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高中数学解三角形练习题(精选.)

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人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( )A. (5，15]B. (7，15]C. (7，11]D. (11，15]2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60∘，b =1，S △ABC =√3，则a−2b+csinA−2sinB+sinC的值等于( )A. 2√393B.263√3C. 83√3D. 2√34. 在△ABC 中，有正弦定理：asinA =bsinB =csinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( )A. λ先变小再变大B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值C. λ先变大再变小D. λ是一个定值5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b =c ，且满足sinBsinA =1−cosB cosA.若点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( )A. 8+5√34B. 4+5√34C. 3D. 4+5√327. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30∘，则使△ABC 有两解的x 的范围是( )A. (1，2√33) B. (1，+∞)C. (2√33，2) D. (1，2)8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的面积为( )A. √3B. √32C. 2√3D. 19. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A2，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10. 在△ABC 中，已知∠C =60∘.a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则ab+c +bc+a 为( )A. 3−2√3B. 1C. 3−2√3或1D. 3+2√311. 设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为( ) A. (√2，√3) B. (1，√3) C. (√2，2) D. (0，2)12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2bcosB =acosC +ccosA ，若b =√3，则a +c 的最大值为( )A. 2√3B. 3C. 32D. 9二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）13. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且acosC +12c =b ，则角A 的大小为______ ；若a =1，则△ABC 的周长l 的取值范围为______ ．14. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的长分别为a ，b ，c.已知a +√2c =2b ，sinB =√2sinC ，则sin C2= ______ ．15. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a −b =ccosB −ccosA ，则△ABC 的形状是______ ． 16. 在△ABC 中，若a 2b 2=tanA tanB，则△ABC 的形状为______ ．17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a −b)sinB =asinA −csinC ，且a 2+b 2−6(a +b)+18=0，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 18. 如果满足∠ABC =60∘，AC =12，BC =k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是______ ．19. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足tanA tanB=2c−b b，则△ABC 面积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）20. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且√3a =2csinA ．(1)求角C 的大小；(2)若a =2，且△ABC 的面积为3√32，求c 的值．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinB =√3bcosA ．(1)求角A 的大小；(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．22.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA−csinC=(a−b)sinB．(1)求角C的大小；(2)若边长c=√3，求△ABC的周长最大值．23.已知函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x−1，x∈R．2(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f(C)=0，若向量m⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n⃗=(2，sinB)共线，求a，b的值．24.已知△ABC中，A<B<C，a=cosB，b=cosA，c=sinC(1)求△ABC的外接圆半径和角C的值；(2)求a+b+c的取值范围．25.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足(2a−c)cosB=bcosC，(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为为3√3且b=√3，求a+c的值．426.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且(2+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面积的最大值．27.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx(x∈R)．(Ⅰ)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值(Ⅱ)若方程f(x)−t=1在x∈[0，π2范围．28.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m⃗⃗⃗ =(cosA+1，√3)，n⃗=(sinA，1)，且m⃗⃗⃗ //n⃗；(1)求角A；=−3，求tanC．(2)若1+sin2Bcos 2B−sin 2B29.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1−sin C2(1)求sinC的值(2)若a2+b2=4(a+b)−8，求边c的值．30.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：(a+c)(sinA−sinC)=sinB(a−b)(I)求角C的大小；(II)若c=2，求a+b的取值范围．答案和解析【答案】 1. D 2. A 3. A 4. D 5. A 6. A7. D8. B 9. B 10. B 11. A 12. A13. 60∘；(2，3]14. √2415. 等腰三角形或直角三角形 16. 等腰三角形或直角三角形 17. −27218. 0<k ≤12或k =8√319. 3√3420. 解：(1)△ABC 是锐角，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且√3a =2csinA ． 由正弦定理得：√3sinA =2sinC ⋅sinA∵△ABC 是锐角， ∴sinC =√32， 故C =π3；(2)a =2，且△ABC 的面积为3√32， 根据△ABC 的面积S =12acsinB =12×2×b ×sin π3=3√32解得：b =3．由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =4+9−2×3=7 ∴c =√7．故得c 的值为√7． 21. (本题满分为14分)解：(1)∵asinB =√3bcosA ，由正弦定理得sinAsinB =√3sinBcosA.…(3分) 又sinB ≠0，从而tanA =√3.…(5分) 由于0<A <π， 所以A =π3.…(7分)(2)解法一：由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，而a =√7，b =2，A =π3，…(9分) 得7=4+c 2−2c =13，即c 2−2c −3=0． 因为c >0，所以c =3.…(11分) 故△ABC 的面积为S =12bcsinA =3√32.…(14分) 解法二：由正弦定理，得√7sin π3=2sinB ， 从而sinB =√217，…(9分)又由a >b 知A >B ，所以cosB=2√77．故sinC=sin(A+B)=sin(B+π3)=sinBcosπ3+cosBsinπ3=3√2114.…(12分)所以△ABC的面积为12bcsinA=3√32.…(14分)22. 解：(1)由已知，根据正弦定理，asinA−csinC=(a−b)sinB 得，a2−c2=(a−b)b，即a2+b2−c2=ab．由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =12．又C∈(0，π)．所以C=π3．(2)∵C=π3，c=√3，A+B=2π3，∴asinA =bsinB=√3√32=2，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin(2π3−A)，∴a+b+c=√3+2sinA+2sin(2π3−A)=√3+2sinA+2(√32cosA+12sinA)=2√3sin(A+π6)+√3∵由0<A<2π3可知，π6<A+π6<5π6，可得：12<sin(A+π6)≤1．∴a+b+c的取值范围(2√3，3√3].23. 解：(1)由于函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x−12=√32sin2x−1+cos2x2−12=sin(2x−π6)−1，故函数的最小值为−2，最小正周期为2π2=π．(2)△ABC中，由于f(C)=sin(2C−π6)−1=0，可得2C−π6=π2，∴C=π3．再由向量m⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n⃗=(2，sinB)共线可得sinB−2sinA=0．再结合正弦定理可得b=2a，且B=2π3−A．故有sin(2π3−A)=2sinA，化简可得tanA=√33，∴A=π6，∴B=π2．再由asinA =bsinB=csinC可得asinπ6=bsinπ2=3sinπ3，解得a=√3，b=2√3．24. 解：(1)由正弦定理csinC =2R=1，∴R=12．再由a=cosB，b=cosA，可得cosBsinA =cosAsinB，故有sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．再由A <B <C ，可得2A +2B =π，∴C =π2．(2)由于a +b +c =cosB +cosA +sinC =sinA +cosA +1=√2sin(A +π4)+1．再由O <A <π4，可得π4<A +π4<π2，∴√22<sin(A +π4)<1，∴2<√2sin(A +π4)+1<√2+1，即a +b +c 的取值范围为(2，√2+1)．25. 解：(1)又A +B +C =π，即C +B =π−A ， ∴sin(C +B)=sin(π−A)=sinA ，将(2a −c)cosB =bcosC ，利用正弦定理化简得：(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB =sinCcosB +sinBcosC =sin(C +B)=sinA ，在△ABC 中，0<A <π，sinA >0，∴cosB =12，又0<B <π，则B =π3 (2)∵△ABC 的面积为3√34，sinB =sin π3=√32， ∴S =12acsinB =√34ac =3√34，∴ac =3，又b =√3，cosB =cos π3=12，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得：a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9=3，∴(a +c)2=12，则a +c =2√326. 解：(1)△ABC 中，∵a =2，且(2+b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ， ∴利用正弦定理可得(2+b)(a −b)=(c −b)c ，即b 2+c 2−bc =4，即b 2+c 2−4=bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，∴A =π3．(2)再由b 2+c 2−bc =4，利用基本不等式可得4≥2bc −bc =bc ， ∴bc ≤4，当且仅当b =c =2时，取等号，此时，△ABC 为等边三角形，它的面积为12bcsinA =12×2×2×√32=√3，故△ABC 的面积的最大值为：√3．27. 解：(I)f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x +1 2sin(2x +π6)+1令−π2+2kπ≤2x +π6≤+2kπ(k ∈Z) 解得：kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z) 由于x ∈[0，π]f(x)的单调递增区间为：[0，π6]和[2π3，π]. (Ⅱ)依题意：由2sin(2x +π6)+1=t +1 解得：t =2sin(2x +π6)设函数y1=t与y2=2sin(2x+π6)由于在同一坐标系内两函数在x∈[0，π2]内恒有两个不相等的交点．因为：x∈[0，π2]所以：2x+π6∈[π6，7π6]根据函数的图象：当2x+π6∈[π6，π2]sin(2x+π6)∈[12，1]，t∈[1，2]当2x+π6∈[π2，7π6]时，sin(2x+π6)∈[−12，1]，t∈[−1，2]所以：1≤t<228. 解：(1)∵m⃗⃗⃗ //n⃗，∴√3sinA−cosA=1，2(sinA⋅√32−cosA⋅12)=1，sin(A−π6)=12，∵0<A<π，−π6<A−π6<5π6，∴A−π6=π6.∴A=π3．(2)由题知1+sin2Bcos 2B−sin 2B=−3，∴(cosB+sinB)2(cosB+sinB)(cosB−sinB)=−3，∴cosB+sinBcosB−sinB=−3，∴1+tanB1−tanB=−3，∴tanB=2．∴tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =8+5√311．29. 解：(1)∵sinC+cosC=1−sin C2∴2sin C2cosC2+1−2sin2C2=1−sinC2∴2sin C2cosC2−2sin2C2=−sinC2∴2sin2C2−2sinC2cosC2=sinC2∴2sin C2(sin C2−cosC2)=sinC2∴sin C2−cos C2=12∴sin2C2−sinC+cos2C2=14∴sinC=3 4(2)由sin C2−cos C2=12>0得π4<C2<π2即π2<C<π∴cosC=−√7 4∵a2+b2=4(a+b)−8∴(a−2)2+(b−2)2=0∴a=2，b=2由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=8+2√7∴c=1+√730. (本题满分为12分)解：(I)在△ABC中，∵(a+c)(sinA−sinC)=sinB(a−b)，∴由正弦定理可得：(a+c)(a−c)=b(a−b)，即a2+b2−c2=ab，…(3分)∴cosC=12，∴由C为三角形内角，C=π3.…(6分)(II)由(I)可知2R=c sinC=√32=4√33，…(7分)∴a+b=4√33(sinA+sinB)=4√33[sinA+sin(A+π3)]=4√33(32sinA+√32cosA)=4sin(A+π6).…(10分)∵0<A<2π3，∴π6<A+π6<5π6，∴12<sin(A+π6)≤1，∴2<4sin(A+π6)≤4∴a+b的取值范围为(2，4].…(12分)【解析】1. 解：由正弦定理可得，a sinA=b sinB=c sinC=√3√32=2，∴b=2sinB，c=2sinC，∵△ABC为锐角三角形，∴0∘<B<90∘，0∘<C<90∘且B+C=120∘，∴30∘<B<90∘∵bc=4sinBsin(120∘−B)=4sinB(√32cosB+12sinB)=2√3sinBcosB+2sin2B=√3sin2B+(1−cos2B)=2sin(2B−30∘)+1，∵30∘<B<90∘，∴30∘<2B−30∘<150∘，∴12<sin(2B−30∘)≤1，∴2<2sin(2B−30∘)+1≤4，即2<bc≤3，∵a =√3，A =π3，由余弦定理可得：3=b 2+c 2−bc ，可得：b 2+c 2=bc +3， ∴b 2+c 2+3bc =4bc +3∈(11，15]． 故选：D ．由正弦定理可得，asinA=bsinB =csinC =√3√32=2，结合已知可先表示b ，c ，然后由△ABC 为锐角三角形及B +C =120∘可求B 的范围，再把所求的bc 用sinB ，cosB 表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc 的范围，由余弦定理可得b 2+c 2+3bc =4bc +3，从而可求范围．本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题． 2. 解：因为sinA =2sinBcosc ， 所以sin(B +C)=2sinBcosC ，所以sinBcosC −sinCcosB =0，即sin(B −C)=0， 因为A ，B ，C 是三角形内角， 所以B =C ．三角形为等腰三角形． 故选：A ．通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力，属于基础题．3. 解：∵∠A =60∘，b =1，S △ABC =√3=12bcsinA =12×1×c ×√32， ∴c =4，∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+14−2×1×4×12=13，∴a =√13，∴a−2b+csinA−2sinB+sinC =asinA =√13√32=2√393．故选：A ．先利用面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理可求a ，再利用正弦定理求解比值． 本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．4. 解：设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2， 则由题意，πR 12πR 22=λ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，由正弦定理可得：R 1=12DE sin∠DME ，R 2=12DFsin∠DMF ， 又DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ，可得：R 1=R 2， 可得：λ=1． 故选：D ．设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2，则由题意，πR 12πR 22=λ，由正弦定理可得：R 1=12DE sin∠DME ，R 2=12DFsin∠DMF ，结合DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ，可得λ=1，即可得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于基础题．5. 解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ=(2x)2+x2−9 2×2x×x =5x2−94x2，∴sinθ=√1−cos2θ=√144−9(x2−5)24x2，根据公式三角形面积S=12absinθ=12×2x⋅2x⋅√144−9(x2−5)24x2=√144−9(x2−5)22，∴当x2=5时，三角形面积有最大值.此时x=√5．AB的长：2√5．故选：A．设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的x即可．本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力.运算量较大．6. 解：△ABC中，∵b=c，sinBsinA =1−cosBcosA，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin(A+B)=sin(π−C)=sinC=sinA，∴A=C，又b=c，∴△ABC为等边三角形．∴S OACB=S△AOB+S△ABC=12⋅OA⋅OB⋅sinθ+12⋅AB2⋅sinπ3=12×2×1×sinθ+√34(OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cosθ)=sinθ−√3cosθ+5√34=2sin(θ−π3)+5√34．∵0<θ<π，∴−π3<θ−π3<2π3，故当θ−π3=π2时，sin(θ−π3)取得最大值为1，故S OACB=的最大值为2+5√34=8+5√34，故选：A．依题意，可求得△ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得S OACB=2sin(θ−π3)+5√34(0<θ<π)，从而可求得平面四边形OACB面积的最大值．题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得S OACB=2sin(θ−π3)+5√34是解题的关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．7. 解：结合图形可知，三角形有两解的条件为b=x>a，bsinA<a，∴b=x>1，xsin30∘<1，则使△ABC有两解的x的范围是1<x<2，故选：D．根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为b =x >a ，bsinA <a ，即可确定出x 的范围．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键．8. 解：由于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量加法的几何意义，O 为边BC 中点，∵△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，∴三角形应该是以BC 边为斜边的直角三角形，∠BAC =π2，斜边BC =2，又∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴|AC|=1，|AB|=√BC 2−AC 2=√22−12=√3， ∴S △ABC =12×|AB|×|AC|=12×1×√3=√32． 故选：B ．由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量加法的几何意义得出△ABC 是以A 为直角的直角三角形，又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查．9. 解：由题意sinBsinC =1+cosA 2，即sinBsinC =1−cosCcosB ， 亦即cos(C −B)=1， ∵C ，B ∈(0，π)， ∴C =B ， 故选：B ． 利用cos 2A2=1+cosA 2可得sinBsinC =1+cosA 2，再利用两角和差的余弦可求．本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合.属于基础题．10. 解：cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∴ab =a 2+b 2−c 2，∴ab+c +bc+a =ac+a 2+b 2+bcab+(a+b)c+c 2=a 2+b 2+(a+b)ca 2+b 2+(a+b)c =1，故选B ．先通过余弦定理求得ab 和a 2+b 2−c 2的关系式对原式进行通分，把ab 的表达式代入即可．本题主要考查了余弦定理的应用.解题的关键是找到a ，b 和c 的关系式． 11. 解：锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，B =2A ， ∴0<2A <π2，且B +A =3A ， ∴π2<3A <π． ∴π6<A <π3， ∴√22<cosA <√32， ∵a =1，B =2A ，∴由正弦定理可得：ba =b=sin2AsinA=2cosA，∴√2<2cosA<√3，则b的取值范围为(√2，√3).故选A由题意可得0<2A<π2，且π2<3A<π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得ba=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．12. 解：2bcosB=ccosA+acosC，由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sinB，又sinB≠0，∴cosB=12，∴B=π3．∵由余弦定理可得：3=a2+c2−ac，∴可得：3≥2ac−ac=ac，∴即有：ac≤3，代入：3=(a+c)2−3ac可得：(a+c)2=3+3ac≤12，∴a+c的最大值为2√3．故选：A．利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B，由余弦定理可得：3=a2+c2−ac，由基本不等式可得：ac≤3，代入：3=(a+c)2−3ac可得a+c的最大值．该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．13. 解：acosC+12c=b变形得：2acosC+c=2b，利用正弦定理得：2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinC=2cosAsinC，即sinC(2cosA−1)=0，由sinC≠0，得到cosA=12，又A为三角形的内角，则A=60∘；∵a=1，sinA=√32，B+C=120∘，即C=120∘−B，∴asinA =bsinB=csinC=2√33，即b=2√33sinB，c=2√33sin(120∘−B)，则△ABC的周长l=a+b+c=1+2√33sinB+2√33sin(120∘−B)=1+2√33(32sinB+√32cosB)=1+2(√32sinB+12cosB)=1+2sin(B+30∘)，∵0<B<120∘，∴30∘<B+30∘<150∘，∴12<sin(B+30∘)≤1，即2<1+2sin(B+30∘)≤3，则l范围为(2，3]．故答案为：60∘；(2，3]将已知的等式左右两边都乘以2变形后，利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；由A的度数求出sinA的值，及B+C的度数，用B表示出C，由正弦定理表示出b与c，而三角形ABC的周长l=a+b+c，将表示出的b与c，及a的值代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可得到l的范围．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，利用了转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14. 解：∵在△ABC中a+√2c=2b，sinB=√2sinC，∴由正弦定理可得a+√2c=2b，b=√2c，联立可解得a=b=√2c，∴由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=222 2×√2c×√2c =34，再由二倍角公式可得cosC=1−2sin2C2=34，解得sin C2=√24或sin C2=−√24，再由三角形内角的范围可得C2∈(0，π2)故sin C2=√24故答案为：√24由题意和正弦定理可得a=b=√2c，代入余弦定理可得cosC，由二倍角公式和三角形内角的范围可得．本题考查解三角形，涉及正余弦定理和二倍角公式，属中档题．15. 解：将cosA=b2+c2−a22bc ，cosB=a2+c2−b22ac代入已知等式得：a−b=c a2+c2−b22ac −c⋅b2+c2−a22bc，整理得：a2+b2−c2a =a2+b2−c2b，当a2+b2−c2=0，即a2+b2=c2时，△ABC为直角三角形；当a2+b2−c2≠0时，得到a=b，△ABC为等腰三角形，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．利用余弦定理表示出cosA与cosB，代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状．此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16. 解：原式可化为sin 2Asin 2B =sinAcosB cosAsinB ⇒sinA sinB =cosBcosA⇒sin2A =sin2B ∴2A =2B 或2A =π−2B ⇒A =B 或A +B =π2．故答案为等腰三角形或直角三角形左边利用正弦定理，右边“切变弦”，对原式进行化简整理进而可得A 和B 的关系，得到答案．本题主要考查了正弦定理的应用.考查了学生利用正弦定理解决三角形问题的能力． 17. 解：由已知(a −b)sinB =asinA −csinC ，即asinA −csinC =(a −b)sinB ，根据正弦定理，得，a 2−c 2=(a −b)b ，即a 2+b 2−c 2=ab ． 由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =12．又C ∈(0，π).所以C =π3．a 2+b 2−6(a +b)+18=0，可得(a −3)2+(b −3)2=0， 所以a =b =3，三角形是正三角形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×3×3×cos120∘=−272．故答案为：−272．通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C 的余弦值，得到C 的值.通过a 2+b 2−6(a +b)+18=0，求出a ，b 的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法三角形形状的判断，向量数量积的应用，考查计算能力．18. 解：(1)当AC <BCsin∠ABC ，即12<ksin60∘，即k >8√3时，三角形无解； (2)当AC =BCsin∠ABC ，即12=ksin60∘，即k =8√3时，三角形有1解；(3)当BCsin∠ABC <AC <BC ，即ksin60∘<12<k ，即12<k <8√3，三角形有2个解；(4)当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形有1个解． 综上所述：当0<k ≤12或k =8√3时，三角形恰有一个解． 故答案为：0<k ≤12或k =8√3要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k 满足的条件．本题主要考查三角形解得个数问题，重在讨论.易错点在于可能漏掉k =8√3这种情况． 19. 解：由r =1，利用正弦定理可得：c =2rsinC =2sinC ，b =2rsinB =2sinB ， ∵tanA =sinA cosA，tanB =sinBcosB ， ∴tanAtanB =sinAcosBcosAsinB =4sinC−2sinB2sinB=2sinC−sinBsinB，∴sinAcosB =cosA(2sinC −sinB)=2sinCcosA −sinBcosA ， 即sinAcosB +cosAsinB =sin(A +B)=sinC =2sinCcosA ， ∵sinC ≠0，∴cosA =12，即A =π3， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，∴bc =b 2+c 2−a 2=b 2+c 2−(2rsinA)2=b 2+c 2−3≥2bc −3，∴bc≤3(当且仅当b=c时，取等号)，∴△ABC面积为S=12bcsinA≤12×3×√32=3√34，则△ABC面积的最大值为：3√34．故答案为：3√34．利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2−a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc 的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值．此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．20. (1)利用正弦定理可求角C的大小(2)直接利用△ABC的面积S=12acsinB求解出b，再用余弦定理可得．本题考查了正弦定理，余弦定理的运用和计算能力．21. (1)由弦定理化简已知可得sinAsinB=√3sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA=√3，结合范围0<A<π，可求A的值．(2)解法一：由余弦定理整理可得：c2−2c−3=0.即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22. (1)通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．(2)由已知利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sin(2π3−A)，利用三角函数恒等变换的应用化简可求a+b+c=2√3sin(A+π6)+√3，根据A+π6的范围，利用正弦函数的图象和性质得到结果．本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．23. (1)化简函数f(x)的解析式为sin(2x−π6)−1，可得函数的最小值为−2，最小正周期为2π2．(2)△ABC中，由f(C)=sin(2C−π6)−1=0，求得C=π3.再由向量m⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n⃗=(2，sinB)共线可得sinB−2sinA=0，再由B=2π3−A可得sin(2π3−A)=2sinA，化简求得A=π6，故B=π2.再由正弦定理求得a、b的值．本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、两个向量共线的性质，属于中档题．24. (1)由正弦定理求得外接圆半径R.再由a=cosB，b=cosA，可得cosBsinA =cosAsinB，化简得sin2A=sin2B．再由A<B<C，可得2A+2B=π，由此可得C的值．(2)由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=√2sin(A+π4)+1.再由O<A<π4，利用正弦函数的定义域和值域求得sin(A+π4)+1<√2+1的范围，即可求得a+b+c的取值范围．本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．25. (1)结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin(C+B)=sinA，再对已知(2a−c)cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B(2)结合三角形的面积公式S=12acsinB，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理b2= a2+c2−2accosB可求a+c本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要是考生具备综合应用公式的能力26. (1)由条件利用正弦定理可得b2+c2−bc=4.再由余弦定理可得A=π3．(2)利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得面积的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．27. (Ⅰ)首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数的单调性求函数在固定区间内的增减区间．(Ⅱ)把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题．28. (1)利用向量共线定理可得：√3sinA−cosA=1，再利用和差公式、三角函数求值即可得出．(2)由题知1+sin2Bcos 2B−sin 2B =−3，利用倍角公式化为cosB+sinBcosB−sinB=−3，因此1+tanB1−tanB=−3，解得tanB.再利用tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)，展开代入即可得出．本题考查了向量共线定理、和差公式、三角函数求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．29. (1)利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出sinC．(2)利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小，求出C的余弦；将已知等式配方求出边a，b；利用余弦定理求出c本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理．30. (I)利用正弦正理化简已知等式可得：a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得求得cosA=12，结合A的范围，即可求得A的值．(II)由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入a+b利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+b的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范围，属于中档题．。

高中数学解三角形(有答案)

高中数学解三角形(有答案)

高中数学解三角形(有答案) Solving Triangles1.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。

the sides opposite to angles A。

B。

and C are a。

b。

and c。

respectively。

and a=3.c=8.and B=60°。

What is the perimeter of triangle ABC?A。

18 B。

19 C。

16 D。

172.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。

the sides opposite to angles A。

B。

and C are a。

b。

and c。

respectively。

and a=3.c=8.and B=60°。

What is the perimeter of triangle ABC?A。

17 B。

19 C。

16 D。

183.(2014 Yunnan Mock Exam) In triangle ABC。

if b^2-a^2-c^2=ac。

what is the measure of angle B?A。

30° B。

60° C。

120° D。

150°4.(2013 Shaanxi) In triangle ABC。

the sides opposite to angles A。

B。

and C are a。

b。

and c。

respectively。

and bc cos C + c cos B = a sin A。

What is the shape of triangle ABC?A。

XXX5.(2013 Hunan) In acute triangle ABC。

the XXX angles A and B are a and b。

respectively。

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测题(有答案解析)

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测题(有答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，c =S =（ ）A ．4B C ．16D ．122．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为（ ）AB ．CD ．3．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．64．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin sin A C B A C +-=，1b =，则2a -的最小值为（ ）A ．4-B ．-C ．2-D ．5．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（ ）A ．,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．12⎛⎝⎭ C ．,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6．在ABC 中，若2a =，b =30A =︒，则B 等于（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒7．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形 8．在ABC 中，tansin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( )A ．(2,B ．(4⎤⎦C ．(4,2+D ．(2⎤+⎦9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（ ）A ．35mB ．10mC ．490013m D ．10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，b =B 为（ ） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒11．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C D 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BC ．32D 二、填空题13．已知在锐角ABC ，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的 最小值为_____________.14．在ABC 中，2AB =，4AC =，则C ∠的取值范围为______.15．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________． 16．设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.17．如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），在所在的河岸边选取相距30m 的C ，D 两点，测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，其中A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，则A ，B 两点之间的距离是_______m .18．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.19．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．20．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．三、解答题21．在①222b c a bc +-=；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积.问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求三角形BC 边的中线AD 长； （3）求πsin(2)4A +的值． 23．已知在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶3＋1)，求角A 的大小.24．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c bC -=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin a S A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 22C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 212S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．2．C解析：C【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=， sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S === 故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S =3．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．4．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴22222a cb ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<， 所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.5．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论． 【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+， 由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos cos()cos A A A C A A ==∈-⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．6．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-， 同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+， 又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-，即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==， 即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以23131cos 23sin sin sin cos sin 2322444B B B B B B B π⎛⎫-⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以262B ππ-=，解得3B π=，所以3A B C π===， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.8．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>， 综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.9．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h，由已知可知,OA OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB中，由余弦定理得222352cos15033h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得h =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.10．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.11．D解析：D 【分析】根据()2243S a b c =+-3cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2 【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=，构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，再用导数求得最值.【详解】 由212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=， 即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()22cos c bc A =-，又锐角ABC 的面积1sin 2bc A =bc =)22cos 3sin A c A-=， 设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求导可得()212cos sin xf x x-'=，由()212cos 0sin x f x x -'==，得3x π=，所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭于是24c =≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.14．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的取值范围【详解】解：在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调解析：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出a 的范围，再结合余弦定理可以用a 表示cos C ，求出cos C 的范围，进而求得C ∠的取值范围. 【详解】解：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 由题意得2c =，4b =， b c a b c -<<+，即26a <<，2222123cos 2882a b c a a C ab a a+-+===+， 令()382x f x x =+，所以()2221312'828x f x x x-=-=， 所以根据导数与函数单调性的关系得：函数()f x 在(2,上单调递减，在()上单调递增，所以当26x <<时，()f x 的取值范围为2⎫⎪⎢⎪⎣⎭.所以cos C ⎫∈⎪⎪⎣⎭又因为0πc <<， 所以π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.15．【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题解析：3【分析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCS ab C =，即可求出三角形的面积．【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即222c a b ab =++， 所以24ab ab -+=， 即43ab =，所以114sin 223ABCSab C ==⨯=，【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.16．【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题 解析：3π【分析】先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cos C ，即得角C . 【详解】因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-= 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 根据正弦定理得222a b c ab +-=故根据余弦定理知222cos 122a b c C ab +-==，又因为()0,C π∈得3C π=故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.17．【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解：如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴（米）即AB 之间的距离为米解析：1015. 【分析】本题先在ACD △中，得出30CAD ADC ∠=∠=︒，得CD 的值，然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长，最后在ABC 中由余弦定理，算出21500AB =，即可得到A ，B 之间的距离. 【详解】解：如图所示，∵75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒， ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴在ACD △中，18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠， ∴30AC CD ==.∵在BCD 中，60CBD ∠=︒， ∴由正弦定理，得30sin 75sin 60BC =︒︒，可得sin 7530203sin 75sin 60BC ︒=⋅=︒︒. 在ABC 中，由余弦定理，得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=，∴1015AB =（米），即A ，B 之间的距离为1015米. 故答案为：1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题，是中档题.18．28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为：28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此解析：28 【分析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ． 【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒，所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=． 故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．19．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得 解析：24【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=， 同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=， 故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故2cos α=, 故答案为：24. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.20．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析：7【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．答案见解析 【分析】利用边角互化可得24c b ==，选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；选②：利用向量数量积的定义可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解；选③：利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==，选①：因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0,A π∈，所以3A π=.所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选②：若4AB AC ⋅=，故cos 4AB AC A ⋅⋅=，则1cos 2A =，故3A π=， 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去），故3A π=. 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 22．（113；（2）2；（3）26. 【分析】（1）确定B 锐角，求得cos B ，由余弦定理求得b ，再由正弦定理得sin A ； （2）在ABD △中由余弦定理求得中线AD ，（3）确定A 是锐角，求得cos A ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A ，然后由两角和的正弦公式求值． 【详解】（1）在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得cos 45B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b = 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==. 所以，bsin A（2）设BC 边的中点为D ，在ABD △中，cos 45B = 由余弦定理得:2AD ===， （3）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算．23．45A =︒【分析】利用余弦定理可求A 的大小. 【详解】由题设可设)2,,1(0)a k b c k k ===>，由余弦定理得，222222644cos 2k k k b c aA bc+-+-===， 而A 为三角形内角，故45A =︒. 24．（1）π4A =；（2）a =AD = 【分析】（1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos B =3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD . 【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-， ()()sin sin sin tan cos C A CA C A C -+=-， ∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sincos cos AA A+=∴cos 2A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A=+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴33a BD ==， 又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴AD = 【点睛】 关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.25．2+【分析】 利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长.【详解】 由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=， 整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=， 若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =， 又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C = 又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==，代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键. 26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

数学-2023年解三角形高频题型精选

数学-2023年解三角形高频题型精选

解三角形高频题型精选1．(2023·全国·高一专题练习)△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，则下列说法不正确的是( )A ．若A >B ，则sin A >sin BB ．若A =30∘,b =4,a =3，则△ABC 有两解C ．若△ABC 为钝角三角形，则a 2+b 2>c 2D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C2．(2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a =2,b =3,B =π3，那么A =( )A ．3π4B ．π4C ．3π4或π4D ．π33．(2020秋·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校联考期中)在△ABC 中，若∠A =60°，b =1，S △ABC =3，则a +b +c sin A +sin B +sin C的值为( )A ．2633B ．2393C ．393D ．13334．(2021春·河北·高三统考学业考试)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若a =1，c =17，sin A =1717，则cos B =( )A ．178B ．14C ．34D ．17175．(2023·江西赣州·统考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，C =2A +B ，则b a =( )A ．75B ．32C ．53D ．746．(2020秋·广东清远·高二校考期中)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C =c (1-3cos B )，则sin C ∶sin A =( )A ．3∶1B ．3∶2C ．1∶3D ．4∶37．(2023·河南郑州·统考一模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角C =π4，b sin π4+A -a sin π4+B =c ，则角B =( )A ．π8B ．π6C ．5π8D ．π38．(2023·河北·高三学业考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a 2-b 2=3bc ，sin C =23sin B ，则A 等于( )A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π69．(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =1，且b cos A -cos B =1，则3sin B +2sin 2A 的取值范围是( )A ．0,3+1B ．2,3+1C ．1,3D ．2,3 10．(2022秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考开学考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c =2a cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．(2023秋·浙江宁波·高三期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知b sin (B +C )=a sinA +C 2，且△ABC 的面积为23，则△ABC 周长的最小值为( )A ．22B ．23C ．62D ．6+2312．(2023·陕西榆林·统考一模)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a sin A +b +λa sin B =c sin C ，则λ的取值范围为( )A ．-2,2B ．0,2C ．-2,2D ．0,213．(2022·北京·统考模拟预测)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3a cos B =b sin A ，则B =( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π214．(2023秋·陕西西安·高二统考期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若a =4,b =43,A =30°，则B =( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°15．(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ,∠ABC ,∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题不正确的有( )A ．若OA +OB +OC =0 ，则O 为△ABC 的重心B ．若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3C ．若OA =OB =2,∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92D ．若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =016．(2023·全国·高一专题练习)不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a =5，b =4，A =120°；(2)a =9，b =10，A =60°；(3)b =72，c =50，C =135°．17．(山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c 1+cos B =3b sin C ．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，a +c =4，求△ABC 的面积．18．(河北省石家庄市2023届高三质量检测(一)数学试题)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，设a +bc -b =sin C +sin B sin A (1)求C ；(2)若3+1 a +2b =6c ，求sin A ．19．(2023·湖南·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b sin A =a cos B -π6 ．(1)求角B 的大小；(2)若b =13．且a +c =5，求△ABC 的面积．20．(2023·福建福州·统考二模)记ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b 2-a 2=2c 2．(1)求tan B tan A的值：(2)求C 的最大值．21．(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin A =3a 2+c 2-b 2 2bc .(1)求B 的大小；(2)若△ABC 为钝角三角形，且b =3，求△ABC 的周长的取值范围.22．(2023·湖北·统考模拟预测)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C =2a +c ．(1)求B ；(2)设b =9，若点M 是边AC 上一点，2AM =MC ，且∠MAB =∠MB A ，求△BMC 的面积．23．(2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试)在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C .(1)求A ；(2)若AB 边上的高等于13AB ，求cos C .24．(2023春·浙江温州·高三统考开学考试)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C +3b sin C a +c=1．(1)求B ；(2)若a +c =43，△ABC 内切圆的面积为π，求△ABC 的面积．25．(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =3，a <c ，且sin π3-Acos π6+A =14．(1)求A 的大小；(2)若a sin A +c sin C =43sin B ，求△ABC 的面积．26．(2023·山东临沂·统考一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知a cos B +b cos A =2c cos C ．(1)求C ；(2)若c =1，求△ABC 面积的取值范围．27．(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin C -sin B =tan A cos B ．(1)求A ；(2)若a =2，求2c -b 的取值范围．28．(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a sin C =ctan A ．(1)求角A 的大小；(2)若a =2，D 为BC 的中点，求线段AD 长度的最大值．29．(2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，满足c 2=b b +a .(1)求证：C =2B ；(2)求1tan B -1tan C+3sin C 的取值范围.30．(2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2sin B ，tan A +tan C =2sin B cos A.(1)求角C 和边c 的大小.(2)求△ABC 周长的范围.31．(2023秋·浙江绍兴·高三期末)记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 外接圆的半径为R ，已知a cos B -b cos A =R ．(1)若B =π4，求A 的值；(2)求R -c b 的取值范围．32．(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且m =a ,2b -c ，n =cos A ,cos C ，且m ⎳n．(1)求角A 的大小;(2)求b c的取值范围．33．(2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习)已知△ABC 内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，面积为23，且3b 2+c 2-a 2 =2ac sin B ，求：(1)求角A 的大小；(2)求BC 边中线AD 长的最小值.34．(2020春·陕西西安·高二交大附中分校校考阶段练习)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足ctan C =3a cos B +b cos A .(1)求角C 的大小.(2)若c =43，求△ABC 面积的最大值.35．(2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习)在△ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，且2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小；(2)若b=2，求△ABC周长l的取值范围.36．(2023·全国·校联考一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2+ ac=b2.(1)证明：B=2C；(2)求a+bc的取值范围.37．(2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b tan A，且B为钝角．(1)证明：B-A=π2；(2)求sin A+sin C的取值范围．38．(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cos2(ωx)+3sin(ωx)cos(ωx)-12，其中ω>0，且函数f(x)的两个相邻零点间的距离为π2，(1)求ω的值及函数f(x)的对称轴方程；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=-1,a=3，求△ABC 周长的取值范围．39．(2023秋·陕西汉中·高二统考期末)在①a sin C-sin Asin C+sin B=c-b；②sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C；③2a-cb=cos Ccos B.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，__________.(1)求B；(2)若b=4，求△ABC的周长的取值范围.40．(2023·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin A+3cos A=0．(1)求角A的大小；(2)给出以下三个条件：①a=43，b=4；②b2-a2+c2+10b=0；③S△ABC= 153．若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin B的值；(ii)∠BAC的角平分线交BC于点D，求AD的长．参考答案：1．C【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A 选项，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得2R sin A >2R sin B ，所以，sin A >sin B ，故A 选项正确；对于B 选项，b sin A =4sin30∘=2，则b sin A <a <b ，如图：所以△ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若△ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则cos C =a 2+b 2-c 22ab<0，可得a 2+b 2<c 2，C 选项错误；对于D ，因为tan (B +C )=tan B +tan C 1-tan B tan C，所以tan B +tan C =tan (B +C )(1-tan B tan C )因为tan B +C =tan π-A =-tan A ，所以tan B +tan C =tan (B +C )(1-tan B tan C )=tan A tan B tan C -tan A ，所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ，所以D 正确.故选：C2．B【分析】利用正弦定理可求出sin A ，再结合大边对大角即可得解.【详解】因为a =2,b =3,B =π3，由正弦定理a sin A=b sin B ，可得sin A =a sin B b =2sin π33=22，又因为a <b ，所以A <B ，故0<A <π3，所以A =π4.故选：B .3．B 【分析】根据三角形面积公式可得c =4，再由余弦定理计算可得a =13，根据正弦定理可知a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A，代入计算即可得出结果.【详解】根据三角形面积公式可得S △ABC =12bc sin A =12×32c =3，即c =4；由余弦定理可知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =1+16-2×1×4×12=13，可得a =13；由正弦定理可得a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =1332=2393.答案第1页，共2页4．D【分析】利用正弦定理求得sin C ，再利用诱导公式求解即可.【详解】由正弦定理可得a sin A=csin C ，即11717=17sin C ，解得sin C =1，因为△ABC 中C ∈0,π ，所以C =π2，所以B =π2-A ，cos B =cos π2-A=sin A =1717，故选：D 5．C【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得C =2π3、2b =a +c ，利用余弦定理化简计算即可求解.【详解】由C =2A +B ,A +B +C =π，得C =2π3，由a ,b ,c 成等差数列，得2b =a +c ，由余弦定理，得cos C =a 2+b 2-c 22ab，即-12=a 2+b 2-(2b -a )22ab ，整理，得5ab -3b 2=0，由b ≠0得5a -3b =0，由a ≠0得ba =53.故选：C .6．A【分析】利用正弦定理及三角恒等变换即可求解.【详解】由正弦定理得3sin B cos C =sin C (1-3cos B )，即3sin B cos C +3sin C cos B =sin C ，3sin B +C =sin C ，∵A +B +C =π,∴3sin π-A =sin C ，即3sin A =sin C ，sin Csin A=3，故选：A .7．C【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得B 与A 的关系，进一步计算得出结果.【详解】已知角C =π4，b sin π4+A -a sin π4+B =c ，由正弦定理可得sin B sin π4+A -sin A sin π4+B =sin C ，整理得22sin B cos A -sin A cos B =22，即sin B -A =1，因为A ,B ∈0,3π4 ，所以B -A ∈-3π4,3π4 ，所以B -A =π2.又B +A =3π4，所以B =5π8.8．D【分析】根据正弦定理把sin C=23sin B化为c=23b，再结合余弦定理求角即可【详解】∵sin C=23sin B，∴c=23b，结合a2-b2=3bc即可求得a=7b．由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b22×b×23b=32.又∵A∈0,π，∴A=π6．故选：D 9．B【分析】由正弦定理边化角可得B=2A，由△ABC为锐角三角形可得π6<A<π4，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数y=2sin2A-π6+1在π6,π4上的值域.【详解】∵b cos A-cos B=1，即：b cos A=cos B+1，a=1，∴b cos A=(cos B+1)a，∴由正弦定理得：sin B cos A=(cos B+1)sin A，即：sin B cos A=sin A cos B+sin A，∴sin(B-A)=sin A，∴B-A=A或B-A+A=π，解得：B=2A或B=π(舍)，又∵△ABC为锐角三角形，则C=π-A-B=π-3A，∴0<A<π20<B<π20<C<π2⇒0<A<π20<2A<π20<π-3A<π2，解得：π6<A<π4，∴3sin B+2sin2A=3sin2A+1-cos2A=2sin2A-π6+1，又∵π6<A<π4，∴π6<2A-π6<π3，∴12<sin2A-π6<32，∴2<2sin2A-π6+1<3+1，即3sin B+2sin2A的取值范围(2,3+1).故选：B.10．A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由sin C=sin A+B展开后化简得tan A=tan B，可得出等腰三角形的结论.【详解】c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=sin A+B=2sin A cos B，即sin A cos B+cos A sin B=2sin A cos B,∴sin A cos B=cos A sin B，可得tan A=tan B，又0<A<π,0<B<π，∴A=B，则△ABC的形状为等腰三角形.故选：A.11．C【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得sin B2=12，即求出B的大小，再利用三角形面积公式得ac=8，从而求出a+c的最小值，最后得到C△ABC=(a+c) +(a+c)2-24，利用函数单调性即可求出其最小值.【详解】因为b sin A=a sin π-B 2，根据正弦定理及诱导公式得sin B⋅sin A=sin A⋅cos B 2，∵A∈0,π，∴sin A≠0，∴sin B=cos B 2，即2sin B2cosB2=cosB2，∵B∈0,π，则B2∈0,π2，则cos B2≠0解得sin B2=12,所以B2=π6⇒B=π3，所以S=12ac sin B=3ac4=23，所以ac=8,a+c≥2ac=42，当且仅当a=c=22时等号成立，根据余弦定理得b=a2+c2-2ac cos B，即b=a2+c2-ac，设△ABC的周长为C，所以C△ABC=a+c+(a+c)2-3ac=(a+c)+(a+c)2-24，设a+c=t,t≥42，则f t =t+t2-24，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：f t 在42,+∞上为单调增函数，故f t min=f42=62，故C△ABCmin=62，当且仅当a=b=c=22时取等.故选：C.12．A【分析】根据正弦、余弦定理可得λ=-2cos C，结合C∈0,π即可求解.【详解】因为a sin A+b+λasin B=c sin C，由正弦定理得c2=a2+b2+λab.又c2= a2+b2-2ab cos C，所以λ=-2cos C.因为C∈0,π，所以cos C∈-1,1，故λ∈-2,2.故选：A.13．C【分析】由正弦定理化简得出tan B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值.【详解】因为3a cos B=b sin A，由正弦定理可得3sin A cos B=sin B sin A，∵A、B∈0,π，则sin A>0，所以，3cos B=sin B>0，所以，tan B =3，故B =π3.故选：C .14．D【分析】根据a =4,b =43,A =30°，利用正弦定理求解.【详解】解：在△ABC 中，a =4,b =43,A =30°，由正弦定理得a sin A=bsin B ，所以sin B =b ⋅sin A a =43⋅sin30∘4=32，所以B =60°或120°，故选：D 15．C【分析】对于A ，假设D 为AB 的中点，连接OD ，由已知得O 在中线CD 上，同理可得O 在其它中线上，即可判断；对于选项B ，利用奔驰定理可直接得出B 正确；对于C ，根据奔驰定理可得S A :S B :S C =2:3:4，再利用三角形面积公式可求得S C =1，即可计算出S △ABC =94，可得C 错误；选项D ，由垂心的性质、向量数量积的运算律OB ∙AC =OB ∙OC -OB ∙OA=0，得到OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠BCA ，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.【详解】对于A ：如下图所示，假设D 为AB 的中点，连接OD ，则OA +OB =2OD =CO，故C ,O ,D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在另外两边BC ,AC 的中线上，故O 为△ABC 的重心，即A 正确；对于B ：由奔驰定理O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC=0可知，若OA +2OB +3OC =0，可得S A :S B :S C =1:2:3，即B 正确；对于C ：由|OA |=|OB|=2,∠AOB =5π6可知，S C =12×2×2×sin 5π6=1，又2OA +3OB +4OC =0 ，所以S A :S B :S C =2:3:4由S C =1可得，S A =12,S B =34；所以S △ABC =S A +S B +S C =12+34+1=94，即C 错误；对于D ：由四边形内角和可知，∠BOC +∠BAC =π，则OB ∙OC=OB OCcos ∠BOC =-OB OC cos ∠BAC ，同理，OB ∙OA =OB OA cos ∠BOA =-OB OAcos ∠BCA ，因为O 为△ABC 的垂心，则OB ∙AC =OB ∙(OC -OA )=OB ∙OC -OB ∙OA=0，所以OC cos ∠BAC =OA cos ∠BCA ，同理得OC cos ∠ABC =OB cos ∠BCA ，OA cos ∠ABC =OB cos ∠BAC ，则OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠BCA ，令OA =m cos ∠BAC ,OB =m cos ∠ABC ,OC=m cos ∠BCA ，由S A =12OB OCsin ∠BOC ，则S A =12OB OC sin ∠BAC =m 22cos ∠ABC cos ∠BCA sin ∠BAC ，同理：S B =12OAOC sin ∠ABC =m 22cos ∠BAC cos ∠BCA sin ∠ABC ，S C =12OA OB sin ∠BCA =m 22cos ∠BAC cos ∠ABC sin ∠BCA ，综上，S A :S B :S C =sin ∠BAC cos ∠BAC :sin ∠ABC cos ∠ABC :sin ∠BCAcos ∠BCA=tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠BCA ，根据奔驰定理得tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0，即D 正确.故选：C【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.16．(1)一解(2)两解(3)无解【分析】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可.【详解】(1)由正弦定理a sin A=bsin B ，∴sin B =b a sin A =45×32<32，∵A =120°，∴B =180°-A +C =60°-C <60°，∴B 只有一解，三角形解的个数为一解.(2)由正弦定理a sin A=bsin B ，∴sin B =b a sin A =109×32=539，∴32<sin B <1，∵A =60°，a <b ，∴60°<B <120°，∴B 有两解，三角形解的个数为两解.(3)∵b >c ，∴B >C =135°，∴B +C >270°，∴B 无解，三角形无解.17．(1)B =π3(2)3【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再结合辅助角公式即可得解；(2)利用余弦定理求得ac ，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】(1)因为c 1+cos B =3b sin C ，所以sin C 1+cos B =3sin B sin C ，因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以1+cos B =3sin B ，得2sin B -π6 =1，即sin B -π6 =12，因为B ∈0,π ，所以B -π6∈-π6,5π6，所以B -π6=π6，所以B =π3；(2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a +c 2-3ac =16-3ac ，即22=16-3ac ，解得ac =4，所以S △ABC =12ac sin B =12×4×32=3．18．(1)2π3(2)sin A =6-24【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；(2)利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求解即可.【详解】(1)根据题意，由正弦定理可得a +bc -b=c +b a ，即c 2=a 2+b 2+ab ，所以根据余弦定理cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12及△ABC 中C ∈0,π 可得C =2π3.(2)根据题意，由正弦定理可得3+1 sin A +2sin B =6sin C ，所以3+1 sin A +2sin A +2π3 =3+1 sin A +2-12sin A +32cos A =3sin A +cos A =322，解得sin A +cos A =62①，因为sin 2A +cos 2A =1②，①②联立可解得sin A =6+24或6-24，又因为C =2π3，则A <π3，sin 2A <34，6+242=2+34>34(舍去)，所以sin A=6-2 4.19．(1)B=π3(2)S△ABC=3【分析】(1)由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得tan B，可求角B的大小；(2)由已知条件利用余弦定理求得ac，根据三角形面积公式求△ABC的面积.【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理asin A=bsin B，可得b sin A=a sin B，又由b sin A=a cos B-π6，得a sin B=a cos B-π6即sin B=cos B-π6，由sin B=cos B-π6=32cos B+12sin B，有32cos B=12sin B可得tan B=3,又因为B∈(0,π)，所以B=π3.(2)b=13．且a+c=5，B=π3，由余弦定理：b2=a2+c2-2ac cos B=a+c2-2ac-2ac cos B，有13=25-2ac-ac，解得ac=4，∴S△ABC=12ac sin B=12×4×32=3.20．(1)tan Btan A=-3(2)π6【分析】(1)通过余弦定理、正弦定理将条件中的边转化为角即可求出结果；(2)由余弦定理表示出cos C，借助条件消去边c，利用基本不等式求出cos C的范围，进而求出C的最大值．【详解】(1)由余弦定理可得b2=c2+a2-2ac cos B，代入b2-a2=2c2，得到c2+a2-2ac cos B-a2=2c2，化简得c2+2ac cos B=0，即c+2a cos B=0.由正弦定理可得sin C+2sin A cos B=0，即sin A+B+2sin A cos B=0，展开得sin A cos B+cos A sin B+2sin A cos B= 0，即3sin A cos B=-cos A sin B，所以tan Btan A=-3．(2)由b2-a2=2c2得c2=b2-a2 2，故cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab=3a4b+b4a≥2316=32，当且仅当b2=3a2，即b=3a时等号成立．因为C ∈0,π ，所以C ≤π6，所以C 的最大值为π6.21．(1)π3(2)23,3+3【分析】(1)根据正余弦定理，将条件变形，求角B 的大小；(2)根据正弦定理，将周长表示为三角函数，根据函数的定义域，求周长的取值范围.【详解】(1)根据余弦定理可知，a 2+c 2-b 22ac=cos B ，所以sin A =3⋅2ac cos B 2bc ，即sin A =3a cos Bb⇔sin A =3sin A cos Bsin B，则tan B =3,B ∈0,π ，所以B =π3；(2)设∠A ∈π2,2π3，根据正弦定理可知a sin A =c sin C =b sin B =3sinπ3=2，所以a =2sin A ,c =2sin C =2sin 2π3-A ，所以周长a +b +c =2sin A +2sin 2π3-A +3=2sin A +232cos A +12sin A+3=3sin A +3cos A +3=23sin A +π6 +3,因为A ∈π2,2π3 ,A +π6∈2π3,5π6 ，所以sin A +π6 ∈12,32 ，所以23<23sin A +π6 +3<3+3，所以△ABC 的周长为23,3+3 .22．(1)B =2π3(2)932【详解】(1)依题意，由2b cos C =2a +c 及正弦定理得2sin B cos C =2sin A +sin C ，即2sin B cos C =2sin B +C +sin C =2sin B cos C +2cos B sin C +sin C ，所以2cos B sin C =-sin C ．因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以cos B =-12，又B ∈0,π ，所以B =2π3．(2)如图所示：因为2AM =MC，所以AM =3，MC =6．又∠MAB =∠MB A ，所以BM =AM =3．在△ABC 中，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即a 2+c 2+ac =81．①又2AM =MC ，所以BM=23BA +13BC，两边平方得BM 2=49BA 2+19BC 2+49BA ⋅BC，即9=49c 2+19a 2+49ac cos B ，所以a 2+4c 2-2ac =81．②②-①得3c 2=3ac ，所以a =c ，代入①得a =c =33，在△BMC 中，BM 2+BC 2=32+33 2=36=MC 2，所以△BMC 是以∠MB C 为直角的三角形，所以△BMC 的面积为12×3×33=932．23．(1)A =π4(2)-1010【分析】(1)利用正弦定理及余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；(2)由三角形的面积公式可得出c 2=3ab sin C ，利用正弦定理以及两角和的正弦公式可得出sin C =-3cos C ，由同角三角函数的平方关系以及sin C >0可求得cos C 的值.【详解】(1)解：因为sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C ，令△ABC 的三内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，所以由正弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc ，所以由余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =2bc 2bc=22，因为A ∈0,π ，所以A =π4.(2)由三角形的面积公式可得S △ABC =12ab sin C =12×13c 2，则c 2=3ab sin C ，由正弦定理可得sin 2C =3sin A sin B sin C ，因为C ∈0,π ，则sin C >0，所以，sin C =3sin A sin B ，即sin C =322sin B ，即sin C =322sin C +π4 =32sin C +32cos C ，整理可得sin C =-3cos C ，所以，sin C =-3cos Csin 2C +cos 2C =0sin C >0，解得cos C =-1010.24．(1)π3(2)33【分析】(1)利用正弦定理边化角结合三角恒等变换求解；(2)利用等面积法可得12ac sin B =12(a +b +c )r ，从而得32ac =43+b ，再根据余弦定理，联立方程组求出b =23，从而可求三角形的面积.【详解】(1)因为b cos C +3b sin Ca +c=1，所以b cos C +3b sin C -a -c =0，所以sin B cos C +3sin B sin C -sin A -sin C =0因为A +B +C =π，所以sin B cos C +3sin B sin C -sin (B +C )-sin C =0．所以3sin B sin C -cos B sin C -sin C =0，又因为C ∈0,π ,sin C >0，所以3sin B -cos B =1，所以sin B -π6 =12，因为B ∈0,π ，所以B -π6∈-π6,5π6 ，所以B -π6=π6，所以B =π3．(2)因为△ABC 内切圆的面积为π，所以内切圆半径r =1．由于S △ABC =12ac sin B =12(a +b +c )r ，所以32ac =43+b ，①由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得，b 2=a +c 2-3ac ，即b 2=48-3ac ，②联立①②可得b 2=48-38+233b，即b 2+23b -24=0，解得b =23或b =-43(舍去)，所以S △ABC =12(a +b +c )×r =33．25．(1)A =π6(2)334【分析】(1)已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A 的大小；(2)条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c 边，用面积公式计算面积.【详解】(1)sin π3-Acos π6+A =cos π2-π3-A cos π6+A =cos 2π6+A =cos π3+2A +12=14，∴cos π3+2A =-12，因为0<A <π，得π3<π3+2A <7π3，所以π3+2A =2π3或π3+2A =4π3，解得A =π6或A =π2，因为a <c ，得A <π2，∴A =π6．(2)由(1)知，A =π6，a sin A +c sin C =43sin B ，由正弦定理，得a 2+c 2=43b =12，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc ⋅cos A ，即12-c 2=3+c 2-23c ⋅32，整理，得2c 2-3c -9=0，由c >0得c =3，所以S △ABC =12bc sin A =12×3×3×12=334．26．(1)C =π3；(2)0,34.【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.(2)由(1)的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】(1)在△ABC 中，由已知及正弦定理得：sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos C ，即有sin A +B =2sin C cos C ，即sin C =2sin C cos C ，而0<C <π，sin C >0，则cos C =12，所以C =π3．(2)在△ABC 中，由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得：1=a 2+b 2-ab ，因此1≥2ab -ab ，即0<ab ≤1，当且仅当a =b 时取等号，又S △ABC =12ab sin C =12×32ab =34ab ∈0,34 ，所以△ABC 面积的取值范围是0,34．27．(1)A =π3(2)-2,4 【分析】(1)利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式的逆用，结合三角形的内角和定理及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可；(2)利用同角三角函数的商数关系及正弦定理的边化角，根据(1)的结论得出角B 的范围及余弦函数的性质即可求解.【详解】(1)由题意知，2sin C -sin B =sin A cos A×cos B ，所以2cos A sin C -cos A sin B =sin A cos B ，则2cos A sin C =sin A cos B +cos A sin B =sin A +B =sin C ，又C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以cos A =12，又A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由(1)得2sin C -sin B =sin A cos A ×cos B ，由正弦定理得2c -b =a cos B cos A ，又a =2，A =π3，所以2c -b =4cos B ．因为B ∈0,2π3，所以cos B ∈-12,1 ，所以4cos B ∈-2,4 ，故2c -b ∈-2,4 ，即2c -b 的取值范围为-2,4 ．28．(1)A =π4(2)2+1【分析】(1)利用正弦定理求得正确答案.(2)利用圆的几何性质求得AD 的最大值.【详解】(1)依题意，2a sin C =ctan A ，由正弦定理得2sin A sin C =sin C ⋅sin A cos A，由于A ,C 是三角形的内角，所以sin A >0,sin C >0，所以cos A =22，则A 为锐角，所以A =π4.(2)设三角形ABC 外接圆的半径为r ，圆心为O ，则2r =2sin π4=22,r =2，由于A =π4，所以A 在三角形ABC 外接圆上运动，且只在优弧BC (不包括端点)上运动，如图所示，则∠BOC =π2，OD =2 2-12=1，当A ,O ,D 三点共线时，AD 最大，所以AD 长度的最大值是2+1.29．(1)证明见解析(2)1336,4【分析】(1)利用正余弦定理化简得sin A =sin B 2cos c +1 ，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得sin C -B =sin B ，得证；(2)弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C 的范围，然后换元，利用函数单调性求范围.【详解】(1)由c 2=b 2+ab 及余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C得a =b 2cos C +1 ，由正弦定理得：sin A =sin B 2cos C +1 ，又A +B +C =π，∴sin A =sin B +C =sin B cos C +cos B ⋅sin C =2sin B cos C +sin B ，∴cos B sin C -sin B cos C =sin B ，∴sin C -B =sin B ，∵A ,B ,C 都是锐角，∴C -B =B ，即C =2B .(2)令y =1tan B -1tan C +3sin C =cos B sin B -cos C sin C+3sin C =sin C cos B -cos C ⋅sin B sin B ⋅sin C +3sin C =sin C -B sin B ⋅sin C +3sin C ，由(1)C =2B 得y =1sin C +3sin C ，在锐角三角形ABC 中，0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<π-B +C <π20<B =C 2<π20<C <π2，解得π3<C <π2，∴sin C ∈32,1，令t =sin C ∈32,1 ，∴y =f t =1t +3t ,t ∈32,1，又函数y =f t =1t +3t 在32,1上单调递增，∴y =f t ∈1336,4 ，故1tan B -1tan C+3sin C 的取值范围是1336,4 .30．(1)c =62，C =π3(2)6,362【分析】(1)由三角恒等变换化简等式tan A +tan C =2sin B cos A ，结合角的范围可得C ，再由正弦定理及b =2sin B 求得c ；(2)结合正弦定理有a +b +c =2sin A +sin B +62，结合角的关系及三角恒等变换化简求范围即可.【详解】(1)2sin B cos A=tan A +tan C =sin A cos A +sin C cos C =sin A cos C +cos A sin C cos A cos C =sin A +C cos A cos C =sin π-B cos A cos C =sin B cos A cos C ，∵A 、B 、C ∈0,π ，sin B cos A≠0，∴cos C =12，∴C =π3.由b =2sin B 及正弦定理得2=b sin B =c sin C ⇒c =2sin C =62；(2)由正弦定理得a sin A =b sin B =2⇒a =2sin A ，∴a +b =2sin A +sin B =2sin 2π3-B +sin B=232cos B +32sin B =612cos B +32sin B =6sin B +π6.∵B ∈0,2π3 ，∴B +π6∈π6,5π6 ，∴a +b =6sin B +π6∈62,6 .∴△ABC 周长a +b +c ∈6,362.31．(1)A =5π12(2)(-1,0)【分析】(1)已知等式由正弦定理边化角解得A -B =π6，又B =π4，可求A 的值；(2)锐角△ABC 且A -B =π6，可求角B 的范围，利用正弦定理边化角得R -c b =2sin B -π3 ，可求取值范围．【详解】(1)根据正弦定理a sin A=b sin B =c sin C =2R ，有a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ，由a cos B -b cos A =R ，有2R sin A cos B -2R sin B cos A =R ，得sin (A -B )=12，因为A ,B ∈0,π2 ，所以A -B ∈-π2,π2 ，所以A -B =π6，由B =π4，解得A =5π12．(2)因为A =π6+B ，所以C =π-(A +B )=5π6-2B ，因为0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<π6+B <π20<B <π20<5π6-2B <π2 ，所以B ∈π6,π3 ，则R -c b=R -2R sin C 2R sin B =1-2sin C 2sin B =1-2sin 5π6-2B 2sin B =1-cos2B -3sin2B 2sin B=2sin 2B -23sin B cos B 2sin B =sin B -3cos B =2sin B -π3 ，B ∈π6,π3 ，有B -π3∈-π6,0 ，所以2sin B -π3 ∈(-1,0)，所以R -c b 的取值范围为(-1,0).32．(1)A =π3(2)12,2 【分析】(1)根据向量平行和正弦定理得cos A =12，则得到A 的大小；(2)首先根据锐角三角形求出C 的范围，再利用正弦定理进行边换角得b c =32tan C +12，根据tan C 的范围即可得到答案.【详解】(1)由m ⎳n得a cos C =2b -c cos A ，∴a cos C +c cos A =2b cos A ，根据正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos A ，所以sin A +C =2sin B cos A ，又A +C =π-B ，所以sin B =2sin B cos A .又sin B ≠0，∴cos A =12，又A ∈0,π ，∴A =π3;(2)由(1)得A =π3，B +C =2π3，∵B ，C 为锐角，所以0<C <π20<2π3-C <π2，∴C ∈π6,π2 ，根据正弦定理得b c =sin B sin C =sin 2π3-C sin C =32cos C +12sin C sin C =32tan C +12，其中tan C ∈33,+∞ ，∴32tan C ∈0,32 ，即32tan C+12∈12,2 ，综上可知，b c 的取值范围是12,2 ．33．(1)π3(2)6【分析】(1)先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果；(2)由平面向量可知AD =12AB +AC ，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果.【详解】(1)∵3b 2+c 2-a 2 =2ac sin B ，由余弦定理可得23bc cos A =2ac sin B ，即3b cos A =a sin B ，由正弦定理可得3sin B cos A =sin A sin B ，∵B ∈0,π ，∴sin B ≠0.∴3cos A =sin A ，即tan A =3，又A ∈0,π ，所以A =π3.(2)由(1)知，A =π3，△ABC 的面积为23，所以12bc sin π3=23，解得bc =8.由平面向量可知AD =12AB +AC ，所以AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+AC 2+2AB ⋅AC=14b 2+c 2+2bc cos π3 =14b 2+c 2+bc ≥142bc +bc =34bc =6，当且仅当b =c =22时取等号，故BC 边中线AD 的最小值为6.34．(1)π3(2)123【分析】(1)根据正弦定理边角互化，结合两角和的正弦的公式求解即可；(2)利用余弦定理和基本不等式得到ab ≤48，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)根据题意，由正弦定理，可得sin C tan C =3sin A cos B +sin B cos A =3sin A +B ，又因为△ABC 中A +B =π-C ，且C ∈0,π ，所以sin C tan C =3sin C ，即tan C =3，所以C =π3.(2)由余弦定理，可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，即48=a 2+b 2-ab所以48+ab =a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，所以ab ≤48，所以S △ABC =12ab sin C ≤12×48×32=123，所以△ABC 面积的最大值为123.35．(1)π3(2)4,6 【分析】(1)根据正弦定理边化角结合三角形内角和与诱导公式得出2sin A cos B =sin A ，根据三角形内角范围可知sin A ≠0，即可得出cos B =12，再根据角围得出答案；(2)根据已知结合余弦定理即可得出a 、c 关系，再根据基本不等式得出a +c 范围，即可得出答案.【详解】(1)由正弦定理，得2sin C -sin A =2sin B cos A ，因为A +B +C =π，所以sin C =sin A +B ，所以2sin (A +B )-sin A =2sin B cos A ，即2sin A cos B +2cos A sin B -sin A =2sin B cos A ，所以2sin A cos B =sin A ，因为0<A <π，所以sin A ≠0，所以cos B =12，又0<B <π，所以B =π3；(2)由(1)可得B =π3，若b =2，则由余弦定理，得4=a 2+c 2-ac =a +c 2-3ac ，所以3ac =a +c 2-4≤3×a +c 2 2，即14a +c 2≤4，所以a +c ≤4，当且仅当a =c 时等号成立，又a +c >b =2，所以2<a +c ≤4，即4<a +b +c ≤6，所以△ABC 周长的取值范围为4,6 .36．(1)证明见解析.(2)(1,5).【分析】(1)运用余弦定理得2c ⋅cos B =a -c ，再运用正弦定理边化角化简计算即可.(2)运用三角形内角范围求得角C 的范围，进而求得cos C 范围，运用边化角将问题转化为求关于cos C 的二次函数在区间上的值域.【详解】(1)∵c 2+ac =b 2，∴c 2-b 2=-ac ，∴由余弦定理得：cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2-ac 2ac =a -c 2c，即：2c ⋅cos B =a -c ，由正弦定理得：2sin C ⋅cos B =sin A -sin C ，∴2sin C ⋅cos B =sin (B +C )-sin C =sin B cos C +sin C cos B -sin C ，整理得：sin B cos C -sin C cos B -sin C =0，即：sin (B -C )=sin C ，又∵B 、C ∈(0,π)，∴B -C =C ，即：B =2C .(2)∵B =2C ，∴A =π-3C ，又∵sin2C =2sin C ⋅cos C ，sin3C =sin (C +2C )=sin C ⋅cos2C +cos C ⋅sin2C =sin C ⋅cos2C +2sin C ⋅cos 2C ，sin C ≠0，∴由正弦定理得：a +b c =sin A +sin B sin C =sin (π-3C )+sin2C sin C =sin3C +sin2C sin C=sin C⋅cos2C+2sin C⋅cos2C+2sin C⋅cos Csin C=cos2C+2cos2C+2cos C =2cos2C-1+2cos2C+2cos C=4cos2C+2cos C-1，又∵0<A<π0<B<π0<C<π⇒0<π-3C<π0<2C<π0<C<π⇒0<C<π3，∴12<cos C<1，令t=cos C，则a+bc=4t2+2t-1，12<t<1，∵y=4t2+2t-1对称轴为t=-1 4，∴y=4t2+2t-1在12,1上单调递增，当t=12时，y=4×14+2×12-1=1；当t=1时，y=4+2-1=5，∴1<a+bc<5，即：a+bc的范围为(1,5).37．(1)证明见解析(2)2 2,98【分析】(1)利用同角的商数关系与正弦定理的边角变换化简得到sin B=cos A，再由条件和诱导公式求得B=π2+A，由此得证；(2)先由(1)求出A的范围，再由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简得到sin A+sin C =-2sin2A+sin A+1，从而利用换元法和二次函数的性质即可求出式子的范围．【详解】(1)因为a=b tan A，所以ab=tan A=sin Acos A，由正弦定理可得sin Acos A=ab=sin Asin B，又0<A<π，所以sin A>0，故sin B=cos A，则sin B=sinπ2+A ，又B为钝角，则0<A<π2，因此B∈π2,π，π2+A∈π2,π，所以B=π2+A，即B-A=π2；(2)由(1)知，C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0，所以A<π4，又0<A<π2，所以0<A<π4，则0<sin A<22，所以sin A+sin C=sin A+sinπ2-2A=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2sin A-142+98，令t=sin A，则0<t<22，sin A+sin C=-2t-142+98，对于y=-2t-1 42+98=-2t2+t+1，其开口向下，对称轴为t=14，所以y=-2t-1 42+98在0,14上单调递增，在14,22上单调递减，故当t=14时，y=-2t-142+98取得最大值为98，又当t=0时，y=1，当t=22时，y=22，所以y=-2t-1 42+98的值域为22,98，故22<-2sin A-142+98≤98，即22<sin A+sin C≤98，所以sin A+sin C的取值范围是22,98 ．38．(1)ω=1，对称轴方程为：x=kπ2+π6k∈Z；(2)(23,2+3].【分析】(1)根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；(2)根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】(1)f(x)=cos2(ωx)+3sin(ωx)cos(ωx)-12=1+cos(2ωx)2+3sin(2ωx)2-1 2，f x =sin2ωx+π6，因为函数f(x)的两个相邻零点间的距离为π2，所以函数f(x)的最小正周期为2×π2=π，因为ω>0，所以2π2ω=π⇒ω=1，即f x =sin2x+π6，令2x+π6=kπ+π2k∈Z⇒x=kπ2+π6k∈Z，所以对称轴为x=kπ2+π6k∈Z；(2)由f(A)=-1⇒sin2A+π6=-1，因为A∈(0,π)，所以2A+π6∈π6,13π6⇒2A+π6=3π2⇒A=2π3，因为a=3，所以由正弦定理可知：asin A=bsin B=csin C=332=2⇒b=2sin B,c=2sin C，所以三角形的周长为3+2sin B+2sin C=3+2sin B+2sinπ3-B ，=3+2sin B +232cos B -12sin B=3cos B +sin B +3=2sin B +π3 +3，因为B ∈0,π3 ，所以B +π3∈π3,2π3 ，因此sin B +π3∈32,1 ⇒2sin B +π3 +3∈(23,2+3]，所以△ABC 周长的取值范围为(23,2+3].39．(1)π3(2)8,12 【分析】(1)选①或②：由正弦定理得到a 2+c 2-b 2=ac ，再由余弦定理得到cos B =12，结合B ∈0,π ，求出B =π3；选③：由正弦定理化简得到2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C ，进而得到2sin A cos B =sin A ，cos B =12，求出B =π3；(2)由余弦定理结合基本不等式可得出a +c ≤8，从而可求得△ABC 的周长的取值范围.【详解】(1)选①，∵a sin C -sin A sin C +sin B=c -b ，∴sin A sin C -sin A sin C +sin B=sin C -sin B ∴sin A sin C -sin 2A =sin 2C -sin 2B∴sin A sin C =sin 2A +sin 2C -sin 2B∴ac =a 2+c 2-b 2，又∵a 2+c 2-b 2=2ac cos B∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.选②，∵sin 2A +sin 2C -sin 2B =sin A sin C ∴a 2+c 2-b 2=ac ，又∵a 2+c 2-b 2=2ac cos B∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.选③，∵2a -c b=cos C cos B ，∴2sin A -sin C sin B =cos C cos B ∴2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin (B +C )=sin A∵sin A ≠0,∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.(2)由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，∴16=a 2+c 2-ac =(a +c )2-3ac ≥a +c 2-3a +c 24=a +c 24，当且仅当a =c =4时，取等号.∴a +c 2≤64,∴a +c ≤8，又∵a +c >4，∴4<a +c ≤8,∴8<a +c +b ≤12。

高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)

高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)

高中数学经典题型解三角形【编著】黄勇权【第1题】在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ， 且sinC bsinBasinA = 3a32 sinB + c求：角C 的大小【第1题】答案：已知：sinCbsinB asinA += 3a 32 sinB + c等号左边：因为分子、分母每一项含有sin ，故用正弦定理，将sin 替换成边即：cb *b a *a += 3a 32 sinB +c 特别提示： 等号右边的sinB 不能换成边b ， 这是因为sinB=R 2b ,这样就会多出R 21，等号两边同时乘以ca 2+b 2 = 3ac 32 sinB +c 2将c 2移到等号左边，a 2+b 2- c 2 = 3ac 32 sinB由于等号左边是a 2+b 2-c 2，只能构建cosC ，故等号两边同时除以2ab ，这一步非常重要。

2a b c b a 222-+ = b 3c 3 sinBc osC = b 3c 3 sinB等号右边，左边分子含c ，分母含b ，故用正弦定理把c 、b 换成sinC ，sinB 这一步非常重要，很多同学想不到，因此就解不出来。

c osC = B sin 3sinC 3 sinBc osC =33 sinCtanC= 3 即C=60°经典技巧：对于正弦定理，很多同学都不知道什么时候能用，什么时候不能用，其实，在运用正弦定理将sin与对应边换时，一定要遵循能够消除2R为原则。

例如1：acosB+bcosA=2c 【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=2*2RsinC因为每一项都有2R，故能消除2R,化简：sinA*cosB+sinB*cosA=2sinC所以能用正弦定理。

例如2：bcosA+sinB=3c 【不能用】由正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，得：2RsinB*cosA+sinB=2RsinC*3因为第二项不含2R，无法消除2R, 所以不能用正弦定理例如3：sin2A+sin2B=2sinBsinC 【能用】a b c（R 2a ）2 + （R 2b ）2 = 2 *R 2b *R 2c因为每一项都有（R 21）2，故能消除2R ，化简得：a 2 +b 2=2bc 所以能用正弦定理 例如4：acosB+bcosA=4bc 【能用】由正弦定理：a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC 代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC因为要消除2R ，所以只能代入一项，要么是b 或c 而等号右边化简后sinA*cosB+sinB*cosA=sin （A+B ）=sinC所以我们只把c 换为sinC ，而b 不动。

(完整版)解三角形高考大题-带答案

(完整版)解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

解三角形专题高考题练习【附答案】

解三角形专题高考题练习【附答案】

解三角形专题（高考题）练习【附答案】1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =.设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域；(2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→→∙=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，5cos 5A =，10cos 10B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足（I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

ＡＢ Ｃ1209、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求：（I ）角C 的大小；（II ）△ABC 最短边的长.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c=7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ∆=. （1）求△ABC 外接圆面积.（2）求cos(2B+3π)的值. 12、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。

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解三角形卷一
一．选择题
1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为
A ．23
B ．－23
C ．14
D ．－14
2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为
A 、3
B 、2
C 、3
D 、2
3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C =
A 、1:2:3
B 、
C 、
D 、2
4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为
A 、14
B 、14-
C 、78
D 、1116
5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为
A 、3π
B 、6π
C 、4
π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c =
A 、610
B 、75
C 、55
D 、49
7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A =
A 、30
B 、60
C 、120
D 、150
8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是
A 、10,45,70b A C ===
B 、60,48,60a c B ===
C 、7,5,80a b A ===
D 、14,16,45a b A ===
二、填空题。

9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．
10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22
A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．
三、解答题。

12．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝33b ，解此三角形．
13．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50米．求此山对于地平面的倾斜角 ．
14．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，
(Ⅰ)求∠B 的大小；
(Ⅱ)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
(第13题)
11．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得c a ＝C A sin sin ＝C C sin 2sin ＝2cos C ，即cos C ＝c a 2， 由余弦定理cos C ＝ab c b a 2－＋222＝ab b c a c a 2＋－＋2
))((．∵ a ＋c ＝2b ， ∴ cos C ＝ab c a b c a b 22＋＋－2⋅
)(＝a c a c a 22＋＋－2)(，∴ c
a 2＝a c a c a 22＋＋－2)(． 整理得2a 2－5ac ＋3c 2＝0．解得a ＝c 或a ＝2
3c ． ∵∠A ＝2∠C ，∴ a ＝c 不成立，a ＝23c ∴ b ＝2c a +＝2
23c c +＝c 45， ∴ a ∶b ∶c ＝23c ∶c 4
5∶c ＝6∶5∶4．故此三角形三边之比为6∶5∶4． 12．b ＝43，c ＝8，∠C ＝90°，∠B ＝60°或b ＝43，c ＝4，∠C ＝30°，∠B ＝120°． 解：由正弦定理知A a sin ＝B b sin ⇒︒
30sin 4＝B sin 34⇒sin B ＝23，b ＝43． ∠B ＝60°或∠B ＝120°⇒∠C ＝90°或∠C ＝30°
⇒c ＝8或c ＝4． 13 解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，AB ＝100米，∠ACB ＝45°－15°＝30°．
根据正弦定理有︒30sin 100＝︒15sin BC ，∴ BC ＝︒
︒30sin 15sin 100． 又在△BCD 中，∵ CD ＝50，BC ＝
︒︒30sin 15sin 100，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ ， 根据正弦定理有︒45sin 50＝)
(θ＋90sin 30sin 15sin 100︒︒︒
．解得cos θ ＝3－1，∴ θ ≈42.94°． ∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°．
14．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，
∴ 2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin (B ＋C )．
又在三角形ABC 中，sin (B ＋C )＝sin A ≠0，
∴ 2sin A cos B ＝sin A ，即cos B ＝21，B ＝3
π． (Ⅱ)∵ b 2＝7＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ 7＝a 2＋c 2－ac ， 又 (a ＋c )2＝16＝a 2＋c 2＋2ac ，∴ ac ＝3，∴ S △ABC ＝
21ac sin B ， 即S △ABC ＝2
1·3·23＝433． (第13题)
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