第五章 微分方程题库

第五章 微分方程（共32题）

一、 选择题

（较易）1、微分方程y ″+y=0的解是（ ） A ．y=1 B ．y=x C ．y=cosx D ．y=e x （中等）2、微分方程1y y =-'的通解是（ ）

A.y=Ce x

B.y=Ce x +1

C.y=(C+1)e x

D.y=Ce x -1

（中等）3、微分方程xy ″=y ′的通解为（ ） A ．y=C 1x+C 2 B ．y=x 2+C

C ．y=C 1x 2+C 2

D ．y=C x 2

1

2+

（较易）4、微分方程y '=2y 的通解是（ ） A.y=Ce x B.y=e 2x +C C.y=2e Cx

D.y=Ce 2x

（较易）5、微分方程()()

01122=+++dx y dy x 的通解是( ) A ．C y x =+arctan arctan B ．C y x =+tan tan C ．C y x =+ln ln D ． C y x =+cot cot （较易）6、y y ='满足2|0==x y 的特解是( )

A ．1+=x e y

B ．x

e y 2= C ．2

2x

e y ⋅= D ． x

e y ⋅=3 （较易）7、微分方程y ＇- y=x 2

+1是（ ） A ．一阶线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．齐次微分方程 D ．可分离变量的微分方程 （较易）8、微分方程（x+y ）dy-(x-y)dx=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程 （较易）9、微分方程0x 3y )y (y y 2=-+''+'''的阶数是（ ） A.1 B.2 C.3

D.4

二 、填空题

（较易）1、微分方程xdx+ydy=0的通解为_______________. （中等）2、微分方程0=-''x y 的通解是___________.

（较易）3、微分方程x e y dx

dy

dx y

d =++2

)(

22

2的阶数是______________. （较易）4、微分方程y ″+3（y ′）4-3x +1=0的阶数是_______.

（中等）5、已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为

)2cos 2sin (21x C x C e y x +=，则常数p 和q 分别为____________.

（中等）6、已知二阶常系数线性齐次微分方程010=+'+''y y p y 的通解为y =e 3x

（C 1cos x +C 2sin x ），则常数p =__________.

三、 计算题

（较易）1、求微分方程dy x y dx y x )1()1(22+=+的通解. （中等）2、求微分方程

x e y dx

dy

-=+的通解. （中等）3、求微分方程x y y +='

'

'的通解. （较难）4、求微分方程02

'''=-y yy 的通解. （中等）5、.1

21

2的通解求方程--+-=

'y x y x y .

（较难）6、2()dy

x y dx

=+求

的通解 （较难）7、的通解求方程022

=-+'x xy y y . （较难）8、的通解求方程x y y y x ln 2

=+'. （中等）9、求方程230y y y '''--=的通解.

（中等）10、求方程20y y y '''-+=的通解.

（中等）11、求方程y ″+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解.

（中等）12、求方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解.

（难） 13、已知y *=

811-2

1

x 是微分方程y ″+5y ′+4y =3-2x 的一个特解，求该方程满足初始条件y (0)=8

3

， y ′(0)=27的特解.

四、应用题

1. 设位于第一象限的曲线()y f x =过点()1,1，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交

点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.求曲线()y f x =的方程.（难）

2. 设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为 A ，已知||||MA OA =，且L 过点33,22⎛⎫

⎪⎝⎭

，求L 的方程.（难）

3. 设对任意0x >，曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等0

1()x

f t dt x ⎰，

求()f x 的一般表达式.（中等）

4. 有一汽艇以h km /10的速度在静水中行进时关闭了发动机，经过s 20后，汽艇的速度减 至h km /6．已知汽艇在静水中行进时受到水的阻力与速度成正比．试确定发动机停止后汽 艇的速度随时间变化的规律．（较难）