数学实验 Mathematic实验十四 矩阵的特征值与特征向量

天水师范学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称 所属课程名称 实验类型 实验日期
矩阵的特征值与特征向量 数学实验 线性代数 2011.12.14
班级 学号 姓名 成绩

一、实验概述： 【实验目的】
学习掌握利用 Mathematica(4.0 以上版本)命令求方阵的特征值 和特征向量；利用特征值求二次型的标准形.
【实验原理】
(1)命令 Eigenvalues[M]给出方阵 M 的特征值. (2)命令 Eigenvectors[M]给出方阵 M 的特征向量.但有时输出中 含有零向量其中的非零向量才是真正的特征向量. (3)命令 Eigensystem[M]给出方阵 M 的特征值和特征向量.同样有 时输出的向量中含有零向量. (4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是
<【实验环境】
Mathematic 4
二、实验内容： 【实验方案】
1.求方阵的特征值与特征向量; 2.矩阵的相似变换;
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1.求方阵的特征值与特征向量
1

用 命 令 Eigenvalues[M] 立 即 求 得 方 阵 M 的 特 征 值 命 令
Eigenvectors[M]立即求得方阵 M 的特征向量命令 Eigensystem[M]立
即求得方阵的特征值和特征向量.
例 14.1
1 2
求方阵
M

 
2 3
1 3
3
3 6
 
的特征值和特征向量.
Clear[M];
M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}};
Eigenvalues[M]
Eigenvectors[M]
Eigensystem[M]
例 14.2
1
 
3
1 3

1 2
 

M

1 5
1

1 3
 
求方阵
 
6
1
2
 
的
特
征
值
和
特
征
向
量.(*Example14.2*)
G={{1/3，1/3，-1/2}{1/5，1，-1/3}{6，1，-2}}；
Eigensystem[G]
例 14.3
3 0 0
A

 
1
t
3
 
已 知 2 是 方 阵 1 2 3 的 特 征 值 ， 求
t.(*Example14.3*)
Clear[Aq]；
A={{2-3，0，0}{-1，2-t，-3}{-1，-2，2-3}}；
2

q=Det[A]；
，t]
 2 1 2 
例 14.4
已知
x

(1,1,
1)
是方阵
A=
 
5 1
a b
32 的一个特征向
量，求参数 a，b 及特征向量ｘ所属的特征值.(*Example14.4*)
设特征值为t，输入
Clear[A，B，v，a，b，t]；
A={{t-2，1，-2}，{-5，t-a，-3}，{1，-b，t+2}}；
v={1，1，-1}；
B=A.v；
，
，
，{a，b，t}]
2.矩阵的相似变换
若 n 阶方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 A 与对角阵相似.实
对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵 P，使 P1AP 为对角阵.命令
EigenVectors[A]与 Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的
特征向量.因此要对特征向量进行正交化和单位化，所用的命令是
GramSchmidt[ ].不过首先要输入调用软件包<Orthogonalization.m 的命令.
例 14.5
4 1
 
2
2
设方阵 A=  2 2
1
2
 
2 ，求一可逆阵 P，使 P-1AP 为对角阵.
Clear[A，p]；
A={{4，1，1}，{2，2，2}，{2，2，2}}；
3

Eigenvalues[A]；
p=Eigenvectors[A]//Transpose
为了验证 P-1AP 为对角阵，输入
Inverse[p].A.p
解法二 直接用 JardanDecomposition[A]
jor=JordanDecomposition[A]
jor[[1]]
jor[[2]]
例 14.6
方阵
A

  
1 2
0
1
 
是否与对角阵相似?
Clear[A]；
A={{1，0}，{2，1}}；
Eigensystem[A]
 2 0 0 
 1 0 0 
例 14.7
A

 
2
已知方阵  3
x 1
2
 
1 
与
B

 
0 0
2 0
0
 
y  相似，求
ｘ，ｙ.
Clear[x，v]；
v={{4，0，0}，{-2，2-x，-2}，{-3，-1，1}}；
，x]
4