案为： .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析
【解析】在单位圆里面证明 ，然后根据诱导公式即可证明 和 ，利用正弦余弦和正切的关系即可证明 ；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.
②设A、B为两个集合，若 ，则存在 ，使得 ；
③ 是无理数 ， 是有理数；
④ 是无理数 ， 是无理数.
其中真命题的个数是（）
A.1B.2
C.3D.4
5．下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是
A. B.
C. D.
6．若α＝－2，则α的终边在（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
4、B
【解析】对于命题①②，利用全称量词命题与存在量词命题的定义结合集合包含与不包含的意义直接判断；对于命题③④，举特例说明判断作答.
【详解】对于①，因集合A、B满足 ，则由集合包含关系的定义知，对任意 ，都有 ，①是真命题；
对于②，因集合A、B满足 ，则由集合不包含关系的定义知，存在 ，使得 ，②是真命题；
（2）
【解析】（1）当 时，利用函数的单调性求出 和 ，由 即可求得结论；
（2）化简原方程，然后讨论 的范围和方程的解即可得答案
【小问1详解】
解：当 时， ，
因为 单调递增， 在 单调递减，
所以 在 上单调递减，
所以 ， ，
因为 ，
所以由题意可得，当 时，函数 在 上是“友好”的；
【小问2详解】
解：因为 ，即 ，且 ，①
10、C
【解析】
根据函数 的图像关于点 中心对称，由 求出 的表达式即可.
【详解】因为函数 的图像关于点 中心对称，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11、B
【解析】直接利用交集运算法则得到答案.
【详解】 ， ，则
故选：
【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.
1．函数 部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）
A.频率为 B.周期为
C.振幅为2D.初相为
2．比较 , , 的大小（）
A. B.
C. D.
3．如图，正方形 中, 为 的中点,若 ,则 的值为( )
A. B.
C. D.
4．下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设A、B为两个集合，若 ，则对任意 ，都有 ；
解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣ =100
故选B
考点：由三视图求面积、体积
8、B
【解析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱
【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥 ，底面 是边长为2的正方形，侧面 是边长为2的正三角形，且侧面 底面
(2)求出方程的二根，再结合对数函数的意义讨论即可计算作答.
【小问1详解】
依题意， ， ，
， ，而恒有 ，于是得 ，
， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，于 得 ，因此有 ，
所以实数 取值范围是 .
【小问2详解】
依题意， ，
由 ，
因此， ， ，解得 ， ，
因原方程有两个不同实数根，则 ，解得 且 ，
对于③，显然 是无理数 ， 也是无理数，则③是假命题；
对于④，显然 是无理数 ， 却是有理数，则④是假命题.
所以①②是真命题.
故选：B
5、C
【解析】对于A，函数的偶函数，不符合，故错；对于B，定义域为 ，是非奇非偶函数，故错；对于C，定义域R，是奇函数，且是增函数，正确；对于D，是奇函数，但是是减函数，故错
9、B
【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【详解】将 的图象上的所有点的横坐标缩短 倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；
再向上平行移动 个单位长度，可得函数 的图象，
故选B
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题
根据图形可得四棱锥中的最长棱为 和 ，结合所给数据可得 ，
所以该四棱锥的最长棱为
故选B
【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．熟悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力
考点：本题考查函数的奇偶性和单调性
点评：解决本题的关键是掌握初等函数的奇偶性和单调性
6、C
【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.
【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限
故选：C.
7、B
【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积