高考第17课曲线的切线

第17课曲线的切线【自主学习】第17课曲线的切线(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P26习题5改编)曲线y=12x-cos x在x=π6处的切线方程为.【答案】x-y-π12-32=0【解析】设f(x)=12x-cos x，则f'π6⎛⎫⎪⎝⎭=12+sinπ6=1，故切线方程为y-π3122⎛⎫⎪⎪⎝⎭=x-π6，化简可得x-y-π12-32=0.2.(选修2-2P22例3改编)已知曲线f(x)=x sin x+1在点π1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，那么实数a= .【答案】-1【解析】f'(x)=sin x+x cos x，当x=π2时，f'(x)=1，所以a=-1.3.(选修2-2P20练习7改编)若直线y=12x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线，则实数b= .【答案】ln2-1【解析】设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率k=01x=12，所以x=2.又因为切点(2，ln2)在切线y=12x+b上，所以b=ln2-1.4.(选修2-2P16习题3改编)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为.【答案】4【解析】因为曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，所以g'(1)=2.又f'(x)=g'(x)+2x，所以f'(1)=g'(1)+2=4，故切线的斜率为4.1.导数的几何意义导数f'(x 0)的几何意义就是曲线y=f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k=f'(x 0)，相应地，切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0).2.解与曲线的切线有关的问题的一般步骤：第一步：设出切点坐标(x 0，y 0)；第二步：计算切线的斜率为k=f'(x 0)；第三步：写出切线方程y-y 0=f'(x 0)(x-x 0)；第四步：将问题转化为函数与方程问题求解.【要点导学】要点导学 各个击破过曲线上点的切线方程例1 已知曲线S ：y=-23x 3+x 2+4x 及点P (0，0)，求过点P 的曲线S 的切线方程.【思维引导】本题考查导数的几何意义和导数的运算，这类题比较常见.本题要注意点与曲线的位置关系.【解答】设过点P 的切线与曲线S 切于点Q (x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k=y'|x x =-220x +2x 0+4，又当x0≠0时，k PQ=y x，所以-22x+2x+4=yx. ①因为点Q在曲线S上，所以y0=-323x+2x+4x. ②将②代入①得-22x+2x+4=320002-43x x xx++，化简，得343x-2x=0，所以x=34.则k=358，过点P的切线方程为y=358x.当x0=0时，则k=4，过点P的切线方程为y=4x.所以过点P的曲线S的切线方程为y=4x或y=358x.【精要点评】曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P.变式已知曲线f(x)=13x3+43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.【思维引导】曲线y=f(x)“过点P”与“在点P处”的切线是不相同的，在点P 处的切线是以P为切点；过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点的坐标.【解答】(1)因为f'(x)=x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k=f'(2)=4，所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线f(x)=13x3+43与过点P(2，4)的切线相切于点A3001433x x⎛⎫+⎪⎝⎭，，则切线的斜率k=f'(x0)=2x，所以切线方程为y-313x-43=2x(x-x0)，即y=2xx-323x+43.因为点P(2，4)在切线上，所以4=22x-323x+43，即3x-32x+4=0，所以(x+1)(x-2)2=0，解得x0=2或-1，故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.【精要点评】解决此类问题，一定要分清楚是“在某点”还是“过某点”处的切线.在某点处的切线比较好求，过某点处的切线，一般要设出切线坐标，然后通过解方程的方法解出该切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.过某点的曲线的切线方程例2已知函数f(x)=x ln x，过点A21-0e⎛⎫⎪⎝⎭，作函数y=f(x)图象的切线，则切线的方程为.【思维引导】点A不在曲线y=f(x)上，故先设切点，利用切线过点A，建立方程确定切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.【答案】x+y+21e =0【解析】设切点为T (x 0，y 0)，则k AT =f'(x 0)，所以0002ln?1e x x x +=ln x 0+1，即e 2x 0+ln x 0+1=0. 设h (x )=e 2x+ln x+1，则h'(x )=e 2+1x ，当x>0时，h'(x )>0，所以h (x )在(0，+∞)上是单调增函数，所以h (x )=0最多只有一个根.又h 21e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=e 2×21e +ln 21e +1=0，所以x 0=21e .由f'(x 0)=-1得切线方程是x+y+21e =0.【精要点评】对于曲线的切线问题，一定要注意题目所给的条件；当已知切点位置时，可以直接求导数，然后将切点的横坐标代入，即可以得到切线的斜率；当已知切线经过某一个点时，应该设出切点，求解出切线方程，再利用切线经过切点求解.变式 已知曲线C ：f (x )=x 3-ax+a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为 .【答案】278【解析】设切点坐标为(t ，t 3-at+a ).由题意知，f'(x )=3x 2-a ， 切线的斜率为k=y'|x=t =3t 2-a ， ①所以切线方程为y-(t 3-at+a )=(3t 2-a )(x-t )， ② 将点(1，0)代入②式，得-(t 3-at+a )=(3t 2-a )(1-t )，解得t=0或t=32.分别将t=0和t=32代入①式，得k=-a和k=274-a，由题意得它们互为相反数，故a=27 8.导数几何意义的应用例3在抛物线f(x)=12x2上求一点P，使点P到直线x-y-1=0的距离最短，并求出这个最短距离.【思维引导】设P(x0，y0)，利用数形结合知与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线对应的切点即为所求.【解答】由题知当点P在与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线上时，点P到直线的距离最短.因为f'(x)=x，设点P(x0，y0)，则f'(x0)=x0=1，所以切点为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.因为切点离直线最短，所以最短距离11--12222=24.【精要点评】本题利用抛物线解题有两种方法，一是设与直线x-y-1=0平行且与抛物线相切的方程为x-y+m=0，将y=12x2与x-y+m=0联立方程组，且把方程组转化为关于x的一元二次方程，利用此方程中Δ=0求出m的值.二是设P(x0，y0)，由点到直线的距离得002求解，但利用二次函数的性质求解较麻烦，所以利用导数求切点比较直观简单.【高频考点·题组强化】1.(2016·苏州期中)已知函数f (x )=ax+bx (a ，b ∈R ，b>0)的图象在点P (1，f (1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直，且函数f (x )在区间12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上单调递增，那么b 的最大值为 .【答案】23【解析】函数f (x )的定义域为{x|x ≠0}，f'(x )=a-2bx ，由题意知f'(1)·1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1，所以a-b=2，所以a=b+2.又f'(x )=a-2b x ≥0在12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，上恒成立，所以a ≥2b x ≥4b ，所以b+2≥4b ，解得b ≤23，即b 的最大值为23.2.(2015·全国卷改编)已知函数f (x )=x 3+ax+14，问：当a 为何值时，x 轴为曲线y=f (x )的切线?【解答】设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)=0，f'(x 0)=0，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，，解得x 0=12，a=-34.所以当a=-34时，x 轴为曲线y=f (x )的切线.3.(2015·汇龙中学)已知函数f (x )=2axx b +，且f (x )的图象在x=1处与直线y=2相切.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为函数f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于点P ，求直线l 的斜率k 的取值范围.【解答】(1)对函数f (x )求导，得f'(x )=222()-(2)()a x b ax x x b ++=222-()ab ax x b +. 因为f (x )的图象在x=1处与直线y=2相切，所以'(1)0(1)2f f =⎧⎨=⎩，，即-01021ab a b ab ⎧⎪=⎪+≠⎨⎪⎪=+⎩，，，所以a=4，b=1，所以f (x )=241xx +.(2)由(1)知f'(x )=2224-4(1)x x +，所以直线l 的斜率k=f'(x 0)=202204-4(1)x x +=42220021-(1)1x x ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，令t=2011x +，t ∈(0，1]，则k=4(2t 2-t )=821-4t ⎛⎫ ⎪⎝⎭-12，所以k ∈1-42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.4.设函数f (x )=ax-bx ，曲线y=f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求证：曲线y=f (x )上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.【解答】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3，当x=2时，y=12，又f'(x )=a+2bx ，于是12-22744b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13a b =⎧⎨=⎩，，所以f (x )=x-3x .(2)设点P (x 0，y 0)为曲线上任意一点，由f'(x )=1+23x 知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y-y 0=2031x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x-x 0)， 即y-003-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2031x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x-x 0).令x=0，得y=-06x ，从而得切线与直线x=0的交点坐标为060-x ⎛⎫⎪⎝⎭，.令y=x ，得y=x=2x 0，从而得切线与直线y=x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x=0，y=x 所围成的三角形的面积S=12×06x⎛⎫- ⎪⎝⎭×|2x 0|=6.故曲线y=f (x )上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.5.设函数f (x )=ax+1x b +(a ，b ∈Z )，曲线y=f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y=3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求证：函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)求证：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.【解答】(1)f'(x)=a-21()x b +，由题知212321-0(2)abab⎧+=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，，解得1-1ab=⎧⎨=⎩，或948-.3ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为a，b∈Z，所以f(x)=x+1-1 x.(2)已知函数y1=x，y2=1x都是奇函数，所以函数g(x)=x+1x也是奇函数，其图象是以原点为对称中心的中心对称图形.而f(x)=x-1+1-1x+1，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为对称中心的中心对称图形.(3)在曲线上任取一点001-1x xx⎛⎫+⎪⎝⎭，，由f'(x0)=1-21(-1)x知，过此点的切线方程为y-200-1-1x xx+=211-(-1)x⎡⎤⎢⎥⎣⎦(x-x).令x=1，得y=1 -1xx+，切线与直线x=1的交点为11-1xx⎛⎫+⎪⎝⎭，.令y=x，得y=2x0-1，切线与直线y=x的交点为(2x0-1，2x0-1)；直线x=1与直线y=x的交点为(1，1)，从而所围成的三角形的面积S=1211-1xx+-·|2x0-1-1|=12·02-1x·|2x-2|=2，所以所围成的三角形的面积为定值2.1.(2015·南通二调)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0互相垂直，则实数a的值为.【答案】-e【解析】因为y=ln x，所以y'=1x，则曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为y'|x=e=1e.又因为曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直，所以1e×a=-1，解得a=-e.2.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx(a，b为常数)过点P(2，-5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值为.【答案】-3【解析】y'=2ax-2bx，由题意得-54274--42baba⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得-1-2ab=⎧⎨=⎩，，故a+b=-3.3.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是. 【答案】(-∞，0)【解析】f'(x)=3ax2+1x，因为存在垂直于y轴的切线，则f'(x)=0在(0，+∞)上有解，即3ax2+1x=0有正解，则3a=-31x.因为-31x<0，所以3a<0，即a<0时，方程有正解，所以实数a的取值范围是(-∞，0).4.已知两条曲线y=sin x，y=cos x，问：这两条曲线是否存在一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.【解答】设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，则在点P处两条曲线的切线斜率分别为k1=cos x0，k2=-sin x0，要使两条切线互相垂直，即使cos x0·(-sin x0)=-1，得sin2x0=2，这与|sin x|≤1矛盾，故不可能.因此不存在这样的公共点，使得这一点处两条曲线的切线互相垂直.【融会贯通】融会贯通能力提升已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2，-6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直，求切点坐标与切线方程.【思维引导】【规范解答】(1)由函数f(x)的解析式可知点(2，-6)在曲线y=f(x)上，所以f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1，所以在点(2，-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13，…………………………………………2分所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2)，即y=13x-32.…………………………………………5分(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f'(x0)=32x+1，所以直线l的方程为y=(32x+1)(x-x)+3x+x-16.…………………………………………7分又因为直线l过点(0，0)，所以0=(32x+1)(-x)+3x+x-16，整理得3x=-8，所以x=-2.所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26，f'(-2)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x，切点坐标为(-2，-26).………………………………………10分方法二：设直线l的方程为y=kx，切点坐标为(x0，y0)，则k=-0-0yx=300-16x xx.又因为k=f'(x 0)=320x +1，所以3000-16x x x +=320x +1，解得x 0=-2，……………………………………………………7分所以y 0=(-2)3+(-2)-16=-26，k=3×(-2)2+1=13.所以直线l 的方程为y=13x ，切点坐标为(-2，-26).………………………………………10分(3)因为曲线f (x )的某一切线与直线y=-4x+3垂直，所以该切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f'(x 0)=320x +1=4，…………………………………………12分所以x 0=±1，所以001-14x y =⎧⎨=⎩，或00-1-18.x y =⎧⎨=⎩，故切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1)，即y=4x-18或y=4x-14.………………16分【精要点评】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其他的公共点. (3)曲线y=f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：曲线y=f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f'(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y=f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第33~34页.【检测与评估】第17课曲线的切线一、填空题1.已知曲线f(x)=ax2+3x-2在点(2，f(2))处的切线的斜率为7，那么实数a的值为.2.(2014·广东卷)曲线y=-5e x+3在点(0，-2)处的切线方程为.3.(2015·南师附中调研)设曲线f(x)=2ax3-a在点(1，a)处的切线与直线2x-y+1=0平行，则实数a的值为.4.(2014·青岛一中)已知a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x)，若f'(x)是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为.5.(2015·如东模拟)已知函数f(x)=f'(0)cos x+sin x，则函数f(x)在x0=π2处的切线方程为.6.若曲线y=1-2x在点1-2a a⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则实数a= .7.设P是函数yx+1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是.8.(2015·通州模拟)已知曲线C1：y=x2与C2：y=-(x-2)2，直线l与C1，C2都相切，则直线l的方程为.二、解答题9.对于函数f(x)=x3+ax2-9x-1，当曲线y=f(x)斜率最小的切线与直线12x+y=6平行时，求实数a的值.10.已知函数f(x)=x+tx(t>0)和点P(1，0)，过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM，PN，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2).(1)求证：x1，x2为关于x的方程x2+2tx-t=0的两根；(2)设MN=g(t)，求函数g(t)的表达式.11.已知曲线y=21xx+(x>0).(1)求曲线在x=2处的切线方程；(2)求曲线上的点到直线3x-4y-11=0的距离的最小值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.设曲线y=(ax-1)e x在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y=(1-x)e-x在点B(x0，y2)处的切线为l2.若存在x0∈32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，使得l1⊥l2，求实数a的取值范围.【检测与评估答案】第17课曲线的切线1.1【解析】因为f'(x)=2ax+3，由题意知2a×2+3=7，解得a=1.2.5x+y+2=0【解析】因为y'=-5e x，所以所求切线的斜率k=-5e0=-5，所以切线方程是y-(-2)=-5(x-0)，即5x+y+2=0.3.13【解析】由题意得f'(x)=6ax2，所以6ax2|x=1=2，所以a=13.4.y=-3x 【解析】因为f'(x)=3x2+2ax+(a-3)，又f'(x)为偶函数，所以a=0，所以f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3，所以f'(0)=-3，所以f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.5.y=-x+1+π2 【解析】因为f'(x )=-f'(0)sin x+cos x ，则f'(0)=-f'(0)·sin0+cos0，所以f'(0)=1，所以f (x )=cos x+sin x ，所以f'π2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1，f π2⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，所以切线方程为y=-x+1+π2.6.64 【解析】由题知x>0，y'=-3-212x ，所以k=-3-212a ，切线方程为y-1-2a =-3-212a (x-a ).令x=0，得y=1-232a ；令y=0，得x=3a.所以三角形的面积S=12·3a ·1-232a =1294a =18，解得a=64.7.ππ32⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】由题意得tan θ=y'=12⎛ ⎝x=13时，取等号，所以θ∈ππ32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.8.y=0或y=4x-4 【解析】设两个切点的坐标依次为(x 1，21x )，(x 2，-(x 2-2)2)，由题意得1222121122-24-[-(-2)]2-x x x x x x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得1202x x =⎧⎨=⎩，或1220x x =⎧⎨=⎩，，从而可求直线方程为y=0或y=4x-4.9.由题意知f'(x )=3x 2+2ax-9=323a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-9-23a ， 即当x=-3a时，函数f'(x )取得最小值-9-23a .因为曲线y=f (x )斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，所以-9-23a =-12，即a 2=9， 所以a=±3.10.(1)由题意可知y 1=x 1+1t x ，y 2=x 2+2tx .因为f'(x )=1-2t x ，所以切线PM 的方程为y-11t x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=211-t x ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x-x 1). 又切线PM 过点P (1，0)，所以0-11t x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=211-t x ⎛⎫⎪⎝⎭(1-x 1)， 即21x +2tx 1-t=0. ①同理，由切线PN 也过点P (1，0)，得22x +2tx 2-t=0. ②由①②可得x 1，x 2是关于x 的方程x 2+2tx-t=0的两根.(2)由(1)知1212-2-.x x t x x t +=⎧⎨=⎩，， 所以g (t )(t>0).-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达11.(1)设f (x )=21x x +，则f'(x )=1-21x ，所以k=f'(2)=1-212=34. 又因为f (2)=2212+=52，所以所求切线方程为y-52=34(x-2)， 即3x-4y+4=0.(2)由题知曲线y=21x x +(x>0)与直线3x-4y-11=0不相交，所以设曲线在点(x 0，y 0)处的切线与直线3x-4y-11=0平行，因为y'=1-21x ，令1-201x =34，解得x 0=2，所以切点为522⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以距离的最小值为点522⎛⎫⎪⎝⎭，到直线3x-4y-11=0的距离，即为3.12.由y=(ax-1)e x ，得y'=a e x +(ax-1)e x =(ax+a-1)e x .由y=1-e x x，得y'=2-e -(1-)e (e )x x x x =-2e x x .由题意知(ax 0+a-1)0e x ·00-2e x x =-1，即(ax 0+a-1)(x 0-2)=-1在302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解.方程可化为ax 0+a-1=-01-2x ，设f (x 0)=ax 0+a-1，g (x 0)=-01-2x ，作图可知1≤a ≤32. 另法：方程可化为a=0200-3--2x x x .求函数t (x 0)=0200-3--2x x x 在x 0∈302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域即可.。